19.1二次函数 学案2024--2025学年北京版九年级数学上册

19.1.1二次函数（第一课时） 【学习目标】 1． 能根据实际问题列出函数解析式，理解二次函数的概念。 2． 会确定一个函数是否是二次函数，并确定a、b、c． 【学习重点】理解二次函数的概念并能利用概念解答相关问题。 问题1：书上38页实践 （将含自变量的式子整理，然后按照自变量的降幂排列） 归纳1：二次函数的定义 一般地，形如____________________________________________________的函数叫做二次函数. 其中,ax2叫做_________， a叫做______________ bx叫做__________， b叫做______________ c叫做___________. 对二次函数概念的理解： 1.自变量的取值范围： 2、定义中为什么要a≠0？ 3、b和c 是否可以为零？ 小试牛刀 1. 问题2：已知: :一个边长为8cm的正方形，把它的边长延长xcm后得到一个新的正方形， 那么,周长增大的部分y1(cm)和面积增大的部分y2 (cm2)分别是x(cm)的函数。 求出这两个函数的表达式，并判定它们的类型;如果是二次函数，写出表达式中a，b，c的值。 问题3：函数y=ax²+bx+c，当a、b、c满足什么条件时， (1)它是二次函数? (2)它是一次函数？ (3)它是正比例函数？ 归纳2 对二次函数概念的理解： 4、一次函数与二次函数对比 解析式 含自变量x的式子 自变量的取值范围 y=0 一次函数 二次函数 问题4：m_________时， 关于x的函数 是二次函数, 小题大做： 跟踪与拓展：(1)已知二次函数 则m的值是__________. (2)当k取何值时,函数是①一次函数;②二次函数. 补充练习： 圆的半径是1cm,假设半径增加xcm时,圆的面积增加ycm². （1）写出y与x之间的函数关系表达式； （2）当圆的半径分别增加1cm, 2cm时,圆的面积增加多少？ 达标测评： 1．下列函数中,哪些是二次函数? (1)y=3x-1 ; (2)y=3x2+2; (3)y=3x3+2x2; (4)y=2x2-2x+1; (5)y=x2-x(1+x); (6)y=x-2+x. 2.若函数y＝(a－1)x2＋2x＋a2－1是二次函数,则( ) A.a＝1 B.a＝±1 C.a≠1 D.a≠－1 3.一定条件下,若物体运动的路段s(米)与时间t(秒)之间的关系为s＝5t2＋2t,则当t＝4秒时,该物体所经过的路程为 A.28米 B.48米 C.68米 D.88米 4.已知二次函数y=x²+px+q,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为- 5, 求这个二次函数的解析式. 5.一个长方形的长是宽的2倍,写出这个长方形的面积与宽之间的函数关系式. 6．一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积Ｓ与半径Ｒ之间的关系式。 7、n支球队参加比赛，每两支之间进行一场比赛。写出比赛的场数m与球队数n之间的关系式。 19.2 求二次函数的表达式 一、二次函数不同解析式图象三要素的对比 称这种形式的解析式为二次函数的_________式 二、y=a(x-h)2+k（a≠0）的特殊形式 思考：如何确定二次函数中 y=a(x-h)2+k（a≠0）中a、h、k的值？ 问题1.若二次函数的图象的顶点为（-2，-4），且过点（-3，-2），求出此二次函数的表达式 问题2.一个二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表： （1）求这个二次函数的表达式； （2）求m的值． （3）画出这个函数的图象 （4）观察图象，直接写出： 当 -2 ≤x≤1时，y的取值范围。 问题3已知抛物线G1：的对称轴为x = -1，且经过原点． （1）求抛物线G1的表达式； （2）将抛物线G1先沿x轴翻折，再向左平移1个单位后，与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点，求A点的坐标； （3）记抛物线在点A，C之间的部分为图象G2（包含A，C两点），如果直线m：与图象G2只有一个公共点，请结合函数图象，求直线m与抛物线G2的对称轴交点的纵坐标t的值或范围． . 用配方法求二次函数解析式 1、 复习与回顾 已知二次函数 （1）指出图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。 （2）求出图象与坐标轴的交点坐标。 （3）指出它的图象可以看做是函数的图象经过怎样的变换而得到的？ 二、探索与实践 你能说出下面两个二次函数的图象的开口方向，对称轴和顶点坐标吗？ （1） y=x2-2x+1 (2) y= x2-2x+3 三、合作与交流 例1.求下列函数图象的对称轴、顶点坐标. 小小结： 将二次函数的一般形式y=ax²+bx+c（a≠0）转化成顶点式y=a(x-h)²+k（a≠0） 的主要步骤： 练习：求下列函数图象的对称轴、顶点坐标. 四、拓展与提升 探索二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标公式及对称轴公式。 练习：求下列函数图象的对称轴、顶点坐标. 19.3二次函数的应用 课前热身 问题1：从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h（单位：m）与小球的运动时间 t（单位：s）之间的关系式是h= 30t - 5t 2 （0≤t≤6）．小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？（请你画出它的图象的示意图） 问题2：用总长为 60 m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积 S 随矩形一边长 l 的变化而变化．当 l 是多少米时，场地的面积 S 最大？ 跟踪练习：为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长 25 m）的空地上修建一个矩形绿化带 ABCD，绿化带一边靠墙， 另三边用总长为 40 m 的栅栏围住 （如下图）．设绿化带的 BC 边长为 x m，绿化带的面积为ym2． （1）求 y 与 x 之间的函数关系式， 并写出自变量 x 的取值范围. （2） 当 x 为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？ 问题3.图中是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2m，水面宽4m，水面下降1m，水面宽度增加多少？ 建立二次函数模型解决实际问题的一般步骤： 问题4: 问题5： 问题6：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？ 19.4 二次函数与方程（组）、不等式的关系 （一）二次函数与一元二次方程 活动1：在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数图象上部分点的横坐标 x，纵坐标 y 的对应值 如下表： （1）求这个二次函数的解析式。 （2）画出这个二次函数的图象。 （3）求出这个二次函数与x轴的交点坐标。 （4）求出这个二次函数的图象与直线y=6 交点的坐标。 （5） 当y＜6 ，结合函数图象，直接写出 x 的取值范围． （6） 当y>6 ，结合函数图象，直接写出 x 的取值范围 归纳： (1)从函数的角度看一元二次方程 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0）的_____________________ 是二次函数y=ax2+bx+c 的图象与_________________________的___________. (2)从函数的角度看一元二次不等式 一元二次不等式的ax2+bx+c>0或ax2+bx+c>0(a≠0）的解集与二次函数y=ax2+bx+c 的图象与_____________________的___________有关. 拓展: (1)一元二次方程ax2+bx+c=k(a≠0）的_____________________ 是二次函数y=ax2+bx+c 的图象与直线_________________________的___________. ( 草图 ) ( y x o )※(2)①如果二次函数y=ax2+bx+c（a>0）的图象与x轴交于 （x1 , 0）和（x2 , 0）(x1 ＜x2) ,那么一元二次不等式 ax2+bx+c>0（a>0）的解集是_____________ , ax2+bx+c<0(a>0）的解集是_____________ ②如果二次函数y=ax2+bx+c（a<0）的图象与x轴交于 ( y x o ) ( 草图 )（x1 , 0）和（x2 , 0）(x1 ＜x2) , 那么一元二次不等式 ax2+bx+c>0（a<0）的解集是_____________ , ax2+bx+c<0(a<0）的解集是_____________ 跟踪练习：解不等式： (1) x2-2x-3>0 (2)- x2-2x+8>0 活动2：求二次函数y=x2-2x-3的图象与直线y=x-3 的交点坐标 归纳：（3）从函数角度看方程组 y=ax2+bx+c 方程组 的________ 是二次函数y=a2+bx+3的图象(即________) y=kx+b 与一次函数y=x-3 的图象（即_______）的___________________ 学科网（北京）股份有限公司 $$