专题07 相似三角形的综合问题（2重难点题型）（题型专练）-2025-2026学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备考系列（浙教版）

专题07 相似三角形的综合问题 题型梳理 题型方法 题型一 相似三角形与其他图形的综合 题型二 相似三角形与函数综合 题型方法 【题型一】相似三角形与其他图形的综合 【例1】（21-22九年级下·浙江台州·期末）如图，在正方形中，点是的中点，把三角形沿着翻折得到，连结，若的面积是，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于点，延长交于点M，求出，得到，证明四边形是矩形，则，设，则，，证明，则，得到，在中，，解得，得到，即可求出的面积． 【详解】解：过点作于点，延长交于点M，则 ∵四边形是正方形， ∴，， ∵点是的中点， ∴ ∵的面积是， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 设，则， ∵三角形沿着翻折得到， ∴ ∵ ∴， ∵， ∴， ∴ 即 ∴， 在中，， 即 解得，（负值已舍去） ∴ ∴的面积， 故选：B 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、正方形的性质、矩形的判定和性质、折叠的性质、解一元二次方程等知识，证明是解题的关键． 【举一反三】【变式1】（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，在矩形中，为边上的动点，连结，将沿折叠得，再将沿折叠得（F与G为对应点），当点G落在内部（不包括的边）时，则长的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】如图所示，点F，G重合时，，设，则，，在中，；如图所示，点G在上，，；由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 如图所示，点F，G重合时， ∵和是折叠而来的， ∴， 在中，， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得， ∴； 如图所示，点G在上， 根据折叠得到，， ∴， ∴，即， ∴， ∴，且， ∴， ∴， 根据上述计算得到， ∴， 整理得，, 解得， 当时，，符合题意； 当时，，即点G在延长线上，不符合题意； ∴， ∴当点G落在内部（不包括的边）时，则长的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形与折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，掌握矩形与折叠，相似三角形的判定和性质是关键． 【变式2】（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，为的内接三角形，，垂足为，直径平分，交于点，连接． (1)求证：． (2)若，，求的长． (3)若点为中点，连接，若点在上，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)6 (3) 【分析】（1）由圆周角定理及直角三角形的性质可得出结论； （2）过点作于点．由勾股定理求出，求出的长，证明，由相似三角形的性质得出，则可得出答案； （3）证出，过点作于点，证出，由等腰三角形的性质证出，则可得出答案． 【详解】（1）证明：为的直径， ， ， ， ， ， 平分， ， ； （2）解：如图1，过点作于点． ，， ， ，则， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ； （3）解：，为的中点， ， 为的中点，为的中点， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， 过点作于点，如图2， 平分，，， ， ， ， ，， ， ， 又， ， 设，则， ． 【点睛】本题考查圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、角平分线的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 【变式3】（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，四边形是圆内接四边形，连结，交于点，过点作交的延长线于点． 【认识图形】 （1）求证：． （2）求证：． 【探索关系】 （3）当点，关于对称时． ①若，，求的长． ②记，，直接写出关于的函数表达式． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）①；② 【分析】本题考查了圆周角相等，圆内接四边形对角互补，相似三角形的性质与判定； （1）根据同弧所对的圆周角相等可得，根据平行线的性质可得，等量代换即可得证； （2）根据圆内接四边形对角互补，邻补角的定义得出，结合（1）的结论，即可证明； （3）①根据轴对称的性质可得，，证明得出，进而证明，根据相似三角形的性质，即可求解； ②由①可得，得出，则，设，则，证明得出，则，根据，得出 【详解】（1）证明：∵， ∴ ∵ ∴ ∴． （2）证明：∵四边形是圆内接四边形， ∴ 又∵ ∴ 又． ∴． （3）①∵点，关于对称，，， ∴， 又∵． ∴ ∴ ∵ ∴ 即，解得：， ∵ ∴ ∴即 解得：； ②由①可得， ∵ ∴ ∴，则 ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∵， 设，则， ∴， ∵， ∴ ∴即 ∴， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ ∴ 【题型二】相似三角形与函数综合 【例2】（22-23九年级上·浙江湖州·期末）如图，抛物线与轴正半轴交于两点（点在点的左边），与轴正半轴交于，且，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据题意得点的坐标为，所以，再证明，得到，即，从而得到，再根据一元二次方程根据系数的关系可得到，即可得到，求出的值，即可得到二次函数的解析式，令，求出一元二次方程的解即可得到答案． 【详解】解：抛物线与轴正半轴交于， 当时，， 点的坐标为， ， 如图所示，连接， ， ，， ， ， 即， ， ， ， 解得：或（舍去）， 抛物线的解析式为：， 令即， 解得：， 抛物线与轴正半轴交于两点（点在点的左边）， 点坐标为， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、一元二次方程根与系数的关系、求二次函数与轴的交点坐标，熟练掌握相似三角形的判定与性质、一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 【举一反三】【变式1】（22-23八年级下·浙江宁波·期中）如图，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点，是坐标原点．为线段上一点，连接，若，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，勾股定理，相似三角形的判定和性质，坐标与图形，过点作轴于点，则，由抛物线可得，，，即得，，，进而得到，再证明可得，即得，最后由可得，得到，，据此即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作轴于点，则， 把代入得，， 解得，， ∴，， ∴，， 把代入得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴，， ∴点的坐标为， 故答案为：． 【变式2】（23-24九年级上·浙江·阶段练习）已知抛物线经过点和原点． (1)求抛物线的函数关系式； (2)过抛物线上的点作平行于轴的直线交轴于点，在抛物线对称轴右侧位于直线下方的抛物线上，任取一点，过点作直线平行于轴交轴于点，交直线于点是否存在点，使得与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，当点的坐标为或时，与相似 【分析】（1）把点、和原点代入，即可得到函数解析式； （2）求点C和点D的坐标，设点P的坐标为，则点E的坐标为，得到和，分点P在第一象限和第四象限两种情况，结合相似三角形的性质即可求出点P的坐标． 【详解】（1）解：把点、和原点代入， 得， 解得， 抛物线的函数关系式为； （2）把代入， 解得， 点的坐标为， 由题可得点的坐标为， 设点的坐标为，则点的坐标为， ， 若点在第一象限，此时， ， 即， 解得， 点的坐标为； 若点在第四象限，此时， ， 即， 解得， 点的坐标为； 综上所述，当点的坐标为或时，使得与相似． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的性质与判定，解一元二次方程，结合分类讨论思想解题，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键，． 【变式3】（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，抛物线交x轴于点、 ，交y轴于点 C，顶点为 D， 以为直径的恰好过点C． (1)求顶点D的坐标（用a的代数式表示）； (2)求抛物线的解析式； (3)抛物线上是否存在点P 使为直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，、、 【分析】（1）根据抛物线交x轴于点、，得出抛物线的对称轴为：直线，求出，把代入得：，求出，把代入得：，即可求出顶点坐标； （2）连接，根据圆的知识得出，先求出点C的坐标为，根据中点坐标得出，根据两点间距离公式得出，，即可得出，求出a的值，即可得出答案； （3）分三种情况进行讨论：当时，当时，当时，分别求出点P的坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线交x轴于点、， ∴抛物线的对称轴为：直线， ∴， ∴， 把代入得：， ∴， ∴， 把代入得：， ∴顶点坐标为：； （2）解：连接，如图所示： ∵为的直径， ∴，， ∴， ∴， 把代入得：， ∴点C的坐标为， 根据中点坐标公式得：，即， ∴， ∵， ∴， 解得：或（舍去）， ∴，， ∴抛物线的解析式为：； （3）解：存在； 根据解析（2）可知：， ∴当点P在点C处时，，为直角三角形， ∴当点P的坐标为时，符合题意； 当时，过点D作轴，过点B作于点E，过点P作于点F，如图所示： 设点P的坐标为， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点，， ∴，， ∵，， ∴， 解得：或（舍去）， ∴此时点P的坐标为； 当时，过点B作轴，过点D作于点E，过点P作于点F，如图所示： 设点P的坐标为， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点，， ∴，， ∵，， ∴， 解得：或（舍去）， ∴此时点P的坐标为； 综上分析可知：点P的坐标为：、、． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，中点坐标公式，两点间距离公式，三角形相似的判定和性质，解一元二次方程，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 好题必刷 一、单选题 1．（24-25八年级下·浙江衢州·期末）如图，在中，点O是对角线的交点，点M是上的一点，连结．连结，分别交于点E，F．若的面积为5，，则的面积为（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质．根据，可得的面积，再结合平行四边形的性质可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵的面积为5，， ∴的面积为， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为． 故选：B 2．（23-24九年级上·浙江·期中）如图，在中，直径与弦相交于点，连结弦，，．若，给出下列结论：①；②，则下列判断正确的是     A．①，②都对 B．①，②都错 C．①对，②错 D．①错，②对 【答案】A 【分析】本题考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 根据已知条件设，则，根据直径所对的圆周角是直角得出，根据同弧所对的圆周角相等得出，根据三角形内角和定理以及对顶角相等得出，根据等角对等边即可判断①，连接，证明，根据相似三角形的性质，即可得出②，从而求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，设，则， ∵， ∴， ∵是直径， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ， ∴， ∴；故①正确； ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 即， ∴，故②正确， 故选：A． 二、填空题 3．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在正方形中，点E在边上（不与点B，C重合，点F在边上，且，连接，对角线与交F于点G，连接，交于点H．若， ， ． 【答案】 1 / 【分析】证明，得，，再证明，推导出，则，，再推导出，再证明，得到，，设设，利用勾股定理计算，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴，， 连接，则垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 设，则， ∴， ， ∴，， ∴， 故答案为：1，． 【点睛】此题重点考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，推导出是解题的关键． 4．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，是的一条弦，过作半径的平行线交于点，过作弦，垂足为，连结，，，．若，，则 ，的半径长为 ． 【答案】 【分析】过点作于点，于点，则，四边形是矩形，进而得，设，，则，，证明和相似得，则，，由此可得的值；再证明，得，由此得，进而得，然后在中，由勾股定理得求出即可得出的半径． 【详解】解：过点作于点，于点，如图所示： ，，， ， ，， 四边形是矩形， ， ，， ， ， ， ， 设，， ，， ， ， 又， ， ， ， ， ，， ， ∵，， ∴， ∴ ∴， ， 解得：，（不合题意，舍去）， ， 在中，由勾股定理得：． 的半径长为． 故答案为：；． 【点睛】此题主要考查了垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键． 5．（23-24九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，抛物线与x轴相交于点，，与y轴相交于点C，作轴交抛物线于点D，交于点E，则与的周长比为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数与相似三角形综合，先利用待定系数法求出抛物线解析式，进而求出点C的坐标，再根据题意求出点D的坐标，从而得到的长，再证明，根据相似三角形的周长之比等于相似比即可得到答案． 【详解】解：把，代入中得：， ∴， ∴抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线， 在中，当时，， ∴， ∵轴且点D在抛物线上， ∴点C与点D关于抛物线对称轴对称轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴与的周长比， 故答案为：． 三、解答题 6．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，四边形为平行四边形，点在延长线上，连接，且． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题重点考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，推导出，进而证明是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得，因为，所以，而，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明； （2）由相似三角形的性质得，根据相似的性质即可解答． 【详解】（1）证明：四边形为平行四边形， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ，， ， 的长是. 7．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，四边形内接于，满足，连接，，长，于点． (1)若，求的度数； (2)求证：； (3)若，，，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）首先由得到，然后根据三角形外角的性质求解即可； （2）首先根据圆内接四边形的性质结合平角得到，然后由即可证明； （3）如图所示，过点C作于点H，首先得到，得到，，同理可证，，得到，然后求出，勾股定理求出，，然后利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）∵， ∴ ∴； （2）∵四边形内接于， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴； （3）如图所示，过点C作于点H ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 同理可证， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 由（2）得， ∴ ∴ ∴． 【点睛】此题考查了圆周角定理，三角形外角的性质，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． 8．（22-23九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，作轴，交抛物线于另一点D，连接． (1)点A的坐标为___________，点B的坐标为___________． (2)动点E从点B出发，以1个单位秒的速度沿线段向终点C运动，设运动时间为t秒，则当以C，D，E为顶点的三角形与相似时，求t的值． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）求出当时，x的值即可得到答案； （2）先求出点C的坐标，进而利用勾股定理求出，利用平行线的性质得到，求出点D的坐标为，进而判断出只存在和两种情况，，再分情况利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：当，即时， 解得或， ∴点A的坐标为，点B的坐标为， 故答案为：，； （2）解：当时，， ∴点C的坐标为， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵轴，抛物线对称轴为直线， ∴，点D的坐标为， ∴只存在和两种情况，， 当时， ∴，即， ∴， ∴， 又∵点E的运动速度为1个单位长度每秒， ∴； 当时， ∴，即， ∴， ∴， 又∵点E的运动速度为1个单位长度每秒， ∴； 综上所述，t的值为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数与x轴的交点坐标，相似三角形的性质，勾股定理等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 9．（22-23九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，抛物线与轴交于点 ，（点 在点的左侧），与轴交于点，作轴，交抛物线于另一点，连结，． (1)点B的坐标为 ．点D的坐标为 ． (2)动点从点出发，以1个单位秒的速度沿线段向终点运动，设运动时间为秒，则当以，，为顶点的三角形与相似时，求的值． 【答案】(1) ； (2)或 【分析】（1）直接把代入求出的值即可求出点的坐标；令求出的值，即可求出点坐标，根据得到与纵坐标相同，令解出即可得到点的坐标； （2）分两种情况，由相似三角形的性质即可得出结论． 【详解】（1）解：令，则， 解得，， ，； 当时， ， ， ， 令，解得或 ； ； （2）解：由（1）可知， ， 由勾股定理得：， 由题意得：， ， 当以，，为顶点的三角形与相似时，存在两种情况： ①当时，， 即， ； ②当时，， 即， ； 综上所述，的值是或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查的是相似三角形的判定与性质，二次函数与坐标轴的交点等知识，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键． 10．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图：在中，经过内一点有一条弦，且，，过点另有一动弦，连结，，设，． (1)写出关于的函数解析式． (2)若时，求的值． 【答案】(1) (2)或4 【分析】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等，相似三角形的判定与性质，二元二次方程组及其解法等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）在和中，根据同弧所对的圆周角相等即可得出两组对应角相等，进而可证得，然后根据相似三角形的性质可得，进而可求出关于的函数解析式； （2）已知，联立（1）的函数关系式，即可求得、的长，进而根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， 即：， ∴； （2）解：由题意可得：， 解得：或， ∴，或，， ∴或， 综上，的值为或4． 11．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图1，四边形为圆内接四边形，对角线与交于点，点在上，． (1)求证：． (2)如图2，若点为的中点，求证：． (3)在（2）的条件下，的面积为2，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）证明，得出； （2）先证，得到，再根据，证出，，即可得证； （3）连接 ，作，证明，得出，得出，设，得出，根据勾股定理得出，求出（舍去），设，根据勾股定理得出．根据，得出，求出t即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ∵， ， ． （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，连接 ，作， ， ， ∴， ， 又， ， ， ， 设， ， 在中，， ， 解得：（舍去）， ， 设， 在 中， ． ， ， 解得 （舍去）， 的长为 ． 【点睛】本题主要考查了弧、弦、圆心角的关系，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的判定和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 相似三角形的综合问题 题型梳理 题型方法 题型一 相似三角形与其他图形的综合 题型二 相似三角形与函数综合 题型方法 【题型一】相似三角形与其他图形的综合 【例1】（21-22九年级下·浙江台州·期末）如图，在正方形中，点是的中点，把三角形沿着翻折得到，连结，若的面积是，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，在矩形中，为边上的动点，连结，将沿折叠得，再将沿折叠得（F与G为对应点），当点G落在内部（不包括的边）时，则长的取值范围是 ． 【变式2】（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，为的内接三角形，，垂足为，直径平分，交于点，连接． (1)求证：． (2)若，，求的长． (3)若点为中点，连接，若点在上，求的值． 【变式3】（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，四边形是圆内接四边形，连结，交于点，过点作交的延长线于点． 【认识图形】 （1）求证：． （2）求证：． 【探索关系】 （3）当点，关于对称时． ①若，，求的长． ②记，，直接写出关于的函数表达式． 【题型二】相似三角形与函数综合 【例2】（22-23九年级上·浙江湖州·期末）如图，抛物线与轴正半轴交于两点（点在点的左边），与轴正半轴交于，且，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（22-23八年级下·浙江宁波·期中）如图，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点，是坐标原点．为线段上一点，连接，若，则点的坐标为 ． 【变式2】（23-24九年级上·浙江·阶段练习）已知抛物线经过点和原点． (1)求抛物线的函数关系式； (2)过抛物线上的点作平行于轴的直线交轴于点，在抛物线对称轴右侧位于直线下方的抛物线上，任取一点，过点作直线平行于轴交轴于点，交直线于点是否存在点，使得与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式3】（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，抛物线交x轴于点、 ，交y轴于点 C，顶点为 D， 以为直径的恰好过点C． (1)求顶点D的坐标（用a的代数式表示）； (2)求抛物线的解析式； (3)抛物线上是否存在点P 使为直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由． 好题必刷 一、单选题 1．（24-25八年级下·浙江衢州·期末）如图，在中，点O是对角线的交点，点M是上的一点，连结．连结，分别交于点E，F．若的面积为5，，则的面积为（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 2．（23-24九年级上·浙江·期中）如图，在中，直径与弦相交于点，连结弦，，．若，给出下列结论：①；②，则下列判断正确的是     A．①，②都对 B．①，②都错 C．①对，②错 D．①错，②对 二、填空题 3．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在正方形中，点E在边上（不与点B，C重合，点F在边上，且，连接，对角线与交F于点G，连接，交于点H．若， ， ． 4．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，是的一条弦，过作半径的平行线交于点，过作弦，垂足为，连结，，，．若，，则 ，的半径长为 ． 5．（23-24九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，抛物线与x轴相交于点，，与y轴相交于点C，作轴交抛物线于点D，交于点E，则与的周长比为 ． 三、解答题 6．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，四边形为平行四边形，点在延长线上，连接，且． (1)求证：． (2)若，，求的长． 7．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，四边形内接于，满足，连接，，长，于点． (1)若，求的度数； (2)求证：； (3)若，，，求的长． 8．（22-23九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，作轴，交抛物线于另一点D，连接． (1)点A的坐标为___________，点B的坐标为___________． (2)动点E从点B出发，以1个单位秒的速度沿线段向终点C运动，设运动时间为t秒，则当以C，D，E为顶点的三角形与相似时，求t的值． 9．（22-23九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，抛物线与轴交于点 ，（点 在点的左侧），与轴交于点，作轴，交抛物线于另一点，连结，． (1)点B的坐标为 ．点D的坐标为 ． (2)动点从点出发，以1个单位秒的速度沿线段向终点运动，设运动时间为秒，则当以，，为顶点的三角形与相似时，求的值． 10．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图：在中，经过内一点有一条弦，且，，过点另有一动弦，连结，，设，． (1)写出关于的函数解析式． (2)若时，求的值． 11．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图1，四边形为圆内接四边形，对角线与交于点，点在上，． (1)求证：． (2)如图2，若点为的中点，求证：． (3)在（2）的条件下，的面积为2，求的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$