第23章 旋转 章末检测卷-2025-2026学年人教版数学九年级上册

第23章旋转章末检测卷-2025-2026学年数学九年级上册人教版 一、单选题 1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，以点A为中心，把逆时针旋转，得到，连接，则等于（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．将抛物线绕原点旋转，则旋转后的抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 4．如下图，四边形和四边形均为正方形，点为的中点，若，连接，则的长为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在正方形中，点E，F分别在，上，连接，，， ．若，则—定等于（    ） A． B． C． D． 6．等腰，，，，则（   ） A．3 B． C． D．4 7．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点、，点的坐标为，点是上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到线段，使点恰好落在上，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 8．如图，已知点，，与关于轴对称，连结，现将线段以点为中心逆时针旋转得，点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 9．如图，在平面直角坐标系中，线段与轴正方向夹角为，且，若将线段绕点沿逆时针方向旋转到线段，则此时点的坐标为（   ） A． B． C． D． 10．如图，点E是正方形的边上一点，把绕点A顺时针旋转到的位置．过点A作于点H，连接，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．若点，关于原点对称，则 12．在平面直角坐标系中，点A坐标是，当把坐标系绕点O顺时针旋转时，点A在旋转后的坐标系中的坐标是 ． 13．如图，将（其中）绕点A按顺时针方向旋转到的位置，使得点在同一条直线上，那么旋转角等于 ． 14．如图，为等边三角形，D为平面内一点，连接，将绕点D顺时针旋转，得到线段，连，．当，，时， ． 15．如图，中，，，将绕点A顺时针旋转得到，当C，，三点共线时，旋转角为α，连接，交于点D，则 ． 16．如图，边长为4的等边中，M是高所在直线上的一个动点，连接，将线段绕点B逆时针旋转得到，连接A．则在点M运动过程中，的度数是 ，线段长度的最小值是 ． 三、解答题 17．如图，和关于某一点成中心对称，某同学不小心把墨水泼在纸上，只能看到和线段的对应线段，请你帮该同学找到对称中心O，且补全． 18．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，的顶点在格点上． (1)已知点在格点上，请画出关于点对称的； (2)在（1）的条件下，连接，求四边形的面积． 19．如图，绕点旋转后与重合，点在上． (1)，，求的长； (2)延长交于点，，求的度数． 20．如图，在中，． (1)将绕点逆时针旋转使得点的对应点恰好落在边上，画出旋转后的； (2)在（1）的条件下，连接，若，，求的长． 21．综合与探究 如图，在中，，，是直线上的一动点，将线段绕点逆时针旋转得到． 【操作判断】 （）如图，当点与点重合时，连接，根据题意，在图中画出，图中四边形的形状是______． 【问题探究】 （）当点与点都不重合时，连接，试猜想与的位置关系，并利用图证明你的猜想． 【拓展延伸】 （）当点与点都不重合时，若，，求的长． 22．当几何图形中，两个共顶点的角所在角度是公共大角一半的关系，我们称之为“半角模型”，通常用“旋转的观点”看待图形的几何变换，使得两个分散的角变换成为一个三角形，相当于构造出两个三角形全等． 【问题初探】 （1）如图1，在四边形中，，、分别是、边上的点，且，求出图中线段之间的数量关系． 如图1，从条件出发：将绕着点逆时针旋转到位置，根据“旋转的性质”分析与之间的关系，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系，可证得结论． 【类比分析】 （2）如图2，在四边形中，，，，且，，，求的长． 【学以致用】 （3）如图3，在四边形中，，与互补，点、分别在射线、上，且．当时，求出的周长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第23章旋转章末检测卷-2025-2026学年数学九年级上册人教版》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B C B B B B A C D 1．D 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据定义判断即可． 【详解】解：、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选：D． 2．B 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 根据旋转的性质可得：，，从而可得是等边三角形，然后利用等边三角形的性质即可解答． 【详解】解：由旋转得：，， 是等边三角形， ， 故选：B． 3．C 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，旋转的性质，掌握二次函数图象的性质是关键．根据题意，绕原点旋转，即二次函数关于轴对称，得到图形开口向下，二次函数与的交点变为相反数，由此即可求解． 【详解】解：抛物线的图象开口向上，与轴交于点， ∴当二次函数绕原点旋转，旋转后的抛物线的解析式为， 故选：C ． 4．B 【分析】连接，绕点顺时针旋转 ，此时与重合，得到，连接，根据旋转的性质得到，再证明，可得三点共线，根据三线合一得到的值， 最后利用角度的等量转换得到，再根据勾股定理即可解答． 【详解】解：如图，连接，绕点顺时针旋转，此时与重合，得到，连接， ∵四边形和四边形均为正方形， ∴，，，， 根据旋转的性质，可得，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴三点共线， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴，， 在中，根据勾股定理可得，， ∴， 故选：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，掌握知识点的应用及正确添加辅助线是解题的关键． 5．B 【分析】根据正方形的性质可得，，将绕点A顺时针旋转，得，易证，根据全等三角形的性质可得，进一步根据求解即可． 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，涉及旋转的性质，添加合适的辅助线是解题的关键． 【详解】解：在正方形中，，， 将绕点A顺时针旋转，得，G、B、E三点共线，如图所示： 则，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 6．B 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质，正确作辅助线是解题的关键. 将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则，，得到，可求出，，可证明，得到，可证明，，则，得出，，则，求出，即可得到结论. 【详解】解：如图，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 或（不符合题意，舍去）， 故选：B. 7．B 【分析】本题考查了一次函数的图象性质，坐标与图形变化-旋转，全等三角形的判定和性质．过点D作于E，根据旋转的性质可得，，再利用“角角边”证明，根据全等三角形对应边相等可得，再证明是等腰直角三角形，可得，然后写出点D的坐标即可． 【详解】解：∵直线分别与轴、轴交于点、， ∴令，则； 令，则，故； ∴， 如图，过点D作于E， ∵将绕C点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． ∴点D的坐标为． 故选：B． 8．A 【分析】本题考查旋转的性质，坐标与图形---轴对称，全等三角形性质和判定，解题的关键在于熟练掌握相关知识．过点作轴于点，结合旋转的性质证明，再利用坐标与图形---轴对称和全等三角形性质求解，即可解题． 【详解】解：过点作轴于点， 有， 由旋转的性质可知，，， ， ， ， ， 点，，与关于轴对称， ，， ， 点的对应点的坐标为， 故选：A． 9．C 【分析】本题主要考查了旋转的性质，平角的定义，解直角三角形等知识，正确做出辅助线是解题的关键．过点作轴于点B，求出，解直角三角形得到的长度即可得到答案． 【详解】解：如图，过点作轴于点B． 将线段绕点O沿逆时针方向旋转到线段， ， ． 在中， ， ． 根据勾股定理，得， 点的坐标为． 故选：C． 10．D 【分析】由正方形的性质得到，，，由旋转得到，，进而根据“三线合一”得到点H是的中点，运用勾股定理在中，求得，进而根据直角三角形斜边上中线的性质即可解答． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵由旋转得到， ∴，， ∵， ∴点H是的中点， ∵，， ∴， ∴在中，， ∵点H是的中点， ∴． 故选：D 【点睛】本题考查正方形的性质，旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质，综合运用相关知识是解题的关键． 11． 【分析】根据原点对称的两个点，横坐标，纵坐标分别互为相反数，解答即可． 本题考查了点的对称，熟练掌握对称特点是解题的关键． 【详解】解：根据点，关于原点对称， 得， 故． 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了坐标与图形变化-旋转．根据题意画出图形，连接，作轴于点B，当把坐标系绕点O顺时针旋转时，相当于把绕点O逆时针旋转，可得点A在旋转后的坐标系中的坐标是． 【详解】解：如图所示：连接，作轴于点B， ∵点A坐标是． ∴，， ∴， ∴， 当把坐标系绕点O顺时针旋转时，相当于把绕点O逆时针旋转， ∴点A在旋转后的坐标系中的坐标是． 故答案为：． 13． 【分析】本题主要考查了旋转角度问题，三角形内角和，熟练掌握旋转的性质，明确每对对应点与旋转中心连线所成的角为旋转角是解题的关键． 根据，可得，然后旋转后在同一条直线上，即可由求解． 【详解】解：， 则． 旋转角． 故答案为：． 14．2或 【分析】本题考查勾股定理，等边三角形的判定与性质，旋转的性质；先证明为等边三角形，得到，，再根据在左边或右边分情况讨论，分别画出图形，结合图形利用勾股定理计算即可． 【详解】解：∵为等边三角形，， ∴，， ∵将绕点D顺时针旋转，得到线段， ∴，， ∴为等边三角形， ∴，， 当在左边时，如图，连接，，与交于点， ∵， ∴，， ∴垂直平分， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴； 当在右边时，如图，连接，与交于点， ∵， ∴， 中，， 综上所述，或， 故答案为：或． 15． 【分析】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．由旋转的性质，结合等腰三角形的判定，证明，由直角三角形的性质可求，，即可求解． 【详解】解：过B点作于E，如图所示： ∵将绕点A顺时针旋转得到， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 16． /度 【分析】根据等边三角形的性质得，，，由旋转的性质得，，进而可证明，据此可依据“”判定和全等，则，取的中点，连接，根据等边三角形的性质可得，再求出，根据旋转的性质可得，然后利用“”证明，再根据全等三角形对应边相等可得，然后根据垂线段最短可得时最短，再根据求解即可． 【详解】解：是等边三角形，且边长为， ，， 是边上的高， ， 由旋转的性质得：，， ， ， ， 在和中， ， ， 取的中点，连接，如图所示： 旋转角为， ， 又， ， 是等边的高线， ， ， 又旋转到， ， 在和中， ， ， ， 根据垂线段最短，当时，最短，此时即最短， ，， 在中，，，， ， 故答案为：；． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，含的直角三角形等，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 17．见解析 【分析】本题考查确定对称中心，补全中心对称图形，根据中心对称的性质画图即可． 【详解】解：如图所示，的交点即为O，即为所求． 18．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了画中心对称图形，网格中求三角形面积，熟知画中心对称图形的方法是解题的关键． （1）根据中心对称图形的定义可知点O分别是线段的中点，据此根据网格的特点作图即可； （2）根据列式计算即可． 【详解】（1）解；如图所示，即为所求； （2）解：． 19．(1)4 (2) 【分析】本题考查的是旋转的性质，全等三角形的性质，三角形的内角和定理的应用； （1）先证明，再利用全等三角形的性质可得结论； （2）证明，再结合三角形的内角和定理可得； 【详解】（1）解： 绕点旋转后与重合， ， ， ； （2）解：， ， ，， 又， ． 20．(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据旋转的性质画图即可； （2）根据旋转的性质，勾股定理解答即可． 本题考查了旋转作图，勾股定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】（1）解：将绕点逆时针旋转的度数，使得点的对应点恰好落在边上，画图如下： 则即为所求． （2）解：∵，，， ∴， 根据旋转的性质，得，，， ∴， ∴． ． 21．（）平行四边形；（），证明见解析；（） 【分析】（）由旋转可得，，进而可得，，即可求解； （）证明四边形是矩形即可求证； （）分点在点右侧和左侧两种情况，分别画出图形解答即可求解． 【详解】（）解：如图， 由旋转得，，， ∵，， ∴， ， ∴， ∴四边形是平行四边形， 故答案为：平行四边形； （）解：，证明如下： 如图，过点作交于点，连接，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵将线段绕点逆时针旋转得到， ∴， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； （）解：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 当点在点右侧时，如图， 由（）可知，四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴； 当点在点的左侧时，如图， 同理可得， ∴， ∴； 综上，的长为． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的 性质，平行四边形的判定，矩形的判定和性质，全等三角形的 判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 22．（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要利用旋转和全等三角形的性质来解决线段之间的数量关系，通过旋转将分散的角和线段转换为可以利用全等三角形性质的图形，从而找到线段之间的关系． （1）根据旋转的性质，绕点D逆时针旋转得到，因此．由于，旋转后也等于，根据全等条件，，从而得出． （2）在上取一点G，使得，通过条件证明，得出，再通过条件证明，得出，设，根据勾股定理再中解方程得出 （3）在上截图，通过条件证明，得出，再通过条件证明，得出，根据线段关系得出的周长为． 【详解】解：（1），理由如下： ∵将绕点D逆时针旋转得到， ∴， ∴三点共线， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）如图 在上取一点G，使得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴． （3）在上截取， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴的周长． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$