22.1.1 二次函数 课件 2025—2026学年人教版数学九年级上册

22.1.1二次函数 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 1 这节课，我们将一起认识一个新的函数，它在我们的生活中几乎随处可见 公园的喷泉池，喷出来的水柱形成一道道优美的曲线 篮球场上，三分线、罚球线、禁区里，离篮筐的远近不同、起跳的高矮不同，篮球出手的角度也有着细微区别。 在体育课上老师讲解投掷实心球技巧时，不知你有没有思考过为什么要向斜上方抛，而不是往上扔或直接往前方抛？ 实际上，喷出来的水柱、扔出去的篮球在空中运行的路线都符合同一类函数。 2 实际问题 数学模型 实际问题的答案 性质、特点 归纳 抽象 通过本章的学习，你会对以上这些情景有更透彻的理解。甚至可以算出喷泉池里的水如何才能落进池子里而不洒出来，出手的篮球能否准确的落入筐中。在用数学的眼光看世界的过程中，会发现实际生活中遇到的很多问题都可以归纳抽象为数学模型，通过研究这类数学模型的性质，反过来解决实际问题。那么我们这一章要学习的数学模型是什么呢？先来看几个简单点的问题： 3 问题2 如图是一个正方体，如果改变正方体的棱长 x，那么正方体的表面积y会随之改变，y与x之间是函数关系吗？是一次函数关系吗？ 课堂引入 现在得到的函数是用自变量的一次式表示吗？ 是一个怎样的多项式？ 问题3 n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛.比赛的场次数m与球队n有什么关系？m是n的函数吗？ 合作学习 问题4 某种产品现在的年产量是20 t，计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？y是x的函数吗？ y是x的一次函数吗？函数y是用含自变量x 的怎样的多项式表示的？你认为这个函数叫什么函数比较合适？说说你的理由. 合作学习 问题3 某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量．如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系怎样表示？ 分析：这种产品的年产量是20件， 一年后的产量是_________件，再经过一年的产量是__________件，即两年后的产量y＝__________． 答： y＝20x2＋40x＋20． 此式表示了两年后的产量y与计划增产的倍数x之间的关系，对于x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，即y是x的函数． 20(1＋x) 20(1＋x)2 20(1＋x)2 新课讲授 思考：函数y＝6x2，m＝ n2－ n， y＝20x2＋40x＋20有什么共同点？ y＝6x2 自变量 函数 函数解析式 y y m x x n 分析：认真观察以上三个函数解析式，分别说出哪些是常数、自变量和函数． 这些函数有什么共同点？ 这些函数自变量的最高次项都是二次！ 新课讲授 二次函数的定义 上述三个函数都是用自变量的二次式表示的.一般地，形如 y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，a≠0） 的函数，叫做二次函数.其中x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 二次项 一次项 常数项 二次项系数 一次项系数 归纳小结 9 讲授新课 知识点2　 二次函数的应用 1. 在实际问题中建立二次函数模型时，关键要找出两个变量之间的数量关系，用类似建立一元二次方程模型的方法，借助方程思想求出二次函数的关系式. 2.二次函数自变量的取值范围一般是全体实数，但是在实际问题中，自变量的取值范围应使实际问题有意义. (2)由题意可得 －10x2＋180x＋400＝1120， 整理得 x2－18x＋72＝0， 解得 x1＝6，x2＝12(舍去)． 所以，该产品的质量档次为第6档． 范例应用 解：(1)∵第一档次的产品一天能生产95件，每件利润6元，每提高一个档次，每件利润加2元，但一天产量减少5件， ∴第x档次，提高了(x－1)档，利润增加了2(x－1)元． ∴y＝[6＋2(x－1)][95－5(x－1)]， 即y＝－10x2＋180x＋400(其中x是正整数，且1≤x≤10)； 例2某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次(最低档次)的产品一天能生产95件，每件利润6元．每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件． (1)若生产第x档次的产品一天的总利润为y元(其中x为正整数，且1≤x≤10)，求出y关于x的函数关系式； (2)若生产第x档次的产品一天的总利润为1120元，求该产品的质量档次． 当堂训练 叁 例1：判断下列 关于 的函数是不是二次函数？ （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） × √ × √ √ × × × ☆ 二次函数的识别 判断一个函数是不是二次函数，先看原函数和整理化简后的形式再作判断. 例2：请分别写出以上二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项。 函数解析式 二次项系数 一次项系数 常数项 2 -7 0 1 6 1 0 0 ☆ 小试牛刀 例3：若 是关于 的二次函数，求 的值. 解：根据二次函数的定义 ☆ 确定函数中待定字母的取值 例4 把一根8 m长的钢筋，焊接成一个如图所示的框架，使其下部为矩形，上部为半圆形．请写出框架的面积y（m2）与半圆的半径x（m）之间的函数关系式．（不要求写出自变量的取值范围） 解：由题意，得y＝＋8x－(2＋π)x2， 即y＝－( π＋2)x2＋8x． 框架面积＝半圆面积＋矩形面积 x 2x 典 例 精 析 解析：当x＝2时，y＝22＋3×2－5＝4＋6－5＝10－5＝5． 1．已知二次函数y＝x2＋3x－5，当x＝2时，y＝_____．  5 随 堂 练 习 2．某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为y＝　　　　．  解析：∵一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x， ∴二月份研发资金为a×(1＋x)， ∴三月份的研发资金y＝a×(1＋x)×(1＋x)＝a(1＋x)2． a(1＋x)2 随 堂 练 习 3．正方形的边长为5 cm，若正方形的边长增加x cm时，其面积增加y cm2． （1）写出y与x的函数关系式； （2）当正方形的边长分别增加2 cm，3 cm时，正方形的面积分别增加多少？ 解：（1）y＝(5＋x)2－52＝x2＋10x．　 （2）当x＝2时，y＝22＋10×2＝24； 当x＝3时，y＝32＋10×3＝39． 所以当正方形的边长分别增加2 cm，3 cm时，正方形的面积分别增加24 cm2，39 cm2．　 随 堂 练 习 4．某超市购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元出售，那么每月可售出500个．根据销售经验，售价每提高1元，销售量相应减少10个．如果超市将篮球售价定为x元（x＞50），每月销售这种篮球获利y元． （1）求y与x之间的函数关系式； 解：（1）设篮球售价为x元，则销量减少了10(x－50)个． 根据题意，得 10(x－50)＜500，即x＜100． 所以y＝[500－10(x－50)](x－40)＝－10x2＋1 400x－40 000（50＜x＜100）．　 随 堂 练 习 4．某超市购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元出售，那么每月可售出500个．根据销售经验，售价每提高1元，销售量相应减少10个．如果超市将篮球售价定为x元（x＞50），每月销售这种篮球获利y元． （2）超市计划下月销售这种篮球获利8 000元，又要吸引更多的顾客，则这种篮球的售价应定为多少元？ 解： （2）当y＝8 000时， 即－10x2＋1 400x－40 000＝8 000， 解方程，得x＝60或80． 结合题意要吸引更多的顾客，∴售价应定为60元．　 随 堂 练 习 $$