第2章 对称图形-圆（高效培优单元测试·强化卷）数学苏科版九年级上册

第2章 对称图形——圆（高效培优单元测试·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知圆锥的底面圆半径为，母线长为，则圆锥的侧面积是（    ） A．12 B．16 C．20 D．24 2．已知的半径为5，，则点A在（   ） A．内 B．上 C．外 D．无法确定 3．如图，若A，B，C是上三点，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 4．如图，、分别与相切于、两点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，均为上的点，且，则下列说法不正确的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，是半圆O的直径，点D在上，弦，若的度数为，的度数为，则与的关系是（    ） A． B． C． D． 7．司南（如图1）是我国古代辨别方向用的一种仪器，是指南针的始祖．司南的中间为一圆形，如图2，圆心为O，根据八个方位将八等分（图2中的点为八个等分点），连接、、，与的延长线交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．如图，在一张三角形纸片中，，，，是它的内切圆，小明用剪刀沿着的切线剪下一块三角形，则的周长是（   ） A．17 B．19 C．20 D．22 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分．） 9．如图，点是上一点，若，则 ． 10．如图，的半径为，是的弦，半径于点．若，则的长为 ． 11．如果一个扇形的弧长等于它所在圆半径的2倍，我们称这样的扇形为“完美扇形”．已知一个圆锥的侧面展开图是一个“完美扇形”，该“完美扇形”的周长等于8，那么这个圆锥的侧面积是 ． 12．如图，滑轮圆心为，半径为，若在力F作用下滑轮上一点A绕点O顺时针旋转，则图中物块上升 cm．（结果保留） 13．如图，在以点O为圆心的两个圆中，大圆的半径是小圆半径的2倍，大圆的弦和小圆交于C，D两点，若，则小圆半径是 ． 14．如图（1），是中国传统园林建筑中的月亮门，拱门的上部分是圆的一段弧．随着四季更迭，半遮半掩之间，便将丝丝景致幻化成诗情画意．图（2）是月亮门的示意图，弦长，拱高长，则该拱门的半径是 ． 15．如图，已知的周长等于，则圆内接正六边形的边心距的长为 ． 16．如图，在扇形中，，，点在上，且．延长到，使．以，为邻边作平行四边形，则图中阴影部分的面积为 （结果保留）． 三、解答题（本题共11小题，共102分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（6分）如图，为圆的直径，弦，垂足为点，连接，若，，求的长． 18．（6分）某居民区一处圆形地下水管道破裂，修理工人准备更换一段新管道，经测量得到如图所示的数据，水面宽度，水面到管顶的距离为，那么修理工人应准备直径为多长的管道？（管道的厚度不计） 19．（8分）已知是的直径，点是延长线上一点，，是的弦，． (1)求证：直线是的切线； (2)若，垂足为的半径为，求的长． 20．（8分）如图，的内接四边形两组对边的延长线分别相交于点，． (1)若，求证：． (2)若，，且．请用含，的代数式表示的大小． 21．（8分）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，经过格点A，B，C，交网格线于点D．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． (1)在图1中画出该圆的圆心O，再画出的中点E，然后在优弧上画点F，连接，使得； (2)在图2中画出线段绕点A逆时针旋转得到的线段（点M与点C对应）． 22．（10分）如图，是的直径，为的一条弦（不为直径），点是与的交点，，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)求的半径． 23．（10分）如图，是的直径，，，的平分线交于点D． (1)求的度数； (2)求图中阴影部分的面积． 24．（10分）如图，为的直径，点在⊙上，，点在的延长线上，与相切于点C，与的延长线相交于点D，与相交于点． (1)求证：； (2)若，求的半径． 25．（12分）如图，在中，为弦，为直径，于E，于F，与相交于G． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 26．（12分）如图为古代劳动人民发明的“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．小明受“石磨”的启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图，两个固定长度的“连杆”，的连接点在上，当点在上转动时，带动点，分别在射线，上滑动，．如图，当与相切时，点恰好落在上．请就图中的情形解答下列问题： (1)若，求的度数． (2)若线段与交于点，，，求的半径． (3)若的半径为6，，求的长． 27．（12分）已知锐角内接于，点是的内心，连接交于点，过点作的平行线． (1)求证：直线与相切； (2)若半径为，．连接，求证： 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 对称图形——圆（高效培优单元测试·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知圆锥的底面圆半径为，母线长为，则圆锥的侧面积是（    ） A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】A 【详解】解：根据题意，得底面圆半径，母线长， ∴. 故选：A. 2．已知的半径为5，，则点A在（   ） A．内 B．上 C．外 D．无法确定 【答案】A 【详解】解：， 点A在内． 故选：A． 3．如图，若A，B，C是上三点，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：C 4．如图，、分别与相切于、两点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：因为、是切线， 所以，， 即． 因为， 所以． 在四边形中，根据四边形内角和为， 即， 可得． 的度数为． 故选：D． 5．如图，均为上的点，且，则下列说法不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴，，故A选项说法正确，不符合题意； ∴，即，故B选项说法正确，不符合题意； ∵， ∴，即， ∴，故C选项说法正确，不符合题意； 不能证明，故D选项说法错误，符合题意； 故选：D． 6．如图，是半圆O的直径，点D在上，弦，若的度数为，的度数为，则与的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵弦， ∴， ∵是半圆O的直径， ∴， ∴， 又， 的度数为，的度数为， ∴，， ∴， 即， 故选：C． 7．司南（如图1）是我国古代辨别方向用的一种仪器，是指南针的始祖．司南的中间为一圆形，如图2，圆心为O，根据八个方位将八等分（图2中的点为八个等分点），连接、、，与的延长线交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，连接，，，， 点、、、、、、、是的八等分点， ， ， 由对称性可知，是的直径， ， ． 故选：C． 8．如图，在一张三角形纸片中，，，，是它的内切圆，小明用剪刀沿着的切线剪下一块三角形，则的周长是（   ） A．17 B．19 C．20 D．22 【答案】C 【详解】解：如图，设的内切圆切三边于点、、，连接、、、、、， ∴四边形是正方形， 由切线长定理可知， ∵是的切线， ∴，， ∵，，， ∴， ∵是的内切圆， 设的半径为， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为：． 故选：C． 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分．） 9．如图，点是上一点，若，则 ． 【答案】 【详解】解：延长交于点，连接， ∵，， ∴， 四边形是的内接四边形， ∴． 故答案为： ． 10．如图，的半径为，是的弦，半径于点．若，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：∵的半径为， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即的长为． 故答案为：． 11．如果一个扇形的弧长等于它所在圆半径的2倍，我们称这样的扇形为“完美扇形”．已知一个圆锥的侧面展开图是一个“完美扇形”，该“完美扇形”的周长等于8，那么这个圆锥的侧面积是 ． 【答案】4 【详解】解：∵“完美扇形”的周长等于 8 ，则， ∴半径为，弧长为， ∴这个圆锥的侧面积是． 故答案为：4． 12．如图，滑轮圆心为，半径为，若在力F作用下滑轮上一点A绕点O顺时针旋转，则图中物块上升 cm．（结果保留） 【答案】 【详解】解：物块上升的高度为， 故答案为：． 13．如图，在以点O为圆心的两个圆中，大圆的半径是小圆半径的2倍，大圆的弦和小圆交于C，D两点，若，则小圆半径是 ． 【答案】 【详解】解：过O点作于H点，连接，如图，则 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或r（舍去）， 即小圆半径是， 故答案为：． 14．如图（1），是中国传统园林建筑中的月亮门，拱门的上部分是圆的一段弧．随着四季更迭，半遮半掩之间，便将丝丝景致幻化成诗情画意．图（2）是月亮门的示意图，弦长，拱高长，则该拱门的半径是 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接， 设该拱门的半径， 根据题意得在的直径上，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中利用勾股定理，得， ∴， ∴， ∴该拱门的半径是， 故答案为：． 15．如图，已知的周长等于，则圆内接正六边形的边心距的长为 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接， ∵正六边形是圆内接正六边形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴，， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴， 设，则，， ∵的周长等于， ∴，解得：， ∴， 故答案为：． 16．如图，在扇形中，，，点在上，且．延长到，使．以，为邻边作平行四边形，则图中阴影部分的面积为 （结果保留）． 【答案】 【详解】解：过A作， ∵，， ， ∵， ∴， ， ， ， 设长度为，则，在中，由勾股定理得： 解得：， ， ， 则，， ， ． 故答案为：． 三、解答题（本题共11小题，共102分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（6分）如图，为圆的直径，弦，垂足为点，连接，若，，求的长． 【答案】 【详解】解：设的半径是r， ∵弦， ∴， ∵， ∴， 根据勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴． 18．（6分）某居民区一处圆形地下水管道破裂，修理工人准备更换一段新管道，经测量得到如图所示的数据，水面宽度，水面到管顶的距离为，那么修理工人应准备直径为多长的管道？（管道的厚度不计） 【答案】修理工人应准备直径为的管道 【详解】解：如图，过点O作于D，连接， 则． 设半径为，则，． 在中，， 即， 解得：， ． 故修理工人应准备直径为的管道． 19．（8分）已知是的直径，点是延长线上一点，，是的弦，． (1)求证：直线是的切线； (2)若，垂足为的半径为，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径，且， ∴直线是的切线． （2）解：∵是的直径，且于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查圆的切线的判定、圆周角定理、垂径定理、勾股定理、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半等知识，此题综合性较强，难度较大． 20．（8分）如图，的内接四边形两组对边的延长线分别相交于点，． (1)若，求证：． (2)若，，且．请用含，的代数式表示的大小． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵四边形是的内接四边形， ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴． ∵在和中，， ∴， ∴． 21．（8分）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，经过格点A，B，C，交网格线于点D．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． (1)在图1中画出该圆的圆心O，再画出的中点E，然后在优弧上画点F，连接，使得； (2)在图2中画出线段绕点A逆时针旋转得到的线段（点M与点C对应）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）解：如图所示就是所求作的图形； （2）解：如图，线段即为所作． 【点睛】本题考查了作圆的圆心，作图旋转图形，正方形的判定与性质，圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，垂径定理，，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 22．（10分）如图，是的直径，为的一条弦（不为直径），点是与的交点，，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)求的半径． 【答案】(1)，理由见解析 (2)10 【详解】（1）解：，理由如下： 如图所示，连接，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，是的直径， ∴， 设的半径为，则， ∴在中，， ∴， ∴， ∴的半径为10． 23．（10分）如图，是的直径，，，的平分线交于点D． (1)求的度数； (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：是的直径， ， 平分， ， 和都是所对的圆周角， ； （2）解：，，， ， ， 如图，连接， 由（1）知， ， ， ， 阴影部分的面积． 24．（10分）如图，为的直径，点在⊙上，，点在的延长线上，与相切于点C，与的延长线相交于点D，与相交于点． (1)求证：； (2)若，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2)的半径为12 【详解】（1）证明：连接，如图所示， ∵与相切于点C， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2）解：∵， 设 则 ∴ 又∵， ∴ 在中，由勾股定理可得： ， 解得：或（舍去）． ∴， ∴的半径为12． 25．（12分）如图，在中，为弦，为直径，于E，于F，与相交于G． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见详解 (2)的半径为 【详解】（1）证明：如图，连接， 于E，于F， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， 又， ； （2）解：如图，连接，设，则， ∴， ∴， 于E，， ∴， 在中，， 即， 解得或（舍）． 即的半径为． 26．（12分）如图为古代劳动人民发明的“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．小明受“石磨”的启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图，两个固定长度的“连杆”，的连接点在上，当点在上转动时，带动点，分别在射线，上滑动，．如图，当与相切时，点恰好落在上．请就图中的情形解答下列问题： (1)若，求的度数． (2)若线段与交于点，，，求的半径． (3)若的半径为6，，求的长． 【答案】(1)∠PAO=30° (2)⊙O的半径为3 (3) 【详解】（1）解：（1）如图1，连接， 与相切， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）设⨀的半径为， ，， ， 在中，， 即， 解得：， 即的半径为； （3）如图2，过点作于，作于， ， 四边形是矩形， ， 的半径为，， ， ， ．， 27．（12分）已知锐角内接于，点是的内心，连接交于点，过点作的平行线． (1)求证：直线与相切； (2)若半径为，．连接，求证： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）解：连接， ∵点是的内心， ∴平分， ∴， ∴， ∴点是的中点， ∴， ∵直线， ∴， ∴直线与相切． （2）连接， 由（1）得，， ∵所对的圆周角为，， ∴， ∴， ∵点是的内心， ∴平分， ∴， ∵，， ∴， ∴； 【点睛】本题考查了切线的判定定理，三角形的内心、圆周角定理，等腰三角形的判定，灵活运用圆的性质（弧、角、弦的关系）、三角形内心性质及切线判定定理是解题关键 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$