第三章 概率的进一步认识 同步练习 2025-2026学年北师大版九年级数学上册

第三章 概率的进一步认识 同步练习 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1.在一个不透明的口袋中有四个形状、大小、质地完全相同的小球，把它们分别标号为，，，若随机摸出一个小球后不放回，再随机摸出另一个小球，则两次取出小球标号的和等于的概率为(    ) A. B. C. D. 2.有一首对子歌中写道：“天对地，雨对风，大陆对长空”现有四张书签，除正面分别写有“天”“地”“雨”“风”四个字外其他均无区别从这四张书签中随机抽取两张，则抽到的书签正好配成“对子”的概率是(    ) A. B. C. D. 3.一个不透明的布袋里装有个白球，个黄球，它们除颜色外其他完全相同，将球摇匀后，从中随机摸出一球不放回，再随机摸出一球，两次摸到的球颜色相同的概率是(    ) A. B. C. D. 4.某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下： 射击次数 “射中九环以上”的次数 “射中九环以上”的频率结果保留两位小数 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是(    ) A. B. C. D. 5.在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共个，这些球除颜色外都相同小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中红球的个数最有可能是(    ) A. B. C. D. 6.“六一”儿童节，某玩具超市设立了一个如图所示的可以自由转动的转盘，开展有奖购买活动．顾客购买玩具就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应奖品．下表是该活动的一组统计数据．下列说法不正确的是(    )     转动转盘的次数               落在“铅笔”区域的次数                     落在“铅笔”区域的频率             A. 当很大时，估计指针落在“铅笔”区域的频率大约是 B. 假如你去转动转盘一次，获得铅笔的概率大约是 C. 如果转动转盘次，指针落在“文具盒”区域的次数大约有次 D. 转动转盘次，一定有次获得文具盒 7.苯丙酮尿症是常染色体上隐性基因控制的遗传病，主要表现为智力发育落后，生长发育受限和精神异常等苯丙酮尿症由一对基因、控制，体内由成对基因、控制的个体是正常的，而体内由成对基因控制的个体患病设母亲和父亲的基因是，那么他们的孩子不患苯丙酮尿症的概率是(    ) A. B. C. D. 8.如图，电路图上有四个开关、、、和一个小灯泡，闭合开关或同时闭合开关、、都可使小灯泡发光，则任意闭合其中两个开关，小灯泡发光的概率是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9.有张看上去无差别的卡片，上面分别写着，，，，小红随机抽取张后，放回并混在一起，再随机抽取张，则小红第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的概率为          ． 10.在一个不透明的盒子中装有个小球，它们只有颜色上的区别，其中有个红球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定于，那么可以推算出大约是______． 11.重庆市某校初二班同学，在学校组织的语文作文选拔考试中，有三名同学满分，其中有一名男生和两名女生，现在从三名满分同学中随机抽取两名同学参加重庆市优秀作文比赛，则选出来的两名同学刚好是一男一女的概率是______． 12.如表是某种绿豆在相同条件下发芽试验的结果： 每批粒数 发芽的频数 发芽的频率 根据以上数据，该种绿豆发芽的概率的估计值为______结果精确到． 13.文房四宝是我国传统文化中的文书工具，即笔、墨、纸、砚某礼品店将传统与现代相结合，推出文房四宝盲盒，盲盒外观和重量均相同，且内含对应文房四宝之一的卡片，若从一套四个盲盒笔、墨、纸、砚盲盒各一个中随机选两个，则恰好抽中内含笔和纸的盲盒的概率是______． 14.小明要用如图的两个转盘做“配紫色”游戏红色和蓝色配成紫色，每个转盘均被等分成若干个扇形，他同时转动两个转盘，停止时指针所指的颜色恰好配成紫色的概率为______． 15.如图，现分别旋转两个标准的转盘，两个转盘分别被分成两等份和三等份，则转盘所转到的两个数字之积为奇数的概率是______． 16.通常情况下酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色一次化学课上，学生用酚酞溶液检测四瓶标签被污染无法分辨的无色溶液的酸碱性已知四瓶溶液分别是：盐酸呈酸性，：硝酸钾溶液呈中性，：氢氧化钠溶液呈碱性，：氢氧化钾溶液呈碱性小周同时将任选的两瓶溶液滴入酚酞溶液进行检测，两瓶溶液恰好都变红色的概率是______． 三、解答题：本题共6小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 有三张正面分别标有数字，，的不透明卡片，它们除数字外都相同，现将它们背面朝上，洗匀后从三张卡片中随机地抽取一张，放回卡片洗匀后，再从三张卡片中随机地抽取一张． 试用列表或画树状图的方法，求两次抽取的卡片上的数字之积为负数的概率； 求两次抽取的卡片上的数字之和为非负数的概率． 18.本小题分 为使学生更加了解云南，热爱家乡，热爱祖国，体验“有一种叫云南的生活”某校七年级年级组准备从博物馆、植物园两个研学基地中，随机选择一个基地研学，且每个基地被选到的可能性相等；八年级年级组准备从博物馆、植物园、科技馆三个研学基地中，随机选择一个基地研学，且每个基地被选到的可能性相等记选择博物馆为，选择植物园为，选择科技馆为，记七年级年级组的选择为，八年级年级组的选择为． 请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； 求该校七年级年级组、八年级年级组选择的研学基地互不相同的概率． 19.本小题分 如图，有四张反面完全相同的纸牌、、、，其正面分别画有四个不同的几何图形，将四张纸牌洗匀后正面朝下随机放在桌面上，先从四张纸牌中随机摸出一张，不放回，再从剩下的纸牌中随机摸出一张．请用“列表法”或“树状图法”求模出的两张牌既是轴对称图形又是中心对称图形的概率纸牌用、、、表示． 20.本小题分 为了编撰祖国的优秀传统文化，某校组织了一次“诗词大会”，小明和小丽同时参加，其中，有一道必答题是：从如图所示的九宫格中选取七个字组成一句唐诗，其答案为“山重水复疑无路”． 小明回答该问题时，对第二个字是选“重”还是选“穷”难以抉择，若随机选择其中一个，则小明回答正确的概率是______； 小丽回答该问题时，对第二个字是选“重”还是选“穷”、第四个字是选“富”还是选“复”都难以抉择，若分别随机选择，请用列表或画树状图的方法求小丽回答正确的概率． 21.本小题分 青岛二十六中某班举办了一场摸牌游戏，由甲乙同学两人进行．现有张形状大上完全相同的牌，正面分别标有数字，，，，，将四张牌背面朝上，洗匀后放在桌子上．甲从中随机抽取一张牌，乙再随机抽取一张． 请用列表法或画树状图的方法，求两人抽取相同数字的概率； 若两人抽取的数字差的绝对值等于，则甲获取；若抽取的数字差的绝对值大于，则乙获胜，这个游戏公平吗？请用概率的知识加以解释． 答案和解析 1.【答案】  【解析】略 2.【答案】  【解析】略 3.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了概率的概念和求法，用树状图或列表表示事件出现的可能性是求解概率的常用方法．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 依据题意先用画树状图法分析所有等可能出现的结果，然后根据概率公式求出该事件的概率即可． 【解答】 解：画树状图为： 共有种等可能的结果数，其中两次摸到的球颜色相同的结果数为， 所以两次都摸到同种颜色的概率． 故选：． 4.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查的是利用频率估计概率，熟知大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解答此题的关键． 根据大量的实验结果稳定在左右即可得出结论． 【解答】 解：从频率的波动情况可以发现频率稳定在附近， 这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率是． 故选：． 5.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查利用频率估计概率． 设袋子中红球有个，根据摸出红球的频率稳定在左右列出关于的方程，求出的值，从而得出答案． 【解答】 解：设袋子中红球有个， 根据题意，得：， 解得， 袋子中红球的个数最有可能是个， 故选：． 6.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查用频率估计概率，掌握频率与概率的关系是解题的关键． 根据图表可求得指针落在铅笔区域的概率，另外概率是多次实验的结果，因此不能说转动转盘次，一定有次获得文具盒． 【解答】 解：由表格中数据可以看出频率稳定在左右，故用频率估计概率，指针落在“铅笔”区域的频率大约是，故A选项正确； B.由可知、转动转盘一次，获得铅笔的概率大约是，故B选项正确； C.指针落在“文具盒”区域的概率为，转动转盘次，指针落在“文具盒”区域的次数大约有次，故C选项正确； D.随机事件，结果不确定，故D选项不正确． 故选D． 7.【答案】  【解析】解：列表如下： 共有种等可能的结果，其中他们的孩子不患苯丙酮尿症的结果有种， 他们的孩子不患苯丙酮尿症的概率为． 故选：． 列表可得出所有等可能的结果数以及他们的孩子不患苯丙酮尿症的结果数，再利用概率公式可得出答案． 本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 8.【答案】  【解析】【分析】 首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小灯泡发光的情况，再利用概率公式即可求得答案． 本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．掌握概率公式：概率所求情况数与总情况数之比是解题的关键． 【解答】 解：画树状图得： 共有种等可能的结果，现任意闭合其中两个开关，则小灯泡发光的有种情况， 小灯泡发光的概率为：． 故选：． 9.【答案】  【解析】略 10.【答案】  【解析】解：由题意可得，， 解得，． 故估计大约有个小球． 故答案为：． 在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解． 此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系． 11.【答案】  【解析】解：利用列表法可以得出所有可能的结果： ， 利用列表法或树状图法列举出所有可能出现的结果数，进而求出该事件发生的概率． 考查等可能事件发生的概率，用列表法或树状图法列举出等可能出现的结果数是正确解答的关键，同时注意每一种结果出现的可能性一定要均等 12.【答案】  【解析】解：根据表中的发芽的频率，当实验次数增多时，发芽的频率越来越稳定在左右，所以可估计这种绿豆发芽的概率大约是． 故答案为． 根据利用频率估计概率得到随实验次数的增多，发芽的频率越来越稳定在左右，由此该种绿豆发芽的概率的估计值为． 本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率；用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． 13.【答案】  【解析】解：将笔、墨、纸、砚分别记为，，，， 画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中恰好抽中内含笔和纸的盲盒的结果有：，，共种， 恰好抽中内含笔和纸的盲盒的概率为． 画树状图得出所有等可能的结果数以及恰好抽中内含笔和纸的盲盒的结果数，再利用概率公式可得出答案． 本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 14.【答案】  【解析】解：根据题意列表如下： 白 蓝 红 红 红，白 红，蓝 红，红 蓝 蓝，白 蓝，蓝 蓝，红 上面等可能出现的有种结果，有种情况可能配成紫色， 故配成紫色的概率是； 故答案为：． 根据题意先列表，得出所有可能出现的情况数和配成紫色的情况数，再根据概率公式即可得出答案． 此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率所求情况数与总情况数之比． 15.【答案】  【解析】解：画树状图得： 共有种等可能的结果，转盘所转到的两个数字之积为奇数的有种情况， 转盘所转到的两个数字之积为奇数的概率是； 故答案为：． 首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与转盘所转到的两个数字之积为奇数的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 此题考查了列表法或树状图法求概率．注意此题属于放回实验，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 16.【答案】  【解析】解：列表如下： 共有种等可能的结果，其中两瓶溶液恰好都变红色的结果有：，，共种， 概率为． 故答案为：． 根据列表可得共有种等可能的结果，其中两瓶溶液恰好都变红色的结果有：，，共种，进而根据概率公式计算即可求解． 本题考查了列表法求概率，正确进行计算是解题关键． 17.【答案】解：画树状图如下： 由树状图可知，共有种等可能结果，其中数字之积为负数的有种结果， 两次抽取的卡片上的数字之积为负数的概率为； 在种所列种等可能结果中，数字之和为非负数的有种， 两次抽取的卡片上的数字之和为非负数的概率为．  【解析】画出树状图列出所有等可能结果，再找到数字之积为负数的结果数，根据概率公式可得； 根据中树状图列出数字之和为非负数的结果数，再根据概率公式求解可得． 此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 18.【答案】解：根据题意列表如下： 共有种等可能的情况数； 共有种等可能的情况数，其中七年级年级组、八年级年级组选择的研学基地互不相同的有种， 该校七年级年级组、八年级年级组选择的研学基地互不相同的概率．  【解析】根据题意列出图表得出所有等可能的情况数即可； 根据概率公式进行求解即可． 此题考查了列表法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 19.【答案】解：根据题意画图如下： 共有种等情况数，其中模出的两张牌既是轴对称图形又是中心对称图形的有种， 则模出的两张牌既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是．  【解析】根据题意画出树状图得出所有等情况数和模出的两张牌既是轴对称图形又是中心对称图形的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 此题考查的是树状图法求概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 20.【答案】解：； 画树形图得： 由树状图可知共有种可能结果，其中正确的有种， 所以小丽回答正确的概率．  【解析】解：对第二个字是选“重”还是选“穷”难以抉择， 若随机选择其中一个正确的概率， 故答案为：； 见答案． 【分析】 利用概率公式直接计算即可； 画出树状图得到所有可能的结果，再找到回答正确的数目即可求出小丽回答正确的概率． 此题考查了列表法或树状图法求概率．通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式求事件或的概率． 21.【答案】解：画树状图如下： 共有种等可能的情况数，其中两人抽取相同数字的有种， 则两人抽取相同数字的概率是； 因为共有种等可能的情况数，其中两人抽取的数字差的绝对值等于的有，，，共有种情况， 抽取的数字差的绝对值大于的，，，，，，，，，，，，，，，，共有种情况， 所以甲胜的概率是，乙胜的概率是， ， 这个游戏不公平．  【解析】观察已知树状图得出所有等可能的情况数，进而找出抽取数字相同的情况数，即可求出所求概率； 求出甲乙两人获胜的概率，比较即可作出判断． 本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 第14页，共14页 学科网（北京）股份有限公司 $$