22.1.3二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 暑期预习讲义 2025-2026学年人教版数学九年级上册

22.1.3二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质预习讲义 暑期预习讲义 思维导图 学习目标 1. 理解二次函数顶点式y=a(x-h)²+k的结构特点 2. 掌握通过顶点式确定抛物线的顶点坐标和对称轴的方法 3. 能根据系数a的符号判断抛物线的开口方向 4. 理解参数a、h、k对抛物线位置和形状的影响 5. 掌握用描点法绘制二次函数图象的基本步骤 6. 能利用顶点式分析解决简单的实际问题 知识点梳理 1. 标准形式：y=a(x-h)²+k（a≠0） · a决定开口方向和大小 · (h,k)为抛物线顶点坐标 · 直线x=h为对称轴 2. 图象特征： · 当a>0时，开口向上；a<0时，开口向下 · |a|越大，开口越窄；|a|越小，开口越宽 · 顶点(h,k)是最低点（a>0）或最高点（a<0） 3. 参数影响： · h值控制左右平移：h>0向右移，h<0向左移 · k值控制上下平移：k>0向上移，k<0向下移 · a值决定开口大小和方向 4. 图象绘制步骤： (1) 确定顶点坐标(h,k) (2) 画出对称轴x=h (3) 根据a值确定开口方向 (4) 选取对称点描点作图 5. 性质分析： · 对称性：关于直线x=h对称 · 单调性：a>0时，x<h递减，x>h递增；a<0时相反 · 最值：当x=h时，y取极值k 易错点提醒 1. 混淆顶点坐标(h,k)的符号：注意h前是减号，k前是加号 2. 忽视a≠0的条件，a=0时不是二次函数 3. 错误判断平移方向：h、k的符号与平移方向相反 4. 绘制图象时忽略对称性，导致图象不对称 5. 混淆顶点式和一般式的性质应用场景 6. 最值判断错误：未结合开口方向分析 7. 计算顶点坐标时符号错误，如将y=2(x+3)²-1的顶点写成(3,-1) 知识点小结 1. 核心要点：顶点式直接反映顶点坐标和对称轴 2. 关键参数：a决定开口特征，h、k决定位置平移 3. 图象特征：抛物线对称性、开口方向、顶点位置 4. 应用方法：根据解析式快速确定图象关键特征 5. 数学思想：数形结合思想、从特殊到一般的思想 6. 注意事项： · 严格区分不同形式的二次函数表达式 · 绘制图象必须体现对称性特征 · 实际问题中注意自变量取值范围 注：本节重点掌握顶点式函数的图象特征和性质分析，为后续学习一般式二次函数奠定基础。理解参数变化对图象的影响是难点，需要通过具体函数实例加强理解。 巩固练习 一、选择题 1．关于二次函数，下列说法中正确的是（　　） A．图象的开口向上 B．当时，随的增大而增大 C．图象的顶点坐标是 D．当时，有最小值是5 2．已知点，，在抛物线（为常数）上，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 3．二次函数图象的顶点所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．为使抛物线C1：y=3（x-1）2+2与抛物线C2：y=3（x+1）2-2重合，下列平移能实现的是（　　） A．把C1先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度 B．把C1先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度 C．把C1先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度 D．把C1先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度 5．将拋物线 向上平移 3 个单位后得到的拋物线的函数表达式是（ ） A． B． C． D． 6．将下图所示的抛物线先向右平移1个单位，再向上平移3个单位后，得到的抛物线的函数表达式是(　　) A．y=(x-1)2+1 B．y=(x+1)2+1 C．y=2(x-1)2+1 D．y=2(x+1)2+1 二、填空题 7．一个二次函数的图象的顶点坐标是，与轴的一个交点是，则这个二次函数的解析式为　 　. 8．把抛物线向上平移2个单位后得到抛物线，则的值是　 　． 9． 已知二次函数的图象开口向上，且经过点，写出一个符合题意的二次函数的表达式　 　． 10．已知二次函数，则该二次函数图象的顶点坐标是　 　． 11．已知函数 ，若使y＝k成立的x值恰好有三个，则k的值为　 　． 12．如图，已知正方形OBCD的三个顶点坐标分别为B(1，0)，C(1，1)， D(0，1). 若抛物线 与正方形OBCD的边共有3个公共点，则h的取值范围是　 　. 三、解答题 13．若二次函数y=ax2+4ax+c的最大值为4，且图象过点(-3，0)． （1）求该二次函数的表达式． （2）将已知二次函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，求平移后的图象对应的函数表达式． 14．如图所示，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，边OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，把正方形OABC的内部及边上横、纵坐标均为整数的点称为“好点”.P为抛物线的顶点. （1）当m=0时，求该拋物线下方（包括边界）的“好点”个数. （2）当m=3时，求该抛物线上的“好点”的坐标. 15．如图 ，若抛物线 的顶点 在抛物线 上，抛物线 的顶点 也在抛物线 上（点 与点 不重合），我们定义：这样的两条抛物 ， 互为“友好”抛物线，可见一条抛物线的“友好”抛物线可以有多条． （1）如图 ，已知抛物线 与 轴交于点 ，试求出点 关于该抛物线对称轴对称的点 的坐标； （2）请求出以点 为顶点的 的友好抛物线 的解析式，并指出 与 中 同时随 增大而增大的自变量的取值范围； （3）若抛物线 的任意一条友好抛物线的解析式为 ，请写出 与 的关系式，并说明理由． 16．已知抛物线 的图象与 轴有两个公共点． （1）求 的取值范围，写出当 取其范围内最大整数时抛物线的解析式； （2）将（1）中所求得的抛物线记为 ， ①求 的顶点 的坐标； ②若当 时， 的取值范围是 ，求 的值； （3）将 平移得到抛物线 ，使 的顶点 落在以原点为圆心半径为 的圆上，求点 与 两点间的距离最大时 的解析式，怎样平移 可以得到所求抛物线？ 参考答案 1．C 2．D 3．B 4．A 5．B 6．C 7． 8． 9．（答案不唯一） 10．（-2，-1） 11．3 12．0<h<1 13．（1）解：∵二次函数图象的对称轴是直线x==-2， ∴该二次函数图象的顶点坐标为(-2，4)． 设该二次函数的表达式为y=a(x+2)2+4． 把点(-3，0)代入， 得a(-3+2)2+4=0，解得a=-4， ∴该二次函数的表达式为y=-4(x+2)2+4． （2）解：根据题意该图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位，平移后的表达式变为：y=-4(x+2-1)2+4+3， 整理后可得：y=-4(x+1)2+7． 14．（1）当时，抛物线的函数表达式为，图象如图甲所示，“好点”的个数为5. （2）当时，抛物线的函数表达式为，图象如图乙所示，抛物线上的“好点”的坐标分别为. 15．（1）解：∵抛物线L3：y=2x2﹣8x+4，∴y=2（x﹣2）2﹣4，∴顶点为（2，－4），对称轴为x=2，设x=0，则y=4，∴C（0，4），∴点C关于该抛物线对称轴对称的对称点D的坐标为：（4，4）； （2）解：∵以点D（4，4）为顶点的L3的友好抛物线L4还过点（2，﹣4），∴L4的解析式为y=﹣2（x﹣4）2+4，由图象可知，当2≤x≤4时，抛物线L3与L4中y同时随x增大而增大； （3）解：a1与a2的关系式为a1+a2=0． 理由如下： ∵抛物线y=a1 （x﹣m）2+n的一条“友好”抛物线的解析式为y=a2（x﹣h）2+k，∴y=a2（x﹣h）2+k过点（m，n），且y=a1（x﹣m）2+n过点（h，k），即 k=a1（h﹣m）2+n…① n=a2（m﹣h）2+k…② 由①+②得：（a1+a2）（h﹣m）2=0． 又“友好”抛物线的顶点不重合，∴h≠m，∴a1+a2=0． 16．（1）解：由题意可得： ， 解得： 且 当 取最大整数时，其值为2，此时函数解析式为： （2）解：①由 ，顶点 的坐标为 . ②抛物线C1的对称轴为 ， ∴当 时， 随 的增大而增大． ∵当 时， 的取值范围是 ， ∴ ， ∴ 或 （舍去）． ∴ ． （3）解：由弦的性质，当线段 经过圆心 时， 距离最大，此时点 位于第二象限． 由 ， 可求得直线 的解析式为： ， 设 ，PQ在直线 上， ， 圆 半径为 ， ， 解之得 （舍去）或者 ，故 ． ∴ 的解析式为： ． 将抛物线记为 向左平移 再向上平移 即可得到抛物线记为 学科网（北京）股份有限公司 $$