培优04 二次函数与几何图形综合（4种题型11重难点突破）（专项训练）数学人教版九年级上册

培优04 二次函数与几何图形综合 （4种题型11重难点突破） 题型1 角度存在性问题 已知特殊角度求解 已知角度关系求解 第一步 读题、画图、理解题意 第二步 分析动点、定点，找不变特征 第三步 确定分类特征，进行分类讨论 第四步 已知特殊角度，构造一线三垂直、一线三等角、直角三角形，再利用直角三角形、相似三角形边的比例关系去计算求解. 将角度进行转化:利用锐角三角函数、相似三角形或等腰三角形的性质、外角的性质等转化为常见的类型，再利用直角三角形、相似三角形边的比例关系去计算求解. 重难点一 已知特殊角求解 1．（23-24九年级上·四川广元·期末）如图，抛物线与轴交于，B，与轴交于． (1)求抛物线的解析式． (2)点是直线上方抛物线上的一动点，轴，在抛物线上是否存在一点使的周长最大，如果存在，求出周长的最大值． (3)在抛物线上是否存在点，使，若存在，求出点的坐标，如果不存在请说明理由． 2．（22-23九年级上·浙江台州·阶段练习）如图，在直角坐标系中，二次函数的图像与轴相交于，两点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)在这条抛物线的对称轴右边的图像上有一点，使的面积等于6，求点的坐标； (3)对于（2）中的点，在此抛物线上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 3．（24-25九年级上·宁夏固原·阶段练习）已知抛物线交x轴于A，B两点，顶点是C． (1)求点A，B，C的坐标． (2)若点P在抛物线上，且，求点P的坐标． (3)在抛物线上是否存在点Q，使，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 重难点二 已知角度关系求解 4．（24-25九年级上·湖北恩施·期中）如图，抛物线交轴于，两点，与轴交于点，为抛物线上的一个动点，且点的横坐标为． (1)直接写出抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)若，当抛物线在点和点之间的部分（包括、两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为时，求的值； (3)在第一象限的抛物线上是否存在点，使，若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由． 5．（22-23九年级上·湖北黄石·期末）抛物线与坐标轴分别交于A，B，C三点，P是第一象限内抛物线上的一点．    (1)直接写出A，B，C三点的坐标为A______，B______，C______； (2)连接，若，求点P的坐标； (3)连接，是否存在点P，使得，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 6．（2024·山东济南·三模）如图，抛物线M过点，与x轴交于点A和点B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点D的坐标为． (1)求抛物线M的表达式和点A的坐标； (2)点F是线段上一动点，求周长的最小值； (3)平移抛物线M得到抛物线N，已知抛物线N过点D，顶点为P，其对称轴与抛物线M交于点Q，若，直接写出点P的坐标． 题型2 三角形存在性问题 【等腰三角形存在性问题】 几何法：1）“两圆一线”作出点； 2）利用勾股、相似、三角函数等求线段长； 3)分类讨论，求出点P的坐标. 代数法：1）表示出三个点坐标A、B、P； 2）由点坐标表示出三条线段：AB、AP、BP； 3）根据题意要求（看题目有没有指定腰），取①AB=AP、②AB=BP、③AP=BP； 4）列出方程求解． 【直角三角形存在性问题】 解题方法：如有两定点，在其他特定的“线”上求第三点，形成直角三角形时： 1）当动点在直线上运动时，常用的方法是① ，②三角形相似，③勾股定理； 2）当动点在曲线上运动时，情况分类如下， 第一当已知点处作直角的方法：① ，②三角形相似，③勾股定理； 第二是当动点处作直角的方法：寻找特殊角. 【等腰直角三角形存在性问题】确定等腰直角三角形后构造一线三垂直，对应上下两个三角形全等，得到对应线段相等的关系，进而设出点的坐标，根据线段相等列出等式建立方程求解参数. 重难点一 等腰三角形存在性问题（两动一定） 7．（24-25九年级上·海南·阶段练习）已知：如图，抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，点在点左侧． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线上是否存在一点，使，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由； (3)若点是轴上一个动点，求使为等腰三角形的点的坐标． 重难点二 等腰三角形存在性问题（一定两动） 8．（23-24九年级上·广东东莞·期末）如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)若点D是抛物线上一点，当的面积为10时，求出点D的坐标； (3)点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，是否存在以为腰的等腰直角，如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由． 9．（24-25九年级上·青海西宁·阶段练习）如图，抛物线的顶点坐标是，与轴交于点，点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)将抛物线沿着射线方向平移个单位长度，平移后新抛物线的顶点是点，求的面积； (3)点是抛物线对称轴上的一点，点是对称轴左侧抛物线上的一点，是否存在以为腰的等腰直角，如果存在，直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 10．（2024·河南周口·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y 轴交于，且二次函数的最大值为4． (1)求抛物线的解析式和顶点D的坐标； (2)P是抛物线上一动点，连接，以点P为直角顶点，构造等腰，是否存在点P，使点Q恰好在直线上?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 重难点三 直角三角形存在性问题 11．（24-25九年级上·四川自贡·期中）二次函数的图象与轴分别交于点，与轴交于点，为抛物线上的两点． (1)求二次函数的表达式； (2)当两点关于抛物线对称轴对称，是以点为直角顶点的直角三角形时，求点的坐标； (3)若点P在直线的下方，当点P到直线距离最大时，试求点P的坐标，并且求出点P到直线的距离． 12．（24-25九年级上·广东东莞·阶段练习）如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过两点，与x轴交于点B． (1)若直线经过B，C两点，求直线解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最小，求点M的坐标； (3)设P为对称轴上的一个动点，直接写出为直角三角形的点P的坐标． 重难点四 等腰直角三角形存在性问题 13．（24-25九年级上·吉林白城·阶段练习）如图，已知抛物线经过点、，过点作轴，交抛物线于点，的平分线交线段于点，点是抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的解析式； (2)若动点在线段下方的地物线上连接、，当的面积最大时，求点的坐标； (3)将抛物线向上平移个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在内（包括的边界），求的取值范围； (4)若是抛物线的对称轴上的一点，在对称轴右侧的抛物线上是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 14．（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，点抛物线上一动点．      (1)求的面积； (2)当n随m的增大而减小时，直接写出m的取值范围； (3)当n随m的增大而增大时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q．使得是以O为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由； (4)作点P关于x轴的对称点，设为点，过点P作轴，垂足为D，以PD，为邻边构造矩形，当抛物线与矩形的边有两个公共点时，直接写出m的取值范围． 15．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，点是抛物线上的动点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，当时，求的面积； (3)当时，求点的坐标； (4)如图2，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 重难点五 全等三角形存在性问题 16．（23-24九年级上·河南周口·期中）如图，抛物线的顶点坐标为，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴为直线l，点P是抛物线上一点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点，要使以P、D、E为顶点的三角形与全等，求满足条件的点P和点E的坐标． 17．（2024·上海·模拟预测）如图，抛物线与轴交于，两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点． (1)求抛物线解析式及点D坐标； (2)点N是y轴负半轴上的一点且，点Q在对称轴右侧的抛物线上运动，连接，与抛物线的对称轴交于点M，连接，当平分时，求点Q坐标； (3)如图，直线交抛物线的对称轴于E，P是坐标平面内一点，当与全等时，请直接写出点P坐标． 18．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)已知点在抛物线上，当时，直接写出的取值范围； (3)抛物线的对称轴与轴交于点，点坐标为，试问在该抛物线上是否存在点，使与全等？若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型3 特殊四边形存在性问题 类型一三定一动 类型二：两定一动 【总结】平行四边形存在性问题经常呈现为:一个动点在抛物线上，另一个动点在x轴(y轴)或对称轴或某一定直线上.设出抛物线上的动点坐标，另一个动点若在x轴上，纵坐标为0，则用平行四边形顶点纵坐标公式;若在y轴上，坐标为0，则用平行四边形顶点横坐标公式.动点哪个坐标已知就用与该坐标有关的公式. 另外，把在定直线上的动点看成一个定点，这样就转化为三定一动了，分别以三个定点构成的三条线段为对角线分类，分三种情况讨论.这种题型，关键是合理有序分类:无论是三定一动，还是两定两动，统统把抛物线上的动点作为第四个动点，其余三个作为定点，分别以这三个定点构成的三条线段为对角线分类，分三种情况讨论，然后运用平行四边形顶点坐标公式转化为方程(组).这种解法，不必画出平行四边形草图，只要合理分类，有序组合，从对角线入手不会漏解，条理清楚，而且适用范围广.其本质是用代数的方法解决几何问题，体现的是分类讨论思想、数形结合思想. 重难点一 平行四边形存在性问题 19．（24-25九年级上·全国·假期作业）已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求，的值； (2)直线，且直线与抛物线只有一个交点． ①求直线的表达式； ②设直线与抛物线的交点为，在平面内是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若不存在，说明理由；若存在，求出点的坐标． 20．（24-25九年级上·广东湛江·期中）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的表达式． (2)点是抛物线上位于线段下方的一个动点，连接，，求面积最大时点的坐标： (3)在平面内是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由． 重难点二 矩形存在性问题 21．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左边），点、的坐标分别是、，与轴交于点，点的坐标是，点和点关于抛物线的对称轴对称． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，直线上方的抛物线上有一点，过点作于点，求线段的最大值； (3)点是抛物线的顶点，点是轴上一点，点是坐标平面内一点，以，，，为顶点的四边形是以为边的矩形，求点和的坐标． 22．（24-25九年级上·广东汕头·期中）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是抛物线对称轴上一点，点是平面内任意一点，当以、、、为顶点的四边形是矩形时，求点的坐标； (3)过点的直线交直线于点，连接，当直线与直线的夹角等于的2倍时，请直接写出点的坐标． 重难点三 菱形存在性问题 23．（24-25九年级上·广东茂名·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，点，与轴交于点，点的坐标为，点是抛物线上一个动点． (1)求二次函数解析式； (2)若点在第一象限运动，过点作轴于点，与线段交于点，当点运动到什么位置时，线段的值最大？请求出点的坐标和的最大值； (3)连接，，并把沿翻折，那么是否存在点，使四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 24．（24-25九年级上·江西南昌·期末）如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点，连接，点为线段上一个动点（不与点C，B重合），过点P作 轴交抛物线于点Q． (1)求抛物线的表达式和对称轴； (2)设P的横坐标为t，请用含t的式子表示线段的长，并求出线段的最大值； (3)已知点M是抛物线对称轴上的一个点，点N是平面直角坐标系内一点，当线段取得最大值时，是否存在这样的点M，N，使得四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 25．（24-25九年级上·四川自贡·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称． (1)求该抛物线的解析式； (2)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线于点D ①当三角形面积最大时，请求出点C的坐标和三角形面积的最大值． ②在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由． 重难点四 正方形存在性问题 26．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、C两点，其中，，与y轴交于点B． (1)求抛物线的解析式； (2)若点D是第一象限内抛物线上的一个动点，连结，过点D作于点E，延长与直线交于点F，求的最大值及此时点D的坐标； (3)若将原抛物线绕原点O旋转得到新的抛物线，P是新抛物线上的一个动点，H是直线上的一个动点，在平面直角坐标系上，是否存在一点K，使得四边形为正方形？请直接写出满足条件的所有K的坐标． 27．（2024九年级上·全国·专题练习）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线C：与x轴相交于A，B两点，顶点为D，其中，，设点是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转，得到新的抛物线． (1)求抛物线C的函数解析式； (2)若抛物线与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，求m的取值范围； (3)如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线上的对应点，设M是C上的动点，N是上的动点，试探究四边形能否成为正方形？若能，求出m的值；若不能，请说明理由． 题型4 其它存在性问题 28．（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）如图1，已知抛物线经过三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求周长的最小值； (3)如图2，若E是线段上的一个动点（E与A，D不重合），过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，四边形的面积为S． ①求S与m的函数关系式； ②S是否存在最大值，若存在，求出最大值及此时点E的坐标，若不存在，请说明理由． 29．（24-25九年级上·天津滨海新·期中）如图，抛物线的图象与轴交于两点，与轴交于点，顶点为． (1)求此抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标并计算的周长；若不存在，请说明理由； (3)设点在第四象限，且在抛物线上，当的面积最大，求此时点的坐标．（直接写出结果） 30．（24-25九年级上·吉林·期末）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点、，与y轴交于点C．点P是抛物线上一点，其横坐标为，且点P不与点C重合． (1)写出点C的坐标为______；线段的长为______． (2)写出的面积______． (3)抛物线上存在点P，使的面积等于的面积，利用上面的计算结果，求点P的坐标． 31．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）已知二次函数的图象过点． (1)求该二次函数表达式； (2)如图，若该二次函数的图象与x轴有两个公共点A，B，并与动直线交第一象限于点P，连接，，，，其中交y轴于点D，交于点E．设的面积为，的面积为． ①当时，求点P的坐标； ②探究在直线l的运动过程中，是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由． 32．（24-25九年级上·广东广州·期中）已知抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)若点P在抛物线的对称轴上，点Q在x轴上，是否存在以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由； (3)将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得到一个新的抛物线，问在y轴正半轴上是否存在一点F，使得当经过点F的任意一条直线与新抛物线交于S，T两点时，总有为定值？若存在，求出点F坐标及定值，若不存在，请说明理由． 33．（24-25九年级上·河北保定·阶段练习）如图，抛物线． (1)试说明：无论为何值，抛物线必经过某个定点． (2)若抛物线与轴的负半轴交于点，与轴的正半轴交于点，与轴交于点，且满足． ①求的值． ②抛物线上是否存在点P，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 34．（23-24九年级下·浙江·自主招生）如图，已知双曲线，抛物线和直线．设直线与双曲线的两个交点为，与抛物线的两个交点为． (1)若线段与线段的中点重合，求证：； (2)是否存在直线，使得为线段的三等分点？若存在，求出直线的解析式，若不存在，请说明理由． 35．（24-25九年级上·云南·期末）已知二次函数的图象与x轴分别交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，连接． (1)求A、B两点的坐标； (2)点D是y轴上任意一点，连接，使得，在抛物线的对称轴上是否存在一点E，使得最小，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由； (3)已知和是抛物线上任意两点，当时，求代数式的值． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 培优04 二次函数与几何图形综合 （4种题型11重难点突破） 题型1 角度存在性问题 已知特殊角度求解 已知角度关系求解 第一步 读题、画图、理解题意 第二步 分析动点、定点，找不变特征 第三步 确定分类特征，进行分类讨论 第四步 已知特殊角度，构造一线三垂直、一线三等角、直角三角形，再利用直角三角形、相似三角形边的比例关系去计算求解. 将角度进行转化:利用锐角三角函数、相似三角形或等腰三角形的性质、外角的性质等转化为常见的类型，再利用直角三角形、相似三角形边的比例关系去计算求解. 重难点一 已知特殊角求解 1．（23-24九年级上·四川广元·期末）如图，抛物线与轴交于，B，与轴交于． (1)求抛物线的解析式． (2)点是直线上方抛物线上的一动点，轴，在抛物线上是否存在一点使的周长最大，如果存在，求出周长的最大值． (3)在抛物线上是否存在点，使，若存在，求出点的坐标，如果不存在请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在，； (3)存在，或 【分析】本题考查待定系数法，二次函数的图象及性质，最短路径，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理． （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）根据轴，可得，从而得到，进而得到，可得当最大时，的周长最大，设D点坐标为，求出直线的解析式，可得F点的坐标为，从而得到，即可求解； （3）分两种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 将代入抛物线得∶，解得：， ∴抛物线的解析式为∶； （2）解：当时，， 解得：， ∴B点的坐标为， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当最大时，的周长最大， 设D点坐标为， 设直线的解析式为， 代入B点的坐标，得∶，解得， ∴直线的解析式为∶， ∴F点的坐标为 ∴ ∴当时，取最大值为 ∴周长的最大值为， （3）解：根据题意得：， ①以为边在x轴下方作等腰直角三角形，点Q为直角顶点，此时点Q在的垂直平分线上，且点Q到x轴的距离等于长度的一半， ∴， 以点Q为圆心，为半径作，与抛物线交于M点，点M即为所求． 设点，根据勾股定理有∶ ， 整理方程，得∶ 即 设，则原方程为∶， 解得，， ∴当（与A，B重合，舍去）   当 ∴点M的坐标为或； ②以为边在x轴上方作等腰直角三角形，点为直角顶点，同理点坐标为， 以点为圆心，为半径作，与抛物线交于M点，点M即为所求． 设点，根据勾股定理有∶ 整理方程，得∶ 设，则原方程为∶，解得， ∴当（与A，B重合，舍去）   当 综上所述∶点M的坐标为或． 2．（22-23九年级上·浙江台州·阶段练习）如图，在直角坐标系中，二次函数的图像与轴相交于，两点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)在这条抛物线的对称轴右边的图像上有一点，使的面积等于6，求点的坐标； (3)对于（2）中的点，在此抛物线上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）将原点坐标代入抛物线中即可求出的值，也就得出了抛物线的解析式． （2）根据（1）得出的抛物线的解析式可得出点的坐标，也就求出了的长，根据的面积可求出点纵坐标的绝对值，然后将符合题意的点纵坐标代入抛物线的解析式中即可求出点的坐标，然后根据点在抛物线对称轴的右边来判断得出的点是否符合要求即可． （3）根据点坐标可求出直线的解析式，由于，由此可求出点的坐标特点，代入二次函数解析式可得出点的坐标．求的面积时，可先求出，的长度即可求出的面积． 【详解】（1）解：函数的图像与轴相交于， ， ， ， （2）解：假设存在点，过点作轴于点， 的面积等于6， ， 当， ， 解得：或3， ， ， 即， 解得：或（舍去）． 又顶点坐标为： 1.5，． ， 轴下方不存在点， 点的坐标为：； （3）解：点的坐标为：， ，， 当， ， 设点横坐标为：，则纵坐标为：， 即， 解得 或（舍）， 在抛物线上仅存在一点 ． 【点睛】本题考查了二次函数解析式的确定、函数图像交点、图像面积求法等知识．利用已知进行分类讨论得出符合要求点的坐标是解题关键． 3．（24-25九年级上·宁夏固原·阶段练习）已知抛物线交x轴于A，B两点，顶点是C． (1)求点A，B，C的坐标． (2)若点P在抛物线上，且，求点P的坐标． (3)在抛物线上是否存在点Q，使，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或或或 (3)或 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，直角三角形的性质，两点间距离公式，熟练掌握抛物线的性质，直角三角形的性质，距离公式是解题的关键． （1）根据得顶点坐标为，令得，解方程可确定点A，B的坐标． （2）根据题意，得到，继而得到，设，得到，解方程即可． （3）设在抛物线上存在点Q，使，且，根据题意，，得，结合，得到根据两点间距离公式得，解方程即可． 【详解】（1）解：由得顶点坐标为， 令得， 解得， 故． 综上所述，，． （2）解：∵，，， ∴，， ∴ ∴， ∵点P在抛物线上， 设， ∵， ∴， ∴， ∴或 解得，， 故点P的坐标为或或或． （3）解：设在抛物线上存在点Q，使，且，根据题意，，得， ∵， ∴， 根据两点间距离公式得， ，（舍去）， 故点Q的坐标为或． 重难点二 已知角度关系求解 4．（24-25九年级上·湖北恩施·期中）如图，抛物线交轴于，两点，与轴交于点，为抛物线上的一个动点，且点的横坐标为． (1)直接写出抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)若，当抛物线在点和点之间的部分（包括、两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为时，求的值； (3)在第一象限的抛物线上是否存在点，使，若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，顶点D坐标为 (2)m＝或 (3)存在， 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）首先求出，然后表示出P的坐标为，然后分三种情况：①当点P在x轴上方时；②当点P在x轴下方时；③当点P在x轴上时，然后根据题意分别列方程求解即可； （3）如图所示，在x轴的正半轴上取点，连接，过点B作交抛物线于点P，根据题意得到，然后求出直线的解析式为，直线的解析式为，然后和抛物线联立求解即可． 【详解】（1）将点代入抛物线中 得 解得： ∴抛物线解析式为 ∴顶点D坐标为； （2）令 解得， ∴ ∵P的横坐标为且 ∴ ∴将代入 ∴点P一定在对称轴右侧，且P的坐标为； ①如右图所示，当点P在x轴上方时， 则，即 此时：， 解得：，符合题意； ②如右图所示，当点P在x轴下方时， 则，即 此时： 解得：，（舍去） ③当点P在x轴上时， 则，即 此时：（或），解得：（舍去） 综上所述，或； （3）存在点P，使，点P的坐标为 理由如下： 如图所示，在x轴的正半轴上取点，连接，过点B作交抛物线于点P ∵，， ∴ ∵， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ 设直线的解析式为，过， ∴直线的解析式为 ∵ ∴设直线的解析式为 将代入得 解得： ∴直线的解析式为 由 解得：，（舍去） ∴． 【点睛】本题考查了二次函数解析式，一次函数解析式，二次函数与角度综合等知识．熟练掌握二次函数解析式，一次函数解析式是解题的关键． 5．（22-23九年级上·湖北黄石·期末）抛物线与坐标轴分别交于A，B，C三点，P是第一象限内抛物线上的一点．    (1)直接写出A，B，C三点的坐标为A______，B______，C______； (2)连接，若，求点P的坐标； (3)连接，是否存在点P，使得，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)点P的坐标为 (3)点P的坐标为 【分析】（1）令，则，令，则，所以或，由此可得结论； （2）连接，设，则，列出方程求出m的值，进而可以解决问题； （3）在的延长线上截取，连接，过点B作轴，交于点E，连接，求出直线的解析式为：，直线的解析式为：，联立方程组即可解决问题． 【详解】（1）解：令，则， 令，则， 解得：或， ∴． 故答案为：； （2）解：如图，连接，    设， P是第一象限内抛物线上的一点， ， 则， ， ， ， ， ，即， 解得：或（舍去）， 当时，， ∴点P的坐标为； （3）解：存在点P使得，理由如下： 如图2，在的延长线上截取，连接，过点B作轴，交于点E，连接，    在中， ， ， ， ， 轴， ， ， ． 设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， 令，则， ， ， 设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， 联立：， 解得：（舍去）或， ∴点P的坐标为． 【点睛】此题是二次函数综合题，考查待定系数法求一次函数，面积问题，角度的存在性等相关内容，解本题（3）的关键是正确画出辅助线，确定点P的坐标． 6．（2024·山东济南·三模）如图，抛物线M过点，与x轴交于点A和点B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点D的坐标为． (1)求抛物线M的表达式和点A的坐标； (2)点F是线段上一动点，求周长的最小值； (3)平移抛物线M得到抛物线N，已知抛物线N过点D，顶点为P，其对称轴与抛物线M交于点Q，若，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)， (2)最小值为 (3)P的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求出表达式然后求出点A的坐标即可； （2）首先得到直线的表达式为：，作E关于的对称点，则，设垂足为G，则点G为E与的中点，勾股定理求出，，进而求解即可； （3）抛物线N由抛物线M平移得到，求出抛物线N的表达式为，得到顶点P的坐标为，，作于H，则，在中，，得到，进而列方程求解即可． 【详解】（1）∵顶点D的坐标为， 设二次函数表达式为 将点代入得 ∴抛物线M的表达式为： 当时，或1， ∵点A在点B左侧， ∴点A的坐标为； （2）当时，， ∴点C的坐标为 ∴设直线的表达式为： 故解得 ∴， ， ， ， 作E关于的对称点，则，设垂足为G，则点G为E与的中点 ， ∴所在直线垂直于y轴， 关于的对称点， ∴点的坐标为， ∴点G的横坐标为 将代入得， ∴点G的坐标为， ∵，， ∴， ∴ 即周长的最小值为； （3）∵抛物线N由抛物线M平移得到，设抛物线N的表达式为 将点代入得：， ∴抛物线N的表达式为 ∴顶点P的坐标为， 将代入，， ∴， 作于H，则， ∵ ∴点H为点P和点Q的中点， ∴ ∴ 又∵ ∴ 在中， ∴， ∴ 或 ∴解第一个方程可得（舍）， 解第二个方程可得（舍）， 将代入P点坐标， P的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，涉及到的知识点有二次函数图像上点的坐标特征、二次函数的性质、待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，并灵活运用分类讨论及数形结合的思想分析解决问题是解题的关键． 题型2 三角形存在性问题 【等腰三角形存在性问题】 几何法：1）“两圆一线”作出点； 2）利用勾股、相似、三角函数等求线段长； 3)分类讨论，求出点P的坐标. 代数法：1）表示出三个点坐标A、B、P； 2）由点坐标表示出三条线段：AB、AP、BP； 3）根据题意要求（看题目有没有指定腰），取①AB=AP、②AB=BP、③AP=BP； 4）列出方程求解． 【直角三角形存在性问题】 解题方法：如有两定点，在其他特定的“线”上求第三点，形成直角三角形时： 1）当动点在直线上运动时，常用的方法是① ，②三角形相似，③勾股定理； 2）当动点在曲线上运动时，情况分类如下， 第一当已知点处作直角的方法：① ，②三角形相似，③勾股定理； 第二是当动点处作直角的方法：寻找特殊角. 【等腰直角三角形存在性问题】确定等腰直角三角形后构造一线三垂直，对应上下两个三角形全等，得到对应线段相等的关系，进而设出点的坐标，根据线段相等列出等式建立方程求解参数. 重难点一 等腰三角形存在性问题（两动一定） 7．（24-25九年级上·海南·阶段练习）已知：如图，抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，点在点左侧． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线上是否存在一点，使，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由； (3)若点是轴上一个动点，求使为等腰三角形的点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与图形面积，二次函数与等腰三角形等知识． （1）将点，代入抛物线中，求出待定系数的值，即可得出抛物线的解析式； （2）设，则，根据，可得，解方程即可； （3）设，表示出三边，再根据等腰三角形分情况讨论，列方程求解即可． 【详解】（1）解：把，代入可得 解得， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：令可得， 解得 ∴， 设， ∴， ∵，， ∴， ∴①或②， 解方程①得，方程②无解 ∴； （3）解：∵点是轴上一个动点， ∴设， ∵，， ∴，，， ∵为等腰三角形， ∴当时，，则，解得，此时或（舍去）； 当时，，则，解得，此时或； 当时，，则，解得，此时； 综上所述，存在使为等腰三角形，或或或． 重难点二 等腰三角形存在性问题（一定两动） 8．（23-24九年级上·广东东莞·期末）如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)若点D是抛物线上一点，当的面积为10时，求出点D的坐标； (3)点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，是否存在以为腰的等腰直角，如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，或或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法进行求解即可； （2）设点D的坐标为，根据三角形的面积公式得到，求出，再代入解析式，求出的值，即可得出结果； （3）分和两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：将点，点代入， ∴， 解得， ∴． （2）设点D的坐标为， ∵的面积为10， ∴，即， 解得． ①当时，， 解得：，， ∴D或． ②当时，， 此方程无实数根， 综上所述，点D的坐标为或． （3）存在， ①当时，， ∴M点与A点重合， ∴； ②当时，， 如图1，当P点在M点上方时，过点B作x轴的垂线，过点P作交于点H，过点M作交于点G， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 设，则， ∴，解得或． ∴或． ∵M点在对称轴的左侧， ∴M点坐标为． 如图2，当P点在M点下方时， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 设，则， ∴，解得（舍）或， ∴． 综上所述：M点的坐标为或或． 9．（24-25九年级上·青海西宁·阶段练习）如图，抛物线的顶点坐标是，与轴交于点，点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)将抛物线沿着射线方向平移个单位长度，平移后新抛物线的顶点是点，求的面积； (3)点是抛物线对称轴上的一点，点是对称轴左侧抛物线上的一点，是否存在以为腰的等腰直角，如果存在，直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)2 (3)存在，或或 【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式，图象的平移，三角形的面积，勾股定理，全等三角形的判定和性质，以及构造等腰直角三角形求点的坐标等知识点，解题的关键是熟练掌握二次函数图象的性质和等腰直角三角形的性质． （1）利用待定系数法即可求出抛物线解析式； （2）利用抛物线的解析式求出与坐标轴的交点坐标，根据交点到原点的长度和平移的性质可以转化成左右上下平移，得出顶点坐标进而可求三角形的面积； （3）分情况进行讨论，当、分别为直角的时候，构造直角三角形，利用三角形全等得出对应边相等，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标是 ∴假设抛物线的解析式为， 将代入得，， 解得，， ∴抛物线的解析式为； （2）解：抛物线的解析式为，令，则， 解得， 即, , 在中，利用勾股定理得，, ∴抛物线沿着射线方向平移个单位长度，可以看作向上平移3个单位长度，再向右平移3个单位长度， 此时，顶点的坐标为， ∴ ∴的面积是2； （3）解：存在 ①如图所示，当点与点重合时，存在以为腰的等腰直角， 根据二次函数图象的性质，， 当时， 是等腰直角三角形， 所以，; ②当时， 当点在点上方时，过点作轴的垂线，过点作于点，过点作于点， ， ， ， ， ，， ， ，， 设，则， ， 解得：，， 点的坐标为或， 点在对称轴的左侧， 点的坐标为； ③如图，当点在点下方时，，过点作轴，过点作于，过点作于， ， ， ， ， ，， ， ，， 设，则， ， 解得：，， 点的坐标为或， 点在对称轴的左侧， 点的坐标为； 综上可得，点的坐标为或或． 10．（2024·河南周口·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y 轴交于，且二次函数的最大值为4． (1)求抛物线的解析式和顶点D的坐标； (2)P是抛物线上一动点，连接，以点P为直角顶点，构造等腰，是否存在点P，使点Q恰好在直线上?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为，顶点D的坐标为； (2)存在，点P的坐标为或． 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求函数解析式，等腰直角三角形的性质，全等三角形性质和判定，解题的关键在于熟练掌握相关性质并灵活运用． （1）利用待定系数法求解即可； （2）过点P作轴的平行线，分别过点B和作的垂线，垂足分别为，证明，设，求得，根据题意列式求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，二次函数的最大值为4， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为，， ∴顶点D的坐标为； （2）解：存在 过点P作轴的平行线，分别过点B和作的垂线，垂足分别为，如图， 由题意得，， ∴， ∴， ∴，， 令， ∴， 解得或， ∴， 设， ∴，， ∴， ∵点Q恰好在直线上， ∴， 解得， ∴点P的坐标为或． 重难点三 直角三角形存在性问题 11．（24-25九年级上·四川自贡·期中）二次函数的图象与轴分别交于点，与轴交于点，为抛物线上的两点． (1)求二次函数的表达式； (2)当两点关于抛物线对称轴对称，是以点为直角顶点的直角三角形时，求点的坐标； (3)若点P在直线的下方，当点P到直线距离最大时，试求点P的坐标，并且求出点P到直线的距离． 【答案】(1) (2) (3)；点P到直线的距离为． 【分析】本题考查了二次函数的综合题，待定系数法求函数解析式，勾股定理，已知两点坐标表示两点距离，二次函数最值，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． （1）用待定系数法求解即可； （2）可求，设，由，得，列式计算，解得，（舍去），故； （3）先求得直线的解析式，作轴交于K点，再设，则，利用得到关于的二次函数，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：把，代入得， ，解得， ∴二次函数的表达式为； （2）解：如图： 由得抛物线对称轴为直线， ∵两点关于抛物线对轴对称，， ∴， 设， ∵， ∴， ∴ ， 整理得，， 解得，（舍去）， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴：， 作轴交于K点， 设，则， ∴ ， ∴当时，最大为， ， ，且， 解得， ∴点P到直线的距离为． 12．（24-25九年级上·广东东莞·阶段练习）如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过两点，与x轴交于点B． (1)若直线经过B，C两点，求直线解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最小，求点M的坐标； (3)设P为对称轴上的一个动点，直接写出为直角三角形的点P的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)点P的坐标为或或或 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、直角三角形的性质、点的对称性等； （1）用待定系数法即可求解； （2）设直线与对称轴的交点为M，根据轴对称性质可知，由此可知，即最小时的值最小，进而求解； （3）分点B为直角顶点、点C为直角顶点、P为直角顶点三种情况，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过， ∴， 设抛物线的表达式为， 将代入上式得：，解得， ∴抛物线的解析式为：； 把，代入得： ，解得， ∴直线的解析式为； （2）设直线与对称轴的交点为M，则此时的值最小， 把代入直线得，故， 即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为； （3）设， ∵，， ∴， 若点B为直角顶点时，则， 即， 解得； 若点C为直角顶点时，则， 即 解得， 若P为直角顶点时，则， ∴， 解得， 综上，点P的坐标为或或或． 重难点四 等腰直角三角形存在性问题 13．（24-25九年级上·吉林白城·阶段练习）如图，已知抛物线经过点、，过点作轴，交抛物线于点，的平分线交线段于点，点是抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的解析式； (2)若动点在线段下方的地物线上连接、，当的面积最大时，求点的坐标； (3)将抛物线向上平移个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在内（包括的边界），求的取值范围； (4)若是抛物线的对称轴上的一点，在对称轴右侧的抛物线上是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) (4)存在，或 【分析】对于（1），将两个点的坐标代入关系式得出方程组，求出解可得答案； 对于（2），作轴，设点，根据等腰直角三角形的性质可得点E的坐标， 进而求出直线的关系式，再表示点G的坐标，可表示，然后根据 得出二次函数关系式，讨论最大值时点的坐标即可； 对于（3），先求出抛物线的对称轴是，顶点坐标是，可得抛物线向上平移h个单位长度后顶点坐标为，再设直线交于点M，交于点N，并得出两个点的坐标，然后结合点Q在内得出不等式组，求出解集即可； 对于（4），分两种情况讨论，根据全等三角形的对应边相等得出方程，求出解即可得出答案． 【详解】（1）∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴抛物线的关系式为； （2）如图，过点P作轴交于点G， 设点， ∵平分，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 设直线的关系式为， 将点代入，得， 解得， ∴直线的关系式为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的面积最大， 此时， ∴； （3）由抛物线， ∴抛物线的对称轴是，顶点坐标是． 抛物线向上平移h个单位长度后顶点坐标为． 设直线交于点M，交于点N，则． 如图， ∵直线的关系式为， ∴． ∵点Q在内， ∴， 解得； （4）存在．设，分两种情况： 当点P在对称轴右侧，且在x轴下方时， 如图，过点P作，过点F作于点M， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 即, 解得， ∵，不符合题意，舍去， ∴， 则， ∴； 当点P在对称轴右侧，且在x轴上方时，如图， 同理可得， 解得（舍）， ∴点P的坐标是． 综上所述，点P的坐标是或． 【点睛】这是一道关于二次函数的综合问题，考查了待定系数法求二次函数的关系式，二次函数与一元二次方程，等腰直角三角形的性质和判定，二次函数的顶点式及最大值，二次函数的平移等，理解数形结合思想是解题的关键． 14．（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，点抛物线上一动点．      (1)求的面积； (2)当n随m的增大而减小时，直接写出m的取值范围； (3)当n随m的增大而增大时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q．使得是以O为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由； (4)作点P关于x轴的对称点，设为点，过点P作轴，垂足为D，以PD，为邻边构造矩形，当抛物线与矩形的边有两个公共点时，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)6 (2) (3)存在，或 (4)，，，， 【分析】（1）先求出点A，B，C的坐标，然后根据计算即可； （2）配方得到顶点式，即可得到对称轴，然后利用二次函数的增减性解题即可； （3）过点作轴于点，点作轴于点，证明，利用三角形的全等的性质解题即可； （4）分段画出图形，利用数形结合进行解题即可． 【详解】（1）解：令，则，解得，， ∴点A，B的坐标为，， 当时，， ∴点C的坐标为， ∴； （2）， ∴当时，n随m的增大而减小时； （3）由（2）知当时，随的增大而增大，                              ∴点P在对称轴右侧， 过点作轴于点，点作轴于点，    则， ∴， ∴， 又∵， ∴， ， 当时，即 解得： (舍去)， 当时，即 ，    解得： (舍去)， ∴点的坐标为或； （4）当时，解得， 当时， 如图，抛物线与矩形的边有两个公共点，    当时， 如图，矩形除顶点P外其余点都在抛物线内，即有一个公共点；    当时， 如图，抛物线与矩形的边有两个公共点；    当时， 如图，抛物线与矩形的边有三个公共点；    当时， 如图，抛物线与矩形的边有两个公共点；    当时， 如图，抛物线与矩形的边有一个公共点；   ，点E在抛物线与y轴交点处，解得，（舍去）， ∴当时， 如图，抛物线与矩形的边有两个公共点；    令，则抛物线的顶点在上，这时，（舍去）， ∴当时， 如图，抛物线与矩形的边有三个公共点；    当时， 如图，抛物线与矩形的边有两个公共点；    综上所述，当抛物线与矩形的边有两个公共点时，出m的取值范围为，，，，． 【点睛】本题考查二次函数的综合，掌握二次函数的图像和性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质是解题的关键． 15．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，点是抛物线上的动点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，当时，求的面积； (3)当时，求点的坐标； (4)如图2，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)3 (3)或 (4)的值是或 【分析】（1）把，点代入二次函数中列方程组可解答； （2）先计算点的坐标，利用待定系数法可得的解析式，最后利用面积和可得的面积； （3）分两种情况：当点P位于直线下方时，先计算，根据含角的直角三角形的性质和勾股定理可得：，则，从而根据直线和抛物线的交点坐标可解答，当点P位于直线上方时，作轴于E，于F，求出即可； （4）作辅助线构建全等三角形，过点作轴，交轴于，交对称轴于点，证明，得，列方程可解答． 【详解】（1）解：把，点代入二次函数中得： ， 解得：， ∴抛物线的表达式为：； （2）解：∵点是抛物线上的动点，， ∴， ∴， 设的解析式为：，与轴交于点， 把和代入得：， ∴， ∴的解析式为：， 当时，，解得：， ∴， ∴的面积； （3）解：如图1，当点位于直线下方时， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可求得的解析式为：， ∴， 解得：（舍），， ∴； 当点位于直线上方时，作轴于，于， 则，四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵，， 解得：或（不符合题意，舍去）， 此时，即． 综上，或． （4）解：如图2，过点作轴，交轴于，交对称轴于点， 由题意得：， ∵， ∴抛物线对称轴是直线， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（如图3），； 如图4，过点作轴，交轴于，交对称轴于点， 同理可得：， ∴， ∴， 解得：，， 综上，的值是或． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． 重难点五 全等三角形存在性问题 16．（23-24九年级上·河南周口·期中）如图，抛物线的顶点坐标为，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴为直线l，点P是抛物线上一点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点，要使以P、D、E为顶点的三角形与全等，求满足条件的点P和点E的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或，点的坐标为或 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数综合，全等三角形的性质等等： （1）根据题意把顶点代入到解析式的顶点式中，即可求解； （2）设，则，根据全等三角形的性质得到，求出的值，当 时，点位于直线的右侧，此时， ，求出点的坐标为，即可求解； 当 时，点位于直线的左侧，同理可解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为 ， ∴设抛物线的表达式为：； （2）解：在中，当 时，， ∴， 当时，即，解得：， 俗， ， 设，则， ∵和全等，且， ∴， ， 或． ①当 时，点位于直线的右侧， 此时，， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴对应点的坐标为或． ②当 时，点位于直线的左侧， 此时，， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴对应点的坐标为或． 综上所述，点的坐标为或，点的坐标为或． 17．（2024·上海·模拟预测）如图，抛物线与轴交于，两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点． (1)求抛物线解析式及点D坐标； (2)点N是y轴负半轴上的一点且，点Q在对称轴右侧的抛物线上运动，连接，与抛物线的对称轴交于点M，连接，当平分时，求点Q坐标； (3)如图，直线交抛物线的对称轴于E，P是坐标平面内一点，当与全等时，请直接写出点P坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或或或 【分析】（1）用待定系数法，直接将代入解析式即可求解解析式，再把解析式化为顶点式求出点D的坐标即可； （2）由平分，平行即可求出，继而得出点坐标，由直线解析式即可求出与抛物线交点坐标即可． （3）由三点的坐标可得三边长，由坐标可得和中，则另两组边对应相等即可，设点坐标为；利用两点间距离公式即列方程求解． 【详解】（1）解：抛物线经过，两点， ， 解得：， 抛物线的解析式为， ∴顶点D的坐标为； （2）解：如图1，设对称轴与轴交于点， 平分， ， 又， ， ， ． 由（1）可知对称轴为直线，则 在中，，． ， ；． ①当时，直线解析式为：， 联立得． 解得：，， 点在对称轴右侧的抛物线上运动， ， ②当时，直线解析式为：， 同理可求：， 综上所述：点的坐标为：或； （3）解：由题意可知：，，， ， ， ， 直线经过，， 直线解析式为， 抛物线对称轴为，而直线交对称轴于点， 坐标为； ， 设点坐标为，则，， ， ∴与全等，有两种情况， 当，，即时， ， 解得：，， 即点坐标为或． 当，，即时， ， 解得：，， 即点坐标为或． 综上所述，点P的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数与几何图形的综合，一次函数与几何综合，勾股定理等等．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 18．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)已知点在抛物线上，当时，直接写出的取值范围； (3)抛物线的对称轴与轴交于点，点坐标为，试问在该抛物线上是否存在点，使与全等？若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点的坐标为或 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，正确的求出二次函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键． （1）将，两点的坐标代入解析式可得抛物线的解析式； （2）根据二次函数的性质可求的取值范围； （3）在x轴上方的不存在，点只可能在轴的下方，按照题意，分别求解即可． 【详解】（1）解：将、代入抛物线得： ， 解得：， 抛物线的函数解析式为：； （2）令， 解得：或，即、， 抛物线的对称轴为， ∵， ∴当时，， 当时，函数的最小值为顶点纵坐标的值：， 故的取值范围为； （3）存在 到轴的距离为，由图象可知， 则点在轴下方，点到轴的距离为， 当时，， 解得：或， 点的坐标为或． ∵关于x轴对称 ∴与全等， ∵关于抛物线的对称轴对称 ∴与全等 题型3 特殊四边形存在性问题 类型一三定一动 类型二：两定一动 【总结】平行四边形存在性问题经常呈现为:一个动点在抛物线上，另一个动点在x轴(y轴)或对称轴或某一定直线上.设出抛物线上的动点坐标，另一个动点若在x轴上，纵坐标为0，则用平行四边形顶点纵坐标公式;若在y轴上，坐标为0，则用平行四边形顶点横坐标公式.动点哪个坐标已知就用与该坐标有关的公式. 另外，把在定直线上的动点看成一个定点，这样就转化为三定一动了，分别以三个定点构成的三条线段为对角线分类，分三种情况讨论.这种题型，关键是合理有序分类:无论是三定一动，还是两定两动，统统把抛物线上的动点作为第四个动点，其余三个作为定点，分别以这三个定点构成的三条线段为对角线分类，分三种情况讨论，然后运用平行四边形顶点坐标公式转化为方程(组).这种解法，不必画出平行四边形草图，只要合理分类，有序组合，从对角线入手不会漏解，条理清楚，而且适用范围广.其本质是用代数的方法解决几何问题，体现的是分类讨论思想、数形结合思想. 重难点一 平行四边形存在性问题 19．（24-25九年级上·全国·假期作业）已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求，的值； (2)直线，且直线与抛物线只有一个交点． ①求直线的表达式； ②设直线与抛物线的交点为，在平面内是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若不存在，说明理由；若存在，求出点的坐标． 【答案】(1)， (2); 存在，点的坐标为或或 【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式即可； （2）①先求出直线的解析式为，根据直线，设的表达式为，再根据与抛物线只有一个交点求解即可；②先求出点的坐标，设，然后根据四边形的对角线分三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：将，代入抛物线解析式，得： ， 解得：，； （2）解：①由（1）可知，抛物线解析式为：， 令，则， ∴， 设直线的解析式为， 将代入，得： ， 解得：， ∴， ∵直线， ∴设的表达式为：， 联立直线与抛物线，得： ， 整理，得：， ∵直线与抛物线只有一个交点， ∴， 解得：， ∴直线的表达式为：； ②存在，点的坐标为或或， 理由如下： 设直线与抛物线的交点为， ∴， 解得：， ∴， ∵，， ∴直线的解析式为：， ∴不在直线上， ∴一定存在， 设，然后分三种情况讨论： 第一种情况：当四边形为平行四边形时，由平行四边形的性质可知，和互相平分， 又，，， ∴，， ∴，， ∴； 第二种情况：当四边形为平行四边形时，和互相平分， ∴，， ∴，， ∴； 第三种情况：当四边形为平行四边形时，和互相平分， ∴，， ∴，， ∴； 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数、二次函数解析式，求一次函数与二次函数交点，解二元一次方程组，二次函数与平行四边形的结合，中点坐标公式等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质、平行四边形的性质及中点坐标公式是解题的关键． 20．（24-25九年级上·广东湛江·期中）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的表达式． (2)点是抛物线上位于线段下方的一个动点，连接，，求面积最大时点的坐标： (3)在平面内是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2)点的坐标为 (3)存在，或或 【分析】（1）利用抛物线的交点式直接代值求解即可得到答案； （2）过点作轴的垂线，交于，如图所示，由二次函数图象与性质，利用平面直角坐标系中三角形的面积求法得到 ，进而由二次函数最值的求法即可得到答案； （3）根据平行四边形的对角线互相平分，则逐个情况进行讨论，运用中点公式列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于，两点， 设抛物线的交点式为， 即抛物线的表达式为； （2）解：过点作轴的垂线，交于，如图所示： 由（1）知抛物线的表达式为， 抛物线与轴交于点， 设直线， 将、代入得， 解得， 直线， 点是抛物线上位于线段下方的一个动点， 设，则， ， ， 抛物线开口向下，当时，有最大值， 此时点的坐标为； （3）解：存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，过程如下： ∵、，，且点，，，为顶点的四边形是平行四边形， ∴当为对角线时，则， ∴， 解得， ∴点的坐标为； ∴当为对角线时，则， ∴， 解得， ∴点的坐标为； ∴当为对角线时，则， ∴， 解得， ∴点的坐标为； 综上所述：点的坐标为或或． 【点睛】本题考查二次函数综合，涉及待定系数法确定函数解析式、二次函数图象与性质、平面直角坐标系中求三角形面积、二次函数最值、平行四边形的性质，中点公式，熟练掌握二次函数图象与性质、二次函数综合问题的解法是解决问题的关键． 重难点二 矩形存在性问题 21．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左边），点、的坐标分别是、，与轴交于点，点的坐标是，点和点关于抛物线的对称轴对称． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，直线上方的抛物线上有一点，过点作于点，求线段的最大值； (3)点是抛物线的顶点，点是轴上一点，点是坐标平面内一点，以，，，为顶点的四边形是以为边的矩形，求点和的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或，或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）记于y轴的交点为，证明为等腰直角三角形， 过作轴交于，为等腰直角三角形， 则，设，则， 再建立二次函数，利用二次函数的性质解题即可； （3）如图，当在的右边，记直线交y轴于R，，则，求解直线的解析式为， 可得， 设，而四边形为矩形，可得，再利用勾股定理建立方程求解，结合平移的性质可得：；如图，当在的左边，同理可得：，结合平移的性质可得：． 【详解】（1）解： 把，，分别代入得： ， 解得 ， 抛物线的解析式为； （2）解：由（1）知， 抛物线对称轴为直线， 点和点关于抛物线的对称轴对称， ， 设直线的解析式为， 把，分别代入得 ， 解得 ， 直线的解析式为 记于轴的交点为， 当时，，则， ， 为等腰直角三角形， ， 过作轴交于， ， 为等腰直角三角形， ， 设，则， ， 当时，有最大值， 的最大值为：； （3）解：如图，当在的右边， 记直线交轴于，，则， 设直线的解析式为， 把、分别代入得 ， 解得 ， 直线的解析式为， 当时，，则， 设，而四边形为矩形， ， ， 解得：，即， 由平移的性质可得：； 如图，当在的左边， 同理可得：， 解得：，即， 由平移的性质可得：； 综上：或． 【点睛】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式，二次函数与坐标轴的交点，二次函数的性质，勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，平移的性质，熟练的建立二次函数模型再利用二次函数的性质解决问题是解本题的关键． 22．（24-25九年级上·广东汕头·期中）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是抛物线对称轴上一点，点是平面内任意一点，当以、、、为顶点的四边形是矩形时，求点的坐标； (3)过点的直线交直线于点，连接，当直线与直线的夹角等于的2倍时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)或或或 (3)或 【分析】（1）由抛物线与轴交于两点，设，再把代入利用待定系数法求解即可； （2）分两种情况讨论：如图，当为矩形边时，当为矩形对角线时，如图，再结合图形求解即可． （3）作的垂直平分线，垂足为，交于点，作于点，作点关于点的对称点符合条件，根据题意分别画图求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于两点， ∴设， 把代入得：， 解得：， ∴抛物线为：； （2）解：根据题意可得抛物线的对称轴为直线， 设，则， 当为矩形边时，可得或， 当时，则，即， 解得：， 则； 当时，则，即， 解得：， 则； 如图，当为矩形对角线时， ，四边形是矩形， ， 则，即， 解得：或， 则或； 综上：或或或． （3）解：设直线的解析式为，则，解得：， 故直线的解析式为， 设， 作的垂直平分线，垂足为，交于点，如图所示． 根据题意可得， 当时，，，故符合条件． 此时，， 解得：， ∴点的坐标为． 作于点，作点关于点的对称点．如图所示． 此时，则，故点符合条件． 根据题意， ∴， ∵， ∴， 过点作于H， 则， ∴， ∵点关于点N对称， 即点为线段的中点， ∴点的坐标为． ∴点的坐标为或． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，矩形的性质，线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质，利用数形结合和分类讨论的方法解题是关键． 重难点三 菱形存在性问题 23．（24-25九年级上·广东茂名·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，点，与轴交于点，点的坐标为，点是抛物线上一个动点． (1)求二次函数解析式； (2)若点在第一象限运动，过点作轴于点，与线段交于点，当点运动到什么位置时，线段的值最大？请求出点的坐标和的最大值； (3)连接，，并把沿翻折，那么是否存在点，使四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点的坐标为，的最大值为 (3)存在，或 【分析】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法、二次函数图象与面积问题、二次函数与特殊四边形等知识，数形结合是解题的关键． （1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出直线的解析式为，设，则，表示，可知当时，取得最大值，最大值为，此时，，即可求解坐标以及面积最大值； （3）根据菱形的对角线垂直且互相平分即可求解． 【详解】（1）解：将，代入， 得， 解得， 二次函数的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 则，解得， 直线的解析式为， 设，则， ∴ ， 当时，取得最大值，最大值为， 此时， 点的坐标为，的最大值为； （3）解：存在．如图， 设点，交于点，若四边形是菱形，连接，则，， ， 解得， 或． 24．（24-25九年级上·江西南昌·期末）如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点，连接，点为线段上一个动点（不与点C，B重合），过点P作 轴交抛物线于点Q． (1)求抛物线的表达式和对称轴； (2)设P的横坐标为t，请用含t的式子表示线段的长，并求出线段的最大值； (3)已知点M是抛物线对称轴上的一个点，点N是平面直角坐标系内一点，当线段取得最大值时，是否存在这样的点M，N，使得四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，抛物线的对称轴为直线； (2)，的最大值为 (3)存在，点M的坐标为或．理由见解析 【分析】（1）利用两点式写出函数解析式，再根据对称轴计算公式进行求解即可； （2）先求出直线的表达式，再设点，求出，最后利用二次函数的性质即可求出的最大值； （3）当四边形是菱形时，，设点，可列方程，求出m的值，即得答案． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为， 因为抛物线与x轴交于点，， 所以，则抛物线的对称轴为直线． （2）解：由抛物线表达式得：C点坐标为， 设直线的表达式为，将点B的坐标代入上式得， 故直线的表达式为， 设点，则点， 则， ，故有最大值，当时，的最大值为． （3）解：存在，理由如下： 当时，点， 设点，而点； 四边形是菱形，则， 即，解得：， 即点M的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数的交点式、求一次函数的解析式、二次函数的图象与性质、菱形的性质等知识点，熟练掌握二次函数的图象及性质及菱形的性质是解题的关键． 25．（24-25九年级上·四川自贡·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称． (1)求该抛物线的解析式； (2)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线于点D ①当三角形面积最大时，请求出点C的坐标和三角形面积的最大值． ②在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)①；  ②存在；或2 【分析】本题考查二次函数的综合应用，菱形的性质，两点间距离公式，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）①求出直线表达式为，设，则，，由得到，再转化为二次函数求最值； ②分为菱形的边和菱形的对角线两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称， ∴， 解得：， ∴； （2）解：①当， ∴ 设直线表达式为：， ∴， 解得：， ∴设直线表达式为， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，面积最大值为， ∴此时； ②存在点以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形， 此时，，， 当B，C，D，E为顶点的四边形是菱形时，分两种情况： ①当为边时，则：，即， 解得：（舍去）或， 此时菱形的边长为； ②当为对角线时，则：，即：， 解得：或（舍去） 此时菱形的边长为：； 综上：存在以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形，边长为或2． 重难点四 正方形存在性问题 26．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、C两点，其中，，与y轴交于点B． (1)求抛物线的解析式； (2)若点D是第一象限内抛物线上的一个动点，连结，过点D作于点E，延长与直线交于点F，求的最大值及此时点D的坐标； (3)若将原抛物线绕原点O旋转得到新的抛物线，P是新抛物线上的一个动点，H是直线上的一个动点，在平面直角坐标系上，是否存在一点K，使得四边形为正方形？请直接写出满足条件的所有K的坐标． 【答案】(1) (2)最大值为，此时点D的坐标为 (3)存在，或 【分析】本题是二次函数的综合题，考查二次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质等知识，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质，用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段长度是解题的关键． （1）根据题意得：，即可求解； （2）证明，得到，即可求解； （3）证明，得到，．则P点的坐标为或，，再分类求解即可． 【详解】（1）根据题意得：， ∴抛物线的解析式为； （2）过点D作直线于M，交直线于G， ∴轴， ∴， ∵抛物线与x轴交于A、C两点，其中，与y轴交于点B． 令，则，解得，， 令，则， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵直线， ∴， ∴， 由点B、C的坐标得，直线的解析式为， 设直线DM交x轴于N，，则，， ∴，， ∴， ∴的最大值为，此时点D的坐标为； （3）如图， 根据旋转得抛物线过点，，， ∴， 设， ∵四边形正方形， ∴，， ∴， 过点H作轴于M，过点P作轴于N， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，． ∴， ∴P点的坐标为或，， ①当P点的坐标为时， ∵，，，四边形为正方形， ∴点K的坐标为； ②当P点的坐标为时， ∵，，，四边形为正方形， ∴点K的坐标为； 综上，存在，点K的坐标为或． 27．（2024九年级上·全国·专题练习）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线C：与x轴相交于A，B两点，顶点为D，其中，，设点是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转，得到新的抛物线． (1)求抛物线C的函数解析式； (2)若抛物线与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，求m的取值范围； (3)如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线上的对应点，设M是C上的动点，N是上的动点，试探究四边形能否成为正方形？若能，求出m的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)四边形能成为正方形，或12 【分析】（1）运用待定系数法将，，代入中，即可求得答案； （2）设抛物线的解析式为：，联立方程组，可得，由抛物线与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，得出，解不等式组即可求得答案； （3）分两种情形：情形1，如图2，作轴于E，轴于H．利用证明，进而得出，根据点M在上，建立方程求解即可．情形2，如图3，解法与情形1相同． 【详解】（1）解：由题意，把点、代入中， 得：， 解得：， ∴抛物线C的函数解析式为：； （2）解：如图1，由题意，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为：， 由， 消去y得到：， ∵抛物线与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点， ∴， 解得：， ∴满足条件的m的取值范围为：； （3）解：结论：四边形能成为正方形． 理由：情形1，如图2，作轴于E，轴于H． 设， 将代入得：， 解得：（负值舍去）， ∴， 当是等腰直角三角形时，四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵点M在上， ∴， 解得或（舍）， ∴时，四边形是正方形． 情形2，如图，四边形是正方形，同法可得， 把代入中，， 解得或（舍去）， ∴时，四边形是正方形． 综上，四边形能成为正方形，或． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，二次函数图象和性质，全等三角形判定和性质，正方形性质，中心对称和旋转的性质，一元二次方程的根与系数的关系等知识，解题的关键是灵活运用中心对称和旋转的性质等相关知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题． 题型4 其它存在性问题 28．（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）如图1，已知抛物线经过三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求周长的最小值； (3)如图2，若E是线段上的一个动点（E与A，D不重合），过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，四边形的面积为S． ①求S与m的函数关系式； ②S是否存在最大值，若存在，求出最大值及此时点E的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)①；②S存在最大值，最大值为7，此时点 【分析】（1）根据函数图象经过的三点，用待定系数法确定二次函数的解析式即可； （2）根据是定值，可得当最小时，的周长最小，再由点A、B关于对称轴l对称，可得，从而得到的周长最小的最小值为，即可求解； （3）①先求出直线的解析式，再由点E的横坐标为m，可得点，点，从而得到，然后根据四边形的面积，得到S与m的函数关系；②根据二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过三点， ∴， 解得：， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：如图，连接交于点P， ∵， ∴，是定值， ∴当最小时，的周长最小， ∵点A、B关于对称轴l对称， ∴， ∴， ∴的周长最小的最小值为， ∴， ∴， ∴的周长最小的最小值为； （3）解：①∵， ∴顶点， 如图， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵点E的横坐标为m， ∴点， ∵轴， ∴点， ∴， ∴四边形的面积 ， 即； ②存在， ， ∵， ∴当时，S取得最大值，最大值为7，此时点． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式；能利用两点之间线段最短解决最短路径问题． 29．（24-25九年级上·天津滨海新·期中）如图，抛物线的图象与轴交于两点，与轴交于点，顶点为． (1)求此抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标并计算的周长；若不存在，请说明理由； (3)设点在第四象限，且在抛物线上，当的面积最大，求此时点的坐标．（直接写出结果） 【答案】(1) (2)存在，，的周长为 (3) 【分析】（1）待定系数法求解析式； （2）连接，交直线于点，则此时的周长最小，求得直线的解析式为，得出，勾股定理求得即可求解； （3）过点作轴，交于点，设，则，由的面积为，得出关于的二次函数，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：将点，代入， 解得： ∴此抛物线的解析式为； （2）解：如图，连接，交直线于点， ∵关于直线对称， ∴， 的周长为，此时的周长最小， ∵，令，得， ∴， 设直线的解析式为，将点，代入得， ， 解得：， ∴直线的解析式为， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴的周长的最小值为：； （3）解：如图，过点作轴，交于点，设，则， ∴的面积为 ， 当时，的面积最大 当时， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数综合，面积问题，线段问题，勾股定理，掌握二次函数的性质是解题的关键． 30．（24-25九年级上·吉林·期末）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点、，与y轴交于点C．点P是抛物线上一点，其横坐标为，且点P不与点C重合． (1)写出点C的坐标为______；线段的长为______． (2)写出的面积______． (3)抛物线上存在点P，使的面积等于的面积，利用上面的计算结果，求点P的坐标． 【答案】(1)；4 (2)6 (3)P的坐标或或 【分析】（1）将代入，求得出C点坐标，令求出，，即可得到线段的长； （2）由（1）得到，，然后利用三角形面积公式求解即可； （3）设，利用的面积等于的面积列方程求解即可． 此题主要考查了抛物线与x轴的交点，三角形面积求法，二次函数图象上点的坐标性质等知识，注意分类讨论得出是解题关键． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，， ∴点C的坐标为， 当时，， 解得或， ∴，， ∴； （2）解：∵点C的坐标为， ∴， ∵， ∴的面积； （3）解：设， ∵的面积等于的面积， ∴， 解得或或（舍去）， ∴P的坐标或或． 31．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）已知二次函数的图象过点． (1)求该二次函数表达式； (2)如图，若该二次函数的图象与x轴有两个公共点A，B，并与动直线交第一象限于点P，连接，，，，其中交y轴于点D，交于点E．设的面积为，的面积为． ①当时，求点P的坐标； ②探究在直线l的运动过程中，是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)①；②存在最大值，最大值为12． 【分析】本题主要考查了二次函数的知识，用公共三角形表示出，是正确解答此题的关键． (1)把点代入二次函数解析式可得的值，即可求得二次函数的表达式； (2)易得点、、的坐标，设出点的坐标，易得；，①时，易得点的纵坐标和点的纵坐标相等，列出方程，求解即可；②用含的代数式表示出，进而根据二次函数的性质可得的最大值． 【详解】（1）解：的图象过点， ， ， 解得：， 二次函数表达式为：； （2）解：二次函数表达式为：， 二次函数的图象与轴有两个公共点，，与轴交于点， 点，点，点， 设点， ， ， ①， ， 解得：（不合题意，舍去），， 点的坐标为； ②， 当时存在最大值，最大值为12. 32．（24-25九年级上·广东广州·期中）已知抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)若点P在抛物线的对称轴上，点Q在x轴上，是否存在以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由； (3)将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得到一个新的抛物线，问在y轴正半轴上是否存在一点F，使得当经过点F的任意一条直线与新抛物线交于S，T两点时，总有为定值？若存在，求出点F坐标及定值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点的坐标为，， (3)存在，定点的值为4 【分析】（1）把，点代入，得出关于、的二元一次方程组，解方程组求出、的值，即可得答案； （2）根据抛物线解析式求出对称轴为直线，点坐标为，点Q坐标为，根据平行四边形对角线中点的坐标相同，分、、为对角线三种情况，列方程组求出、的值即可得答案； （3）根据平移规律得出新的抛物线解析式为，设的解析式为，，，则，联立抛物线与直线的解析式得，利用一元二次方程根与系数的关系用、、、分别表示和，代入，根据为定值得出值及定值即可． 【详解】（1）解：∵，在抛物线上， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为：． （2）解：由题意知，抛物线的对称轴为直线，，， 设点坐标为，点Q坐标为， ①当为对角线时，， 解得：， ∴； ②当为对角线时，， 解得：， ∴； ③当为对角线时，， 解得：， 解得：， 综上所述，存在点，以，，，为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标为或或． （3）当抛物线向左平移1个单位，向上平移4个单位后，得到新的抛物线，即， 设的解析式为，点坐标为，点坐标为，则， 联立新抛物线与直线的解析式得：， ∴， ∴，， ， 同理，， ， ∵为定值， ∴， 解得：， 当时，， ∴定点的值为4． 【点睛】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图像的平移、求一次函数解析式、平行四边形的性质、求二次函数的最大值、一元二次方程根与系数的关系，综合性强，熟练掌握相关的性质及规律是解题关键 33．（24-25九年级上·河北保定·阶段练习）如图，抛物线． (1)试说明：无论为何值，抛物线必经过某个定点． (2)若抛物线与轴的负半轴交于点，与轴的正半轴交于点，与轴交于点，且满足． ①求的值． ②抛物线上是否存在点P，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)①；②存在，点P的坐标是或． 【分析】本题考查待定系数法，二次函数图像和性质，解一元二次方程，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键； （1）法一：把代入，即可求解；法二：将整理成，计算求解即可； （2）①由题意，可知，，求得，进而求解点的坐标，进而求解的值；②连接，在轴上取点，使得，过点作，交抛物线于点，把代入，求得点的坐标，进而求得直线的表达式，即可求解； 【详解】（1）解：法一：当时，， ∴无论为何值，抛物线必经过定点． 法二：由，可得， ， 解得：， ∴无论为何值，抛物线必经过定点； （2）①由题意，可知，， ∴， ∴，解得（舍去），， ∴点的坐标是． 把点代入，得，解得． ②∵，抛物线的表达式是． 如图，连接，在轴上取点，使得，过点作，交抛物线于点， 则， ∵， 点的坐标是， 点的坐标是． 把代入，得， 点的坐标是． 设直线的表达式是，则， 解得， ∴直线的表达式是． 设直线的表达式是， 把点代入， 得， ∴直线的表达式是． 联立方程组，得， 解得，， ∴抛物线上存在点，使得，点的坐标是或； 34．（23-24九年级下·浙江·自主招生）如图，已知双曲线，抛物线和直线．设直线与双曲线的两个交点为，与抛物线的两个交点为． (1)若线段与线段的中点重合，求证：； (2)是否存在直线，使得为线段的三等分点？若存在，求出直线的解析式，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)存在，或或 【分析】（1）分别联立和，可得出关于的一元二次方程，由根与系数的关系结合线段与的中点重合，即可得出，进而可证出； （2）由题意得，得到．将代入得，据此求解即可． 【详解】（1）证明：设、、、．显然． 联立，得， ∴，． 联立，得， ∴，． 若线段与的中点重合，则． ∴； （2）解：若A、B为线段的三等分点，则线段与的中点重合，且， ∴， ∴．且， ∴． 将代入上式得． 解得或． 对应的或．经检验均符合题意． ∴直线的解析式为或或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用、根与系数的关系、公式法解一元二次方程、解无理方程以及两点间的距离公式，解题的关键是：（1）利用根与系数的关系结合线段与的中点重合，找出；（2）利用两点间的距离公式结合A、B为线段的三等分点，找出关于k的无理方程． 35．（24-25九年级上·云南·期末）已知二次函数的图象与x轴分别交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，连接． (1)求A、B两点的坐标； (2)点D是y轴上任意一点，连接，使得，在抛物线的对称轴上是否存在一点E，使得最小，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由； (3)已知和是抛物线上任意两点，当时，求代数式的值． 【答案】(1) (2)存在， (3) 【分析】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）令，求出的值，即可； （2）求出点坐标，推出，平行线的性质，推出的坐标，根据对称性质，得到线段的长为的最小值，求出直线的解析式，进而求出点坐标即可； （3）根据，得到和关于对称轴直线对称，进而得到，整体代入代数式进行求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与x轴分别交于A，B两点（点A位于点B的左侧）， ∴令，则， 解得 令，则， 即：，，； （2）解：存在，理由如下： ∵， ∴当时，，对称轴为直线， ∴， 在y轴上找到一点D，连接，如图， ∵，， ， 在中，， ∵， ， 即 点A关于对称轴的对称点为点B，连接交对称轴于点E， 则线段的长为的最小值． 设直线：，代入和， 得： 解得 直线：， 令，则， 故； （3）解：， ∴和关于对称轴直线对称， ∴， ， ． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$