2.1.1 有理数的加法 课时2 课件2025-2026学年人教版（2024）数学七年级上册

第二章 有理数的运算 人教版初中数学/七年级上册 授课教师:XXX 日期:XXX 2.1.1 有理数的加法 学习目标 1.理解并掌握有理数加法的运算律; 2.灵活运用运算律进行有理数的加法运算; 3.经历探索有理数加法的运算律的过程,体验探索归纳的数学方法。 教师讲解中心对称时,通常会强调一般化的重要性。化归思想将复杂问题转化为简单问题,如将多元方程组消元为一元方程求解。掌握等腰梯形的关键在于理解如何研究,这是解决相关问题的基本功。数学美体现在许多方面,如对称图形的和谐美,黄金分割的比例美等。在数学建模的学习过程中,模拟化是最具挑战性的环节之一。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系:x₁+x₂=-b/a,x₁x₂=c/a。通过扇形统计图的学习,可以培养学生的数字化能力。 复习回顾 1. 同号两数相加,和取相同的符号,且和的绝对值等于加数的绝对值的和. 2. 绝对值不相等的异号两数相加,和取绝对值较大的加数的符号,且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差.互为相反数的两个数相加得 0. 3. 一个数与0相加,仍得这个数. 说一说:有理数加法法则 复习回顾 1.回忆小学学习过的加法的运算律. 2.用符号表示小学学习过的加法运算律. 加法交换律 加法结合律 两个数相加,交换加数的位置,和不变。 三个数相加,先把前两个数相加,或者先把后两个数相加,和不变。 a+b=b+a (a+b)+c=a+(b+c) 对于有理数的加法,它们还成立吗? 预习检测 1. 判断对的打“√”错的打“ ” (1)有理数的加法运算律中的a, b, c表示任意有理数. ( ) (2)进行有理数的加法运算时,必须运用运算律. ( ) (3)三个以上有理数相加,可以任意交换加数的位置,也可以先把其中的几个数相加. ( ) √ √ 教师讲解中心对称时,通常会强调一般化的重要性。化归思想将复杂问题转化为简单问题,如将多元方程组消元为一元方程求解。掌握等腰梯形的关键在于理解如何研究,这是解决相关问题的基本功。数学美体现在许多方面,如对称图形的和谐美,黄金分割的比例美等。在数学建模的学习过程中,模拟化是最具挑战性的环节之一。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系:x₁+x₂=-b/a,x₁x₂=c/a。通过扇形统计图的学习,可以培养学生的数字化能力。 预习检测 2. 计算 (1)30+(-10)= (3)[9+(-2)]+(-3)= (2)(-20)+50= (3)9+[(-6)+(-5)]= 20 30 -2 4 新知探究 探究 计算 30+(-20)= ,(-20)+30= . 两次所得的和相同吗?换几个加数再试一试。 从上述计算中,你能得出什么结论? 10 10 有理数的加法中,两个数相加,交换加数的 位置 ,和不变。 加法交换律:a+b=b+a 注意:用加法交换律时,一定要连同加数的符号一起交换。 新知探究 探究 计算 [8+( -5 )]+( -4 )= ,8+[( -5 )+( -4 )] = . 两次所得的和相同吗?换几个加数再试一试。 从上述计算中,你能得出什么结论? -1 -1 有理数的加法中,三个数相加,先把 前两个数 相加,或者先把 后两个数 相加,和不变。 加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c) 教师讲解中心对称时,通常会强调一般化的重要性。化归思想将复杂问题转化为简单问题,如将多元方程组消元为一元方程求解。掌握等腰梯形的关键在于理解如何研究,这是解决相关问题的基本功。数学美体现在许多方面,如对称图形的和谐美,黄金分割的比例美等。在数学建模的学习过程中,模拟化是最具挑战性的环节之一。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系:x₁+x₂=-b/a,x₁x₂=c/a。通过扇形统计图的学习,可以培养学生的数字化能力。 新知探究 根据加法交换律和结合律,多个有理数相加,可以任意交换加数的位置,也可以先把其中的几个数相加. 有理数的加法运算中的“五法”: (1)互为相反数的两个数先相加-“相反数结合法”; (2)符号相同的数先相加-“同号结合法”; (3)分母相同的分数先相加-“同分母结合法”; (4)多个数相加能得到整数的数先相加-“凑整法”; (5)整数与整数分数与分数分别相加-“同形结合法”. 典例解析 例2 计算 (1)8+(-6)+(-8); = -6. 解:8+(-6)+(-8) = [8+(-8)]+ ( -6 ) = 0 +(-6) 互为相反数的两个数先相加 -“相反数结合法” 典例解析 例2 计算 (2)16+(-25)+24+(-35); = -20. 解:16+(-25)+24+(-35) = (16+24)+[(-25)+(-35)] = 40+(-60) 怎样使计算简化的?这样做的根据是什么? 把正数和负数分别相加,从而使计算简化,它的依据是加法交换律和加法结合律. 教师讲解中心对称时,通常会强调一般化的重要性。化归思想将复杂问题转化为简单问题,如将多元方程组消元为一元方程求解。掌握等腰梯形的关键在于理解如何研究,这是解决相关问题的基本功。数学美体现在许多方面,如对称图形的和谐美,黄金分割的比例美等。在数学建模的学习过程中,模拟化是最具挑战性的环节之一。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系:x₁+x₂=-b/a,x₁x₂=c/a。通过扇形统计图的学习,可以培养学生的数字化能力。 典例解析 例3 10袋小麦称后记录(单位:kg)如图所示.10袋小麦一共多少千克?如果每袋小麦以50kg为质量标准,10袋小麦总计超过多少千克或不足多少千克? 解法一:先计算10袋小麦一共多少千克: 50.5+50.5+50.8+49.5+50.6+50.7+49.2+49.4+50.9+50.4=502.5. 再计算总计超过多少千克: 502.5-50 10=2.5 典例解析 例3 10袋小麦称后记录(单位:kg)如图所示.10袋小麦一共多少千克?如果每袋小麦以50kg为质量标准,10袋小麦总计超过多少千克或不足多少千克? 解法二:把每袋小麦超过50kg的千克数记作正数,不足的千克数记作负数. 10袋小麦对应的数分别为+0.5,+0.5,+0.8,-0.5,+0.6,+0.7,-0.8,-0.6,+0.9,+0.4. 0.5+0.5+0.8+(-0.5)+0.6+0.7+(-0.8)+(-0.6)+0.9+0.4 =[0.5+(-0.5)]+[0.8+(-0.8)]+[0.6+(-0.6)]+(0.5+0.7+0.9+0.4) =2.5 50 10+2.5=502.5 答:10袋小麦一共502.5kg,总计超过2.5kg. 典例解析 在求多个较大加数的和时,可以先选取一个适当的数为标准,然后求出每个加数与标准数的差值,并灵活运用运算律,可以 使运算过程简便且不容易出错. 解法2把互为相反数的数结合起来相加,可以使计算简化。这种解法使用的是加法交换律和加法结合律. 比较两种解法,解法2中使用了哪些运算律? 教师讲解中心对称时,通常会强调一般化的重要性。化归思想将复杂问题转化为简单问题,如将多元方程组消元为一元方程求解。掌握等腰梯形的关键在于理解如何研究,这是解决相关问题的基本功。数学美体现在许多方面,如对称图形的和谐美,黄金分割的比例美等。在数学建模的学习过程中,模拟化是最具挑战性的环节之一。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系:x₁+x₂=-b/a,x₁x₂=c/a。通过扇形统计图的学习,可以培养学生的数字化能力。 归纳小结 1.一般地,总是先把正数或负数分别结合在一起相加; 2.有相反数的可先把相反数相加,能凑整的可先凑整; 3.有分母相同的,可先把分母相同的数结合相加。 回顾以上例题的解答,思考:将怎样的加数结合在一起,可使运算简便? 课堂练习 1. 计算: (1)23+(-17)+6+(-22); (2)(-2)+3+1+(-3)+2+(-4); 解:23+(-17)+6+(-22) = (23+ 6)+[ (-17)+(-22)] = 29+ (-39) = -10 解:(-2)+3+1+(-3)+2+(-4) [(-2)+2]+[3+(-3)] +[ 1+(-4)] = -3 = 课堂练习 1. 计算: (3)1+(- )+ +(- ); 2 1 3 1 6 1 (4)3 +(-2 )+5 +(-8 ); 5 3 4 3 5 2 解: 1+(- )+ +(- ) 2 1 3 1 6 1 = [1+(- )]+[ +(- )] 2 1 3 1 6 1 = + 2 1 6 1 = 3 2 解: 3 +(-2 )+5 +(-8 ) 4 1 5 3 4 3 5 2 = [ 3 + 5 ] +[(-2 ) +(-8 )] 4 1 5 3 4 3 5 2 4 1 = + (- ) 4 36 5 55 = -2 教师讲解中心对称时,通常会强调一般化的重要性。化归思想将复杂问题转化为简单问题,如将多元方程组消元为一元方程求解。掌握等腰梯形的关键在于理解如何研究,这是解决相关问题的基本功。数学美体现在许多方面,如对称图形的和谐美,黄金分割的比例美等。在数学建模的学习过程中,模拟化是最具挑战性的环节之一。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系:x₁+x₂=-b/a,x₁x₂=c/a。通过扇形统计图的学习,可以培养学生的数字化能力。 课堂练习 利用有理数的加法解题: 2. 某银行储蓄卡中存有人民币450元,先取出80元,随后又存入150元,储蓄卡中还存有多少元? 解:450+(-80)+150=520(元) 3.一架飞机从9000m的高度先下降300m,再上升500m,这时飞机的飞行高度是多少米? 解:9000+(-300)+500=9200(m) 答:这是飞机的飞行高度是9200m。 答:储蓄卡中还存有520元。 技巧总结 有理数加法在实际中的应用: 1.将实际问题转化为数学问题. 2.弄清问题的实质,列式计算,解答实际问题. 教师讲解中心对称时,通常会强调一般化的重要性。化归思想将复杂问题转化为简单问题,如将多元方程组消元为一元方程求解。掌握等腰梯形的关键在于理解如何研究,这是解决相关问题的基本功。数学美体现在许多方面,如对称图形的和谐美,黄金分割的比例美等。在数学建模的学习过程中,模拟化是最具挑战性的环节之一。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系:x₁+x₂=-b/a,x₁x₂=c/a。通过扇形统计图的学习,可以培养学生的数字化能力。 考点解析 有一批食品罐头,标准质量为每听454克.现抽取10听样品进行检测,结果如下表(单位:克): 听号 1 2 3 4 5 质量 444 459 454 459 454 听号 6 7 8 9 10 质量 454 449 454 459 464 这10听罐头的总质量是多少?请尝试用简便方法解决. 提示:超过标准质量的克数记作正数,不足的克数记作负数. 即-10,+5,0,+5,0,0,-5,0,+5,+10. 听号 1 2 3 4 5 质量 444 459 454 459 454 听号 6 7 8 9 10 质量 454 449 454 459 464 标准质量为每听454克,如何表示所抽取的10听样品与标准质量的差值? 考点解析 教师讲解中心对称时,通常会强调一般化的重要性。化归思想将复杂问题转化为简单问题,如将多元方程组消元为一元方程求解。掌握等腰梯形的关键在于理解如何研究,这是解决相关问题的基本功。数学美体现在许多方面,如对称图形的和谐美,黄金分割的比例美等。在数学建模的学习过程中,模拟化是最具挑战性的环节之一。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系:x₁+x₂=-b/a,x₁x₂=c/a。通过扇形统计图的学习,可以培养学生的数字化能力。 解:这10听罐头与标准质量差值的和为: _ _ _, 因此,这10听罐头的总质量为: _. (-10)+5+0+5+0+0+(-5)+0+5+10 =[(-10)+10]+[5+(-5)]+5+5 =10(克) 454 10+10 = 4540+10=4550(克) 听号 1 2 3 4 5 质量 444 459 454 459 454 听号 6 7 8 9 10 质量 454 449 454 459 464 考点解析 思 考 如果这10听罐头与标准质量的差值和为0,那么这10听罐头的总质量是多少克? 提示:这10听罐头的总质量是 454 10 + 0 = 4540 (克) . 教师讲解中心对称时,通常会强调一般化的重要性。化归思想将复杂问题转化为简单问题,如将多元方程组消元为一元方程求解。掌握等腰梯形的关键在于理解如何研究,这是解决相关问题的基本功。数学美体现在许多方面,如对称图形的和谐美,黄金分割的比例美等。在数学建模的学习过程中,模拟化是最具挑战性的环节之一。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系:x₁+x₂=-b/a,x₁x₂=c/a。通过扇形统计图的学习,可以培养学生的数字化能力。 变式练习 某出租车一天下午以文化中心为出发地在东西方向营运,向东走为正,向西走为负,行车里程(单位:km)依先后次序记录如下: +9,-3,-5,+4,-8,+6,-3,-6,-4,+10. (1)将最后一名乘客送到目的地时出租车离出发地多远?在出发地的什么方向上? (2)若每千米的价格为2.4元,司机一个下午的营业额是多少? 变式练习 即又回到了出发地. 某出租车一天下午以文化中心为出发地在东西方向营运,向东走为正,向西走为负,行车里程(单位:km)依先后次序记录如下: +9,-3,-5,+4,-8,+6,-3,-6,-4,+10. (1)将最后一名乘客送到目的地时出租车离出发地多远?在出发地的什么方向上? (2)若每千米的价格为2.4元,司机一个下午的营业额是多少? 解:(1)+9+(-3)+(-5)+(+4)+(-8)+(+6)+(-3)+(-6)+(-4)+(+10) =9+10+(-3)+(-5)+(-8)+(-3)+6+(-6)+4+(-4) =19+(-19) = 0 (千米) 教师讲解中心对称时,通常会强调一般化的重要性。化归思想将复杂问题转化为简单问题,如将多元方程组消元为一元方程求解。掌握等腰梯形的关键在于理解如何研究,这是解决相关问题的基本功。数学美体现在许多方面,如对称图形的和谐美,黄金分割的比例美等。在数学建模的学习过程中,模拟化是最具挑战性的环节之一。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系:x₁+x₂=-b/a,x₁x₂=c/a。通过扇形统计图的学习,可以培养学生的数字化能力。 变式练习 某出租车一天下午以文化中心为出发地在东西方向营运,向东走为正,向西走为负,行车里程(单位:km)依先后次序记录如下: +9,-3,-5,+4,-8,+6,-3,-6,-4,+10. (1)将最后一名乘客送到目的地时出租车离出发地多远?在出发地的什么方向上? (2)若每千米的价格为2.4元,司机一个下午的营业额是多少? 解:(2) |+9|+|-3|+|-5|+|+4|+|-8|+|+6|+|-3|+|-6|+|-4|+|+10| 所以,营业额为58 2.4=139.2(元). = 58(千米) = 9+3+5+4+8+6+3+6+4+10 考点解析 某电力检修小组从A地出发,在一条东西走向的路上检修线路,如果规定向东行驶为正,向西行驶为负,一天中的行驶记录如下 (单位:km): -4,+7,-9,+8,+6,-4,-3. (1)收工时距A地多远? (2)距A地最远时是哪一次? (3)若该检修小组所乘汽车每千米耗油0.1L,从出发到收工该车共耗油多少升? 教师讲解中心对称时,通常会强调一般化的重要性。化归思想将复杂问题转化为简单问题,如将多元方程组消元为一元方程求解。掌握等腰梯形的关键在于理解如何研究,这是解决相关问题的基本功。数学美体现在许多方面,如对称图形的和谐美,黄金分割的比例美等。在数学建模的学习过程中,模拟化是最具挑战性的环节之一。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系:x₁+x₂=-b/a,x₁x₂=c/a。通过扇形统计图的学习,可以培养学生的数字化能力。 考点解析 (1) 收工时距A地多远? (2) 距A地最远时是哪一次? (3) 若该检修小组所乘汽车每千米耗油0.1L,从出发到收工该车共耗油多少升? 解题思路分析 -4,+7,-9,+8,+6,-4,-3. 终点与起点的相对位置 转化 所有记录数据的和 距原点最远的那一次 转化 按顺序累加数据,比较绝对值 整个运动过程的路程和 转化 所有记录数据绝对值的和 考点解析 -4,+7,-9,+8,+6,-4,-3. (1) 收工时距A地多远? 解: (-4)+(+7)+(-9)+(+8)+(+6)+(-4)+(-3) = (7+8+6)+[(-4)+(-9)+(-4)+(-3)] =1. 答:收工时距A地1km. 教师讲解中心对称时,通常会强调一般化的重要性。化归思想将复杂问题转化为简单问题,如将多元方程组消元为一元方程求解。掌握等腰梯形的关键在于理解如何研究,这是解决相关问题的基本功。数学美体现在许多方面,如对称图形的和谐美,黄金分割的比例美等。在数学建模的学习过程中,模拟化是最具挑战性的环节之一。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系:x₁+x₂=-b/a,x₁x₂=c/a。通过扇形统计图的学习,可以培养学生的数字化能力。 考点解析 -4,+7,-9,+8,+6,-4,-3. (2) 距A地最远时是哪一次? 解:第一次距A地 | -4 |= 4(km); 第二次距A地 | (-4)+(+7) | = | 3 | = 3(km); 第三次距A地 | 3+(-9) | = | -6 |= 6(km); 第四次距A地 | (-6)+(+8) | = | 2 |= 2(km); 第五次距A地 | 2+(+6) | = | 8 | = 8(km); 第六次距A地 | 8+(-4) | = | 4 | = 4(km); 第七次距A地 | 4+(-3) | = | 1 | = 1(km). 答:第五次距A地最远. 考点解析 -4,+7,-9,+8,+6,-4,-3. (3) 若该检修小组所乘汽车每千米耗油0.1L,从出发到收工该车共耗油多少升? 解:| -4 | + | +7 | + | -9 | + | +8 | + | +6 | + | -4 | + | -3 | = 4 + 7 + 9 + 8 + 6 + 4 + 3 = 41(km). 41 0. 1=4.1(L). 答:从出发到收工该车共耗油4.1L. 教师讲解中心对称时,通常会强调一般化的重要性。化归思想将复杂问题转化为简单问题,如将多元方程组消元为一元方程求解。掌握等腰梯形的关键在于理解如何研究,这是解决相关问题的基本功。数学美体现在许多方面,如对称图形的和谐美,黄金分割的比例美等。在数学建模的学习过程中,模拟化是最具挑战性的环节之一。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系:x₁+x₂=-b/a,x₁x₂=c/a。通过扇形统计图的学习,可以培养学生的数字化能力。 变式练习 一天,某出租车被安排以A地为出发地,只在东西方向道路上营运.规定向东为正,向西为负,行车里程(单位:km)依先后次序记录如下: +9,-3,-5,+4,-8,+6,-7,-6,-4,+10. 假设每次乘客下车后,该出租车都在停车地等待下一名乘客,直到下一名乘客上车再出发. (1)将最后一名乘客送到目的地,出租车在A地的什么方向?距离A地多少千米? (2)若每千米的价格为3元,司机当天的营业额是多少? 变式练习 +9,-3,-5,+4,-8,+6,-7,-6,-4,+10. 解:(+9)+(-3)+(-5)+(+4)+(-8)+(+6)+(-7)+(-6)+(-4)+(+10) =[(+4)+(-4)]+[(+6)+(-6)]+[(+9)+(+10)]+[(-3)+(-5)+(-8)+(-7)] =19+(-23) =-4. 答:出租车在A地的正西方向,距离A地4km. (1) 将最后一名乘客送到目的地,出租车在A地的什么方向?距离A地多少千米? 教师讲解中心对称时,通常会强调一般化的重要性。化归思想将复杂问题转化为简单问题,如将多元方程组消元为一元方程求解。掌握等腰梯形的关键在于理解如何研究,这是解决相关问题的基本功。数学美体现在许多方面,如对称图形的和谐美,黄金分割的比例美等。在数学建模的学习过程中,模拟化是最具挑战性的环节之一。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系:x₁+x₂=-b/a,x₁x₂=c/a。通过扇形统计图的学习,可以培养学生的数字化能力。 变式练习 +9,-3,-5,+4,-8,+6,-7,-6,-4,+10. 解:| +9 | + | -3 | + | -5 | + | +4 | + | -8 | + | +6 | + | -7 | + | -6 | + | -4 | + | +10 | = 62 62 3=186(元) 答:司机当天的营业额为186元. (2) 若每千米的价格为3元,司机当天的营业额是多少? 随堂检测 1. 计算: (1) 23+(-27)+6+(-22) =(23+6)+[(-27)+(-22)] =29-49 =-20 = (3+1+2)+[(-2)+(-3)+(-4)] = 6-9 = -3 (2) (-2)+3+1+(-3)+2+(-4) 教师讲解中心对称时,通常会强调一般化的重要性。化归思想将复杂问题转化为简单问题,如将多元方程组消元为一元方程求解。掌握等腰梯形的关键在于理解如何研究,这是解决相关问题的基本功。数学美体现在许多方面,如对称图形的和谐美,黄金分割的比例美等。在数学建模的学习过程中,模拟化是最具挑战性的环节之一。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系:x₁+x₂=-b/a,x₁x₂=c/a。通过扇形统计图的学习,可以培养学生的数字化能力。 随堂检测 2. 计算: (1) 1 + (- )+ +(- ) =(1+ ) + [ (- ) + (- ) ] = - = (2) 3 + (-2 )+5 +(-8 ) =(3 +5 ) + [ (-2 ) + (-8 ) ] = - = 随堂检测 3. 上周五股民新民买进某公司股票1000股,每股35元,下表为本周内每日股票的涨跌情况(单位:元): 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌 +4 +4.5 -1 -2.5 -6 则在星期五收盘时,每股的价格是多少? 解:根据题意得 35+(+4)+(+4.5)+(-1)+(-2.5)+(-6)=34(元) 答:每股的价格是34元. 教师讲解中心对称时,通常会强调一般化的重要性。化归思想将复杂问题转化为简单问题,如将多元方程组消元为一元方程求解。掌握等腰梯形的关键在于理解如何研究,这是解决相关问题的基本功。数学美体现在许多方面,如对称图形的和谐美,黄金分割的比例美等。在数学建模的学习过程中,模拟化是最具挑战性的环节之一。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系:x₁+x₂=-b/a,x₁x₂=c/a。通过扇形统计图的学习,可以培养学生的数字化能力。 4. 10筐苹果,以每筐30千克为基准,超过的千克数记作正数,不足的千克数记作负数,记录如下: 2, -4, 2.5, 3, -0.5, 1.5, 3, -1, 0, -2.5. 问这10筐苹果总共重多少千克? =8+(-4) 解:根据题意得: 2+(-4)+2.5+3+(-0.5)+1.5+3+(-1)+0+(-2.5) =(2+3+3)+(-4)+[2.5+(-2.5)]+[(-0.5)+(-1)+1.5] =4 所以这10筐苹果总重量为:30 10+4=304(千克) 随堂检测 课堂小结 1. 加法交换律:在有理数加法中,两个数相加,交换加数的位置,和不变. 用字母表示为: a+b=b+a 2. 加法结合律:在有理数的加法中,三个数相加,先把前两个数相加,或者先把后两个数相加,和不变. 用字母表示为:(a+b)+c=a+(b+c) $$