17.2 一元二次方程的解法 暑假巩固练习2024-2025学年沪科版八年级数学下册

沪科版八年级下册 17.2 一元二次方程的解法 暑假巩固 一、利用配方解决最值问题 1.关于x的一元二次方程新定义：若关于x的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与就是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程：与是“同族二次方程”．那么代数式取的最大值是（   ） A.2020 B.2021 C.2022 D.2023 2.已知实数x，y满足4x2﹣x+4xy+y2＝1，设M＝x+y，则M的最大值是（　　） A. B. C. D.1 3.若p＝x2+y2+2x﹣4y+2028，p的最小值是（　　） A.2028 B.2023 C.2022 D.2020 4.代数式3m2﹣2m+1的最小值为 　　． 5.已知S＝t2﹣2t﹣15，则S的最小值为 　　． 6.如果关于的一元二次方程有一个根是1，那么我们称这个方程为“和美方程”． (1)判断一元二次方程是否为“和美方程”，请说明理由． (2)已知关于的一元二次方程是“和美方程”，求的最小值． 7.上数学课时，张老师在讲完因式分解（a±b）2＝a2±2ab+b2的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式x2+4x+5的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1， ∵（x+2）2≥0， ∴当x＝﹣2时，（x+2）2的值最小，最小值是0， ∴（x+2）2+1≥1， ∴当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1， ∴x2+4x+5的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题 （1）知识再现：当x＝　　时，代数式x2﹣6x+10的最小值是 　　； （2）知识运用：若y＝﹣x2+2x﹣5，当x＝　　时，y有最 　　值（填“大”或“小”），这个值是 　　； （3）知识拓展：若﹣x2+3x+y+8＝0，求x+y的最小值． 二、用因式分解法中的提公因式法解一元二次方程 1.方程2x（x﹣3）+5（3﹣x）＝0的根是（　　） A.x B.x＝3 C.，x2＝3 D.，x2＝3 2.一元二次方程x（x﹣1）＝2（x﹣1）的解完全正确的是（　　） A.x＝2 B.x1＝2，x2＝1 C.x1＝﹣2，x2＝1 D.x1＝3，x2＝﹣1 3.一元二次方程x2﹣2x＝0的解是（　　） A.x1＝3，x2＝1 B.x1＝2，x2＝0 C.x1＝3，x2＝﹣2 D.x1＝﹣2，x2＝﹣1 4.方程x（2x﹣1）＝2x﹣1的解为 　　． 5.方程x2﹣8x＝0的解是 　　． 6.解下列方程：． 7.解方程： 三、利用公式法解简单的一元二次方程 1.当用公式法解方程时，的值为（   ） A.2 B. C.17 D. 2.是下列哪个一元二次方程的根（　　） A.2x2+3x+1＝0 B.2x2﹣3x+1＝0 C.2x2+3x﹣1＝0 D.2x2﹣3x﹣1＝0 3.在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（　　） A.2x2﹣3x﹣1＝0 B.2x2+4x﹣1＝0 C.﹣x2﹣3x+2＝0 D.3x2﹣2x+1＝0 4.小颖解一元二次方程3x2□x﹣1＝0时，一次项系数印刷不清楚，查看答案为，则□代表的数为 　　． 5.方程7x2﹣6x﹣5＝0的解为 　　． 6.解方程： 7.解方程：2y2＝4y﹣1． 四、利用配方构成非负数求值 1.若a，b，c为△ABC的三边长且a2+b2﹣12a﹣12b+72＝0，则△ABC的形状为（　　）三角形． A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 2.已知a，b，c满足a2+b2+c2﹣6a+2b﹣4c+14＝0，则（ab）c的值为（　　） A.4 B.6 C.8 D.9 3.已知三角形的三条边为a，b，c，且满足a2﹣10a+b2﹣16b+89＝0，则这个三角形的最大边c的取值范围是（　　） A.c＞8 B.5＜c＜8 C.8≤c＜13 D.5＜c＜13 4.若x，y是自然数且满足．x2+y2＝4x+4y﹣7，则x+y＝　　． 5.若a，b，c是△ABC的三边，且满足a2+b2+c2﹣6a﹣8b﹣10c+50＝0，则△ABC的周长为 　　． 6.利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题．观察下列式子： ①x2+4x+2＝（x2+4x+4）﹣2＝（x+2）2﹣2， ∵（x+2）2≥0，∴x2+4x+2＝（x+2）2﹣2≥﹣2．因此．代数式x2+4x+2有最小值﹣2； ②﹣x2+2x+3＝﹣（x2﹣2x+1）+4＝﹣（x﹣1）2+4． ∵﹣（x﹣1）2≤0，∴﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4≤4．因此，代数式﹣x2+2x+3有最大值4： 阅读上述材料并完成下列问题： （1）代数式x2﹣4x+2的最小值为 　　；代数式﹣a2﹣4a+2的最大值为 　　． （2）求代数式a2+b2+6b﹣10a+11的最小值； （3）已知△ABC的三条边的长度分别为a、b、c，且满足a2+b2+65＝8a+14b，且c为正整数，求△ABC的周长的最大值． 7.先阅读下面的内容，再解决问题． 若m2+2m+n2﹣6n+10＝0，求m和n的值． 因为m2+2m+n2﹣6n+10＝0，所以m2+2m+1+n2﹣6n+9＝0， 所以（m+1）2+（n﹣3）2＝0，所以m+1＝0，n﹣3＝0，所以m＝﹣1，n＝3． 解决问题：若x2+2y2﹣2xy+4y+4＝0，求xy的值． 五、形如(mx＋n)²=p型方程的解法 1.方程（x﹣5）2＝0的根是（　　） A.x＝﹣5 B.x1＝x2＝5 C.x1＝x2＝﹣5 D.x1＝5，x2＝﹣5 2.一元二次方程（x+1）2＝16用直接开平方法可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+1＝4，则另一个一元一次方程是（　　） A.x﹣1＝﹣4 B.x﹣1＝4 C.x+1＝﹣4 D.x+1＝4 3.用直接开平方的方法解方程（3x+1）2＝（2x﹣5）2，做法正确的是（　　） A.3x+1＝2x﹣5 B.3x+1＝﹣（2x﹣5） C.3x+1＝±（2x﹣5） D.3x+1＝±2x﹣5 4.方程（x+2）2＝8，则方程的根为 　　． 5.方程（x+2）2＝1的根是　　． 6.解方程：． 7.解方程：（x﹣1）2＝25． 六、换元法解一元二次方程 1.若实数x，y满足（x3+y3﹣1）（x3+y3+3）＝0，则x3+y3的值为（　　） A.1 B.﹣3 C.1或﹣3 D.﹣1或3 2.关于x的方程（x2+x）2+2x2+2x﹣3＝0，则x2+x的值是（　　） A.﹣3 B.1 C.﹣3或1 D.3或﹣1 3.若（a2﹣3）（a2+1）＝0，则代数式a2的值为（　　） A.﹣1或3 B.1或﹣3 C.﹣1 D.3 4.已知，则的值等于           ． 5.若实数x满足（x2+x）（x2+x+1）＝42，则x2+x＝　　． 6.阅读，我们可以用换元法解简单的高次方程，解方程x4﹣3x2+2＝0时，可设y＝x2，则原方程可比为y2+3y+2＝0，解之得y1＝2，y2＝1，当y1＝2时，则x2＝2，即x1＝，x2＝﹣；当y2＝1时，即x2＝1，则x1＝1，x2＝﹣1，故原方程的解为x1＝，x2＝﹣，x3＝1，x4＝﹣1，仿照上面完成下面解答： (1)已知方程(2x2+1)2+2x2﹣3＝0，设y＝2x2+1，则原方程可化为_______. (2)仿照上述解法解方程：(x2﹣2x)2﹣3x2+6x＝0. 7.解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，．当时，即，解得；当时，即，解得，所以原方程的解为，．请利用这种方法求下列方程： （1）； （2）． 七、用因式分解法解x²＋px＋q=0型的一元二次方程 1.等腰三角形的两边长分别是方程x2﹣10x+21＝0的两个根，则这个三角形的周长为（　　） A.17或13 B.13或21 C.17 D.13 2.已知三角形的两边长为2和5，第三边满足方程x2﹣7x+12＝0，则三角形的周长为（　　） A.10 B.11 C.10或11 D.以上都不对 3.一元二次方程x2﹣6x+5＝0的解为（　　） A.x1＝1，x2＝5 B.x1＝2，x2＝3 C.x1＝﹣1，x2＝﹣5 D.x1＝﹣2，x2＝﹣3 4.方程x2﹣17x＝﹣72的解为 　　． 5.方程x2﹣14x+48＝0的两个根是 　　． 6.（1） （2）． 7.解方程：x2+4x﹣5＝0． 八、形如为x²=p(p≥0)型方程的解法 1.方程x2﹣4＝0的两个根是（　　） A.x1＝2，x2＝﹣2 B.x1＝x2＝﹣2 C.x1＝x2＝2 D.x1＝2，x2＝0 2.方程x2﹣6＝0的解是（　　） A. B.， C.x1＝x2＝6 D.x1＝6，x2＝﹣6 3.方程3x2+9＝0的根为（　　） A.3 B.﹣3 C.±3 D.无实数根 4.一元二次方程2x2＝18的根为 　　． 5.方程x2﹣1＝0的根为　　． 6.解关于x的方程ax2＝2x2+4． 7.x2﹣1＝23． 九、用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程 1.如图是嘉淇用配方法解一元二次方程的具体过程，老师说这个解法出现了错误，则开始出现错误的步骤是（　　） A.② B.③ C.④ D.⑤ 2.一元二次方程x2﹣4x﹣8＝0的解是（　　） A.， B.， C.， D.， 3.老师设计了接力游戏，用合作的方式完成配方法解一元二次方程，规则：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后解出方程．过程如图所示： 接力中，自己负责的一步出现错误的是（　　） A.只有甲 B.甲和丙 C.乙和丙 D.丙和丁 4.阅读并回答问题：x2＝﹣1在实数范围内无解，如果存在一个数i，使i2＝﹣1，那么当x2＝﹣1时，有x＝±i，从而x＝±i是方程x2＝﹣1的两个根．据此可知：i可以运算，例如：i3＝i2×i＝﹣1×i＝﹣i．则方程x2﹣2x+2＝0的两根为 　　．（根用i表示）． 5.下面是用配方法解关于x的一元二次方程3x2+x﹣2＝0的具体过程，3x2+2x﹣1＝0． 解：第一步：x2x0 第二步：x2x 第三步：x2x+（）2（）2 第四步：（x）2∴x±∴x1，x2＝﹣1 以下四条语句与上面四步对应：“①移项：方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；②求解：用直接开方法解一元二次方程；③配方：根据完全平方公式，在方程的两边各加上一次项系数一半的平方；④二次项系数化1，方程两边都除以二次项系数”，则第一步，第二步，第三步，第四步应对应的语句分别是 　　． 6.解方程：． 7.解方程：x2﹣2x﹣7＝0． 沪科版八年级下册 17.2 一元二次方程的解法 暑假巩固（参考答案） 一、利用配方解决最值问题 1.关于x的一元二次方程新定义：若关于x的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与就是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程：与是“同族二次方程”．那么代数式取的最大值是（   ） A.2020 B.2021 C.2022 D.2023 【答案】A 【解析】解：与是“同族二次方程”， ， ，解得：， ， 代数式取的最大值是， 故选：A． 2.已知实数x，y满足4x2﹣x+4xy+y2＝1，设M＝x+y，则M的最大值是（　　） A. B. C. D.1 【答案】B 【解析】∵4x2﹣x+4xy+y2＝1， ∴（2x+y）2＝x+1， ∴2x+y＝±， ∴x+y＝±x， 设a，则x＝a2﹣1， 则x+y＝±a﹣（a2﹣1）＝﹣（a±）2， ∴x+y的最大值为， 即M的最大值为， 故选：B． 3.若p＝x2+y2+2x﹣4y+2028，p的最小值是（　　） A.2028 B.2023 C.2022 D.2020 【答案】B 【解析】由题意得，p＝x2+y2+2x﹣4y+2028 ＝x2+2x+1+y2﹣4y+4+2023 ＝（x+1）2+（y﹣2）2+2023． 又对于任意的x，y都有（x+1）2≥0，（y﹣2）2≥0， ∴（x+1）2+（y﹣2）2+2023≥2023． ∴p≥2023． ∴p的最小值是2023． 故选：B． 4.代数式3m2﹣2m+1的最小值为 　　． 【答案】． 【解析】原式＝3（m2m） ＝3（m）2， ∵3（m）2≥0， ∴当m时，原式的最小值为， 故答案为：． 5.已知S＝t2﹣2t﹣15，则S的最小值为 　　． 【答案】-16 【解析】∵S＝t2﹣2t﹣15＝（t﹣1）2﹣16， ∴当t＝1时，S取得最小值为﹣16． 故答案为：﹣16． 6.如果关于的一元二次方程有一个根是1，那么我们称这个方程为“和美方程”． (1)判断一元二次方程是否为“和美方程”，请说明理由． (2)已知关于的一元二次方程是“和美方程”，求的最小值． 【答案】（1）解：该方程是“和美方程”，理由如下， ∵当时，方程左边，右边， ∴左边=右边， ∴是该方程的解， ∴该方程是“和美方程”； （2）解：由题意得：， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴的最小值为． 7.上数学课时，张老师在讲完因式分解（a±b）2＝a2±2ab+b2的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式x2+4x+5的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1， ∵（x+2）2≥0， ∴当x＝﹣2时，（x+2）2的值最小，最小值是0， ∴（x+2）2+1≥1， ∴当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1， ∴x2+4x+5的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题 （1）知识再现：当x＝　　时，代数式x2﹣6x+10的最小值是 　　； （2）知识运用：若y＝﹣x2+2x﹣5，当x＝　　时，y有最 　　值（填“大”或“小”），这个值是 　　； （3）知识拓展：若﹣x2+3x+y+8＝0，求x+y的最小值． 【答案】解：（1）知识再现：由题意得，x2﹣6x+10＝（x﹣3）2+1． ∵（x﹣3）2≥0， ∴当x＝3时，（x﹣3）2的值最小，最小值是0， ∴（x﹣3）2+1≥1， ∴当（x﹣3）2＝0时，（x﹣3）2+1的值最小，最小值是1， ∴x2﹣6x+10的最小值是1． 故答案为：3；1． （2）知识运用：由题意得，y＝﹣x2+2x﹣5＝﹣（x﹣1）2﹣4． ∵（x﹣1）2≥0， ∴﹣（x﹣1）2≤0， ∴当x＝1时，﹣（x﹣1）2的值最大，最大值是0， ∴﹣（x﹣1）2﹣4≤﹣4． ∴当（x﹣1）2＝0时，﹣（x﹣1）2﹣4的值最大，最大值是﹣4， ∴当x＝1时，y＝﹣（x﹣1）2﹣4有最大值，这个值是﹣4． 故答案为：1；大；﹣4． （3）知识拓展：∵﹣x2+3x+y+8＝0， ∴y＝x2﹣3x﹣8． ∴x+y＝x2﹣2x﹣8＝（x﹣1）2﹣9． ∵（x﹣1）2≥0， ∴（x﹣1）2﹣9≥﹣9，即x+y≥﹣9． ∴当x＝1时，x+y取最小值为﹣9． 二、用因式分解法中的提公因式法解一元二次方程 1.方程2x（x﹣3）+5（3﹣x）＝0的根是（　　） A.x B.x＝3 C.，x2＝3 D.，x2＝3 【答案】C 【解析】因式分解，得 （x﹣3）（2x﹣5）＝0 于是，得 2x﹣5＝0或x﹣3＝0， 解得x1，x2＝3， 故选：C． 2.一元二次方程x（x﹣1）＝2（x﹣1）的解完全正确的是（　　） A.x＝2 B.x1＝2，x2＝1 C.x1＝﹣2，x2＝1 D.x1＝3，x2＝﹣1 【答案】B 【解析】x（x﹣1）＝2（x﹣1） （x﹣1）（x﹣2）＝0， ∴x1＝2，x2＝1． 故选：B． 3.一元二次方程x2﹣2x＝0的解是（　　） A.x1＝3，x2＝1 B.x1＝2，x2＝0 C.x1＝3，x2＝﹣2 D.x1＝﹣2，x2＝﹣1 【答案】B 【解析】x2﹣2x＝0， x（x﹣2）＝0， 则x＝0或x﹣2＝0， 解得：x1＝2，x2＝0． 故选：B． 4.方程x（2x﹣1）＝2x﹣1的解为 　　． 【答案】x1，x2＝1． 【解析】移项，得x（2x﹣1）﹣（2x﹣1）＝0， 提公因式，得，（2x﹣1）（x﹣1）＝0， 解得2x﹣1＝0，x﹣1＝0， x1，x2＝1． 故答案为x1，x2＝1． 5.方程x2﹣8x＝0的解是 　　． 【答案】x1＝0，x2＝8． 【解析】x2﹣8x＝0， x（x﹣8）＝0， x＝0或x﹣8＝0， x1＝0，x2＝8． 故答案为：x1＝0，x2＝8． 6.解下列方程：． 【答案】解：移项，得 则，即 ∴或 解得，． 7.解方程： 【答案】解：， ， ， ， 或， 解得：． 三、利用公式法解简单的一元二次方程 1.当用公式法解方程时，的值为（   ） A.2 B. C.17 D. 【答案】C 【解析】解：原方程可变形为， ，，， ． 故选：C 2.是下列哪个一元二次方程的根（　　） A.2x2+3x+1＝0 B.2x2﹣3x+1＝0 C.2x2+3x﹣1＝0 D.2x2﹣3x﹣1＝0 【答案】A 【解析】A．方程2x2+3x+1＝0的解为：，故符合题意； B．方程2x2﹣3x+1＝0的解为：，故不符合题意； C．方程2x2+3x﹣1＝0的解为：，故不符合题意； D．方程2x2﹣3x﹣1＝0的解为：，故不符合题意． 故选：A． 3.在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（　　） A.2x2﹣3x﹣1＝0 B.2x2+4x﹣1＝0 C.﹣x2﹣3x+2＝0 D.3x2﹣2x+1＝0 【答案】A 【解析】由题意a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1． 故选：A． 4.小颖解一元二次方程3x2□x﹣1＝0时，一次项系数印刷不清楚，查看答案为，则□代表的数为 　　． 【答案】﹣6． 【解析】设□代表的数为b，则一元二次方程为：3x2+bx﹣1＝0， 把代入得：， 解得：b＝﹣6， ∴□代表的数为﹣6， 故答案为：﹣6． 5.方程7x2﹣6x﹣5＝0的解为 　　． 【答案】x1，x2． 【解析】∵a＝7，b＝﹣6，c＝﹣5， ∵Δ＝36﹣4×7×（﹣5）＝176＞0， ∴x， 解得：x1，x2． 6.解方程： 【答案】解：∵2x（x+2）-1=0， ∴2x2+4x-1=0， ∴a=2，b=4，c=-1， ∴Δ=16-4×2×（-1）=24>0， ∴x= ， ∴x1=，x2=． 7.解方程：2y2＝4y﹣1． 【答案】解：∵2y2﹣4y+1＝0， ∴a＝2，b＝﹣4，c＝1， 则Δ＝16﹣4×2×1＝8＞0， ∴y， 即y1，y2； 四、利用配方构成非负数求值 1.若a，b，c为△ABC的三边长且a2+b2﹣12a﹣12b+72＝0，则△ABC的形状为（　　）三角形． A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 【答案】B 【解析】∵a2+b2﹣12a﹣12b+72＝0， ∴（a2﹣12a+36）+（b2﹣12b+36）＝0， 即（a﹣6）2+（b﹣6）2＝0， ∴a＝b＝6， ∴△ABC是等腰三角形， 故选：B． 2.已知a，b，c满足a2+b2+c2﹣6a+2b﹣4c+14＝0，则（ab）c的值为（　　） A.4 B.6 C.8 D.9 【答案】D 【解析】∵a2+b2+c2﹣6a+2b﹣4c+14＝0， ∴（a﹣3）2+（b+1）2+（c﹣2）2＝0， 解得a＝3，b＝﹣1，c＝2， ∴（ab）c＝（﹣3）2＝9， 故选：D． 3.已知三角形的三条边为a，b，c，且满足a2﹣10a+b2﹣16b+89＝0，则这个三角形的最大边c的取值范围是（　　） A.c＞8 B.5＜c＜8 C.8≤c＜13 D.5＜c＜13 【答案】C 【解析】∵a2﹣10a+b2﹣16b+89＝0， ∴（a2﹣10a+25）+（b2﹣16b+64）＝0， ∴（a﹣5）2+（b﹣8）2＝0， ∵（a﹣5）2≥0，（b﹣8）2≥0， ∴a﹣5＝0，b﹣8＝0， ∴a＝5，b＝8． ∵三角形的三条边为a，b，c， ∴b﹣a＜c＜b+a， ∴3＜c＜13． 又∵这个三角形的最大边为c， ∴8≤c＜13． 故选：C． 4.若x，y是自然数且满足．x2+y2＝4x+4y﹣7，则x+y＝　　． 【答案】5或3． 【解析】∵x2+y2＝4x+4y﹣7， ∴x2+y2﹣4x﹣4y+7＝0， ∴x2﹣4x+4+y2﹣4y+4﹣1＝0， ∴（x﹣2）2+（y﹣2）2＝1， ∵x，y是自然数， ∴（x﹣2）2＝0，（y﹣2）2＝1或（x﹣2）2＝1，（y﹣2）2＝0． 当（x﹣2）2＝0，（y﹣2）2＝1时， x﹣2＝0，y﹣2＝1或x﹣2＝0，y﹣2＝﹣1， ∴x＝2，y＝3或x＝2，y＝1， ∴x+y＝2+3＝5或x+y＝2+1＝3． 当（x﹣2）2＝1，（y﹣2）2＝0时， x﹣2＝1，y﹣2＝0或x﹣2＝﹣1，y﹣2＝0， ∴x＝3，y＝2或x＝1，y＝2， ∴x+y＝3+2＝5或x+y＝1+2＝3． 故答案为：5或3． 5.若a，b，c是△ABC的三边，且满足a2+b2+c2﹣6a﹣8b﹣10c+50＝0，则△ABC的周长为 　　． 【答案】12． 【解析】原式＝（a﹣3）2+（b﹣4）2+（c﹣5）2＝0， ∴a＝3，b＝4，c＝5， ∴a+b+c＝3+4+5＝12， 故答案为：12． 6.利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题．观察下列式子： ①x2+4x+2＝（x2+4x+4）﹣2＝（x+2）2﹣2， ∵（x+2）2≥0，∴x2+4x+2＝（x+2）2﹣2≥﹣2．因此．代数式x2+4x+2有最小值﹣2； ②﹣x2+2x+3＝﹣（x2﹣2x+1）+4＝﹣（x﹣1）2+4． ∵﹣（x﹣1）2≤0，∴﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4≤4．因此，代数式﹣x2+2x+3有最大值4： 阅读上述材料并完成下列问题： （1）代数式x2﹣4x+2的最小值为 　　；代数式﹣a2﹣4a+2的最大值为 　　． （2）求代数式a2+b2+6b﹣10a+11的最小值； （3）已知△ABC的三条边的长度分别为a、b、c，且满足a2+b2+65＝8a+14b，且c为正整数，求△ABC的周长的最大值． 【答案】解：（1）∵x2﹣4x+2＝（x﹣2）2﹣2≥﹣2，﹣a2﹣4a+2＝﹣（a+2）2+6≤6， 故答案为：﹣2，6； （2）∵a2+b2+6b﹣10a+11＝（a﹣5）2+（b+3）2﹣23≥﹣23， ∴代数式a2+b2+6b﹣10a+11的最小值为﹣23； （3）∵a2+b2+65＝8a+14b， ∴a2+b2+65﹣8a﹣14b＝0， ∴a2+b2+65﹣8a﹣14b＝（a﹣4）2+（b﹣7）2＝0， ∴a＝4，b＝7， ∵△ABC的三条边的长度分别为a、b、c，且c为正整数， ∴3＜c＜11， ∴c的最大整数值为10， ∴△ABC的周长的最大值为：10+4+7＝21． 7.先阅读下面的内容，再解决问题． 若m2+2m+n2﹣6n+10＝0，求m和n的值． 因为m2+2m+n2﹣6n+10＝0，所以m2+2m+1+n2﹣6n+9＝0， 所以（m+1）2+（n﹣3）2＝0，所以m+1＝0，n﹣3＝0，所以m＝﹣1，n＝3． 解决问题：若x2+2y2﹣2xy+4y+4＝0，求xy的值． 【答案】解：∵x2+2y2﹣2xy+4y+4＝0， ∴（x﹣y）2+（y+2）2＝0 ∴x＝﹣2，y＝﹣2， ∴xy． 五、形如(mx＋n)²=p型方程的解法 1.方程（x﹣5）2＝0的根是（　　） A.x＝﹣5 B.x1＝x2＝5 C.x1＝x2＝﹣5 D.x1＝5，x2＝﹣5 【答案】B 【解析】（x﹣5）2＝0 解得：x1＝x2＝5． 故选：B． 2.一元二次方程（x+1）2＝16用直接开平方法可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+1＝4，则另一个一元一次方程是（　　） A.x﹣1＝﹣4 B.x﹣1＝4 C.x+1＝﹣4 D.x+1＝4 【答案】C 【解析】∵（x+1）2＝16， ∴x+1＝±4， ∴x+1＝4或x+1＝﹣4， 故选：C． 3.用直接开平方的方法解方程（3x+1）2＝（2x﹣5）2，做法正确的是（　　） A.3x+1＝2x﹣5 B.3x+1＝﹣（2x﹣5） C.3x+1＝±（2x﹣5） D.3x+1＝±2x﹣5 【答案】C 【解析】（3x+1）2＝（2x﹣5）2 开方得3x+1＝±（2x﹣5）， 故选：C． 4.方程（x+2）2＝8，则方程的根为 　　． 【答案】x＝22或x＝﹣22 【解析】（x+2）2＝8， x+2＝2或x+2＝﹣2， x＝22或x＝﹣22， 故答案为：x＝22或x＝﹣22． 5.方程（x+2）2＝1的根是　　． 【答案】x1＝﹣1，x2＝﹣3 【解析】∵（x+2）2＝1， ∴x+2＝1或x+2＝﹣1， 解得：x1＝﹣1，x2＝﹣3， 故答案为：x1＝﹣1，x2＝﹣3． 6.解方程：． 【答案】解：原方程整理得：（x﹣1）2， 直接开平方得：x﹣1＝±， 解得：x1，x2． 7.解方程：（x﹣1）2＝25． 【答案】解：开方得：x﹣1＝±5， 解得：x1＝6，x2＝﹣4． 六、换元法解一元二次方程 1.若实数x，y满足（x3+y3﹣1）（x3+y3+3）＝0，则x3+y3的值为（　　） A.1 B.﹣3 C.1或﹣3 D.﹣1或3 【答案】C 【解析】设x3+y3＝m， ∵（x3+y3﹣1）（x3+y3+3）＝0， ∴（m﹣1）（m+3）＝0， ∴m﹣1＝0或m+3＝0， 解得m＝1或m＝﹣3， ∴x3+y3＝1或x3+y3＝﹣3， 故选：C． 2.关于x的方程（x2+x）2+2x2+2x﹣3＝0，则x2+x的值是（　　） A.﹣3 B.1 C.﹣3或1 D.3或﹣1 【答案】B 【解析】设x2+x＝t，则此方程可化为t2+2t﹣3＝0， ∴（t﹣1）（t+3）＝0， ∴t﹣1＝0或t+3＝0， 解得t1＝1，t2＝﹣3， ∴x2+x的值是1或﹣3． 当x2+x＝﹣3时，x2+x+3＝0， ∵Δ＝1﹣12＝﹣11＜0， ∴此方程无解， ∴x2+x的值是1． 故选：B． 3.若（a2﹣3）（a2+1）＝0，则代数式a2的值为（　　） A.﹣1或3 B.1或﹣3 C.﹣1 D.3 【答案】D 【解析】设a2＝x，可知x≥0， 原方程可化为：（x﹣3）（x+1）＝0， 解得：x＝3或x＝﹣1， ∵x≥0， ∴x＝3 ∴a2＝3， 故选：D． 4.已知，则的值等于           ． 【答案】4 【解析】解：设， ∴， ∴，即， ∴或， ∵的值一定是非负数， ∴． 故答案为：4 5.若实数x满足（x2+x）（x2+x+1）＝42，则x2+x＝　　． 【答案】6． 【解析】设 x2+x＝y，则原方程换元为y（y+1）＝42，即 y2+y﹣42＝0， ∴（y﹣6）（y+7）＝0， 解得：y1＝6，y2＝﹣7， 即 x2+x＝6或x2+x＝﹣7（无实数根，舍去）， ∴x2+x＝6． 故答案为：6． 6.阅读，我们可以用换元法解简单的高次方程，解方程x4﹣3x2+2＝0时，可设y＝x2，则原方程可比为y2+3y+2＝0，解之得y1＝2，y2＝1，当y1＝2时，则x2＝2，即x1＝，x2＝﹣；当y2＝1时，即x2＝1，则x1＝1，x2＝﹣1，故原方程的解为x1＝，x2＝﹣，x3＝1，x4＝﹣1，仿照上面完成下面解答： (1)已知方程(2x2+1)2+2x2﹣3＝0，设y＝2x2+1，则原方程可化为_______. (2)仿照上述解法解方程：(x2﹣2x)2﹣3x2+6x＝0. 【答案】（1）设y＝2x2+1， 则原方程左边＝(2x2+1)2+(2x2+1)﹣4＝y2+y﹣4． ∴原方程可化为y2+y﹣4＝0． 故答案为：y2+y﹣4＝0． （2）设x2﹣2x＝y， 则原式左边＝(x2﹣2x)2﹣3(x2﹣2x)＝y2﹣3y； ∴y2﹣3y＝0， ∴y(y﹣3)＝0， ∴y＝0或3． 当y＝0时，则x2﹣2x＝0， ∴x(x﹣2)＝0， ∴x＝2或0； 当y＝3时，则x2﹣2x＝3， ∴x2﹣2x﹣3＝0， 解得x＝﹣1或3． 故方程的解为x＝3或x＝2或x＝0或x＝﹣1． 7.解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，．当时，即，解得；当时，即，解得，所以原方程的解为，．请利用这种方法求下列方程： （1）； （2）． 【答案】解：（1） 设，则原方程可化为， 解得，． 当时，即，解得 当时，即，解得， 所以原方程的解为，； （2） 设，则原方程可化为， 解得，． 当时，即，解得 当时，即，解得， 所以原方程的解为，． 七、用因式分解法解x²＋px＋q=0型的一元二次方程 1.等腰三角形的两边长分别是方程x2﹣10x+21＝0的两个根，则这个三角形的周长为（　　） A.17或13 B.13或21 C.17 D.13 【答案】C 【解析】x2﹣10x+21＝0， （x﹣3）（x﹣7）＝0， 解得x1＝3，x2＝7， 当等腰三角形的边长是3、3、7时，3+3＜7，不符合三角形的三边关系，应舍去； 当等腰三角形的边长是7、7、3时，这个三角形的周长是7+7+3＝17． 故选：C． 2.已知三角形的两边长为2和5，第三边满足方程x2﹣7x+12＝0，则三角形的周长为（　　） A.10 B.11 C.10或11 D.以上都不对 【答案】B 【解析】方程x2﹣7x+12＝0， 分解因式得：（x﹣3）（x﹣4）＝0， 解得：x1＝3，x2＝4， 当x＝3时，2+3＝5，不能构成三角形； 当x＝4时，三角形周长为2+4+5＝11． 故选：B． 3.一元二次方程x2﹣6x+5＝0的解为（　　） A.x1＝1，x2＝5 B.x1＝2，x2＝3 C.x1＝﹣1，x2＝﹣5 D.x1＝﹣2，x2＝﹣3 【答案】A 【解析】x2﹣6x+5＝0 （x﹣1）（x﹣5）＝0， x﹣1＝0或x﹣5＝0， 解得x1＝1，x2＝5， 故选：A． 4.方程x2﹣17x＝﹣72的解为 　　． 【答案】x1＝8，x2＝9． 【解析】x2﹣17x＝﹣72， x2﹣17x+72＝0 （x﹣8）（x﹣9）＝0， ∴x﹣8＝0或x﹣9＝0， 解得：x1＝8，x2＝9． 故答案为：x1＝8，x2＝9． 5.方程x2﹣14x+48＝0的两个根是 　　． 【答案】x1＝6，x2＝8． 【解析】x2﹣14x+48＝0， （x﹣6）（x﹣8）＝0， x﹣6＝0或x﹣8＝0， x1＝6，x2＝8， 故答案为：x1＝6，x2＝8． 6.（1） （2）． 【答案】解：（1）， ， ， ， 解得，； （2）， ，或， 解得，． 7.解方程：x2+4x﹣5＝0． 【答案】解：x2+4x﹣5＝0， （x+5）（x﹣1）＝0， x+5＝0或x﹣1＝0， x1＝﹣5，x2＝1． 八、形如为x²=p(p≥0)型方程的解法 1.方程x2﹣4＝0的两个根是（　　） A.x1＝2，x2＝﹣2 B.x1＝x2＝﹣2 C.x1＝x2＝2 D.x1＝2，x2＝0 【答案】A 【解析】x2﹣4＝0， x2＝4， ∴x＝±2， ∴x1＝2，x2＝﹣2． 故选：A． 2.方程x2﹣6＝0的解是（　　） A. B.， C.x1＝x2＝6 D.x1＝6，x2＝﹣6 【答案】B 【解析】x2﹣6＝0， x2＝6， 解得：x1，x2． 故选：B． 3.方程3x2+9＝0的根为（　　） A.3 B.﹣3 C.±3 D.无实数根 【答案】D 【解析】∵3x2+9＝0 ∴x2+3＝0 ∴x2＝﹣3 ∵x2≥0 ∴原方程无实数根． 故选D． 4.一元二次方程2x2＝18的根为 　　． 【答案】x1＝3，x2＝﹣3． 【解析】2x2＝18， ∴x2＝9， ∴x＝±3， ∴x1＝3，x2＝﹣3． 故答案为：x1＝3，x2＝﹣3． 5.方程x2﹣1＝0的根为　　． 【答案】x1＝1，x2＝﹣1 【解析】x2﹣1＝0 则x2＝1， 解得；x1＝1，x2＝﹣1． 故答案为：x1＝1，x2＝﹣1． 6.解关于x的方程ax2＝2x2+4． 【答案】解：∵ax2＝2x2+4， ∴（a﹣2）x2＝4． 分类讨论：①当a≤2时，则a﹣2≤0， ∵x2≥0， ∴（a﹣2）x2≤0， 则（a﹣2）x2＝4不成立，即此时无解； ②当a＞2时，则， ∴，． 综上可知：当a≤2时，无解；当a＞2时，，． 7.x2﹣1＝23． 【答案】解：∵x2﹣1＝23， ∴x2＝24， ∴． 九、用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程 1.如图是嘉淇用配方法解一元二次方程的具体过程，老师说这个解法出现了错误，则开始出现错误的步骤是（　　） A.② B.③ C.④ D.⑤ 【答案】A 【解析】x2﹣4x＝1， 方程两边加4得到x2﹣4x+4＝4+1， 所以第②步出现错误． 故选：A． 2.一元二次方程x2﹣4x﹣8＝0的解是（　　） A.， B.， C.， D.， 【答案】A 【解析】∵x2﹣4x﹣8＝0， ∴x2﹣4x＝8， ∴x2﹣4x+4＝12， ∴（x﹣2）2＝12， ∴，x﹣2＝±2 解得：x＝±22， 故选：A． 3.老师设计了接力游戏，用合作的方式完成配方法解一元二次方程，规则：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后解出方程．过程如图所示： 接力中，自己负责的一步出现错误的是（　　） A.只有甲 B.甲和丙 C.乙和丙 D.丙和丁 【答案】B 【解析】由题意知，甲中x2+8x+16＝9+16， 丙中x+4＝±3， ∴甲和丙出现了错误， 故选：B． 4.阅读并回答问题：x2＝﹣1在实数范围内无解，如果存在一个数i，使i2＝﹣1，那么当x2＝﹣1时，有x＝±i，从而x＝±i是方程x2＝﹣1的两个根．据此可知：i可以运算，例如：i3＝i2×i＝﹣1×i＝﹣i．则方程x2﹣2x+2＝0的两根为 　　．（根用i表示）． 【答案】x1＝1+i，x2＝1﹣i． 【解析】方程整理得：x2﹣2x＝﹣2， 配方得：x2﹣2x+1＝﹣1，即（x﹣1）2＝﹣1， 开方得：x﹣1＝±i， 解得：x1＝1+i，x2＝1﹣i． 故答案为：x1＝1+i，x2＝1﹣i． 5.下面是用配方法解关于x的一元二次方程3x2+x﹣2＝0的具体过程，3x2+2x﹣1＝0． 解：第一步：x2x0 第二步：x2x 第三步：x2x+（）2（）2 第四步：（x）2∴x±∴x1，x2＝﹣1 以下四条语句与上面四步对应：“①移项：方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；②求解：用直接开方法解一元二次方程；③配方：根据完全平方公式，在方程的两边各加上一次项系数一半的平方；④二次项系数化1，方程两边都除以二次项系数”，则第一步，第二步，第三步，第四步应对应的语句分别是 　　． 【答案】④①③②． 【解析】3x2+2x﹣1＝0， 把二次项系数化1得：x2x0， 移项得：x2x， 配方得：x2x+（）2（）2，即（x）2， 开方得：x±， 解得：x1，x2＝﹣1， 故第一步，第二步，第三步，第四步应对应的语句分别是④①③②， 故答案为：④①③②． 6.解方程：． 【答案】解：， 移项，得， 配方，得． 整理，得， 开方，得． ∴，． 7.解方程：x2﹣2x﹣7＝0． 【答案】解：x2﹣2x＝7， x2﹣2x+1＝8 （x﹣1）2＝8， x﹣1＝±2， 所以x1＝1+2，x2＝1﹣2． 学科网（北京）股份有限公司 $$