第2讲 数轴、相反数(2)-【初中数学新思维】七年级全国通用版

5 【知识要点】 一、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴 . 二、相反数：只有符号不同的两个数互为相反数；0 的相反数是 0 . 若 a、b 互为相反数，则 a b+ = 0 . 三、数轴上两点中点公式：若点 A 与点 B 分别对应的数是 a，b，则中点对应的 数为 a b+ 2 . 【例题展示】 例题 1  若 a、b 互为相反数，c、d 互为负倒数，m 是最大的负整数，则代数式： 3a + 3b − +cd 2 m2 = . 例题 2  x 与 -2y 互为相反数，y 与 3z 互为相反数，则 1 2 x y z+ + + =6 3 . 例题 3  如图，在一条可以折叠的数轴上，A 和 B 表示的数分别是 -10 和 4，以 点 C 为折点，将此数轴向右对折，若点 A 在点 B 的右边，且 AB = 2，则 C 点表示的数 是 . A C B C B A 第2讲 数轴、相反数（2） 第 2 讲  数轴、相反数（2） 6 初中数学新思维  七年级 例题 4 点 A、B 分别是 -3、 − 1 2 在数轴上对应的点．使线段 AB 沿数轴向右移 动到 A'B'，且线段 A'B' 的中点对应的数是 3，则点 A' 对应的数是 ，点 A 移动 的距离是 . 例题 5  一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向以每前进 3 步再后退 2 步 的程序运动，设该机器人每秒钟前进或后退 1 步，并且每步的距离为 1 个单位长度， xn 表示第 n 秒时机器人在数轴上的位置所对应的数 . ( 1 ) 求 x2、x3 的值； ( 2 ) 比较 x2007 与 x2008 的大小 . 例题 6  某巡警骑摩托车在一条东西大道上巡逻。某天他从岗亭出发，晚上停留 在 A 处，规定向东方向为正，向西方向为负，当天行驶情况记录如下 ( 单位：千米 )： +10，-8，+6，-14，+4，-2. ( 1 )A 处在岗亭何方？距离岗亭多远？ ( 2 ) 若摩托车每行驶 1 千米耗油 0.25 升，这一天共耗油多少升？ 例题 7  如图，在一条不完整的数轴上从左到右有点 A、B、C，其中 AB = 2BC， 设点 A、B、C 所对应数的和是 m . ( 1 ) 若点 C 为原点，BC = 1，则点 A、B 所对应的数分别为 、 ；m 的 值为 . ( 2 ) 若点 B 为原点，AC = 6，求 m 的值 . ( 3 ) 若原点 O 到点 C 的距离为 8，且 OC = AB，求 m 的值 . A CB 7 【随堂练习】 1. 已知 x 与 y互为相反数，y 与 z互为相反数，z = 2，则 z - x + y = . 2. 已知 a、b 互为相反数，c、d 互为倒数，m = 2，求代数式 a b c a b + + + + −m2 cd 的值 . 3. 若数轴上离原点的距离小于 3.5 的整数点的个数为 m，距离原点等于 3.5 的点的 个数为 n，则 m - 3n = . 4. 在数轴上，若 N 点与原点距离是 N 点与 30 所对应点之间的距离的 4 倍，则 N 点表示的数是 . 5. 点 P 在数轴上，将它沿相反数的方向移动 2022 个单位长度，假设新位置和原位 置到原点的距离相等，那么点 P 所表示的数是 . 第 2 讲  数轴、相反数（2） 8 初中数学新思维  七年级 6. 司机小王每天都在东西走向的中山大道上来回运送货物，规定向东为正方向，向 西为负方向，这天下午他从位于中山大道上的公司出发，行车里程 ( 单位：千米 ) 如下： -25，+15，-16，+22，-17，-7. ( 1 ) 当小王将最后一批货物送到目的地时，他在公司的东边还是西边？距离公 司多远？ ( 2 ) 假设该货车每千米耗油 0.15 升，这天下午小王送完货物返回公司共耗油多少升？ 7. 等边三角形 ABC 在数轴上的位置如图，点 A、C 对应的数分别为 0 和 -1，若 ABC 绕顶点按顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转 1 次后，点 B 所对应的数为 1，则连 续翻转 2020 次后，点 B 对应的数是 . 8. a，b 表示的点在数轴上的位置如图所示 . ( 1 ) 在数轴上表示出 a，b 的相反数的位置，并将这四个数从小到大排列 . ( 2 ) 若 b 与其相反数相距 16 个单位长度，则 b 表示的数是多少？ ( 3 ) 在 ( 2 ) 的条件下，若 a 与 b 的相反数表示的点相距 4 个单位长度，则 a 表示的数 是多少？ C B -2 -1 0 1 2 3 4 5 A b 0 a 164 初中数学新思维  七年级 随堂练习参考答案 【第1讲】 1. 解析：2m - 1 + 7 − 1 2 m = 0， 2 3 m + =6 0 ，解出 m = -4 . 2. 解析：P 点先向右移动 2 个单位后，表示的数是 4. 再向左移动 5 个单位，表 示的数是 -1 . 表示 -1 的点要移动到 -3 的点，所以应向左移动 2 个单位 . 3. 解析：因为 a、b 符号相反，所以 b 对应数的符号是正号；6 - 2 = 4，b 对应 的数是 4. 4. 解析：去掉整数 0 这一个整数，1997 - 1 = 1996，1996÷2 = 998；因为 1 到 998，有 998 个整数，-998 到 -1，有 998 个整数，因为不包含 a，所以 a 可以取到 999，且要大于 998，所以 998 < a ≤ 999. 5. 解析：我们知道，奇点偶段，刚好从 0 点到 2000 点，包含 2001 个整数点 . 若两头不是整数点，则中间包含 2000 个整数点 . 所以线段 AB 盖住的整点的个 数可能是 2000 或 2001 . 6. 解析：点 A 可能表示的数为 +3 或 -3，则点 B 表示 +2 或 -2，+4 或 -4，因 为是距离和，所以 2 + 2 + 4 + 4 = 12 . 7. 解析：根据公式：      − + ÷ = 1 3 1 4 8 16 2 ，表示的数是 16 1 . 8. 解析：由题意知 A 点表示的数是 m - 2 ( m 里包含负号 )；OA 长度是 2 - m， 点 B 表示正数，所以点 B 为 2  2 m . 9. 解析：由数轴得点 C 表示的数为负数，即 -3，因为 AB - AC = 3，所以 2 - a - ［a - ( -3 ) ］= 3，所以 a 表示 -2 . 【第2 讲】 1. 解析：由题意得 y = -2，x = 2，所以 z - x + y = 2 - 2 + ( -2 ) = -2 . 2. 解析：由题意得 a + b = 0，cd = 1，原式 = 0 + 4 - 1 = 3 . 3. 解析：整数点有 -3，-2，-1，0，1，2，3，共 7 个，所以 m = 7，n = 2，m - 3n = 7 - 3 × 2 = 1. 165 随堂练习参考答案 4. 解析：由题意判断：N 点在原点的右边，即 N 点表示的数是正数 . ( 1 ) 若 N 点在 0 ~ 30 之间，30÷ ( 1+4 )×4 = 24； ( 2 ) 若 N 点在 30 右边，30÷( 4 - 1 ) × 4 = 40 . 所以 N 点表示 24 或 40 . 5. 解析：因为到原点距离相等，2022÷2 = 1011，P 点可以是正数，也可以是负 数，所以 P 点表示的数是 1011 或 -1011 . 6. 解析：( 1 ) 公司位置为原点：-25 + 15 + ( -16 ) + 22 + ( -17 ) + ( -7 )= -28， 在公司的西边；距离公司 28 千米 . ( 2 ) 一共走的路程是：25 + 15 + 16 + 22 + 17 + 7 + 28 = 130 千米；0.15×130 = 19.5 ( 升 ) . 7. 解析：第一次点 B 对应的数是 1，以后每次点 B 由数轴翻转到数轴上时对应的 数要增加 3， ( 2020 - 1 )÷3 = 673，1 + 3×673 = 2020，点 B 表示 2020 . 8. 解析：( 1 ) 图略 . 由数轴得：b 是负数，a 是正数，b 到原点距离较长；所以有 b < -a< a < -b . ( 2 )16÷2 = 8，所以 b 距离原点长度是 8，b 表示 -8 . ( 3 )b 的相反数表示 8，因为 a 距离原点较近，所以 a 表示的数是 8 - 4 = 4 . 【第 3 讲】 1. 解析：由题意得 x + 5 = 0， y y2 + − =6 0 ，解得 x = -5， y2 + =y 6 ， 原式 = y y2 3 2− × − × + − + −1 5 ( 5) ( 5) ( 5) = y y2 + − +125 25 = 6 - 125 + 25 = -94 . 2. 解析：由题意得 ab a− + − =2 1 0 ，所以 ab - 2 = 0，a - 1 = 0，解得 a = 1， b=2 . 原式 = 1 2 2 3 3 4 2023 2024× × × × 1 1 1 1 + + + + = 1− + − + − + + −1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 2023 2024  = 1− 2024 1 = 2024 2023 .