13.2 命题与证明 学案 2025-2026学年沪科版（2024）数学八年级上册

13.2 命题与证明 课题1　命题与证明 【学习目标】 1．了解命题的概念，会判定一个命题的真假； 2．经历探究命题以及结构的过程，体会命题的内涵． 【学习重点】 认识命题的内涵和结构． 【学习难点】 区别命题的题设和结论． 问题引入： 如果有一根比地球赤道长1 m的铜线将地球赤道绕一圈．想一想，铜线与地球赤道之间的空隙有多大(假设地球是球形的)？能放进一个苹果吗？ 此例中，要想知道结论，必须计算验证． 解：设地球半径为r，铜线圈半径为R，赤道周长为a m，铜线圈周长为(a＋1)m. ∵2πr＝a，2πR＝a＋1， ∴r＝，R＝，R－r＝－＝，1÷2π≈0.16 m．∴能放进一个苹果． 知识模块一　命题、真命题与假命题 阅读教材P73～P74的内容，回答下列问题： 什么叫作命题，什么叫作真命题、假命题？命题结构是怎样的？ 答：可以判断正确或不正确的陈述语句叫作命题；命题经判断是正确的，这样的命题我们称之为真命题；命题经判断是错误的，这样的命题我们称之为假命题；命题通常由条件和结论两部分组成，常写成“如果……那么……”的形式． 典例1：下列四个句子是命题的是 (B) A．生活在水里的动物是鱼吗 B．正方形的四条边相等 C．利用三角形画60°的角 D．直线、射线、线段 典例2：命题“对顶角相等”的条件是__如果两个角是对顶角__，结论是__那么这两个角相等__． 典例3：将命题“两直线平行，内错角相等”写成“如果……那么……”的形式为__如果两条平行直线被第三条直线所截，那么内错角相等__． 仿例1：命题“相等的角是对顶角”是__假__命题(选填“真”或“假”)． 仿例2：下列命题中，真命题是 (C) A．同位角相等 B．6的平方根是3 C．若直线a∥b，b∥c，则a∥c D．三角形的两边之差大于第三边 变例1：已知命题A：任何偶数都是8的整数倍．在下列选项中，可以作为“命题A是假命题”的反例的是 (D) A．－8　　　　　　B．15　　　　　C．24　　　　　　D．42 变例2：命题“等角的余角相等”的题设是__如果两个角是相等角的余角__，结论是__那么这两个角相等_． 知识模块二　互逆命题 阅读教材P74的内容，回答下列问题： 什么是互逆命题？ 答：将命题中的条件与结论互换，便得到一个新命题，我们把这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫作原命题，另一个就叫作原命题的逆命题． 典例1：写出下列命题的逆命题，并判断所得逆命题的真假，如果是假命题，请举一个反例． (1)内错角相等，两直线平行； (2)如果a＝0，那么ab＝0. 解：(1)逆命题是“两直线平行，内错角相等”，是真命题； (2)逆命题是“如果ab＝0，那么a＝0”，是假命题．反例，当a＝1，b＝0时，ab＝0，此时，a≠0. 1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑． 2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”． 知识模块一　命题、真命题与假命题 知识模块二　互逆命题 课题2　定理与证明 【学习目标】 1．了解公理、定理、证明的内涵，会进行简单的推理； 2．经历探索证明的过程，弄清证明的基本方法以及书写格式，体会演绎推理的意义． 【学习重点】 掌握推理方法． 【学习难点】 培养演绎推理意识． 旧知回顾： 1．什么是命题？什么是真命题？什么是假命题？ 答：可以判断正确或不正确的陈述语句叫作命题；命题经判断是正确的，这样的命题我们称之为真命题；命题经判断是错误的，这样的命题我们称之为假命题． 2．什么叫互逆命题？什么是原命题和逆命题？ 答：将命题的条件与结论互换，便得到一个新命题，我们把这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫作原命题，另一个就叫作原命题的逆命题． 知识模块一　基本事实、定理 阅读教材P76的内容，回答下列问题： 什么是定理？它与基本事实有何区别？ 答：从基本事实或其他真命题出发，用推理方法判断为正确的，并被选作判断命题真假的依据，这样的真命题叫作定理．定理需要经过证明，而基本事实无需证明. 范例1：“同角或等角的补角相等”是 (C) A．定义　　　　　B．题设　　　　　C．定理　　　　　D．假命题 范例2：下列四个命题：①内错角相等，两直线平行；②有两条边相等的三角形叫作等腰三角形；③过两点有且只有一条直线；④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中，是定理的是__①__(填序号)． 仿例1：下列说法中，错误的是 (A) A．所有的命题都是定理 B．定理是真命题 C．公理是真命题 D．“画线段AB＝CD”不是命题 仿例2：“两条直线相交成直角，就叫两直线互相垂直”这个句子是 (A) A．定义 B．假命题 C．公理 D．定理 知识模块二　证明与推理 阅读教材P76的内容，回答下列问题： 什么叫演绎推理？什么叫证明？ 答：从已知条件出发，依据定义、基本事实、定理，并按照逻辑规则，推导出结论，这一方法称为演绎推理(或演绎法).演绎推理的过程，就是演绎证明． 范例：下列推理中，错误的是 (D) A．∵AB＝CD，CD＝EF，∴AB＝EF B．∵∠α＝∠β，∠β＝∠γ，∴∠α＝∠γ C．∵a∥b，b∥c，∴a∥c D．∵AB⊥EF，EF⊥CD，∴AB⊥CD 仿例：如图，AD⊥BC于点D，EF⊥BC于点F，交AB于点G，交CA的延长线于点E，∠1＝∠2.求证：AD平分∠BAC. 证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC， ∴AD∥EF，(__在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行__) ∴__∠1__＝__∠4__，(两直线平行，内错角相等) ∠2＝∠3.(__两直线平行，同位角相等__) ∵∠1＝∠2， ∴__∠3__＝__∠4__，(__等量代换__) ∴AD平分∠BAC.(__角平分线定义__) 1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑． 2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”． 知识模块一　基本事实、定理 知识模块二　证明与推理 课题3　两条直线位置关系的证明 【学习目标】 1．应用几何推理，证明边角间的位置关系． 2．经历推理论证过程，熟悉正确的书写格式，发展演绎推理能力． 【学习重点】 证明在同一平面内两条直线的位置关系． 【学习难点】 对公理和定理的理解和应用． 旧知回顾： 1．什么是定理？ 答：从基本事实或其他真命题出发，用推理方法判断为正确的，并被选作判断命题真假的依据，这样的真命题叫作定理． 2．什么是演绎推理？什么是证明？ 答：从已知条件出发，依据定义、基本事实、定理，并按照逻辑规则，推导出结论，这一方法称为演绎推理(或演绎法).演绎推理的过程，就是演绎证明． 知识模块一　证明两条直线互相平行 阅读教材P76内容，回答下列问题． 平行线的判定方法有哪些？ 答：1.同位角相等，两直线平行；2.内错角相等，两直线平行；3.同旁内角互补，两直线平行；4.平行于同一直线的两条直线互相平行． 典例：如图，AD∥BC，∠1＝∠C，∠B＝60°，DE平分∠ADC交BC于点E，试说明AB∥DE.请完善解答过程，并在括号内填写相应的理论依据． 解：∵AD∥BC，(已知) ∴∠1＝∠__B__＝60°.(__两直线平行，同位角相等__) ∵∠1＝∠C，(已知) ∴∠C＝∠B＝60°.(等量代换) ∵AD∥BC，(已知) ∴∠C＋∠__ADC__＝180°.(__两直线平行，同旁内角互补__) ∴∠__ADC__＝180°－∠C＝180°－60°＝120°.(等式的性质) ∵DE平分∠ADC，(已知) ∴∠ADE＝∠ADC＝×120°＝60°.(__角平分线的定义__) ∴∠1＝∠ADE.(等量代换) ∴AB∥DE.(__内错角相等，两直线平行__) 知识模块二　证明两条直线互相垂直 阅读教材P77内容，回答问题： 如何证明OE与OF垂直？ 答：计算出∠EOF＝90°，即∠1＋∠2＝90°即可． 典例：已知：如图，∠AOB＋∠BOC＝180°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC. 求证：OE⊥OF. 证明：∵OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，(已知) ∴∠1＝∠AOB，∠2＝∠BOC.(角平分线的定义) 又∵∠AOB＋∠BOC＝180°，(已知) ∴∠1＋∠2＝(∠AOB＋∠BOC)＝90°.(等式性质) ∴OE⊥OF.(垂直的定义) 说明：结合图形用数字符号表示证明的过程． 仿例：(1)如图，DE∥BC，∠1＝∠3，CD⊥AB，求证：FG⊥AB； (2)若把(1)中的条件“DE∥BC”与结论“FG⊥AB”对调，所得命题是否为真命题？试说明理由． 解：(1)∵DE∥BC，∴∠1＝∠2.∵∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴CD∥FG.∵CD⊥AB，∴∠BDC＝90°，∴∠BFG＝∠BDC＝90°，∴FG⊥AB； (2)所得命题为真命题． 理由：∵FG⊥AB，CD⊥AB，∴FG∥CD，∴∠2＝∠3.∵∠1＝∠3，∴∠1＝∠2，∴DE∥BC. 1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑． 2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”． 知识模块一　证明两条直线互相平行 知识模块二　证明两条直线互相垂直 课题4　与三角形有关的证明 【学习目标】 1．应用几何推理、证明解决几何问题； 2．经历探索推理的论证过程，感受几何中逻辑推理的内涵，培养符号化语言． 【学习重点】 学会应用理性推理的方法． 【学习难点】 形成演绎推理的思路． 旧知回顾： 1．怎样证明命题？ 答：在证明命题时，要分清命题的条件和结论．如果问题与图形有关，首先，根据条件画出图形；再结合图形，写出已知、求证；然后，分析题意，找出证明途径；最后有条理地写出证明过程． 2．三角形的内角和等于180°条件和结论分别是什么？ 答：条件是三角形的三个内角和，结论是三个内角的和是180°. 知识模块一　三角形内角和定理及推论1 阅读教材P78～P79的内容，回答下列问题： 1．三角形内角和定理是什么？如何证明？ 答：三角形的内角和等于180°. 证明：如图，延长BC到点D，以点C为顶点、CD为一边作∠2＝∠B，则CE∥AB.(同位角相等，两直线平行) ∴∠A＝∠1.(两直线平行，内错角相等) ∵点B，C，D在同一条直线上，(所作) ∴∠1＋∠2＋∠ACB＝180°.(平角的定义) ∴∠A＋∠B＋∠ACB＝∠1＋∠2＋∠ACB＝180°.(等量代换) 2．三角形内角和定理的推论1是什么？ 答：直角三角形的两锐角互余． 典例：如图，有一块含有60°角的直角三角尺的两个顶点放在长方形的对边上．如果∠1＝18°，那么∠2的度数是多少？ 解：如图，∵∠1＋∠3＝90°－60°＝30°，而∠1＝18°， ∴∠3＝30°－18°＝12°. ∵AB∥CD， ∴∠2＝∠3＝12°. 仿例1：如图，AB∥CD，AE交CD于点C，∠A＝34°，∠DEC＝90°，则∠D的度数为 (C) A．17° B．34° C．56° D．124° 　　　　 仿例2：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，若∠A＝40°，则∠1＝__40__度． 知识模块二　三角形内角和定理推论2 阅读教材P79的内容，回答下列问题： 什么是辅助线？什么是三角形内角和定理推论2? 答：在证明过程中，为了证明的需要，在原来图形上添画的线叫作辅助线． 推论2：有两个角互余的三角形是直角三角形． 典例：在△ABC中，若∠A＋∠B＝∠C，则△ABC的形状是 (B) A．等腰三角形　　　　　　　　B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 范例1： 如图，∠A＝∠1＝∠ABC＝70°，∠C＝90°，求∠2的度数． 解：∵∠A＝∠1＝70°， ∴∠ABD＝180°－∠A－∠1＝180°－70°－70°＝40°， ∴∠DBC＝∠ABC－∠ABD＝70°－40°＝30°. ∵∠C＝90°，∴∠2＝90°－∠DBC＝90°－30°＝60°. 范例2：如图，△ABC中，CD⊥AB于点D，若∠1＝∠A，试判断△ABC的形状． 解：△ABC为直角三角形，理由如下： ∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∴∠1＋∠B＝90°. ∵∠1＝∠A，∴∠A＋∠B＝90°，∴∠ACB＝90°， ∴△ABC是直角三角形． 1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑． 2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”． 知识模块一　三角形内角和定理及推论1 知识模块二　三角形内角和定理推论2 课题5　三角形的外角 【学习目标】 1．学会应用三角形外角及推论解决实际问题，培养符号意识； 2．经历探究三角形外角概念以及有关推论的过程，掌握几何证明方法和几何语言表达． 【学习重点】 领悟有关三角形外角的推论，掌握几何推理方式． 【学习难点】 对逻辑推理思想的理解和运用． 旧知回顾： 1．三角形内角和定理是什么？推论有哪些？ 答：三角形的内角和等于180°.推论1：直角三角形的两锐角互余；推论2：有两个角互余的三角形是直角三角形． 2．把一块直尺与一块三角尺如图放置，若∠1＝60°，则∠2＝__150°__． 知识模块一　三角形的外角及推论3 阅读教材P80～P81的内容，回答下列问题： 什么叫三角形的外角？三角形外角的推论3是什么？ 答：由三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角． 推论3：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 典例： 如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠ABC＝70°，BD平分∠ABC，则∠BDC的度数是 (A) A．85°　　　　　B．80°　　　　　C．75°　　　　　D．70° 仿例1：如图，∠α与∠β的度数和为__270°__． 　　　　 仿例2：如图，∠A＝32°，∠B＝45°，∠C＝38°，则∠DFE等于__115°__． 仿例3：如图，直线AB，CD被BC所截，若AB∥CD，∠1＝45°，∠2＝35°，则∠3＝__80°__． 　　　　 仿例4：如图，∠3＝120°，则∠1－∠2＝__60°__． 变例：如图，D是AB上的一点，E是AC上的一点，BE，CD相交于点F，∠A＝62°，∠ACD＝35°，∠ABE＝20°.求： (1)∠BDC的度数； (2)∠BFC的度数． 解：(1)∵∠BDC是△ADC的外角， ∴∠BDC＝∠A＋∠ACD＝62°＋35°＝97°； (2)∵∠BFC是△BDF的外角， ∴∠BFC＝∠BDF＋∠DBF＝97°＋20°＝117°. 知识模块二　三角形外角的推论4 阅读教材P81的内容，回答下列问题： 三角形外角的推论4是什么？三角形的外角和是多少度？ 推论4：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角． 三角形的外角和为360°. 范例： 如图，∠A，∠DBC，∠DEC的大小关系是 (C) A．∠A>∠DBC>∠DEC　　 B．∠DEC>∠A>∠DBC C．∠DEC>∠DBC>∠A D．∠DBC>∠A>∠DEC 仿例： 如图，点D是△ABC的外角平分线CD与BA的延长线的交点，求证：∠BAC>∠B. 证明：∵∠BAC是△ACD的一个外角，∴∠BAC>∠1， 又∵CD平分∠ACE，∴∠1＝∠2，∴∠BAC>∠2. 又∵∠2是△BCD的一个外角， ∴∠2>∠B，∴∠BAC>∠B. 1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑． 2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”． 知识模块一　三角形的外角及推论3 知识模块二　三角形外角的推论4 学科网（北京）股份有限公司 $$