第四章 图形的相似 同步练习 2025-2026学年北师大版九年级数学上册

第四章 图形的相似 同步练习 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1.已知：：：：，那么的值是(    ) A. B. C. D. 2.已知：，且，则等于(    ) A. B. C. D. 3.如果两个相似三角形的对应边之比是：，那么它们的面积之比是(    ) A. ： B. ： C. ： D. ： 4.如图，在菱形中，，为的中点，交于点，且，则的长为(    ) A. B. C. D. 5.如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为：，则点的对应点的坐标为(    ) A. B. C. D. 6.如图，以点为位似中心，作四边形的位似图形，已知若，则(    ) A. B. C. D. 7.“给我一个支点，我就能撬起整个地球．”这句话的意思，是利用物理学中的杠杆原理，只要有合适的支点和合适的工具，就可以把地球轻松搬动如图，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，杠杆绕着支点转动，另一端会向上翘起，石头就被翘动了．在图中，杠杆的端被向上翘起的距离，动力臂与阻力臂满足与相交于点，则的长为(    ) A. B. C. D. 8.如图，，与相交于点，过点的直线与，分别相交于点，，若，，则下列关系正确的是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9.如图，在平面直角坐标系中，的顶点分别为，，，与是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为：，则点的坐标为______． 10.已知∽，且相似比为：若的周长为，则的周长为______． 11.如图，在中，，是的三等分点，，则：：______． 12.如图所示，中，，是斜边的中点，将绕点按顺时针方向旋转得到，点在的延长线上，若，，则与的面积比为______． 13.如图，树在路灯的照射下形成投影，已知树高，树影，树与路灯的水平距离，则路灯的高度长是          米． 14.如图，与交于点，连结和，要使∽，请添加一个条件：______． 15.如图，在中，在边上，，，连接并延长交于点，若，则的长为______． 16.如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心为原点，位似比为，若点，则点的坐标为_________． 三、解答题：本题共6小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 如图，在中，点分别是边上的点，求证：． 18.本小题分 如图，在平面直角坐标系中，已知，，． 将向右平移个单位得到，画出，并求四边形的面积； 画出绕点逆时针旋转后的图形图中小方格边长为，并求出点在旋转过程中的路径长提示：作图时，先用铅笔作图，确定不再修改后用签字笔描黑 19.本小题分 如图，已知直线，分别交直线，于点，，，，，，，，，求的长． 20.本小题分 如图，点，分别是和上的点，∽，，，，，． 求的度数； 求的度数； 求的长． 21.本小题分 如图，为了测量一个大峡谷的宽度，位于峡谷一侧的地质勘探人员在对面的岩石上观察到一个特别明显的标志点，再在他们所在的这一侧选点，，，使得，，然后确定和的交点测得，，，你能帮助他们算出峡谷的宽吗？ 22.本小题分 在数学活动课上，同学们分组测量学校旗杆的高度，经过交流、研讨及测量给出如下两种方案，请你选择一种方案求出旗杆的高度． 方案一：在某一时刻，借助太阳光线，测得小华的身高为米，他的影长为米，同时测得旗杆的影长为米． 方案二：利用“光在反射时，反射角等于入射角”的规律，小丽在她的脚下点放了一面小镜子，然后向后退米到达点，恰好在小镜子中看到旗杆的顶端，此时旗杆底端到点的距离为米，小丽的眼睛点到地面的距离为米． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：：：：：， 设，，， ． 故选：． 设，，，代入，即可求值． 本题考查比例的性质，关键是设，，． 2.【答案】  【解析】，． ，故选D． 3.【答案】  【解析】解：两个相似三角形的相似比是：， 它们的面积的比是：， 故选：． 根据相似三角形的性质，相似三角形的面积的比等于相似比的平方解答即可． 本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边的比等于相似比、相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解题的关键． 4.【答案】  【解析】解：菱形， ，，，， ，，， ，∽， ，即， ， 设，则，， ，， ∽， ，即， 解得，或舍去， 故选：． 由菱形，可以证明，∽，则，可求，设，则，，证明∽，则，即，计算求出满足要求的解即可． 本题考查了菱形的性质，等角对等边，相似三角形的判定与性质．熟练掌握菱形的性质，等角对等边，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 5.【答案】  【解析】解：与是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为：， 点的对应点的坐标为，即． 故选：． 结合位似的性质可得点的对应点的坐标为，即． 本题考查位似变换，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键． 6.【答案】  【解析】解：四边形与四边形是位似图形， 四边形∽四边形，， ∽， 又． 四边形与四边形相似比为， ． ， ， 故选：． 根据位似图形的概念得到四边形∽四边形，，得到∽，根据相似三角形的性质即可得到结论． 本题考查的是位似变换．熟练掌握位似变换的性质是解题的关键． 7.【答案】  【解析】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用，首先根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得端点向下压的长度是解题的关键． 【详解】解：解：由题意得，， ，， ， ， ， ， ， 故选C． 8.【答案】  【解析】解：，，，与相交于点， ∽， ， 过点的直线与，分别相交于点，， ， ∽， ，但不一定等于，不一定等于， 故C符合题意，不符合题意，不符合题意； ， ， 不一定等于， 不一定等于， 故D不符合题意， 故选：． 由，证明∽，因为，，所以，由，证明∽，得，但不一定等于，不一定等于，可判断符合题意，不符合题意，不符合题意；由，得，由不一定等于，证明不一定等于，可判断不符合题意，于是得到问题的答案． 此题重点考查平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质等知识，证明∽及∽是解题的关键． 9.【答案】  【解析】解：点为位似中心，的位似图形为，位似比为：，而，且点在第四象限、点在第二象限， ， 即， 故答案为：． 根据关于以原点为位似中心的定义点的坐标关系得到点坐标即可． 本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． 10.【答案】  【解析】解：∽，且相似比为：， 与的周长比为：， 的周长为， 的周长， 故答案为：． ，根据∽，且相似比为：，得出他们的周长比为：，因为的周长为，所以的周长为，即可作答． 本题考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形的对应角相等，对应边的比相等是解题的关键． 11.【答案】：：  【解析】解：， ∽∽， ，是的三等分点， ， ：：：：， ：：：：； 设的面积是，则和的面积分别是，， 则和分别是，， ：：：：． 故答案为：：：． 由于，那么∽∽，根据，可求出三个相似三角形的面积比，可求出、四边形、四边形的面积比． 本题主要考查了相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方．求出三个相似三角形的相似比是解决本题的关键． 12.【答案】  【解析】解：，，， ， 是斜边的中点， ，， ， 将绕点按顺时针方向旋转得到，点在的延长线上， ， ， ， ∽， ， ， ， 故答案为：． 求出，由是斜边的中点，知，，再证明∽，可得，故，即得． 本题考查直角三角形的旋转问题，涉及相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握旋转的性质． 13.【答案】  【解析】本题考查了三角形相似．解题的关键与重点是找出判定三角形相似的条件以及计算三角形的相似比．利用中心投影的性质得到，则可判断，然后利用相似三角形的性质求的长即可． 【详解】解：在路灯的照射下形成投影， ， ， ， ，，， ， 解得， 即路灯的高度长是米． 故答案为：． 14.【答案】答案不唯一  【解析】解：添加， ，， ∽， 故答案为：答案不唯一． 由相似三角形的判定可直接求解． 本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 15.【答案】  【解析】解：在中，在边上，，，如图，过点作交于点， ∽， ， ， 同理可证明∽， ， ， ， ， ， 故答案为：． 过点作交于点，证明∽得到，再证明∽，得到，由，得到，则． 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的性质． 16.【答案】  【解析】解：由题意得：点，则其对应点的坐标为． 故答案为：． 由于位似的两个图形在原点的两旁，则点的两个坐标分别乘即得的坐标． 本题考查了位似图形的对应坐标，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 17.【答案】证明：，， ， 又为公共角， ．   【解析】本题主要考查了相似三角形的判定问题，由两个角相等可判定其相似，而题中而公共角，所以再求解一对应角相等即可，根据已知条件，即求解． 18.【答案】画图见解答；．   画图见解答；．  【解析】如图，即为所求． 四边形的面积为． 如图，即为所求． 由勾股定理得，， 点在旋转过程中的路径长为． 根据平移的性质作图即可；利用平行四边形的面积公式计算即可． 根据旋转的性质作图即可；利用弧长公式计算即可． 本题考查作图旋转变换、轨迹、作图平移变换，熟练掌握平移的性质、旋转的性质、弧长公式是解答本题的关键． 19.【答案】解：，． ，，，， 解得，．   【解析】见答案 20.【答案】【小题】 解：∽，． 【小题】 ，， ． ∽，． 【小题】 ，， ． ∽，，， ，的长为．   【解析】 见答案  见答案  见答案 21.【答案】解：能．，， ． 又，∽， ． 又，，， ， ，即峡谷的宽为．   【解析】见答案 22.【答案】方案一： 解：由题意得，，． ． ． ． ，，， ． 答：旗杆高度为． 方案二： 解：由题意得，，， ． ． ，，， ． ． 答：旗杆高度为．   【解析】本题主要考查相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 方案一：根据题意可得，根据相似三角形的判定和性质即可求解； 方案二：根据题意可得，根据相似三角形的判定和性质即可求解． 第6页，共16页 学科网（北京）股份有限公司 $$