第47讲 置换问题-【小学数学新思维】五年级全国通用版

176 小学数学新思维  五年级 第 47 讲  置换问题 【知识要点】 置换问题主要是研究有数量关系的两种数量转换成一种数量，从而帮助我们找到 解题方法的一类典型应用题。“鸡、兔同笼”问题就是一种比较典型的置换问题。解答 置换问题一般用等量代换和假设法这两种数学思维方法。 解答置换问题应注意下面两点： 1. 根据数量关系把两种数量转换成一种数量，从而找出解题方法。 2. 把两种数量假设为一种数量，从而找出解题方法。 【例题精讲】 【例题 1】买 2 条床单和 3 条毛巾共用 210 元，买同样的 3 条床单和 2 条毛巾 共用 280 元。买一条床单用多少钱？买一条毛巾用多少钱？ 【解析】买 5 条床单和 5 条毛巾共：210+280=490（元），1 条床单和 1 条毛巾就 是 490÷5=98（元），即 2 条床单和 2 条毛巾共 98×2=196（元）。1 条毛巾就是 210- 196=14（元），1 条床单就是 98-14=84（元）。 置换问题 1. 等量代换 2. 假设法 （1）找到倍数——代换一种量 （2）找到差数——代换一种量 177 【例题 2】学校买回 6 张桌子和 6 把椅子共用去 192 元。已知 3 张桌子的价钱 和 5 把椅子的价钱相等，每张桌子和每把椅子各多少元？ 【解析】3 张桌子的价钱和 5 把椅子的价钱相等，6 张桌子的价钱就等于 10 把椅子 的价钱，也就是 6+10=16（把），一共是 192 元。1 把椅子：192÷16=12（元）。1 张桌 子：12×5÷3=20（元）。 【例题 3】5 辆玩具汽车与 3 架玩具飞机的价钱相等，每架玩具飞机比每辆玩 具汽车贵 8 元。这两种玩具的单价各是多少元？ 【解析】方法（1）：3 架玩具飞机比 3 辆玩具汽车贵 3×8=24 元；5 辆玩具汽 车等于 3 架飞机的价格，也就是 2 辆玩具汽车的价格就是 24 元，1 辆汽车的价格是 24÷2=12 元，1 架飞机价格是 12+8=20（元）。 方法（2）：用方程解答。 【例题 4】一段布料可做 18 件同样的上衣和 9 条同样的裤子，或者做 14 件同 样的上衣和 15 条同样的裤子。那么，全做上衣能做多少件？ 【解析】由 18 件上衣到 14 件上衣，少做 18-14=4（件），裤子就多做 15-9= 6 （条）；也就是少做 4 件上衣的布料，刚好可以多做 6 条裤子。即 2 件上衣的布料等于 3 条裤子的布料，9 条裤子的布料等于 6 件上衣的布料。所以做上衣：18+6=24（件）。 第 47 讲  置换问题 178 小学数学新思维  五年级 【例题 5】一项工作，甲做 5 小时以后由乙来做，3 小时可以完成；乙做 9 小时以后由甲来做，也是 3 小时可以完成。那么甲做 1 小时以后由乙来做，几小时 可以完成？ 【解析】由题意得：乙由 3 小时到 9 小时，多做 9-3=6（小时），甲就少做 5-3= 2（小时），也就是乙 6 小时的工作量等于甲 2 小时的工作量，即乙 3 小时的工作量等 于甲 1 小时的工作量。甲做 5 小时，即甲先做 1 小时，后面 4 小时相当于乙做 3×4=12 （小时），12+3=15（小时）。 【随堂练习】 1. 20 千克苹果与 30 千克梨共计 132 元，2 千克苹果的价钱与 2.5 千克梨的价钱相 等。求苹果和梨的单价。 2. 用 2 台水泵抽水，小水泵抽 6 小时，大水泵抽 8 小时，一共抽水 312 立方米。 小水泵 5 小时的抽水量等于大水泵 2 小时的抽水量，两种水泵每小时各抽水多少立 方米？ 179 3. 2 支钢笔的价钱和 3 支圆珠笔的价钱相等，一支圆珠笔比一支钢笔便宜 6 元钱。 两种笔的单价各是多少元？ 4. 小明去买同一种笔和同一种橡皮，所带的钱能买 8 支笔和 4 块橡皮，或买 6 支 笔和 12 块橡皮。结果他用这些钱全部买了笔，请问他能买几支？ 5. 一辆卡车最多能载 40 袋大米和 40 袋面粉，或者载 10 袋大米和 100 袋面粉。现 在卡车上已载有 20 袋大米，最多还能载多少袋面粉？ 第 47 讲  置换问题 随堂练习参考答案 313 4. 思路（1）：设原来两位数是 ab，两个三位数分别是 1ab 与 ab1。 即 100a+10b+1=100+10a+b+414。 即 10a+b=57。当 a=5 时，b=7。两位数是 57。 思路（2）：把原来两位数设为 x，（10x+1）-（100+x）=414，解得 x=57。 5.（3+9+3+6）×1000+（3+3+6+9）×100+（7+3+9+3）×10+6+3+3=23332。 第46讲【随堂练习】 1.（文氏图）（32+35）-52=67-52=15（人）。 2.（文氏图）方法（1）：只语文获优，26-12=14（人）；只数学获优，30-12= 18（人）；14+18+12+8=52（人）。 方法（2）：26+30-12=44（人）。44+8=52（人）。 3.（文氏图）83+86-25=144（人）；250-144=106（人）。 4. 5 的倍数：200÷5=40（个）；8 的倍数：200÷8=25（个）； 既是 5 又是 8 的倍数：200÷40=5（个）；40+25-5=60（个）；200-60=140（个）。 5.（文氏图）46-28-10-6=2（人）。 第47讲【随堂练习】 1. 把 20 千克苹果等价换成梨：20÷2×2.5=25（千克）； 132÷（25+30）=2.4（元 / 千克）；苹果：2.4×2.5÷2=3（元 / 千克）。 2. 把大水泵 8 小时抽水量换成小水泵：8÷2×5=20（小时）； 312÷（6+20）=12（立方米）； 12×5÷2=30（立方米）。 3. 2 支钢笔比 2 支圆珠笔贵 6×2=12（元）。一支圆珠笔：12÷（3-2）=12（元）； 一支钢笔：12+6=18（元）。 314 小学数学新思维  五年级 4. 8-6=2（支）；12-4=8（块）；2 支笔的钱等于 8 块橡皮的钱； 1 支笔钱等于 4 块橡皮的钱，8+1=9（支）。 5. 少装大米：40-10=30（袋）；多装面粉：100-40=60（袋）；意思是 30 袋大米 可以换成 60 袋面粉，10 袋大米可以换成 20 袋面粉。专门装面粉：20+100=120（袋）。 120-20×（20÷10）=80（袋）。 第48讲【随堂练习】 1. A 卡：李阿姨花费 30+0.3×80=54（元）。B 卡：李阿姨花费 0.6×80=48（元）。 李阿姨选 B 卡。 A 卡：王阿姨花费 30+0.3×200=90（元）。B 卡：王阿姨花费 0.6×200=120（元）。 王阿姨选 A 卡。 2.（1）22.5-3=19.5（千米），19.5-2=17.5（千米）。9+2.5×2+17.5×2=49（元）。 （2）50-9-2.5×2=36（元），36÷2=18（千米）。3+2+18=23（千米）。 3. 23-8=15（元）。超过 3 小时部分：15÷2.5=6（时），3+6=9（时）。 4. 15 吨用水费：15×1.2=18（元），28-18=10（元），10÷5=2（吨）。15+2=17（吨）。 第49讲【随堂练习】 1. 5 元 =50 角。（1）50÷2=25（张），2 角 25 张；（2）2 角 20 张，5 角 2 张； （3）2 角 15 张，5 角 4 张；（4）2 角 10 张，5 角 6 张；（5）2 角 5 张，5 角 8 张； （6）5 角 10 张。 2. 个位是4时：34，54，64，3个；个位是6时：36，46，56，3个。一共有6个偶数。 3. 24÷2=12（厘米），长 + 宽 =12（厘米）。（1）长 11 厘米，宽 1 厘米：11×1= 11（平方厘米）；（2）长 10 厘米，宽 2 厘米：10×2=20（平方厘米）；（3）长 9 厘米，