第十五章轴对称单元练习2025-2026学年人教版八年级数学上册

第十五章 轴对称 单元练习 一、单选题 1．是等腰三角形，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，把两条长边平行的纸条折叠，若，则的度数为（   ） A． B． C． D．无法确定 3．如图，将四根长度相等的细木条首尾顺次相连，用钉子钉成四边形，若，则两点间的距离是（   ） A．1 B． C．2 D． 4．如图，线段，的垂直平分线交于点，连接，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 5．如图，在中，边上的中垂线分别交、于点、，连接，若的周长为，，则的长为（    ） A． B． C． D．以上答案都不对 6．如图，将一张足够长的矩形纸条，以点D所在直线为折痕，折叠纸条，使点A落在边上的点处，折痕与边交于点E；然后将纸条展平，再以点E所在直线为折痕，使点D落在边上的点处，折痕交边于点．则的大小是（　　） A． B． C． D． 7．如图，在平面直角坐标系中，， ，平分点，关于x轴的对称点是（    ） A． B． C． D． 8．三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个体育公园，要使体育公园到三个村庄的距离相等，那么这个体育公园应建的位置是（    ） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 9．如图，一艘船从A处出发，以的速度向正北航行，经过到达B处，分别从A，B观测灯塔C，测得．则从B处到灯塔C的距离（   ） A．10 B．18 C．90 D．180 10．如图，在中，是的平分线，于点E，于点F．则下列结论中，错误的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．点关于y轴对称的点的坐标是 ． 12．如图，在中，的垂直平分线交于点，垂足为点，平分，若，则 ． 13．如图将一张长方形纸条沿折叠， 点B， A分别落在，位置上，与的交点为G， 若， 则 ． 14．如图，工人在某施工现场作业，地面上有一个长为米的梯子斜靠在墙上，梯子底端与地面的交点为C，梯子与墙面的交点为M，此时梯子的倾斜角为（即），如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，梯子与墙面的交点为N，此时梯子的倾斜角为（即），若连接，那么的长是 米． 15．如图，已知，点，，，…在射线ON上，点，，，…在射线上，，，，…均为等边三角形，若，则的周长为 ． 三、解答题 16．如图，在和中，与交于点E，．求证：是等腰三角形． 17．如图，在四边形中，． (1)尺规作图：过点作交于点，交延长线于点；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若，试判断线段与的数量关系，并说明理由． 18．如图，在中，平分交于点D，E为上一点，连接，，F是的中点，连接． (1)求证：； (2)若，求的度数． 19．在等腰直角中，，点P是边上垂直平分线上的一点，连结，交于点M，N是点M关于的对称点，连结并延长交于点D，连结交于点G． (1)如图①，点P在的下方时，①求证：； ②请猜想线段，，三者之间的数量关系，并加以证明； (2)如图②，若点P移动到的内部时，其他条件不变，线段，，三者有什么数量关系，请画出图形，直接写出结果，不必证明． 20．如图，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且，连接，． (1)如图1，若为的中点，求证：． (2)如图2，若不是的中点，过点作，交于点． ①求证：是等边三角形； ②判断与是否相等，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第十五章 轴对称 单元练习2025-2026学年人教版八年级数学上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C C D B D C D D D 1．D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质．根据等腰三角形两底角相等，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：D 2．C 【分析】本题考查了平行线的性质和折叠的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据平行线的性质和折叠的知识，进行作答，即可求解； 【详解】解：∵把两条长边平行的纸条折叠，， ∴，， ∵， ∴， 故选：C； ， 3．C 【分析】此题重点考查等边三角形的判定与性质，正确地作出辅助线是解题的关键．由题意可知，连接，因为，所以是等边三角形，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接， 将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形，， ， ， 是等边三角形， ， ，两点间的距离为2． 故选：C． 4．D 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 连结，延长交于点，根据线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质证得，，根据三角形外角的性质即可求出． 【详解】解：连结，延长交于点， ∴， ∵点是，的垂直平分线的交点，， ∴，， ∴，， ∴， 即的度数为． 故选：D． 5．B 【分析】利用线段垂直平分线的性质，将的长度转化为的周长与长度的关系来求解．本题主要考查了线段垂直平分线的性质（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 ），熟练掌握该性质并实现线段的等量代换是解题的关键． 【详解】解：∵ 是边上的中垂线 ∴ ∵ 的周长为，即，又 ∴ ，也就是 ∵ ∴ 故选：． 6．D 【分析】本题通过折叠的性质，平行线的性质，解决此类问题，应结合题意，最好实际操作图形的折叠，易于找到图形间的关系，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．先根据折叠的性质得到，继而得出，再由折叠的性质得到的度数，最后根据平行线的性质即可解答． 【详解】解：四边形是长方形， ，， 由折叠得：， ， ， 由折叠得：， ， ， 故选：D． 7．C 【分析】本题考查角平分线，全等三角形的判定和性质，关于x轴对称的点坐标的特征．作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 过B点作轴于点，则，即，可求B点坐标，最后求出关于轴的对称点的坐标即可． 【详解】解：如图，过B点作轴于点，则， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴关于轴的对称点的坐标为， 故选：C． 8．D 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的应用．根据“线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等”，即可获得答案． 【详解】解：∵体育公园到三个村庄的距离都相等， ∴体育公园应该在三条边的垂直平分线的交点处， 故选：D． 9．D 【分析】先利用三角形外角性质求，判断形状，再结合路程公式算，进而得．本题主要考查三角形外角性质（三角形外角等于不相邻两个内角和 ）、等腰三角形判定（等角对等边 ）及路程公式（路程速度时间 ），熟练运用这些知识，通过外角性质推导等腰关系，结合路程公式计算是解题关键． 【详解】解：∵ ，， ∴ ． ∴， ∴ ． ∵船速为，航行时间， ∴ ． ∵ ，， ∴ ． 故选： ． 10．D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，垂直平分线的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合角平分线的性质得，再证明，故，根据，，得出是的垂直平分线，即可作答． 【详解】解：∵是的平分线，于点E，于点F． ∴ 故B选项正确，不符合题意； ∵是的平分线，于点E，于点F． ∴ ∵ ∴ ∴， 故C选项正确，不符合题意； ∵， ∴是的垂直平分线， ∴ 故A选项正确，不符合题意； 无法得出 故D选项不正确，符合题意； 故选：D． 11． 【分析】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确掌握横纵坐标的关系是解题关键． 根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，即可得出答案． 【详解】解：点关于y轴对称的点的坐标是． 故答案为： 12．/36度 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、角平分线的定义、三角形的内角和定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答的关键．先根据线段垂直平分线得到，再根据等腰三角形的性质和角平分线的性质得到，进而利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故答案为：． 13． 【分析】本题考查折叠的性质，平行线的性质，关键是由折叠的性质得到，由平行线的性质推出．设，由折叠的性质得到，则，求出，由平行线的性质推出，即可得到． 【详解】解： 设， ∴， 由折叠的性质得到， ∴， 解得， ∴， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 14． 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，理解题意，熟练掌握相关知识是解题关键． 证明三角形为等边三角形，然后由等边三角形的性质即可获得答案． 【详解】解：根据题意，米， ， ， ∴为等边三角形， 米， 故答案为：． 15． 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形的外角的性质，图形规律问题，掌握探究的方法再确定规律是解题的关键． 根据，是等边三角形，确定，依次计算，，，确定规律再计算即可． 【详解】解：∵，△是等边三角形，， ∴，，， 同理可得，，， ∴， ∴的周长为； 故答案为：． 16．见解析 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 根据全等三角形的判定和性质得出，，再由等角对等边即可判定． 【详解】证明：在和中， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． 17．(1)见解析； (2)，理由见解析． 【分析】本题考查了尺规作图、等腰三角形的判定以及全等三角形的判定与性质，掌握相关知识点的应用是解题的关键． （1）根据尺规作垂直的方法结合题意作图即可． （2）先证明，则，根据，得出，根据，得出，即可得，则，证出． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求． （2）解：，理由如下： ， ． ， ， ． ． 又， ． ， ， ． 18．(1)见解析 (2) 【分析】此题考查角平分线定义，平行线的性质，等角对等边，等腰三角形的性质： （1）根据角平分线及平行线推出，即可得到． （2）根据平行线的性质求出，再利用等腰三角形的性质求出的度数． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵，F是的中点， ∴． 19．(1)①证明见解析②证明见解析 (2)，画图见解析 【分析】本题考查了垂直平分线、角平分线、三角形全等等知识，解题的关键是对垂直平分线、三角形全等的运用． （1）①作的平分线交于点Q， 点P是边上垂直平分线上的一点， N是点M关于的对称点，易得，，结合对顶角的知识解答即可；通过证明、，进而解答即可；②由①可得，，运用等量代换，进而解答即可； （2）通过证明、，得到，，运用等量代换，进而解答即可． 【详解】（1）证明：①如图．作的平分线交于点Q， 于点H． ，， ． 点P是边上垂直平分线上的一点， N是点M关于的对称点， ，，． ． ，， ． ，， 在与中 ． 在与中 ． ． ， ． ． ． ②，， ，． ， ． （2）证明∶如图．作的平分线交于点K．， 于点H． ，， ． 点P是边上垂直平分线上的一点， N是点M关于的对称点， ，，． ． ，即． 在和中 ． ，． 在和中 ． ． ， ． 20．(1)证明见解析 (2)①证明见解析；②相等；理由见解析 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质，解题关键是利用等边三角形性质构造全等三角形，通过全等关系推导边或角的等量关系． （1）利用等边三角形的性质，得到，．由为中点，结合等边三角形三线合一，推出，．因为，等量代换得，进而得出．通过，利用等角对等边证明． （2）①依据和是等边三角形，根据平行线的性质，得出，，再结合，根据等边三角形判定，证得是等边三角形．②先由和是等边三角形，得到边和角的等量关系，推出，．结合及是等边三角形得．利用证明，由全等三角形对应边相等，得出结论． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ，． 为的中点， ，． ， ， ． ， ， ， ． （2）证明：，是等边三角形， ，，， 是等边三角形． ②解：相等． 理由：，是等边三角形， ，，． ，， ，，， ，． ， ， ， ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$