第24讲 最大公因数与最小公倍数(4)-【小学数学新思维】五年级全国通用版

84 小学数学新思维  五年级 第 24 讲  最大公因数与最小公倍数（4） 【知识要点】 1. 几个数公有的倍数叫作这几个数的公倍数，其中最小的一个公倍数叫作这几个 数的最小公倍数。自然数 a、b 的最小公倍数可以记作［a，b］，当（a，b）=1 时，［a， b］= a×b。 2. 两个数的最大公因数和最小公倍数有着下列关系： 最大公因数 × 最小公倍数 = 两数的乘积 即（a，b）×［a，b］= a×b。 3. 两个数的公因数一定是这两个数的最大公因数的因数。 【例题精讲】 【例题 1】两个数的最大公因数是 4，最小公倍数是 252，其中一个数是 28， 另一个数是多少？ 【解析】方法（1）：最大公因数 × 最小公倍数 = 两数的乘积，所以 252×4÷ 28=36。 方法（2）：设这两个数分别是 4a，4b，a 与 b 互质。a=28÷4=7，4×a×b=252； b=252÷4÷7=9，4×9=36。 85 【例题 2】两个数的最大公因数是 15，最小公倍数是 90，求这两个数分别是 多少？ 【解析】设这两个数分别是 15a 和 15b，a 与 b 互质。 15×a×b=90，所以 a×b=90÷15=6。 （1）当 a=1，b=6，这两个数分别是 1×15=15，6×15=90。 （2）当 a=2，b=3，这两个数分别是 15×2=30，15×3=45。 【例题 3】已知两个数的积是 3072，最大公因数是 16，求这两个数。 【解析】设这两个数分别是 16a 和 16b，a 与 b 互质，即 16a×16b=3072，所以 a×b=12。 （1）当 a=1，b=12 时，这两个数分别是 1×16=16，12×16=192。 （2）当 a=3，b=4 时，这两个数分别是 16×3=48，16×4=64。 【例题 4】两个自然数的和是 50，它们的最大公因数是 5，求这两个数的差是 多少？ 【解析】设这两个数分别是 5a，5b，a 与 b 互质：5a+5b=50，a+b=10。 （1）当 a=1，b=9 时，这两个数分别是 5×1=5，5×9=45，这两个数的差是 45- 5=40。 （2）当 a=3，b=7 时，这两个数分别是 5×3=15，5×7=35，这两个数的差是 35- 15=20。 第 24 讲  最大公因数与最小公倍数（4） 86 小学数学新思维  五年级 【例题 5】两个自然数的和是 54，它们的最小公倍数与最大公因数的差是 114，求这两个数分别是多少？ 【解析】设这两个数分别是 ma 与 mb，其中 a 与 b 互质。① ma+mb=54；② mab- m=114； 由 ①、 ② 得：m×（a+b）=1×54=2×27=3×18=6×9，m×（ab-1）=1× 114=2×57=3×38=6×19，所以 m 可能是 1，2，3，6。当 m=1 时，不符合题意；当 m=2 时，不符合题意；当 m=3 时，不符合题意；当 m=6 时，a=4，b=5，符合题意， 这两个数分别是 24，30。 【随堂练习】 1. 甲数是 36，甲、乙两数的最小公倍数是 288，最大公因数是 4，乙数是多少？ 2. 两个数的最大公因数是 21，最小公倍数是 126，求这两个数的和。 87 3. 两个自然数的和是 56，它们的最大公因数是 7，求这两个数分别是多少？ 4. 两个自然数的积是 360，最小公倍数是 120，这两个数各是多少？ 5. 两个自然数的差是 2，它们的最大公因数与最小公倍数之和是 86，求这两个数分 别是多少？ 第 24 讲  最大公因数与最小公倍数（4） 随堂练习参考答案 301 4. 2 与 5 的最小公倍数是 10。［2，5］=10，10 米处，20 米处，30 米处，…，80 米处小树苗不必移动。共有 8 棵小树苗不必移动。 第 23讲【随堂练习】 1. 学生人数减去 2 人后，就是 3，7，11 的倍数；最少就是求最小公倍数，［3，7， 11］=231；231+2=233（人）。 2. 总数减去 1 后，就是 4、5、6、7、8 的最小公倍数［4，5，6，7，8］=840。 840+1=841（个）。 3. 棋子总数加上 1 后，是 4，6，15 的倍数，找到 150 ~ 200 之间的倍数，［4，6， 15］=180；180-1=179（颗）。 4. 余数 1 到 3 差 2，余数 3 到 5 差 2，余数 4 到 6 差 2，这个数加上 2 就是 3，5， 6 的倍数；［3，5，6］=30，这个数是 30-2=28。 5. 标记分别把木棍分成的小段长是 60÷10=6（厘米），60÷12=5（厘米），60÷ 15=4（厘米）。 ［5，6］=30，［5，4］=20，［6，4］=12。 10 段 要 锯 9 次，12 段 锯 11 次，15 段 锯 14 次，重 复 次 数：60÷30-1=1（处）， 60÷20-1=2（处），60÷12-1=4（处）；9+11+14-1-2-4=27（次），27+1=28（段）。 第 24 讲【随堂练习】 1. 根据两数之积 = 最大公因数 × 最小公倍数，288×4÷36=32。 2. 设这两个数分别是 A 与 B，126÷21=6；6=1×6=2×3。 （1）A=21×1=21，B=21×6=126，两数之和 =21+126=147。 （2）A=21×2=42，B=21×3=63，两数之和 =42+63=105。 302 小学数学新思维  五年级 3. 设这两个数分别是 7a 与 7b，a 与 b 互质。7a+7b=56，a+b=8， （1）a=1，b=7，两个数是 7 与 49。（2）a=3，b=5，两个数是 21 与 35。 4. 情况 1：最大公因数 × 最小公倍数 =360，若最大公因数就是其中一个数 3，另 一个是 120。 情况 2：最大公因数为 360÷120=3；120÷3=40。 40=1×40=5×8；其中一个数：5×3=15；另一个数：8×3=24。 5. 设这两个数分别是 ma 与 mb，a 与 b 互质。ma-mb=2，m+mab=86，解得当 m=2 时，符合题意；a-b=1，ab=42，a=7，b=6；7×2=14，6×2=12；这两个数分别 是 14 与 12。 第 25讲【随堂练习】 1. 利用线段的平移，长度不变，看作一个长方形的周长。（8+4）×2=24（厘米）。 2. 线段经过平移，看作大长方形：长是 a+b，宽是 b；周长是 2a+4b。 3. 正方形边长是 12÷2=6（厘米），大长方形宽 =6+2=8（厘米）。 大长方形周长 =（12+8）×2=40（厘米）。 4. 线段经过平移之后，正好拼成一个正方形。周长 =7×4=28（厘米）。 第 26讲【随堂练习】 1. 把减少不规则面积分割成三部分：44-4×2=36（平方米）； 36÷（2+4）=6（米）；6×4=24（米）。 2. 剩下的长方形长 + 宽 =280÷2=140（米）；绿化带分成三部分，其中两部分可 以拼成一个宽 2 米，长 140 米的长方形，另一个是边长 2 米的正方形； 2×140+2×2=284（平方米）。 3. 72÷（12-4）=9（厘米）；9×9=81（平方厘米）。