第23讲 最大公因数与最小公倍数(3)-【小学数学新思维】五年级全国通用版

80 小学数学新思维  五年级 第 23 讲  最大公因数与最小公倍数（3） 【知识要点】 有关最小公倍数的应用题，解题方法比较独特。当有些题中所求的数不是已知数 的最小公倍数时，我们可以通过“增加一部分”或“减少一部分”的方法，使问题转 换成已知数的最小公倍数，从而求出结果。 【例题精讲】 【例题 1】一盒糖果分给班里的小朋友，每个小朋友分 3 颗会余下 1 颗；每个 小朋友分 5 颗也会余下 1 颗。请问这盒糖果最少有多少颗？ 【解析】这盒糖果若去掉 1 颗，就是 3 和 5 的倍数。也就是求 3 与 5 的最小公倍数： ［3，5］=15。15+1=16（颗），至少 16 颗。 【例题 2】班里的学生排队做操，不管是分成 3 队，还是分成 4 队，5 队，都 刚好少 2 名学生，请问班里至少有多少名学生？ 【解析】班级学生若增加 2 名，就正好分成 3 队，是 3 的倍数，同时也是 4 的倍数， 也是 5 的倍数；［3，4，5］=60。增加 2 名后最少为 60 名，原来 60-2=58（名）。 81 【例题 3】有一个自然数，被 10 除余 7，被 7 除余 4，被 4 除余 1。这个自然 数最小是多少？ 【解析】除数 10 比 7 多 3，除数 7 比 4 多 3，除数 4 比 1 多 3，所以被除数增加 3 后， 就是 10，7，4 的倍数。也就是求最小公倍数，［10，7，4］=140。这个自然数最小是 140-3=137。 【例题 4】有一些苹果，每 4 个一堆，多 1 个；每 5 个一堆，多 2 个；每 6 个 一堆，多 3 个。这些苹果至少有多少个？ 【解析】4 个一堆，多 1 个。若这些苹果增加 3 个，正好是 4 的倍数。同理，增 加 3 个，也是 5 的倍数；增加 3 个，也是 6 的倍数。4，5，6 的最小公倍数是 60；60- 3=57（个）。 【例题 5】有一批水果，总数在 1000 个以内。如果每 24 个装一箱，最后一箱 差 2 个；如果每 28 个装一箱，最后一箱还差 2 个；如果每 32 个装一箱，最后一箱只 有 30 个。这批水果共有多少个？ 【解析】根据题意，在总数的基础上增加 2 个，这些水果就是 24 的倍数，也是 28 的倍数，也是 32 的倍数。［24，28，32］=672，总数增加 2 个是 672 个，共有 672- 2=670（个）。 第 23 讲  最大公因数与最小公倍数（3） 82 小学数学新思维  五年级 【例题 6】父子二人在雪地散步，排成一列，父亲在前，儿子在后。父亲每步 80 厘米，儿子每步 60 厘米。在 120 米内一共留下多少个脚印？ 【解 析】120（米）=12000（厘 米），12000÷80=150（间 隔）；12000÷60=200（间 隔）；80 与 60 的最小公倍数是 240。每 240 厘米，爸爸与儿子脚印重叠。12000÷ 240=50（间隔）；150+1+200+1-（50+1）=301（个）。 【随堂练习】 1. 学校六年级有若干个学生排队做操，如果 3 人一行余 2 人，7 人一行余 2 人， 11 人一行也余 2 人。六年级最少有多少人？ 2. 有一批乒乓球，总数在 1000 个以内。4 个装一袋、5 个装一袋或 6 个、7 个、 8 个装一袋最后都剩下一个。这批乒乓球到底有多少个？ 83 3. 一盒围棋子，4 颗、4 颗地数多 3 颗，6 颗、6 颗地数多 5 颗，15 颗、15 颗地 数多 14 颗，这盒棋子在 150 至 200 颗之间，问共有多少颗？ 4. 一个数被 3 整除余 1，被 5 整除余 3，被 6 整除余 4，这个数最小是多少？ 5. 在一根长 60 厘米的木棍上用红、黄、蓝三种颜色做标记，分别将木棍平均分成 10 等份、12 等份和 15 等份。如果沿这三种标记把木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？ 第 23 讲  最大公因数与最小公倍数（3） 随堂练习参考答案 301 4. 2 与 5 的最小公倍数是 10。［2，5］=10，10 米处，20 米处，30 米处，…，80 米处小树苗不必移动。共有 8 棵小树苗不必移动。 第 23讲【随堂练习】 1. 学生人数减去 2 人后，就是 3，7，11 的倍数；最少就是求最小公倍数，［3，7， 11］=231；231+2=233（人）。 2. 总数减去 1 后，就是 4、5、6、7、8 的最小公倍数［4，5，6，7，8］=840。 840+1=841（个）。 3. 棋子总数加上 1 后，是 4，6，15 的倍数，找到 150 ~ 200 之间的倍数，［4，6， 15］=180；180-1=179（颗）。 4. 余数 1 到 3 差 2，余数 3 到 5 差 2，余数 4 到 6 差 2，这个数加上 2 就是 3，5， 6 的倍数；［3，5，6］=30，这个数是 30-2=28。 5. 标记分别把木棍分成的小段长是 60÷10=6（厘米），60÷12=5（厘米），60÷ 15=4（厘米）。 ［5，6］=30，［5，4］=20，［6，4］=12。 10 段 要 锯 9 次，12 段 锯 11 次，15 段 锯 14 次，重 复 次 数：60÷30-1=1（处）， 60÷20-1=2（处），60÷12-1=4（处）；9+11+14-1-2-4=27（次），27+1=28（段）。 第 24 讲【随堂练习】 1. 根据两数之积 = 最大公因数 × 最小公倍数，288×4÷36=32。 2. 设这两个数分别是 A 与 B，126÷21=6；6=1×6=2×3。 （1）A=21×1=21，B=21×6=126，两数之和 =21+126=147。 （2）A=21×2=42，B=21×3=63，两数之和 =42+63=105。