第20讲 因数与倍数-【小学数学新思维】五年级全国通用版

70 小学数学新思维  五年级 第 20 讲  因数与倍数 【知识要点】 1. 能被 2、3、5 整除的数的特征： （1）能被 2 整除的数的特征：个位是 0，2，4，6，8 的整数； （2）能被 3 整除的数的特征：各个数位上的数字之和是 3 的倍数的整数； （3）能被 5 整除的数的特征：个位是 0，5 的整数； （4）能同时被 2，3，5 整除的数的特征：个位是 0 且各个数位上数字的和是 3 的 倍数的整数。 2. 奇数与偶数运算规律： （1）奇数 ± 奇数 = 偶数 （2）奇数 ± 偶数 = 奇数 （3）偶数 ± 偶数 = 偶数 （4）奇数 × 奇数 = 奇数 （5）奇数 × 偶数 = 偶数 （5）偶数 × 偶数 = 偶数 【例题精讲】 【例题 1】在 里填上适当的数字，使： （1）34 能同时被 2，3，4，5 整除。 【解析】个位必须是 0，各个数位上数字的和必须是 3 的倍数，3+4=7，十位上可 以填 2，5，8；但是 3450 不是 4 的倍数，所以是 3420，3480。 71 （2）7 36 能被 24 整除。 【解析】因为 24=3×8，所以这个数能被 3 和 8 同时整除。先考虑能被 8 整除， 后面三位数 36 ，能被 8 整除的只能填 0 或 8， 当个位是 0 时，千位填 2，5，8；当个位是 8 时，千位填 0，3，6，9。 【例题 2】四位数 7 2 能同时被 2，3，5 整除，这样的四位数有几个？ 分别是多少？ 【解析】个位必须是 0，各个数位上数字和必须是 3 的倍数：7+2=9，百位上数字 可以填 0，3，6，9，所以四位数是 7020，7320，7620，7920。 【例题 3】商店里有 6 只不同的货箱，分别装有 15 千克，16 千克，18 千克， 19 千克，20 千克，31 千克货物。两个顾客买走其中的 5 箱，其中一个顾客买的货物的 重量是另一个顾客的 2 倍，商店里剩下的那箱货物是多少千克？ 【解析】因为一个顾客买的货物的重量是另一个顾客买的货物的重量的 2 倍，所 以 5 箱 的 总 重 量 是 3 的 倍 数；6 箱 的 总 重 量 是 15+16+18+19+20+31=119（千 克）； 119-20=99（千克），99 是 3 的倍数，剩下那箱是 20 千克。 第 20 讲  因数与倍数 72 小学数学新思维  五年级 【例题 4】三个不同质数的和是 32，要使这三个质数的积最大，那这三个质 数分别是多少？ 【解析】质数 + 质数 + 质数 =32，质数中只有 2 是偶数，所以另外两个质数的和 是 30，30=11+19=13+17。因为 13×17>11×19，所以三个数是 2，13，17。 【例题 5】（1）2+4+6+…+200 的结果是奇数还是偶数？ 【解析】因为偶数 + 偶数 = 偶数，不管多少个偶数相加，结果还是偶数。题目中 都是偶数相加，结果还是偶数。 （2）1+3+5+…+197+199 的结果是奇数还是偶数？ 【解析】因为奇数 + 奇数 = 偶数，当有偶数个奇数相加，结果是偶数；当有奇数 个奇数相加，结果是奇数。题目中都是奇数，个数是 100 个，所以结果是偶数。 73 【随堂练习】 1. 五位数 8 41 中的 内填什么数字，才能被 3 整除且含有因数 5，写出 这些数。 2. 既能被 2 整除，又是 3 的倍数，还有因数 5 的最小两位数是多少？最大两位数 是多少？ 3. 1+2+3+…+198+199+200 的结果是奇数还是偶数？ 4. 四位数 6a3b 能被 2，3，5 整除，这样的四位数有几个？分别是多少？ 5. 三个不同的质数的和是 42，要使这三个质数的积最大，这三个质数分别是多少？ 第 20 讲  因数与倍数 随堂练习参考答案 299 第 19讲【随堂练习】 1. 90909=3×3×3×7×13×37，其中 1×2×3×4×…×40 积中有因数：3，3，3， 7，13，37，所以能被 90909 整除。 2. 240=24×3×5；一共有因数：（1+4）×（1+1）×（1+1）=20（个）。 奇因数有：1，3，5，15；共 4 个。 3. 因为：1073=37×29；总人数 -1 肯定是 3 的倍数；所以总人数是 37 人，每人 植树 29 棵。 4. 195=3×5×13；86=2×43；72=2×2×2×3×3；380=2×2×5×19。 因为 2×5=10，积末尾有一个 0，要使乘积的末五位都是零，所以至少有 5 个 2 和 5 个 5 相乘。 题目中已经有 2 个因数 5，还缺 3 个因数 5，5×5×5=125；最小填 125。 5. 338=2×13×13；因为 a×338=a×2×13×13=b2。 所以 a 最小是 2，b=2×13=26。 第 20讲【随堂练习】 1. 这个五位数既是 3 的倍数也是 5 的倍数： （1） 当 个 位 是 0 时：8+4+1=13；13 加 上 百 位 上 的 数 是 3 的 倍 数：13+2=15， 13+5=18，13+8=21。这些数是 82410；85410；88410。 （2） 当 个 位 是 5 时：8+4+1+5=18；18+0=18，18+3=21，18+6=24，18+9=27。 这些数是 80415；83415；86415，89415。 2. 这个数是 2，3，5 的倍数，个位必须是 0。最小两位数是 30，最大两位数是 90。 3. 偶数 + 偶数 = 偶数；1 ~ 200 数中，有 100 个奇数；偶数个奇数相加，结果是 偶数。所以结果是偶数。 300 小学数学新思维  五年级 4. b=0，6+a+3 是 3 的倍数，即 9+a=9；9+a=12，9+a=15，9+a=18； a=0，a=3， a=6，a=9。 这样的四位数有 4 个，分别为 6030，6330，6630，6930。 5. 三个质数相加是偶数，必然一个是 2；另外两个和是 40，40=11+29，40=3+37， 40=17+23；2×17×23 最大。所以三个质数是 2、17、23。 第 21讲【随堂练习】 1. 75 与 6 的公因数有 1 和 3。 可以是边长为 1 厘米的正方形或边长为 3 厘米的正方形。 75÷3=25（列）；6÷3=2（行）；25×2=50（块）。 2.（27，18，15）=3。 棱长最大是 3 分米。 3.（336，252，210）=42，分 成 42 份。苹 果：336÷42=8（个）；梨：252÷42= 6（个）；橘子：210÷42=5（个）。 4.（240，200，480）=40；每小段最长是 40 厘米。 第 22讲【随堂练习】 1.［6，4］=12，边长最小是 12 分米； 12÷6=2（行）；12÷4=3（列），2×3=6（块）。 2. 4 与 5 的最小公倍数是 20，［4，5］=20。再过 20 天，也就是 4 月 21 日他们都 去图书馆。 3. 240÷8=30（秒），240÷6=40（秒），240÷5=48（秒）；［30，40，48］=240， 再过 240 秒，即 240÷60=4（分钟）。