4.6 利用相似三角形测高 同步练习 2025-2026学年北师大版九年级数学上册

4.6 利用相似三角形测高 同步练习 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1.如图，利用标杆测量建筑物的高度，如果标杆测得则建筑物的高(    ) A. B. C. D. 2.学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置绕点旋转到位置，已知，，垂足分别为，，，，，则栏杆端应下降的垂直距离为(    ) A. B. C. D. 3.如图，小明在打乒乓球时，为使球恰好能过网设网高，且落在对方区域桌子底线处，已知小明在自己桌子底线上方击球，则他击球点距离桌面的高度为(    ) A. B. C. D. 4.三角尺在灯泡的照射下在墙上形成的影子如图所示．若，，则这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是(    ) A. ： B. ： C. ： D. ： 5.如图，小明在地面上放了一个平面镜，选择合适的位置，刚好在平面镜中看到旗杆的顶部，此时小明与平面镜的水平距离为米，旗杆底部与平面镜的水平距离为米，若小明的眼晴与地面的距离为米，则旗杆的高度为(    ) A. B. C. D. 6.如图，身高米的学生小李想测量学校的旗杆的高度，当他站在处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得米，米，则旗杆的高度是(    ) A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 7.如图，在大树的右侧有三个台阶，每个台阶的高、宽分别是和某一时刻，测得台阶在地面上的影子，此时树梢顶点的影子落在台阶上包含两个端点已知大树的底部到台阶的距离，则大树的高度可能是(    ) A. B. C. D. 8.利用两块完全相同长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图方式放置，再交换两木块的位置，按图方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是． A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9.如图，小明用长为的竹竿做测量工具，测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离，则旗杆的高为______ 10.如图，测量小玻璃管口径的量具上，的长为毫米，被分为等份，如果小管口中正好对着量具上份处，那么小管口径的长是          毫米． 11.如图，为测量出湖边不可直接到达的、间的距离，测量人员选取一定点，使点、、和、、分别在同一直线上，且，，量得米，则_______米． 12.如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点，在近岸取点，，，使得，，点在上，并且点，，在同一条直线上．若测得，，，则河的宽度_____． 13.如图，甲、乙两盏路灯底部间的距离是米，一天晚上，当小华走到距路灯乙底部米处时，发现自己的身影顶部正好接触路灯乙的底部．已知小华的身高为米，那么路灯甲的高为________米． 14.如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点距离相距，与树相距，则树的高度为______ 15.如图所示，某校宣传栏后面米处种了一排树，每隔米一棵，共种了棵，小勇站在距宣传栏中间位置的垂直距离米处，正好看到两端的树干，其余的棵均被挡住，那么宣传栏的长为___________米．不计宣传栏的厚度 16.如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚和交叉构成，利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短，如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度的地方即同时使，，然后张开两脚，使、两个尖端分别在线段的两个端点上，若，则的长为          ． 三、解答题：本题共6小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 如图，操场上有一根旗杆，为测量它的高度，在和处各立一根高米的标杆，，两杆相距米，测得视线与地面的交点为，视线与地面的交点为，且，，，，都在同一直线上，测得为米，为米，求旗杆的高度． 18.本小题分 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上．已知纸板的两条边，，测得边离地面的高度，，求树高． 19.本小题分 据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度． 如图，木杆长，它的影长为，测得为，求金字塔的高度． 20.本小题分 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点，在近岸取点和，使点，，共线且直线与河垂直，接着在过点且与垂直的直线上选择适当的点，确定与过点且垂直的直线的交点已测得，，，请根据这些数据，计算河宽． 21.本小题分 汽车盲区是指司机正常驾驶时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的区域某型号小汽车的车头盲区见图可以近似看作矩形如图，驾驶该型号汽车时司机视线高度米，车前盖最高处与地面距离米，驾驶员与车头水平距离米，车前盖最高处与车头水平距离米，点在上，米． 求车头盲区的长度； 在处有一个高度为米的物体，驾驶员能观察到物体吗？请作出判断，并说明理由． 22.本小题分 某班进行了一次数学实践活动，探索测量校园围墙的高度． 如图，小慧组把一根长为米的竹竿斜靠在墙上，量出距竹竿点米的点离地面的高度为米，请你求出墙的垂直高度． 如图，小聪组用平面镜来测量另一处墙的高度示意图点处放一水平的平面镜，光线从点出发经平面镜反射后刚好射到墙的顶端处，已知、、在同一条直线上，，如果测得米，米，米，请求此处墙的垂直高度． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：，， ， ∽， ， ，，， ， ， ． 故选：． 先根据题意得出∽，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出的值． 本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例的性质是解答此题的关键． 2.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质由，可证∽，据此得，将已知数据代入即可求解． 【解答】 解：，， ， 又， ∽， 则， ，，， ， 解得：． 故选C． 3.【答案】  【解析】解：， ∽， ， 而， ． 故选：． 证明∽，然后利用相似比得到的长． 本题考查了相似三角形的应用：利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度． 4.【答案】  【解析】解：如图，，， ， 三角尺与影子是相似三角形， 三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比为：． 故选B． 先根据相似三角形对应边成比例求出三角尺与影子的相似比，再根据相似三角形周长的比等于相似比解答即可． 本题考查了相似三角形的应用． 5.【答案】  【解析】【分析】 如图，，，，利用题意得，则可判断∽，然后利用相似比计算出的长． 本题考查了相似三角形的应用：借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高长作为三角形的边，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度． 【解答】 解：如图，，，， 由题意得， ， ∽， ，即， ，即旗杆的高度为． 故选：． 6.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了考查相似三角形的性质和投影知识，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题． 因为人和旗杆均垂直于地面，所以构成相似三角形，利用相似比解题即可． 【解答】 解：设旗杆高度为， 由题意得，解得米． 故选：． 7.【答案】  【解析】解：作，，则四边形是矩形， ，，， ， 由题意得∽， ，即， ， ， 故选：． 作，，则四边形是矩形，推出∽，据此求解即可． 本题考查了相似三角形的应用，平行投影，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 8.【答案】  【解析】【分析】 本题考查方程思想、整体思想的应用及观察图形的能力． 设桌子的高度为，第一个长方体的长为，第二个长方体的宽为，建立关于，，的方程组求解． 【解答】 解：设桌子的高度为，第一个长方体的长为，第二个长方体的宽为， 由第一个图形可知桌子的高度为：， 由第二个图形可知桌子的高度为：， 两个方程相加得：， 解得：． 故选C． 9.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了相似三角形的应用，是基础题，熟记相似三角形对应边成比例是解题的关键． 根据和相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可． 【解答】 解：由题意得，， ∽， ， 即， 解得． 10.【答案】  【解析】【分析】 本题考查相似三角形的应用，关键是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程即可求出小管口径的长． 利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出小管口径的长即可． 【解答】 解：， ∽， ：：， ：：， 毫米， 小管口径的长是毫米． 故答案为：． 11.【答案】  【解析】【分析】 本题考查的是相似三角形的应用，根据题意得出∽是解答此题的关键．先根据，及可得出∽，再由相似三角形的对应边成比例即可求出的值． 【解答】 解：，，， ∽， ， 即， 解得米． 故答案为． 12.【答案】  【解析】【分析】 求出和相似，根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解． 【详解】 ，， 又， ∽， 即 解得． 故答案为：． 【点睛】 考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． 13.【答案】  【解析】【分析】 本题主要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出路灯的高度，体现了方程的思想．由于人和地面是垂直的，即人和路灯平行，构成相似三角形．根据对应边成比例，列方程解答即可． 【解答】 解：如图， 根据题意知，， ∽， ， 即， 解得． 故答案为． 14.【答案】  【解析】解：如图； 由题意，得，，； 由于，所以∽，得： ，即， 解得：， 故答案为：． 此题中，竹竿、树以及经过竹竿顶端和树顶端的太阳光构成了一组相似三角形，利用相似三角形的对应边成比例即可求得树的高度． 此题考查了相似三角形在测量高度时的应用；解题的关键是找出题中的相似三角形，并建立适当的数学模型来解决问题． 15.【答案】  【解析】【分析】 本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．易证∽，根据相似三角形对应边成比例，对应高之比等于相似比，列方程即可解答． 【解答】 解：根据题意可画出图形，小树每隔米一棵，共种了棵． ， 由图形可知∽ 即 解得． ． 故答案为． 16.【答案】  【解析】【分析】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，学会利用相似三角形的性质解决问题，属于中考常考题型． 首先根据题意利用两组对边的比相等且夹角相等的三角形是相似三角形判定相似，然后利用相似三角形的性质求解． 【解答】 解：，， ：：：，， ∽， ， ， ， ， 故答案为． 17.【答案】解：由题意知，设，， ∽，∽， ，， ， 解得． 答：旗杆的高度为．  【解析】根据，可得∽，∽，可得，，即可求得的值，即可解题． 本题考查了相似三角形的应用，平行线的性质等知识，本题中列出关于、的关系式是解题的关键． 18.【答案】解：在中，， 即：， ， 由题意得：，， ∽， ， ，，， ， 解得：米， ， ．  【解析】首先利用勾股定理计算出长，再证明∽，由相似三角形的性质可得，求出长，进而可得答案． 此题主要考查了相似三角形的应用，关键是掌握三角形相似对应边成比例． 19.【答案】解：太阳光是平行光线，因此 ． 又， ∽． ， ． 因此金字塔的高度为．   【解析】见答案 20.【答案】解：，， ∽． ， 即 ，， ． 解得  ． 因此，河宽大约为．   【解析】见答案 21.【答案】；   驾驶员不能观察到物体．  【解析】根据题意，，，，， ， ∽， ，且， 解得，， 检验，当时，原方程的分母不为零， ， ； 驾驶员不能观察到物体． 理由：如图所示，过点作交于点， ，，， ∽， ， ， ， 驾驶员不能观察到物体． 根据题意得到∽，根据相似三角形的性质即可得到结论； 过点作交于点，可证∽，根据相似三角形的性质即可得到结论． 本题主要考查相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是关键． 22.【答案】墙的垂直高度为米；   墙的垂直高度为米．  【解析】， ， ∽， ， ， ， 答：墙的垂直高度为米； ，， ， ， ∽， ， ， ， 答：墙的垂直高度为米． 根据相似三角形的判定和性定理即可得到结论； 根据相似三角形的判定和性定理即可得到结论． 本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． 第7页，共18页 学科网（北京）股份有限公司 $$