3.3 幂函数（分层作业）数学人教A版2019必修第一册

3.3 幂函数 知识点1 幂函数的概念及解析式 1．（24-25高一上·浙江丽水·期末）（多选）下列函数中，为幂函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·云南昭通·月考）若函数是幂函数，则实数的值为 . 3．（24-25高一下·辽宁朝阳·月考）已知幂函数，则 . 4．（24-25高一上·江苏镇江·期末）已知幂函数经过点，则的值是 ． 知识点2 求幂函数的定义域与值域 1．（24-25高一上·湖南·月考）已知幂函数的定义域是，则 ． 2．（23-24高一下·辽宁·月考）函数的值域为 . 3．（24-25高一上·上海·期末）函数的定义域是，则它的值域是 . 4．（24-25高一上·辽宁盘锦·月考）下列四组函数中，同组两个函数的值域相同的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 知识点3 幂函数的图象及应用 1．（24-25高一上·贵州·月考）函数的图象是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·湖北武汉·月考）图中、、为三个幂函数在第一象限内的图象，则指数的值依次可以是（    ） A．，3， B．，3， C．，，3 D．，，3 3．（24-25高一上·江苏盐城·月考）若幂函数的图象不过原点，则（    ） A． B． C．或 D．或 4．（24-25高一上·江苏·月考）“幂函数的图象分布在第一、二象限”是“或2”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 知识点4 幂函数的单调性 1．（24-25高一上·江苏宿迁·期末）已知幂函数图象经过点，则函数的增区间为 . 2．（24-25高一下·广东湛江·月考）已知幂函数在定义域内单调递增，则（    ） A． B． C． D．2 3．（24-25高一上·辽宁沈阳·月考）幂函数在上为减函数，则实数的值为（    ） A．2或 B．0 C．1 D．2 4．（24-25高一上·江苏无锡·期中）“或”是“幂函数在上是减函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 知识点5 利用幂函数的单调性比较大小 1．（24-25高一上·河南南阳·月考）下列比较大小中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·安徽安庆·月考）已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·甘肃白银·月考）设，，，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·云南昭通·月考）幂函数的图象与坐标轴有交点，且，则的值（    ） A．无法判断 B．等于0 C．恒小于0 D．恒大于0 知识点6 幂函数的奇偶性 1．（24-25高一上·上海·期末）已知幂函数是奇函数，则 . 2．（24-25高一上·福建莆田·期中）若幂函数是奇函数，则 . 3．（24-25高一上·天津·期末）若幂函数是偶函数，则 . 4．（24-25高一上·湖南永州·月考）已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上是减函数.m的值为 知识点7 利用幂函数单调性与奇偶性解不等式 1．（24-25高一上·甘肃定西·期末）已知函数为幂函数，且，若，则实数的取值范围是 . 2．（24-25高一上·上海·月考）已知，则实数的取值范围是 . 3．（24-25高一下·湖北·月考）已知幂函数是偶函数，则不等式的解集为 ． 4．（24-25高一上·江苏苏州·月考）已知幂函数的图象关于原点对称，且在上是减函数，若，则实数a的取值范围是 . 1．（24-25高一上·湖南·期中）（多选）已知幂函数的图象经过点，下列结论正确的有（    ） A． B． C．是偶函数 D．若，则 2．（24-25高一上·山东泰安·月考）已知幂函数的图像关于轴对称，且在上是减函数，实数a满足，则a的取值范围是 . 3．（24-25高一上·山东日照·月考）已知幂函数在上单调递减. (1)求的值； (2)若，求的取值范围； (3)设，求的最大值. 4．（24-25高一上·浙江·期中）已知函数为幂函数，且在区间上单调递增，令． (1)求函数的解析式； (2)当时，求函数在区间上的值域； (3)若对任意恒成立，求实数a的取值范围． 1．（24-25高一下·浙江杭州·月考）已知函数对称中心在直线上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·浙江杭州·期中）（多选）已知函数与的图象如图所示，则（    ） A．为奇函数 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．的值域为 3．（24-25高一上·黑龙江大庆·期中）已知函数既是二次函数又是幂函数，若函数，则（    ） A．2024 B．2025 C．4048 D．4049 4．（24-25高一上·福建泉州·期中）已知函数. (1)求，，，的值，并判断奇偶性； (2)判断在的单调性； (3)已知曲线关于直线对称的充要条件是函数为偶函数.类比此结论，写出曲线关于点中心对称的充要条件，并据此求出函数的图象的对称中心. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.3 幂函数 知识点1 幂函数的概念及解析式 1．（24-25高一上·浙江丽水·期末）（多选）下列函数中，为幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】由幂函数的定义知，和是幂函数， 和不是幂函数，分别是二次函数和指数函数，故选：AC. 2．（24-25高一下·云南昭通·月考）若函数是幂函数，则实数的值为 . 【答案】3或0 【解析】因为是幂函数，则，解得或. 3．（24-25高一下·辽宁朝阳·月考）已知幂函数，则 . 【答案】 【解析】由幂函数定义可得，则，则. 4．（24-25高一上·江苏镇江·期末）已知幂函数经过点，则的值是 ． 【答案】 【解析】因为函数为幂函数， 所以，得，所以， 因为幂函数的图象过点， 所以，则，得，解得， 所以. 知识点2 求幂函数的定义域与值域 1．（24-25高一上·湖南·月考）已知幂函数的定义域是，则 ． 【答案】 【解析】因为函数为幂函数，则，即， 解得或， 当时，函数的定义域为，合乎题意； 当时，函数的定义域为，舍去. 综上所述，. 2．（23-24高一下·辽宁·月考）函数的值域为 . 【答案】 【解析】由幂函数性质可知在上单调递增， 又易知为偶函数， 所以当时，可知在上单调递减，可得. 3．（24-25高一上·上海·期末）函数的定义域是，则它的值域是 . 【答案】 【解析】由， 设，因，则， 而函数在上单调递减，在上单调递增， 则，故函数的值域为. 4．（24-25高一上·辽宁盘锦·月考）下列四组函数中，同组两个函数的值域相同的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【解析】对于A，的定义域为，∵，∴的值域为， 的定义域和值域均为，故A错误； 对于B，的定义域为，其值域为， 的定义域为，其值域为，故B错误； 对于C，的定义域为，其值域为， 的定义域为，其值域为，故C正确； 对于D，的定义域为，其值域为， 的定义域和值域均为，故D错误，故选：C. 知识点3 幂函数的图象及应用 1．（24-25高一上·贵州·月考）函数的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】易知函数的定义域为， 且该函数为偶函数，排除D， 由易知在上该函数为单调递减，又排除AB，故选：C 2．（24-25高一上·湖北武汉·月考）图中、、为三个幂函数在第一象限内的图象，则指数的值依次可以是（    ） A．，3， B．，3， C．，，3 D．，，3 【答案】D 【解析】由图可知，：在第一象限内单调递减，则指数的值满足； ：在第一象限内单调递增，且图象呈现上凸趋势，则指数的值满足； ：在第一象限内单调递增，且图象呈现下凸趋势，则指数的值满足.故选：D. 3．（24-25高一上·江苏盐城·月考）若幂函数的图象不过原点，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】对于幂函数， 有，解得或， 当时，，则幂函数为，显然其图象不过原点； 当时，，则幂函数为，显然其图象不过原点； 综上，或.故选：C. 4．（24-25高一上·江苏·月考）“幂函数的图象分布在第一、二象限”是“或2”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】由题意得，因为是幂函数， 所以，解得或. 当时，，如图所示， 图像经过第一、二象限； 当时，，如图所示， 图像分布在 第一、三象限. 故可得“幂函数的图象分布在第一、二象限”等价于“”， 于是“”可推出“或2”，而“或2”推不出“”， 于是“幂函数的图象分布在第一、二象限”是“或2”的充分不必要条件. 故选：C. 知识点4 幂函数的单调性 1．（24-25高一上·江苏宿迁·期末）已知幂函数图象经过点，则函数的增区间为 . 【答案】 【解析】由题意得，则，则，则其增区间为. 2．（24-25高一下·广东湛江·月考）已知幂函数在定义域内单调递增，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【解析】因为为幂函数，且在定义域内单调递增， 所以，解得.故选：C 3．（24-25高一上·辽宁沈阳·月考）幂函数在上为减函数，则实数的值为（    ） A．2或 B．0 C．1 D．2 【答案】D 【解析】由题意可得且， 整理可得且，解得.故选：D. 4．（24-25高一上·江苏无锡·期中）“或”是“幂函数在上是减函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】由是幂函数可得，解得或； 当时，在上是减函数， 当时，在上是增函数,不合题意， 即可得“幂函数在上是减函数”的等价条件为“”； 而“”仅是“或”的一部分， 因此“或”是“幂函数在上是减函数”的必要不充分条件. 故选：C 知识点5 利用幂函数的单调性比较大小 1．（24-25高一上·河南南阳·月考）下列比较大小中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对A：因为幂函数在上单调递增，且，所以，故A错误； 对B：因为幂函数为奇函数，在单调递减，， 所以，即，故B错误； 对C：因为幂函数为奇函数，在单调递增，， 所以，即，故C正确； 对D：因为幂函数为偶函数，在单调递增，， 所以，即，故D错误.故选：C 2．（24-25高一上·安徽安庆·月考）已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为在R上单调递增，所以，即， 又因为，又且在上单调递增， 所以，，所以.故选：A. 3．（24-25高一上·甘肃白银·月考）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知，，， 因为在上是增函数，且， 所以．故选：C. 4．（24-25高一上·云南昭通·月考）幂函数的图象与坐标轴有交点，且，则的值（    ） A．无法判断 B．等于0 C．恒小于0 D．恒大于0 【答案】D 【解析】由，解得或. 当时，；当时，. 因为函数的图象与坐标轴有交点，故. 又，所以， 因为为在R上单调递增的奇函数， 所以，即.故选：D 知识点6 幂函数的奇偶性 1．（24-25高一上·上海·期末）已知幂函数是奇函数，则 . 【答案】-1 【解析】因为函数是幂函数，所以，即，解得或， 当时， 是奇函数，满足题意； 当 时，是偶函数，不满足题意； 故. 2．（24-25高一上·福建莆田·期中）若幂函数是奇函数，则 . 【答案】2 【解析】是幂函数， 则有，解得或， 时，是奇函数； 时，是偶函数，不合题意，舍去， 所以. 3．（24-25高一上·天津·期末）若幂函数是偶函数，则 . 【答案】 【解析】由于是幂函数，所以，解得或， 当时，是奇函数，不符合题意. 当时，是偶函数，符合题意. 4．（24-25高一上·湖南永州·月考）已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上是减函数.m的值为 【答案】1 【解析】因为幂函数y=在上是减函数， 所以，所以，因为，所以或2， 又因为函数图象关于y轴对称，所以是偶数，所以. 知识点7 利用幂函数单调性与奇偶性解不等式 1．（24-25高一上·甘肃定西·期末）已知函数为幂函数，且，若，则实数的取值范围是 . 【答案】. 【解析】设，则，解得， 所以，定义域为，且在定义域上单调递减， 故，解得. 故答案为：. 2．（24-25高一上·上海·月考）已知，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】由于幂函数，定义域为，偶函数，且在单调递减， 所以由， 可得：，且， 对平方可得：，解得：， 又， 所以实数的取值范围是， 3．（24-25高一下·湖北·月考）已知幂函数是偶函数，则不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】幂函数是偶函数， ，解得或， 当时，为奇函数，不符合题意， 当时，为偶函数，符合题意， ,在内单调递增，且为偶函数， 可化为， 两边取平方可得：， 整理的，解得， 的解集为. 4．（24-25高一上·江苏苏州·月考）已知幂函数的图象关于原点对称，且在上是减函数，若，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【解析】幂函数的图象关于原点对称，且在上是减函数， ，解得， ，或 当时，，其图象关于y轴对称，不满足题意； 当时，，其图象关于原点对称，满足题意， 不等式可化为 函数是定义域为的减函数， ，解得， 即实数a的取值范围是 1．（24-25高一上·湖南·期中）（多选）已知幂函数的图象经过点，下列结论正确的有（    ） A． B． C．是偶函数 D．若，则 【答案】AC 【解析】对于A，由于幂函数的图象经过点， 故，解得，故，A正确， 对于B，无意义，故B错误， 对于C，定义域为，关于原点对称， 且，故是偶函数，C正确， 对于D，由于是偶函数，且在单调递减， 故由可得，解得且，故D错误， 故选：AC 2．（24-25高一上·山东泰安·月考）已知幂函数的图像关于轴对称，且在上是减函数，实数a满足，则a的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为幂函数在上是减函数， 所以，即， 解得.又因为，所以或. 当时，，，为偶函数， 图象关于轴对称，且满足题意. 原不等式为，由于在R上单调递增， 则不等式化为，解得. 当时，，，为奇函数，不满足图象关于轴对称，舍弃. 综上，实数的取值范围为. 3．（24-25高一上·山东日照·月考）已知幂函数在上单调递减. (1)求的值； (2)若，求的取值范围； (3)设，求的最大值. 【答案】(1)；(2)；(3)2 【解析】（1）由是幂函数，得，解得或， 当时，，在上单调递增，不合题意； 当时，，在上单调递减，符合题意， 所以． （2）若，即， ∵函数在上单调递增， ∴，解得． （3），则，， ∵， ∴，当且仅当取等号， ∴的最大值为2． 4．（24-25高一上·浙江·期中）已知函数为幂函数，且在区间上单调递增，令． (1)求函数的解析式； (2)当时，求函数在区间上的值域； (3)若对任意恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）依题意，解得或； 当时，在区间上单调递减，不合题意，舍去； 当时，在区间上单调递增，符合题意， 所以； （2）当时，可得， 令，因为，所以， 即可得， 当时，，当时，； 所以函数在区间上的值域为 （3）令，因为，所以， 即可得， 因为对任意恒成立，所以对于任意恒成立； 所以. 当时，在上单调递减，可得，符合题意； 当时，图象的对称轴为， 易知恒成立，因此在上的最小值为，符合题意； 当时，若，此时， 可得，此时不等式无解，不符合题意； 当时，， 此时在上的最小值为，解得. 综上可知，实数a的取值范围为. 1．（24-25高一下·浙江杭州·月考）已知函数对称中心在直线上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由， 可得， ， 所以， 即，所以函数的对称中心为， 又因为在直线上，所以，所以， 所以， 因为，所以，， 根据基本不等式有：， 当且仅当即时，等号成立， 所以的最小值为.故选：C 2．（24-25高一上·浙江杭州·期中）（多选）已知函数与的图象如图所示，则（    ） A．为奇函数 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．的值域为 【答案】AC 【解析】由图象知，定义域为，是偶函数，在上单调递增，在单调递减； 定义域为，是奇函数，在上单调递增，在单调递增； 对于A，定义域为， 又因为，所以是奇函数，故A正确； 对于B，令，则，, 但，，，故B错误； 对于C，，由图象知， 因为在上单调递增，所以， 又因为在上单调递减，所以， 即在上单调递减，故C正确； 对于D，令，则， 当接近正无穷大时，函数值接近0，故的值域不能为，故D错误；故选：AC. 3．（24-25高一上·黑龙江大庆·期中）已知函数既是二次函数又是幂函数，若函数，则（   ） A．2024 B．2025 C．4048 D．4049 【答案】D 【解析】由题可知：，则， 所以，且， 则 .故选：D 4．（24-25高一上·福建泉州·期中）已知函数. (1)求，，，的值，并判断奇偶性； (2)判断在的单调性； (3)已知曲线关于直线对称的充要条件是函数为偶函数.类比此结论，写出曲线关于点中心对称的充要条件，并据此求出函数的图象的对称中心. 【答案】(1)，非奇非偶函数； (2)单调递增，理由见解析； (3)曲线关于点中心对称的充要条件是函数是奇函数，. 【解析】（1）函数，则， 且，因此函数是非奇非偶函数. （2）函数在上都单调递增， 所以函数在上单调递增. （3）曲线关于点中心对称的充要条件是函数是奇函数， 由于， 则，即函数是奇函数， 所以函数的对称中心为. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$