专题3.4 整式及其加减（章节复习）知识梳理+21个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共55题-2025-2026学年北师大版数学七年级上册同步培优讲练（2024新教材）

专题3.4 整式及其加减（章节复习） （知识梳理+21个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共55题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：代数式 2 知识点梳理02：单项式 2 知识点梳理03：多项式 4 知识点梳理04：整式 4 知识点梳理05：同类项 4 优选题型 考点讲练 5 考点1：用代数式表示数、图形的规律 5 考点2：代数式书写方法 5 考点3：已知字母的值。求代数式的值 6 考点4：已知式子的值。求代数式的值 6 考点5：程序流程图与代数式求值 7 考点6：写出满足某些特征的单项式 8 考点7：单项式规律题 8 考点8：多项式的项、项数和次数 8 考点9：多项式的系数、指数中字母求值 9 考点10：将多项式按照某个字母升幂（或降幂）排列 9 考点11：整式的判断 10 考点13：已知同类项求指数中字母或代数式的值 10 考点14：合并同类项 10 考点15：整式的加减运算 11 考点16：整式的加减中的化简求值 12 考点17：整式加减中的无关型问题 13 考点18：整式加减的应用 13 考点19：带有字母的绝对值化简问题 15 考点20：数字类规律探究 15 考点21：图形类规律探究 16 中考真题 实战演练 18 难度分层 拔尖冲刺 19 基础夯实 19 培优拔高 20 知识点梳理01：代数式 1.定义：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方等）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。 注意： ①代数式中除了含有数、字母和运算符号外，还可以有括号； ②代数式中不含有“=、>、<、≠”等符号。等式和不等式都不是代数式，但等号和不等号两边的式子一般都是代数式； ③代数式中的字母所表示的数必须要使这个代数式有意义，是实际问题的要符合实际问题的意义。 2.代数式的书写格式： ①代数式中出现乘号，通常省略不写，如vt； ②数字与字母相乘时，数字应写在字母前面，如4a； ③带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数，如应写作； ④数字与数字相乘，一般仍用“×”号，即“×”号不省略； ⑤在代数式中出现除法运算时，一般写成分数的形式，如4÷（a-4）应写作；注意：分数线具有“÷”号和括号的双重作用。 ⑥在表示和（或）差的代数式后有单位名称的，则必须把代数式括起来，再将单位名称写在式子的后面，如平方米。 知识点梳理02：单项式 1.单项式定义 （1）定义： 由数或字母的积组成的式子叫做单项式。 说明： 单独的一个数或者单独的一个字母也是单项式. 2、 单项式的系数： 单项式中的数字因数叫这个单项式的系数. 说明：（1）单项式的系数可以是整数，也可能是分数或小数。如的系数是3；的系数是；的系数是4.8； （2）单项式的系数有正有负，确定一个单项式的系数，要注意包含在它前面的符号 如的系数是；的系数是； （3）对于只含有字母因数的单项式，其系数是1或-1，不能认为是0，如的系数是-1；的系数是1； （4）表示圆周率的π，在数学中是一个固定的常数，当它出现在单项式中时，应将其作为系数的一部分，而不能当成字母。如2πxy的系数就是2. 3、单项式的次数： 一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数. 说明： （1）计算单项式的次数时，应注意是所有字母的指数和，不要漏掉字母指数是1的情况。如单项式的次数是字母z，y，x的指数和，即4＋3＋1=8，而不是7次，应注意字母的指数是1而不是0； （2）单项式的指数只和字母的指数有关，与系数的指数无关。如单项式的次数是2＋3＋4=9而不是13次； （3）单项式是一个单独字母时，它的指数是1，如单项式m的指数是1，单项式是单独的一个常数时，一般不讨论它的次数； 4、在含有字母的式子中如果出现乘号，通常将乘号写作“ ”或者省略不写。 例如：可以写成或 5、在书写单项式时，数字因数写在字母因数的前面，数字因数是带分数时转化成假分数. 知识点梳理03：多项式 1、定义： 几个单项式的和叫多项式. 2、多项式的项： 多项式中的每个单项式叫做多项式的项. 3、多项式的次数： 多项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数. 4、多项式的项数： 多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数. 5、常数项： 多项式里，不含字母的项叫做常数项. 知识点梳理04：整式 （1）单项式和多项式统称为整式。 （2）单项式或多项式都是整式。 （3）整式不一定是单项式。 （4）整式不一定是多项式。 （5）分母中含有字母的代数式不是整式；而是今后将要学习的分式。 知识点梳理05：同类项 1.定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。 2.合并同类项： （1）合并同类项的概念：把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项。 （2）合并同类项的法则： 　同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。 （3）合并同类项步骤： 　 a．准确的找出同类项。 　b．逆用分配律，把同类项的系数加在一起（用小括号），字母和字母的指数不变。 　　c．写出合并后的结果。 （4）在掌握合并同类项时注意： 　　a.如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项后，结果为0. 　b.不要漏掉不能合并的项。 　c.只要不再有同类项，就是结果（可能是单项式，也可能是多项式）。 说明：合并同类项的关键是正确判断同类项。 考点1：用代数式表示数、图形的规律 【典例精讲】（25-26七年级上·江苏泰州·开学考试）如图的图案由若干个相同的正方形组成，每个涂色部分的面积是5平方厘米，占所在正方形的，个正方形，像这样组成的图案面积是 平方厘米． 【变式训练】（24-25七年级上·河北保定·期末）如图，从编号为1的卡片开始，每个卡片中都填入一个数字，使得其中任意四个相邻卡片中所填数字之和相等． (1)________，________； (2)求从左到右前8个数的和；并探索从左到右前2025个数的和； (3)试用含m（m为正整数）的代数式表示填入数字“”的卡片的编号，直接写答案． 考点2：代数式书写方法 【典例精讲】（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）有下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中，符合代数式书写要求的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式训练】（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）下列各式中，符合代数式书写要求的是（    ） A． B． C．千米 D． 考点3：已知字母的值。求代数式的值 【典例精讲】（24-25七年级上·吉林·阶段练习）已知与互为倒数，比最小的正整数大，是最大的负整数，求的值． 【变式训练】（24-25七年级上·河北邯郸·期末）如图所示是一个长方形． （1）根据图中尺寸大小，用含x的代数式表示阴影部分的面积 ； （2）若，求S的值 ． 考点4：已知式子的值。求代数式的值 【典例精讲】（24-25七年级上·贵州毕节·期中）如图是一个正方体表面的展开图，将它折叠成正方体后，若相对的面上的两个数互为相反数，则的值是（   ） A．2 B．6 C．-2 D．-4 【变式训练】（24-25七年级上·北京·期中）同学遇到这样一道题：“如果代数式的值为，那么代数式的值是多少？”这个问题中a和b的值不能单独求出来，于是他想到了把作为一个整体求解，得到如下的解题过程： 原式． 整体思想是中学数学解题的一种重要思想方法，请仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)已知，则＝； (2)已知，求的值； (3)已知，，求的值． 考点5：程序流程图与代数式求值 【典例精讲】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）如图是一个数值转换机示意图，当输入的的值为3，的值为时，输出的结果为 ． 【变式训练】（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）在生活中，密码的应用很广泛，电子支付，密码认证等，小丽编制了一种密码规则：将26个英文字母A，B，C，．．．，Z依次对应自然数，对于密文，给出密文与明文之间的关系如下：当密文中的数（为正整数）满足，明文对应相应英文字母，当密文中的数满足时，按照以下计算程序输出： 若小丽设置的明文是“”，则密文不可能是（   ） A． B． C． D． 考点6：写出满足某些特征的单项式 【典例精讲】（23-24七年级上·陕西咸阳·期末）系数为，只含字母的所有三次单项式是 ． 【变式训练】（24-25七年级上·辽宁大连·期末）试写出一个含有字母，的三次单项式，其系数为，则该单项式可以是 （写出一个即可）． 考点7：单项式规律题 【典例精讲】（2025·云南玉溪·一模）一列单项式按以下规律排列：x，，，，，，，…，则第2025个单项式是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25七年级上·广东潮州·期中）按一定规律排列的单项式：，第n个单项式是 考点8：多项式的项、项数和次数 【典例精讲】（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）下列说法正确的是（    ） A．整式就是多项式 B．的次数是9 C．是单项式 D．是单项式 【变式训练】（24-25七年级上·河南南阳·期中）（1）若是关于x的四次单项式，求m，n的值，并写出这个单项式． （2） 我们称各项的次数都相同的多项式为齐次多项式，如就是齐次多项式，若多项式是齐次四项式，求的值； 考点9：多项式的系数、指数中字母求值 【典例精讲】（24-25七年级上·四川雅安·期中）关于a的多项式是二次三项式，则 ． 【变式训练】（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）已知式子是关于x的二次多项式，且二次项系数为b，数轴上A，B两点所对应的数分别是a和b． (1)则 ， ；A，B两点之间的距离为 ； (2)有一动点P从点A出发第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次向右运动2个单位长度，再在此位置第三次向左运动3个单位长度…．按照如此规律不断地左右运动，当运动到第几次时，点P到达B点． (3)有一动点P从点A出发第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次向右运动2个单位长度，再在此位置第三次向左运动3个单位长度…．按照如此规律不断地左右运动，当运动到第2024次时，求点P所对应的有理数． 考点10：将多项式按照某个字母升幂（或降幂）排列 【典例精讲】（24-25七年级上·吉林通化·期中）已知多项式是关于x、y的八次四项式， (1)求该多项式的四次项； (2)将该多项式按y的降幂重新排列． 【变式训练】（23-24七年级上·吉林·期中）已知是关于、的七次四项式，且它的最高次项的系数是． (1)求、的值； (2)把这个多项式按的降幂重新排列． 考点11：整式的判断 【典例精讲】（23-24七年级上·河南郑州·期中）下列说法正确的是（　　） A．不是整式 B．系数是 C．的次数是6 D．不是单项式 【变式训练】（21-22七年级上·陕西榆林·期末）下列说法错误的是（    ） A．代数式，，都是整式 B．单项式的系数是，次数是2 C．多项式的项是， D．多项式是二次三项式 考点13：已知同类项求指数中字母或代数式的值 【典例精讲】（24-25七年级上·湖南株洲·期末）单项式与单项式的和仍是单项式，则的值为 ． 【变式训练】（24-25七年级上·江西南昌·期中）已知m，n为常数，单项式与多项式的和是一个单项式，则的值为 考点14：合并同类项 【典例精讲】（23-24七年级上·黑龙江绥化·期中）若与的和是单项式，则 ． 【变式训练】（24-25七年级上·江西赣州·期末）【教材呈现】课本109页提到“整体思想”是中学数学的重要思想方法，在解题中会经常用到． 【例】合并同类项：，类似地，我们也可以把看成一个整体，则． 尝试应用： （1）把看成一个整体，合并的结果是 　　； （2）已知，求的值； 拓展探索： （3）已知，，，求的值． 考点15：整式的加减运算 【典例精讲】（24-25七年级上·辽宁盘锦·阶段练习）化简 (1) (2) 【变式训练】（24-25七年级上·福建莆田·阶段练习）已知：数，，在数轴上的对应点如图所示， (1)比较大小（填“<”或“>”或“=”）：____________0，____________0，____________0； (2)化简． 考点16：整式的加减中的化简求值 【典例精讲】（24-25七年级上·河北邯郸·期末）按要求完成下列各小题． (1)计算：； (2)先化简，再求值：，其中，． 【变式训练】（24-25七年级上·吉林长春·期末）【教材呈现】“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．下题是华师版七年级上册数学教材第120页的部分内容． 代数式的值为7，则代数式的值为______． 【阅读理解】小明在做作业时采用的方法如下：由题意得，则有，，所以代数式的值为5． 【方法运用】 （1）若代数式的值为15，求代数式的值． （2）若时，代数式的值为19，当时，求代数式的值． 【拓展应用】 （3）若，．则的值为______． 考点17：整式加减中的无关型问题 【典例精讲】（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）已知代数式：． (1)化简； (2)当时，求的值； (3)若的值与x的取值无关，求y的值． 【变式训练】（24-25七年级上·吉林长春·期中）某同学做一道数学题，已知两个多项式A、B，其中，试求．这位同学把误看成，结果求出的答案为． (1)请你替这位同学求出的正确答案； (2)若的值与x的取值无关，求y的值． 考点18：整式加减的应用 【典例精讲】（24-25七年级上·福建莆田·期末）在小学，我们知道像12，27，36，45，108，…这样的自然数能被3整除．一般地，如果一个自然数所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除．事实上，我们可以证明这个结论的正确性． 以两位数为例，若一个两位数的十位、个位上的数字分别为，则通常记这个两位数为，于是显然，能被3整除，因此，若能被3整除，那么，就能被3整除，即能被3整除． 根据上述材料，解答下列问题： (1)下列各数中，能被3整除的有___________（填序号） ①25；②225；③1025． (2)用含、、的代数式表示三位数___________（其中是百位数，是十位数，是个位数）； (3)类比上述的过程，尝试说明：如果一个三位数的所有数位之和能被9整除，那么这个三位数就能被9整除． 【变式训练】（24-25七年级上·河北唐山·阶段练习）下列数阵是由50个偶数按照5×10排成的，框内有四个数． 猜想：图中框内四个数之和是数字4的倍数 (1)在数阵中任意做一类似于下图中的框，设左上角的数为x，那么其他3数分别表示为： 右上：   左下：   右下： ． (2)任意移动这个框，利用（1）中得到的数是否都能得到猜想的结论？你能证明这个结论吗？ 考点19：带有字母的绝对值化简问题 【典例精讲】（24-25七年级上·湖南湘西·期末）有理数，，在数轴上的位置如图所示： (1)________，________，________； (2)化简：． 【变式训练】（24-25七年级上·贵州遵义·期中）下列说法：①若，则；②若，，，则；③；④满足的整数的值有3个；⑤若，则，其中正确的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 考点20：数字类规律探究 【典例精讲】（2025·湖北武汉·二模）数学规律探究是提升思维能力的有效方式，通过观察、归纳、验证，从表象中发现内在规律，既能提升观察力，又能提升数学素养．给定一列式子，并规定：，，（正整数）则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图所示，将一串有理数按下列规律排列，解答下列问题． (1)在A处的数是正数还是负数？ (2)负数排在A，B，C，D中的什么位置？ (3)第2025个数是正数还是负数？排在对应于A，B，C，D中的什么位置？ 考点21：图形类规律探究 【典例精讲】（2025·安徽合肥·二模）学校数学兴趣小组在开展探究活动中发现，“三角形数”、、、，与“正方形数”、、、之间有一定的联系，他们将“正方形数”、、分别用如图图形表示． (1)数学九章兴趣小组从图中观察发现，“正方形数”，，，得出：任何一个大于的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和可以看作两个相邻“三角形数”之和， ____________； (2)数学勾股兴趣小组观察图形并结合“正方形数”特点，发现如下规律：；；；仿照上述规律， ____________； (3)结合两个兴趣小组发现的规律，将“正方形数”写成两个相邻“三角形数”之和， ____________． 【变式训练】（24-25七年级上·广东珠海·期中）用一根绳子留成一个长，宽的长方形： 【基础设问】 （1）下列说法可以用表示的是_______． A．a的2倍与b的和    B．a与b的2倍的和    C．a与b的和的2倍    D．2与a的乘积与b的和 （2）在围成的长方形中，分别以它的两个顶点为圆心，b为半径作两个不重叠的四分之一圆，如图1①用代数式表示阴影部分的面积S； ②当时，求阴影部分的面积．（结果保留π） 【能力设问】 （3）若有理数a，b在数轴上的位置如图2所示，且c为最大的负整数．化简：_______． （4）若，则用绳子围成的是正方形，图3图形都是由同样大小的正方形按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有5个正方形，第②个图形中一共有12个正方形，第③个图形中一共有21个正方形…按此规律排列，则第⑧个图形中正方形的个数为_______． 【拓展设问】 （5）若a，b，m组成一个三位数，阅读下列材料，判断三位数能否被7整除． 割尾法：三位数割掉末位数字m得两位数，再用减去m的2倍所得的差为．若是7的倍数，则能被7整除． 举例：对于三位数364，割掉末位数字4得36，，因为28是7的倍数，所以364能被7整除． 【类比解决】尝试用“割尾法”判断455能否被7整除． 【推理验证】已知三位数． ②请用含a，b，m的代数式表示“割尾法”后所得的差； ③现在对材料中的判断方法“若是7的倍数，则能被7整除”进行验证，下面是思路分析．分析：要说明能被7整除，需把表示成7的倍数．已知（i）．因为是7的倍数，可设①中的代数式（k为整数）（ii）．只需把（ii）式变形代入（i）式即可．请根据上述分析写出推理过程． 1．（2024·四川德阳·中考真题）数学活动课上，甲组同学给乙组同学出示了一个探究问题：把数字1至8分别填入如图的八个圆圈内，使得任意两个有线段相连的圆圈内的数字之差的绝对值不等于1．经过探究后，乙组的小高同学填出了图中两个中心圆圈的数字a、b，你认为a可以是 （填上一个数字即可）． 2．（2023·西藏·中考真题）按一定规律排列的单项式：，，，，．则按此规律排列的第n个单项式为 ．（用含有n的代数式表示） 3．（2023·江苏南通·中考真题）若，则的值为（    ） A．24 B．20 C．18 D．16 4．（2022·四川德阳·中考真题）古希腊的毕达哥拉斯学派对整数进行了深入的研究，尤其注意形与数的关系，“多边形数”也称为“形数”，就是形与数的结合物．用点排成的图形如下：其中：图①的点数叫做三角形数，从上至下第一个三角形数是1，第二个三角形数是，第三个三角形数是，……图②的点数叫做正方形数，从上至下第一个正方形数是1，第二个正方形数是，第三个正方形数是，……由此类推，图④中第五个正六边形数是 ． 5．（2021·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）将一些相同的“〇”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”的“〇”的个数，则第30个“龟图”中有 个“〇”． 基础夯实 1．（24-25七年级上·山西大同·阶段练习）下列各式中符合代数式书写要求的有（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列式子是单项式的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·黑龙江佳木斯·三模）观察下列一组数：，，，，，…，根据该组数的排列规律，可推出第n个数是 ． 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）用代数式表示： (1)某地冬季一天的温差是，这天最低气温是，最高气温是多少？ (2)某种商品原价为每件b元，第一次降价打八折，第二次降价每件又降10元，第一次降价后的售价是多少元？第二次降价后的售价是多少元？ (3)30天中，李明的长跑路程累计达到，刘伟的长跑路程累计为，李明和刘伟平均每天各跑多少米？若刘伟的累计长跑路程多于李明，则刘伟平均每天比李明多跑多少米？ 5．（24-25七年级上·贵州遵义·阶段练习）观察下列三行数： ，4，，，， ， 0，6，，，， ， 1，，4，，， (1)第一行的第7个数是______，第二行的第7个数是______． (2)第二、三行数与第一行数分别有什么关系？ (3)取每行的第8个数，计算这三个数的和． 培优拔高 6．（24-25七年级上·江西赣州·阶段练习）一列数，其中，，，…，，则的值为（    ） A． B． C．2020 D． 7．（22-23七年级上·江苏扬州·阶段练习）把连续奇数按如下规律排列． ……，那么奇数7在第2组第3个，记作，奇数29在第4组第6个，记作，那么奇数2023记作（   ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级上·全国·课后作业）（《时代学习报》数学文化节试题）东方传统建筑中的塔，千姿百态，造型各异．数学中的宝塔更是千变万化、不计其数．从1开始的奇数，按照规律排成下面形式的宝塔： 观察行中各数的规律： 前2行的各数之和； 前3行的各数之和； 前4行的各数之和； 前5行的各数之和； 因此，可推知前6行的各数之和 ； 根据以上规律，猜想： ． 9．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）解答下列问题． (1)若有理数x，y满足，，且，求的值； (2)已知有理数在数轴上的位置如图所示，请化简． 10．（24-25七年级上·重庆·期中）如图1，在数轴上点M表示的数为m，点N表示的数为n，点M到点N的距离记为，即．如图2，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，a是3的相反数，b是最大的负整数，c是多项式的次数． (1) ， ， ． (2)x是数轴上任意一个有理数，则有最小值是 ，有最大值是 ，当取得最大值时相应的有理数x的取值范围是 ． (3)如图，点E，F，G是数轴上的三点，E点表示数是，F点表示数是，G点表示数是，点E，F，G同时开始在数轴上运动，若点E以每秒个单位长度的速度向左运动，点F和点G分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设t秒后，若点E与点F之间的距离表示为，点E与点G之间的距离表示为，点F与点G之间的距离表示为．若的值是一个定值，请求出m的值． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.4 整式及其加减（章节复习） （知识梳理+21个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共55题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：代数式 2 知识点梳理02：单项式 2 知识点梳理03：多项式 4 知识点梳理04：整式 4 知识点梳理05：同类项 4 优选题型 考点讲练 5 考点1：用代数式表示数、图形的规律 5 考点2：代数式书写方法 6 考点3：已知字母的值。求代数式的值 7 考点4：已知式子的值。求代数式的值 8 考点5：程序流程图与代数式求值 10 考点6：写出满足某些特征的单项式 11 考点7：单项式规律题 12 考点8：多项式的项、项数和次数 13 考点9：多项式的系数、指数中字母求值 14 考点10：将多项式按照某个字母升幂（或降幂）排列 15 考点11：整式的判断 17 考点13：已知同类项求指数中字母或代数式的值 17 考点14：合并同类项 18 考点15：整式的加减运算 20 考点16：整式的加减中的化简求值 21 考点17：整式加减中的无关型问题 23 考点18：整式加减的应用 24 考点19：带有字母的绝对值化简问题 26 考点20：数字类规律探究 27 考点21：图形类规律探究 29 中考真题 实战演练 33 难度分层 拔尖冲刺 37 基础夯实 37 培优拔高 40 知识点梳理01：代数式 1.定义：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方等）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。 注意： ①代数式中除了含有数、字母和运算符号外，还可以有括号； ②代数式中不含有“=、>、<、≠”等符号。等式和不等式都不是代数式，但等号和不等号两边的式子一般都是代数式； ③代数式中的字母所表示的数必须要使这个代数式有意义，是实际问题的要符合实际问题的意义。 2.代数式的书写格式： ①代数式中出现乘号，通常省略不写，如vt； ②数字与字母相乘时，数字应写在字母前面，如4a； ③带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数，如应写作； ④数字与数字相乘，一般仍用“×”号，即“×”号不省略； ⑤在代数式中出现除法运算时，一般写成分数的形式，如4÷（a-4）应写作；注意：分数线具有“÷”号和括号的双重作用。 ⑥在表示和（或）差的代数式后有单位名称的，则必须把代数式括起来，再将单位名称写在式子的后面，如平方米。 知识点梳理02：单项式 1.单项式定义 （1）定义： 由数或字母的积组成的式子叫做单项式。 说明： 单独的一个数或者单独的一个字母也是单项式. 2、 单项式的系数： 单项式中的数字因数叫这个单项式的系数. 说明：（1）单项式的系数可以是整数，也可能是分数或小数。如的系数是3；的系数是；的系数是4.8； （2）单项式的系数有正有负，确定一个单项式的系数，要注意包含在它前面的符号 如的系数是；的系数是； （3）对于只含有字母因数的单项式，其系数是1或-1，不能认为是0，如的系数是-1；的系数是1； （4）表示圆周率的π，在数学中是一个固定的常数，当它出现在单项式中时，应将其作为系数的一部分，而不能当成字母。如2πxy的系数就是2. 3、单项式的次数： 一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数. 说明： （1）计算单项式的次数时，应注意是所有字母的指数和，不要漏掉字母指数是1的情况。如单项式的次数是字母z，y，x的指数和，即4＋3＋1=8，而不是7次，应注意字母的指数是1而不是0； （2）单项式的指数只和字母的指数有关，与系数的指数无关。如单项式的次数是2＋3＋4=9而不是13次； （3）单项式是一个单独字母时，它的指数是1，如单项式m的指数是1，单项式是单独的一个常数时，一般不讨论它的次数； 4、在含有字母的式子中如果出现乘号，通常将乘号写作“ ”或者省略不写。 例如：可以写成或 5、在书写单项式时，数字因数写在字母因数的前面，数字因数是带分数时转化成假分数. 知识点梳理03：多项式 1、定义： 几个单项式的和叫多项式. 2、多项式的项： 多项式中的每个单项式叫做多项式的项. 3、多项式的次数： 多项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数. 4、多项式的项数： 多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数. 5、常数项： 多项式里，不含字母的项叫做常数项. 知识点梳理04：整式 （1）单项式和多项式统称为整式。 （2）单项式或多项式都是整式。 （3）整式不一定是单项式。 （4）整式不一定是多项式。 （5）分母中含有字母的代数式不是整式；而是今后将要学习的分式。 知识点梳理05：同类项 1.定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。 2.合并同类项： （1）合并同类项的概念：把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项。 （2）合并同类项的法则： 　同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。 （3）合并同类项步骤： 　 a．准确的找出同类项。 　b．逆用分配律，把同类项的系数加在一起（用小括号），字母和字母的指数不变。 　　c．写出合并后的结果。 （4）在掌握合并同类项时注意： 　　a.如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项后，结果为0. 　b.不要漏掉不能合并的项。 　c.只要不再有同类项，就是结果（可能是单项式，也可能是多项式）。 说明：合并同类项的关键是正确判断同类项。 考点1：用代数式表示数、图形的规律 【典例精讲】（25-26七年级上·江苏泰州·开学考试）如图的图案由若干个相同的正方形组成，每个涂色部分的面积是5平方厘米，占所在正方形的，个正方形，像这样组成的图案面积是 平方厘米． 【答案】 【思路引导】本题考查了图形类规律和列代数式的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题先求得正方形的面积，再根据图形规律即可求解； 【规范解答】解：平方厘米， 由于个正方形组成的图案中重叠部分共有个涂色， ∴个正方形，像这样组成的图案面积是：平方厘米， 故答案为：； 【变式训练】（24-25七年级上·河北保定·期末）如图，从编号为1的卡片开始，每个卡片中都填入一个数字，使得其中任意四个相邻卡片中所填数字之和相等． (1)________，________； (2)求从左到右前8个数的和；并探索从左到右前2025个数的和； (3)试用含m（m为正整数）的代数式表示填入数字“”的卡片的编号，直接写答案． 【答案】(1)2； (2)前8个数的和为，前2025个数的和为. (3) 【思路引导】本题考查了有理数的加减运算，数字类规律；准确找出数字的规律，并熟练应用有理数加减法则是解题的关键； （1）根据任意三个相邻数的和相等，列方程求解即可； （2）由（1）可得整个数列都是由四个数按照相同的顺序排列的，得出这组数，再根据规律求和即可； （3）根据整个数列都是由四个数按照相同的顺序排列，即可已知数的位置． 【规范解答】（1）解：根据题意得，，， ，， （2）由（1）得：这组数为，，，，，，，，，，，，， 四个相邻格子中的数之和为， ∵， ∴前8个数的和为； ∵， ∴前2025个数的和为， 答：前8个数的和为，前2025个数的和为. （3）由（1）得：这组数为，，，，，，，，，，，， 故：填入数字“”的卡片的编号为． 考点2：代数式书写方法 【典例精讲】（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）有下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中，符合代数式书写要求的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【思路引导】本题考查代数式的书写习惯，根据代数式的书写要求判断各项． 【规范解答】解：①符合书写要求， ②符合书写要求， ③应写成，不符合书写要求， ④符合书写要求， ⑤应写成，不符合书写要求， ⑥应写成，不符合书写要求． 故选：B． 【变式训练】（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）下列各式中，符合代数式书写要求的是（    ） A． B． C．千米 D． 【答案】B 【思路引导】此题主要考查了代数式的书写，代数式的书写要求：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“•”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式．直接利用代数式的书写要求分别判断得出答案． 【规范解答】解：A、表示不符合代数式书写要求，应写成，故此选项不合题意； B、表示符合代数式书写要求，故此选项符合题意； C、千米表示不符合代数式书写要求，应写成千米，故此选项不合题意； D、表示不符合代数式书写要求，应写成，故此选项不合题意； 故选：B． 考点3：已知字母的值。求代数式的值 【典例精讲】（24-25七年级上·吉林·阶段练习）已知与互为倒数，比最小的正整数大，是最大的负整数，求的值． 【答案】8 【思路引导】本题主要考查倒数、正整数、负整数的概念及代数式的值，熟练掌握倒数的定义及有理数的加法运算是解题的关键． 先依据倒数、正整数、负整数的概念，分别求出a、b、c的值，再代入通过有理数加法运算求出结果． 【规范解答】解：因为与互为倒数， 所以，所以． 因为最小的正整数是，比最小的正整数大， 所以． 因为最大的负整数是， 所以． 把，，代入，得 ． 所以，的值为8． 【变式训练】（24-25七年级上·河北邯郸·期末）如图所示是一个长方形． （1）根据图中尺寸大小，用含x的代数式表示阴影部分的面积 ； （2）若，求S的值 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了代数式表示，求代数式的值． （1）根据图形的面积分割法，列出代数式表示阴影的面积即可． （2）根据字母的值，求代数式的值即可． 【规范解答】（1）解：， 故答案为：； （2）解：当时，， 故答案为：． 考点4：已知式子的值。求代数式的值 【典例精讲】（24-25七年级上·贵州毕节·期中）如图是一个正方体表面的展开图，将它折叠成正方体后，若相对的面上的两个数互为相反数，则的值是（   ） A．2 B．6 C．-2 D．-4 【答案】A 【思路引导】本题考查了正方体的展开图、代数式求值、有理数的加减法，熟知正方体展开图的特点，正确求得a、b、c值是解答的关键． 根据正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形及相反数的定义作答． 【规范解答】解：a与是相对面，b与是5相对面，c与3是相对面， ∵相对面上的两个数互为相反数， ∴，，， ∴，，． ∴； 故选：A． 【变式训练】（24-25七年级上·北京·期中）同学遇到这样一道题：“如果代数式的值为，那么代数式的值是多少？”这个问题中a和b的值不能单独求出来，于是他想到了把作为一个整体求解，得到如下的解题过程： 原式． 整体思想是中学数学解题的一种重要思想方法，请仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)已知，则＝； (2)已知，求的值； (3)已知，，求的值． 【答案】(1)2026 (2)11 (3) 【思路引导】本题考查了已知式子的值，求代数式的值．将所给代数式进行适当变形，利用整体思想代入是解题关键． （1）根据即可求解； （2）将化简可得，根据 即可求解； （3）根据即可求解． 【规范解答】（1）解：（1）， ∵， ∴原式， 故答案为：； （2） ， ∵， ∴原式 ； （3）∵， ∵，， ∴， 故答案为：． 考点5：程序流程图与代数式求值 【典例精讲】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）如图是一个数值转换机示意图，当输入的的值为3，的值为时，输出的结果为 ． 【答案】 【思路引导】此题考查了代数式求值问题的理解和掌握．根据示意图正确列出代数式是解题的关键． 首先根据已知一个数值转换机的示意图，逐步列出代数式并化简，最后表示出输出的结果的代数式，然后代入求值． 【规范解答】解：根据已知一个数值转换机的示意图可得： ，， ， 把，代入得： ， 故答案为：． 【变式训练】（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）在生活中，密码的应用很广泛，电子支付，密码认证等，小丽编制了一种密码规则：将26个英文字母A，B，C，．．．，Z依次对应自然数，对于密文，给出密文与明文之间的关系如下：当密文中的数（为正整数）满足，明文对应相应英文字母，当密文中的数满足时，按照以下计算程序输出： 若小丽设置的明文是“”，则密文不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了代数式求值，先得出明文“”对应的数，将选项中的数分别代入代数式进行计算即可求解． 【规范解答】解：A.明文是“”，对应的数分别为，，， 则密文可以是，故A选项不符合题意； B.若密文 ，则明文为，故符合题意； C. 若密文 ，其中， 30偶数，则，对应的明文为 为偶数，则输出，对应的明文为 则密文 对应的明文是“”，故C不符合题意， D. 对应密文 ，，43都大于且都是奇数， ∴，输入，则，对应的明文为 ，输入，则输出，对应的明文为 则密文 对应的明文是“”，故D不符合题意， 故选：B． 考点6：写出满足某些特征的单项式 【典例精讲】（23-24七年级上·陕西咸阳·期末）系数为，只含字母的所有三次单项式是 ． 【答案】，． 【思路引导】本题主要考查了单项式，根据单项式的系数、次数，可得答案． 【规范解答】解：系数为，只含字母的三次单项式有2个， 它们是，， 故答案为：，． 【变式训练】（24-25七年级上·辽宁大连·期末）试写出一个含有字母，的三次单项式，其系数为，则该单项式可以是 （写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【思路引导】本题考查单项式定义：数与字母的积角单项式，根据题意，结合单项式定义即可得到答案，熟记单项式定义是解决问题的关键． 【规范解答】解：由题意可得该单项式可以是（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 考点7：单项式规律题 【典例精讲】（2025·云南玉溪·一模）一列单项式按以下规律排列：x，，，，，，，…，则第2025个单项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了寻找规律，观察单项式的符号、系数和指数的规律，得出第n个单项式的通式为，代入即可求解． 【规范解答】解：符号规律：单项式符号依次为正、负交替，第n项的符号为， 系数规律：系数绝对值为1, 3, 5, 7,…，即，结合符号得系数为， 指数规律：x的指数为项数n，即， ∴第n个单项式的通式为， 因此，第2025个单项式为， 故选：A． 【变式训练】（24-25七年级上·广东潮州·期中）按一定规律排列的单项式：，第n个单项式是 【答案】 【思路引导】本题考查了单项式规律题，奇数个单项式的系数为正，偶数个单项式的系数为负，系数的绝对值分别为序数的平方，次数为序数加1，即可求解． 【规范解答】解：由题意知，第n个单项式的系数为，次数为， 因此第n个单项式是， 故答案为：． 考点8：多项式的项、项数和次数 【典例精讲】（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）下列说法正确的是（    ） A．整式就是多项式 B．的次数是9 C．是单项式 D．是单项式 【答案】C 【思路引导】本题考查整式、单项式及多项式的概念，熟练掌握整式、单项式及多项式的概念是解题的关键．根据定义逐一分析选项即可． 【规范解答】解：整式包括多项式和单项式，故选项A错误； 的次数是，故选项B错误； 是单项式，故选项C正确； 是多项式，故选项D错误； 故选C． 【变式训练】（24-25七年级上·河南南阳·期中）（1）若是关于x的四次单项式，求m，n的值，并写出这个单项式． （2）我们称各项的次数都相同的多项式为齐次多项式，如就是齐次多项式，若多项式是齐次四项式，求的值； 【答案】（1）；（2）0 【思路引导】本题主要考查了单项式的次数、多项式的定义等知识点，掌握多项式、单项式的相关定义是解题的关键． （1）先根据单项式的定义求得m，n的值，然后确定单项式即可； （2）先根据奇次多项式的定义求得a、b的值，然后代入计算即可． 【规范解答】解：（1）是关于x的四次单项式， ，，，解得，． 单项式是． （2）由题意得：，，解得：，． 又， ，即， ∴． 考点9：多项式的系数、指数中字母求值 【典例精讲】（24-25七年级上·四川雅安·期中）关于a的多项式是二次三项式，则 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了多项式的概念．几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．如果一个多项式含有a个单项式，次数是b，那么这个多项式就叫b次a项式，解题的关键是掌握定义． 最高次为2次，有三项，故有便可求解． 【规范解答】解：由题意可得：， ， ， 故答案为：． 【变式训练】（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）已知式子是关于x的二次多项式，且二次项系数为b，数轴上A，B两点所对应的数分别是a和b． (1)则 ， ；A，B两点之间的距离为 ； (2)有一动点P从点A出发第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次向右运动2个单位长度，再在此位置第三次向左运动3个单位长度…．按照如此规律不断地左右运动，当运动到第几次时，点P到达B点． (3)有一动点P从点A出发第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次向右运动2个单位长度，再在此位置第三次向左运动3个单位长度…．按照如此规律不断地左右运动，当运动到第2024次时，求点P所对应的有理数． 【答案】(1)，6，10 (2)20 (3)1008 【思路引导】本题考查了多项式的概念，数字类规律问题，一元一次方程的应用，数轴上的动点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据为二次多项式，且二次项系数为b，可得，，再根据数轴上的两点的距离，即可得到A，B两点之间的距离； （2）首先求出前几次点P运动后表示的数，然后得到规律，进而求解即可； （3）根据（2）得到的规律求解即可． 【规范解答】（1）解：∵是关于x的二次多项式，且二次项系数为b， ∴，， ∴， ∴A，B两点之间的距离为， 故答案为：，6，10； （2）解：第1次运动P点对应的数为； 第2次运动P点对应的数为； 第3次运动P点对应的数为； 第4次运动P点对应的数为； 第5次运动P点对应的数为； 第6次运动P点对应的数为； …， ∴当第次运动时，P点对应的数为，且奇数次逐项递减，偶数次逐项递增， ∵点B对应的数为6， ∴， ∴， ∴； ∴当运动到第20次时，点P到达B点； （3）解：由（2）中的规律得， 第2024次运动P点对应的数为． 考点10：将多项式按照某个字母升幂（或降幂）排列 【典例精讲】（24-25七年级上·吉林通化·期中）已知多项式是关于x、y的八次四项式， (1)求该多项式的四次项； (2)将该多项式按y的降幂重新排列． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查了多项式的次数和项的定义及按降幂排列，解题的关键是： （1）根据多项式的次数和多项式的项求m的值和常数项即可； （2）将m值代入多项式并按y降幂排列即可． 【规范解答】（1）解：∵多项式是关于x、y的八次四项式， ∴，， ∴， ∴原多项式为， ∴该多项式的四次项为； （2）解：按y的降幂重新排列为． 【变式训练】（23-24七年级上·吉林·期中）已知是关于、的七次四项式，且它的最高次项的系数是． (1)求、的值； (2)把这个多项式按的降幂重新排列． 【答案】(1)， (2)． 【思路引导】（1）根据多项式为七次多项式，且最高次项的系数是，即可分别得到关于和的方程，求解即可； （2）把多项式按字母的次数由高到低的顺序排列即可． 【规范解答】（1）解：∵多项式是关于、的七次多项式，且最高次项的系数是， ∴，， 解得：，； （2）根据（1）可得该多项式为：， ∴把这个多项式按的降幂重新排列为． 【考点剖析】本题考查多项式的次数及项的系数、降幂排列的意义．解题的关键是弄清多项式次数是多项式中次数最高的项的次数． 考点11：整式的判断 【典例精讲】（23-24七年级上·河南郑州·期中）下列说法正确的是（　　） A．不是整式 B．系数是 C．的次数是6 D．不是单项式 【答案】D 【思路引导】本题考查了单项式，整式，根据单项式，整式的意义，逐一判断即可解答． 【规范解答】解：A．是多项式，属于整式，故A不符合题意； B．系数是，故B不符合题意； C．的次数是7，故C不符合题意； D．不是单项式，是分式，故D符合题意； 故选：D． 【变式训练】（21-22七年级上·陕西榆林·期末）下列说法错误的是（    ） A．代数式，，都是整式 B．单项式的系数是，次数是2 C．多项式的项是， D．多项式是二次三项式 【答案】D 【思路引导】根据整式的定义，单项式的定义，多项式的定义，单项式的项和次数的定义，多项式的项和次数的定义依次判断即可． 【规范解答】A. 是多项式，是单项式，是单项式，都是整式，故A选项正确，不符合题意； B. 单项式的系数是，次数是2，故B选项正确，不符合题意； C. 多项式的项是，，故C选项正确，不符合题意； D. 多项式是三次三项式，故D选项错误，符合题意． 故选：D 【考点剖析】本题主要考查了整式的相关概念：由数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式，几个单项式的和叫做多项式，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，单项式中所有字母的指数和叫做这个单项式的次数，多项式中每个单项式叫做这个多项式的项，多项式中次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数，单项式和多项式统称为整式．熟练掌握整式的相关概念是解题的关键． 考点13：已知同类项求指数中字母或代数式的值 【典例精讲】（24-25七年级上·湖南株洲·期末）单项式与单项式的和仍是单项式，则的值为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了同类项的定义，掌握同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫同类项．根据同类项的定义直接得出、的值，再求解即可． 【规范解答】解：∵单项式与单项式的和仍是单项式， ∴单项式与单项式是同类项， ∴，， 解得，， ∴， 故答案为：． 【变式训练】（24-25七年级上·江西南昌·期中）已知m，n为常数，单项式与多项式的和是一个单项式，则的值为 【答案】1或或 【思路引导】本题考查了同类项的定义和合并同类项，全面分类、正确求解是关键； 根据题意分以下两种情况：①当单项式与单项式是同类项，且，②当单项式与单项式是同类项，且；根据同类项的定义分别求解即可. 【规范解答】解：根据题意分以下两种情况： ①当单项式与单项式是同类项，且，符合题意， 此时，解得或， 当，时，， 当，时，； ②当单项式与单项式是同类项，且，符合题意， 此时，解得或， 当，时，， 当，时，； 综上，的值为1或或； 故答案为：1或或. 考点14：合并同类项 【典例精讲】（23-24七年级上·黑龙江绥化·期中）若与的和是单项式，则 ． 【答案】 【思路引导】本题考查单项式的定义、同类项的定义、代数式求值，根据单项式的定义和同类项的定义得，，求得，，再代入求解即可． 【规范解答】解：∵与的和是单项式， ∴与是同类项， ∴，， ∴，， ， 故答案为：． 【变式训练】（24-25七年级上·江西赣州·期末）【教材呈现】课本109页提到“整体思想”是中学数学的重要思想方法，在解题中会经常用到． 【例】合并同类项：，类似地，我们也可以把看成一个整体，则． 尝试应用： （1）把看成一个整体，合并的结果是 　　； （2）已知，求的值； 拓展探索： （3）已知，，，求的值． 【答案】（1）；（2）2025；（3）8 【思路引导】本题主要考查了整式的化简求值，解题关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则． （1）把看成一个整体，根据合并同类项法则进行计算即可； （2）把所求式子写成的形式，再代入进行计算即可； （3）根据已知条件，求出，，再利用去括号法则和合并同类项法则化简所求式子，进行计算即可． 【规范解答】解：（1）原式 ， 故答案为：； （2）， ； （3）①，②，③， ①②得：④， ③④得：， ． 考点15：整式的加减运算 【典例精讲】（24-25七年级上·辽宁盘锦·阶段练习）化简 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查整式的加减运算，熟练掌握去括号，合并同类项的法则，是解题的关键： （1）去括号，合并同类项即可； （2）去括号，合并同类项即可． 【规范解答】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 【变式训练】（24-25七年级上·福建莆田·阶段练习）已知：数，，在数轴上的对应点如图所示， (1)比较大小（填“<”或“>”或“=”）：____________0，____________0，____________0； (2)化简． 【答案】(1)>，>，< (2) 【思路引导】本题考查了数轴，绝对值，熟练掌握数轴上数的大小比较法则，有理数的加减乘的符号法则，绝对值性质，是解题的关键． （1）根据数轴判断a、b、c的正负，根据有理数的加减乘运算法则即可比较大小； （2）根据（1）的正负结果去掉绝对值符号，合并同类项即可． 【规范解答】（1）解：由数，，在数轴上的对应点知， ，且， ∴， ，． 故答案为：>，>，<． （2）解：． 考点16：整式的加减中的化简求值 【典例精讲】（24-25七年级上·河北邯郸·期末）按要求完成下列各小题． (1)计算：； (2)先化简，再求值：，其中，． 【答案】(1) (2)， 【思路引导】本题考查的是含乘方的有理数的混合运算，整式的加减运算中的化简求值； （1）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减运算即可； （2）先去括号，再合并同类项得到化简的结果，最后把，代入计算即可. 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ， 将，代入得， 原式． 【变式训练】（24-25七年级上·吉林长春·期末）【教材呈现】“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．下题是华师版七年级上册数学教材第120页的部分内容． 代数式的值为7，则代数式的值为______． 【阅读理解】小明在做作业时采用的方法如下：由题意得，则有，，所以代数式的值为5． 【方法运用】 （1）若代数式的值为15，求代数式的值． （2）若时，代数式的值为19，当时，求代数式的值． 【拓展应用】 （3）若，．则的值为______． 【答案】（1）；（2）；（3） 【思路引导】本题考查代数式求值，整式加减中的化简求值，熟练掌握整体代入法，是解题的关键： （1）仿照题干，利用整体代入法进行求值即可； （2）把代入，得到，再把和代入计算即可； （3）去括号，合并同类项，再利用整体代入法求值即可． 【规范解答】解：（1）， ， ； （2）当时，， 当时，． （3），， ． 考点17：整式加减中的无关型问题 【典例精讲】（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）已知代数式：． (1)化简； (2)当时，求的值； (3)若的值与x的取值无关，求y的值． 【答案】(1) (2) (3)的值是 【思路引导】本题考查了整式的加减、化简求值； （1）利用去括号法则、整式的加减运算法则计算出答案； （2）根据题意求出、的值，然后整体代入计算即可； （3）根据的值与的取值无关，得出的系数和为零，即可得出答案． 【规范解答】（1）解：， ； （2）解：∵ ∴，， ∴，， ∴原式； （3）解：， 当的值与的取值无关时， ∴， 解得， 即的值是． 【变式训练】（24-25七年级上·吉林长春·期中）某同学做一道数学题，已知两个多项式A、B，其中，试求．这位同学把误看成，结果求出的答案为． (1)请你替这位同学求出的正确答案； (2)若的值与x的取值无关，求y的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查的是整式的加减，熟知整式加减的实质是去括号、合并同类项是解答此题的关键． （1）根据列出代数式，去括号合并同类项即可； （2）先根据 列出代数式，去括号合并同类项求出结果，再根据的值与x的取值无关，得出，即可求解． 【规范解答】（1）解：∵，， ； （2） ， 的值与x的取值无关， ， 考点18：整式加减的应用 【典例精讲】（24-25七年级上·福建莆田·期末）在小学，我们知道像12，27，36，45，108，…这样的自然数能被3整除．一般地，如果一个自然数所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除．事实上，我们可以证明这个结论的正确性． 以两位数为例，若一个两位数的十位、个位上的数字分别为，则通常记这个两位数为，于是显然，能被3整除，因此，若能被3整除，那么，就能被3整除，即能被3整除． 根据上述材料，解答下列问题： (1)下列各数中，能被3整除的有___________（填序号） ①25；②225；③1025． (2)用含、、的代数式表示三位数___________（其中是百位数，是十位数，是个位数）； (3)类比上述的过程，尝试说明：如果一个三位数的所有数位之和能被9整除，那么这个三位数就能被9整除． 【答案】(1)② (2) (3)见解析 【思路引导】本题考查列代数式以及数的整除，整式加减的应用．熟练掌握相关知识点是解题的关键； （1）计算各数位上的数字之和，若能被3整除，则该数就能被3整除，据此逐个判断即可； （2）根据已知条件可得； （3），根据已知条件按照材料的方法即可证明． 【规范解答】（1），7不能被3整除， 25不能被3整除； ，9能被3整除， 225能被3整除； ，8不能被3整除， 1025不能被3整除； 故能被3整除的有225． （2）． （3）， 能被3整除， 若能被3整除，则能被3整除，即能被3整除， 如果一个三位数的所有数位之和能被9整除，那么这个三位数就能被9整除． 【变式训练】（24-25七年级上·河北唐山·阶段练习）下列数阵是由50个偶数按照5×10排成的，框内有四个数． 猜想：图中框内四个数之和是数字4的倍数 (1)在数阵中任意做一类似于下图中的框，设左上角的数为x，那么其他3数分别表示为： 右上：   左下：   右下： ． (2)任意移动这个框，利用（1）中得到的数是否都能得到猜想的结论？你能证明这个结论吗？ 【答案】(1)， (2)任意移动这个框，框内的4个数之和是数字4的倍数，见解析 【思路引导】（1）由左上角的一个数为x，再结合框住的4个数之间的关系可得答案； （3）求解这4个数的代数和，再利用乘法的分配律可得答案. 【规范解答】（1）解：∵左上角的一个数为x， ∴另外三个数可以为：， （2）能，理由如下： ∵， 而利用乘法的分配律可得： 为正偶数， 为正奇数， 所以：任意移动这个框，框内的四个数之和是数字4的倍数. 【考点剖析】本题考查的是整式的加减运算的应用，乘法分配律的应用，整除的特点，掌握以上知识是解题的关键. 考点19：带有字母的绝对值化简问题 【典例精讲】（24-25七年级上·湖南湘西·期末）有理数，，在数轴上的位置如图所示： (1)________，________，________； (2)化简：． 【答案】(1)，，； (2)． 【思路引导】本题考查了根据数轴判断式子的正负，化简含绝对值的代数式，整式的加减，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据数轴判断出，，的正负即可； （）根据绝对值的性质化简，然后进行合并同类项即可． 【规范解答】（1）解：由数轴可知，，，， ∴，，， 故答案为：，，； （2）解：由（）得，，， ∴ ． 【变式训练】（24-25七年级上·贵州遵义·期中）下列说法：①若，则；②若，，，则；③；④满足的整数的值有3个；⑤若，则，其中正确的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【思路引导】本题主要考查绝对值的化简和求值、有理数加法法则，熟练掌握绝对值的性质和有理数加法法则是解题的关键．根据绝对值的性质逐一判断五个命题的正确性，统计正确个数即可． 【规范解答】①错误，当时，，即时也成立，故结论不全面； ②正确，，且，则的符号由绝对值大的负数决定，结果必为负； ③正确，，而，两者恒等； ④正确，解得，整数解为、、，共3个； ⑤正确，当且仅当与异号或至少一个为0，故． 综上，②、③、④、⑤正确，共4个． 故选：A． 考点20：数字类规律探究 【典例精讲】（2025·湖北武汉·二模）数学规律探究是提升思维能力的有效方式，通过观察、归纳、验证，从表象中发现内在规律，既能提升观察力，又能提升数学素养．给定一列式子，并规定：，，（正整数）则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查规律型：数字的变化类，解题的关键是找到规律．通过递推公式计算前几项，观察数列是否呈现周期性，找到循环周期后，利用模运算定位目标项；将问题转化为二次函数的最小值问题，利用顶点公式求解． 【规范解答】解：根据递推公式计算前几项：， ， ， ， ， （周期开始重复） 由此可知，数列每5项为一个周期． 发现周期性：从开始，数列重复，，，，，周期为5． 余0，对应， 余1，对应 余2，对应， ∴， 转化为二次函数：，其最小值在顶点处取得．顶点横坐标为：， 代入得最小值：． 故选：D． 【变式训练】（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图所示，将一串有理数按下列规律排列，解答下列问题． (1)在A处的数是正数还是负数？ (2)负数排在A，B，C，D中的什么位置？ (3)第2025个数是正数还是负数？排在对应于A，B，C，D中的什么位置？ 【答案】(1)在A处的数是正数 (2)负数排在B和D的位置 (3)第2025个数是负数，排在对应于B的位置 【思路引导】（1）根据数字的排列规律，向上的的箭头所指的数是正数，箭尾所指的数是负数，解答即可． （2）根据数字的排列规律，向上的的箭头所指的数是正数，箭尾所指的数是负数，向下的的箭头所指的数是正数，箭尾所指的数是负数，根据此规律解答即可． （3）根据负数的特点，上方的负数为，其规律是，其中n表示第n个数；下方的负数为，其规律是，其中n表示第n个数； 解答即可． 本题考查了数字的规律，有理数的运算，熟练掌握运算规律是解题的关键． 【规范解答】（1）解：根据题意，数字的排列规律，向上的的箭头所指的数是正数，箭尾所指的数是负数，A在向上的的箭头所指的位置上，故为正数， 故A表示的数是正数． （2）解：根据数字的排列规律，向上的的箭头所指的数是正数，箭尾所指的数是负数，向下的的箭头所指的数是正数，箭尾所指的数是负数， 故负数排在B和D的位置． （3）解：根据负数的特点，上方的负数为，其规律是，其中n表示第n个数；下方的负数为，其规律是，其中n表示第n个数；且序号是奇数时，其对应位置上的数一定是负数，且数值等于序号，由2025是奇数，故第2025个数一定是负数，且为，当时， 解得；当时，解得，不是整数， 故第2025个数一定是上方负数，故一定排在B的位置． 考点21：图形类规律探究 【典例精讲】（2025·安徽合肥·二模）学校数学兴趣小组在开展探究活动中发现，“三角形数”、、、，与“正方形数”、、、之间有一定的联系，他们将“正方形数”、、分别用如图图形表示． (1)数学九章兴趣小组从图中观察发现，“正方形数”，，，得出：任何一个大于的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和可以看作两个相邻“三角形数”之和， ____________； (2)数学勾股兴趣小组观察图形并结合“正方形数”特点，发现如下规律：；；；仿照上述规律， ____________； (3)结合两个兴趣小组发现的规律，将“正方形数”写成两个相邻“三角形数”之和， ____________． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【思路引导】本题考查了规律型：数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况 （1）观察图象中点的个数的规律有，，，则按照此规律得到； （2）观察图象中点的个数的规律有，，，则按照此规律得到3； （3） ，然后求和即可． 【规范解答】（1）解：∵， ， ， ∴； 故答案为：，； （2）解：∵， ， ， ∴， 故答案为：，； （3）解： ， 故答案为：，． 【变式训练】（24-25七年级上·广东珠海·期中）用一根绳子留成一个长，宽的长方形： 【基础设问】 （1）下列说法可以用表示的是_______． A．a的2倍与b的和    B．a与b的2倍的和    C．a与b的和的2倍    D．2与a的乘积与b的和 （2）在围成的长方形中，分别以它的两个顶点为圆心，b为半径作两个不重叠的四分之一圆，如图1①用代数式表示阴影部分的面积S； ②当时，求阴影部分的面积．（结果保留π） 【能力设问】 （3）若有理数a，b在数轴上的位置如图2所示，且c为最大的负整数．化简：_______． （4）若，则用绳子围成的是正方形，图3图形都是由同样大小的正方形按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有5个正方形，第②个图形中一共有12个正方形，第③个图形中一共有21个正方形…按此规律排列，则第⑧个图形中正方形的个数为_______． 【拓展设问】 （5）若a，b，m组成一个三位数，阅读下列材料，判断三位数能否被7整除． 割尾法：三位数割掉末位数字m得两位数，再用减去m的2倍所得的差为．若是7的倍数，则能被7整除． 举例：对于三位数364，割掉末位数字4得36，，因为28是7的倍数，所以364能被7整除． 【类比解决】尝试用“割尾法”判断455能否被7整除． 【推理验证】已知三位数． ②请用含a，b，m的代数式表示“割尾法”后所得的差； ③现在对材料中的判断方法“若是7的倍数，则能被7整除”进行验证，下面是思路分析．分析：要说明能被7整除，需把表示成7的倍数．已知（i）．因为是7的倍数，可设①中的代数式（k为整数）（ii）．只需把（ii）式变形代入（i）式即可．请根据上述分析写出推理过程． 【答案】（1）C；（2）①，；②；（3）；（4）96；（5）①455能被7整除；②；③见解析 【思路引导】（1）根据代数式的意义解答即可； （2）①用长方形的面积减去两个四分之一圆的面积求解即可； ②把a，b的值代入计算即可； （3）先判断出，，然后化简绝对值，最后根据整式的加减计算即可； （4）根据题意可得第①个图形中一共有个正方形，第②个图形中一共有个正方形，第③个图形中一共有个正方形，……由此发现规律，即可求解； （5）①根据“割尾法”判断即可； ②根据题意表示出，即可求解； ③设（k为整数）把表示为，即可证明． 【规范解答】解：（1）表示的是a与b的和的2倍， 故选：C； （2）①阴影部分的面积为； ②当，时，； （3）∵c为最大的负整数， ∴， 由数轴知：，， ∴，， ∴ ， 故答案为：； （4）第①个图形中一共有个正方形， 第②个图形中一共有个正方形， 第③个图形中一共有个正方形， …… 第n个图形中一共有个正方形， 当时，第⑧个图形中正方形的个数为个正方形， 故答案为：96； （5）①对于三位数455，割掉末位数字5得45，， 因为35是7的倍数， 所以455能被7整除； ②对于三位数，割掉末位数字m得， ∴； ③（i）． 因为是7的倍数， 设（k为整数） 所以（ii）． 把（ii）式变形代入（i）式， 得， ∴能被7整除． 【考点剖析】本题考查了列代数式，图形的规律，整式的加减等，准确理解题意是解题的关键． 1．（2024·四川德阳·中考真题）数学活动课上，甲组同学给乙组同学出示了一个探究问题：把数字1至8分别填入如图的八个圆圈内，使得任意两个有线段相连的圆圈内的数字之差的绝对值不等于1．经过探究后，乙组的小高同学填出了图中两个中心圆圈的数字a、b，你认为a可以是 （填上一个数字即可）． 【答案】1/8 【思路引导】本题考查了数字规律，理解题意是解题的关键．由于两个中心圆圈有6根连线，数字1至8，共有8个数字，若2，3，4，5，6，7，其中任何一个数字填在中心位置，那么与其相邻的2个数字均不能出现在与中心圆圈相连的6个圆圈中，否则不满足任意两个有线段相连的圆圈内的数字之差的绝对值不等于1，故只剩下5个数字可选，不满足6个空的圆圈需要填入，故中心圆圈只能是1或者8． 【规范解答】解： 两个中心圆圈分别有6根连线，数字1至8，共有8个数字，若2，3，4，5，6，7，其中任何一个数字填在中心位置，那么与其相邻的2个数字均不能出现在与中心圆圈相连的6个圆圈中，故只剩下5个数字可选，不满足6个空的圆圈需要填入． 位于两个中心圆圈的数字a、b，只可能是1或者8． 故答案为：1（或8）． 2．（2023·西藏·中考真题）按一定规律排列的单项式：，，，，．则按此规律排列的第n个单项式为 ．（用含有n的代数式表示） 【答案】 【思路引导】根据系数和字母的次数与单项式的序号关系写出即可． 【规范解答】解：系数为，次数为1； 系数为，次数为2； 系数为，次数为3； 系数为，次数为4； 第n个单项式的系数可表示为：，字母a的次数可表示为：n， ∴第n个单项式为：． 【考点剖析】本题考查数字变化类规律探究，掌握单项式的系数和次数并发现其变化规律是解题的关键． 3．（2023·江苏南通·中考真题）若，则的值为（    ） A．24 B．20 C．18 D．16 【答案】D 【思路引导】根据得到，再将整体代入中求值． 【规范解答】解：， 得， 变形为， 原式． 故选：D． 【考点剖析】本题考查代数式求值，将变形为是解题的关键． 4．（2022·四川德阳·中考真题）古希腊的毕达哥拉斯学派对整数进行了深入的研究，尤其注意形与数的关系，“多边形数”也称为“形数”，就是形与数的结合物．用点排成的图形如下：其中：图①的点数叫做三角形数，从上至下第一个三角形数是1，第二个三角形数是，第三个三角形数是，……图②的点数叫做正方形数，从上至下第一个正方形数是1，第二个正方形数是，第三个正方形数是，……由此类推，图④中第五个正六边形数是 ． 【答案】45 【思路引导】根据题意找到图形规律，即可求解． 【规范解答】根据图形，规律如下表： 三角形 3 正方形 4 五边形 5 六边形 6 M边形 m 1 1 1 1 1 1 2 1+2 1+2 1 1+2 1 1 1+2 1 1 1 1+2 3 1+2+3 1+2+3 1+2 1+2+3 1+2 1+2 1+2+3 1+2 1+2 1+2 1+2+3 4 1+2+3+4 1+2+3+4 1+2+3 1+2+3+4 1+2+3 1+2+3 1+2+3+4 1+2+3 1+2+3 1+2+3 1+2+3+4 n 由上表可知第n个M边形数为：， 整理得：， 则有第5个正六边形中，n=5，m=6，代入可得：， 故答案为：45． 【考点剖析】本题考查了整式--图形类规律探索，理解题意是解答本题的关键． 5．（2021·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）将一些相同的“〇”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”的“〇”的个数，则第30个“龟图”中有 个“〇”． 【答案】875 【思路引导】设第n个“龟图”中有an个“〇”（n为正整数），观察“龟图”，根据给定图形中“〇”个数的变化可找出变化规律“an＝n2−n＋5（n为正整数）”，再代入n＝30即可得出结论． 【规范解答】解：设第n个“龟图”中有an个“〇”（n为正整数）． 观察图形，可知：a1＝1＋2＋2＝5，a2＝1＋3＋12＋2＝7，a3＝1＋4＋22＋2＝11，a4＝1＋5＋32＋2＝17，…， ∴an＝1＋（n＋1）＋（n−1）2＋2＝n2−n＋5（n为正整数）， ∴a30＝302−30＋5＝875． 故答案是：875． 【考点剖析】本题考查了规律型：图形的变化类，根据各图形中“〇”个数的变化找出变化规律“an＝n2−n＋5（n为正整数）”是解题的关键． 基础夯实 1．（24-25七年级上·山西大同·阶段练习）下列各式中符合代数式书写要求的有（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【思路引导】本题考查了代数式，代数式的书写要求：在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写；数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写，带分数要写成假分数的形式；根据代数式的书写要求逐项判断即可得解，熟练掌握代数式的书写要求是解此题的关键． 【规范解答】解：①应写成，故错误； ②应写成，故错误； ③符合书写要求，故正确； ④符合书写要求，故正确； ⑤应写成，故错误； ⑥应写成，故错误； 综上所述，书写正确的有③④，共个， 故选：B． 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列式子是单项式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查单项式的定义，熟练掌握单项式的定义是解题的关键． 单项式是由数字与字母的乘积或单独的数字、字母构成的式子，不含加减运算，逐一判断即可． 【规范解答】解：A．：包含加法运算“”，由m和n两个单项式组成，不属于单项式，故不符合题意； B．：单独一个数字，是单项式，符合题意； C．：分母中含有字母，不属于整式，故不是单项式，不符合题意； D．：包含减法运算“”，由和两个单项式组成，不是单项式，不符合题意； 故选：B． 3．（2025·黑龙江佳木斯·三模）观察下列一组数：，，，，，…，根据该组数的排列规律，可推出第n个数是 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查代数式的数字规律，根据题意得到数字的规律是解题的关键． 由分子1、2、3、4、5、…，即可得出第n个数的分子为n；分母为3、5、7、9、11、…，即可得出第n个数的分母为，据此即可解答． 【规范解答】解：∵分子1、2、3、4、5、…， ∴第n个数的分子为n， ∵3、5、7、9、11、…， ∴第n个数的分母为， ∴第n个数是． 故答案为：． 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）用代数式表示： (1)某地冬季一天的温差是，这天最低气温是，最高气温是多少？ (2)某种商品原价为每件b元，第一次降价打八折，第二次降价每件又降10元，第一次降价后的售价是多少元？第二次降价后的售价是多少元？ (3)30天中，李明的长跑路程累计达到，刘伟的长跑路程累计为，李明和刘伟平均每天各跑多少米？若刘伟的累计长跑路程多于李明，则刘伟平均每天比李明多跑多少米？ 【答案】(1) (2)第一次降价打“八折”后的价格为每件元，第二次降价每件又减10元后的价格为：每件元 (3)平均每天刘伟，平均每天李明，平均每天刘伟比李明多跑． 【思路引导】（1）由最低气温加上温差可得最高气温； （2）由原价乘以“八折”折扣可得第一次降价后的价格，再由第一次降价后的价格减去10元可得第二次降价后的价格； （3）由总路程除以总时间可得平均每天李明和刘伟各跑的路程，再由每天刘伟跑的路程减去每天李明跑的路程即可得到刘伟平均每天比李明多跑的路程． 【规范解答】（1）解：某地冬季一天的温差是，这天最低气温是， 最高气温是 （2）某种商品原价每件b元，第一次降价打“八折”后的价格为每件元， 第二次降价每件又减10元后的价格为：每件元， （3）30天中，李明长跑路程累计达到，刘伟跑了， 平均每天刘伟，平均每天李明 平均每天刘伟比李明多跑． 【考点剖析】本题考查的是列代数式，正确理解题意，掌握列代数式的方法是解题的关键． 5．（24-25七年级上·贵州遵义·阶段练习）观察下列三行数： ，4，，，， ， 0，6，，，， ， 1，，4，，， (1)第一行的第7个数是______，第二行的第7个数是______． (2)第二、三行数与第一行数分别有什么关系？ (3)取每行的第8个数，计算这三个数的和． 【答案】(1)， (2)第二行数是第一行相应位置的数加2，第三行数是第一行数相应位置的数乘 (3) 【思路引导】本题考查了数字规律探究．找出数字规律是解题的关键． （1）观察符号（奇负偶正）和绝对值（后2项是前项2倍），归纳出第项为，代入即可；通过同一位置数字对比，得出第二行是第一行对应项，即可求解； （2）通过对比第二行与第一行，可知第二行是第一行对应项；通过对比第三行与第一行，可知第三行是第一行对应项乘； （3）根据归纳出的规律求出每一行的第8项数然后相加即可． 【规范解答】（1）解：观察第一行数可以发现： 符号规律：奇数项为负，偶数项为正，可用来表示符号，表示项数； 绝对值规律：后一个数的绝对值是前一个数绝对值的2倍，第二个数的绝对值是，第三个数的绝对值是，以此类推，第个数的绝对值为． 那么第一行第个数的规律为： ， 当时，， 所以第一行的第7个数是； 观察第二行数与第一行数，可以发现： 第二行数是第一行相应数加2得到的，即第二行第个数为：， 当时，， 所以第二行的第7个数是． 故答案为：：，． （2）解：由（1）可知第二行数是第一行相应数加2得到的； 观察第三行数与第一行数，可以发现： ，，，，， 所以第三行的数是第一行数相应位置的数乘，即第三行第个数为：． （3）解：第一项第8个数：当时，， 第二项第8个数：当时，， 第三项第8个数：当时，， 所以这三个数的和为：． 培优拔高 6．（24-25七年级上·江西赣州·阶段练习）一列数，其中，，，…，，则的值为（    ） A． B． C．2020 D． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了数字类规律问题，同时考查了有理数的加减乘除乘方的运算，注意观察总结规律，并能正确应用规律是解答此题的关键．根据题意和题目中的数据，可以计算出这列数的前几个数据，从而可以发现数字的变化特点，然后即可求得所求式子的值． 【规范解答】解：， ， ， ， ……， 这列数是，，，，， ， 发现这列数每三个循环， ，且， ， 故选：A． 7．（22-23七年级上·江苏扬州·阶段练习）把连续奇数按如下规律排列． ……，那么奇数7在第2组第3个，记作，奇数29在第4组第6个，记作，那么奇数2023记作（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题主要考查数字的变化规律，根据数字的变化确定2023是第几个数是解题的关键． 先根据规律确定2023是第1012个数，再确定第1012个数在第几组第几个，即可解答． 【规范解答】解：由题可得2023是第个数， 设2023在第n组，则 ， 即， ∴， 当时， 当时， 则（个） ∴2023在第组，第51个． ∴奇数2023记作． 故选：B． 8．（25-26七年级上·全国·课后作业）（《时代学习报》数学文化节试题）东方传统建筑中的塔，千姿百态，造型各异．数学中的宝塔更是千变万化、不计其数．从1开始的奇数，按照规律排成下面形式的宝塔： 观察行中各数的规律： 前2行的各数之和； 前3行的各数之和； 前4行的各数之和； 前5行的各数之和； 因此，可推知前6行的各数之和 ； 根据以上规律，猜想： ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了数字类的规律探索，观察可知连续几个数的立方和等于这几个数的和的平方，据此规律求解即可． 【规范解答】解：前2行的各数之和 前3行的各数之和； 前4行的各数之和； 前5行的各数之和， 前6行的各数之和 ……， 以此类推可得， 故答案为：；． 9．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）解答下列问题． (1)若有理数x，y满足，，且，求的值； (2)已知有理数在数轴上的位置如图所示，请化简． 【答案】(1)1或 (2) 【思路引导】本题考查了绝对值性质，代数式求值，有理数与数轴，熟练掌握绝对值的意义，根据点在数轴上的位置，判断式子的符号，是解题的关键． （1）利用绝对值性质得到，再根据，即异号，分情况列式计算，即可解题； （2）根据数轴可知，，进而得到，再结合绝对值性质化简，即可解题． 【规范解答】（1）解：有理数x，y满足，， ， ，即异号， 当时，； 当时，； 综上所述，的值为1或； （2）解：由图知，， ， 则 ． 10．（24-25七年级上·重庆·期中）如图1，在数轴上点M表示的数为m，点N表示的数为n，点M到点N的距离记为，即．如图2，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，a是3的相反数，b是最大的负整数，c是多项式的次数． (1) ， ， ． (2)x是数轴上任意一个有理数，则有最小值是 ，有最大值是 ，当取得最大值时相应的有理数x的取值范围是 ． (3)如图，点E，F，G是数轴上的三点，E点表示数是，F点表示数是，G点表示数是，点E，F，G同时开始在数轴上运动，若点E以每秒个单位长度的速度向左运动，点F和点G分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设t秒后，若点E与点F之间的距离表示为，点E与点G之间的距离表示为，点F与点G之间的距离表示为．若的值是一个定值，请求出m的值． 【答案】(1) (2)7；7； (3)或 【思路引导】（1）根据相反数的定义、有理数相关知识以及多项式的次数的定义，即可获得答案； （2）代数式表示点x与的距离与点x与点4距离的和，进而得到当时，最小，求解即可；代数式表示点x与的距离与点x与点4距离的差，然后分情况讨论，即可得到答案； （3）根据题意，t秒后，E点表示数是，F点表示数是，G点表示数是，首先求得当F点与G点重合时，，然后分和两种情况讨论，即可获得答案． 【规范解答】（1）解：a是3的相反数，b是最大的负整数，c是多项式的次数， ∴； 故答案为：； （2）代数式表示点x与的距离与点x与点4距离的和， 当时，， 此时， 当时，， 当时，， 此时， 故当时，的值最小，最小值为7； 代数式表示点x与的距离与点x与点4距离的差， 当时，， 当时，， 此时， 当时，， ∴有最大值是7，当取得最大值时相应的有理数x的取值范围是； 故答案为：7；7；； （3）根据题意，t秒后，E点表示数是，F点表示数是，G点表示数是， 当F点与G点重合时，可有 ，解得， 分两种情况讨论： ①当时，，， ∴， ∵若的值是一个定值， ∴，解得； ②当时，，， ∴， ∵若的值是一个定值， ∴，解得． 综上所述，m的值为或． 【考点剖析】本题主要考查了相反数、有理数分类、多项式的次数、数轴上两点间的距离、用数轴上的点表示有理数、数轴上动点问题等知识，读懂题意，灵活运用所学知识是解答本题的关键． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$