专题3.1 代数式（知识梳理+18个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共61题）-2025-2026学年北师大版数学七年级上册同步培优讲练（2024新教材）

专题3.1 代数式 （知识梳理+18个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共61题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：代数式 2 知识点梳理02：列代数式 2 知识点梳理03：代数式求值 3 知识点梳理04：整式 3 知识点梳理05：单项式 3 知识点梳理06：多项式 4 优选题型 考点讲练 4 考点1：用字母表示数 4 考点2：列代数式 5 考点3：用代数式表示数、图形的规律 5 考点4：代数式的概念 6 考点5：代数式书写方法 7 考点6：代数式表示的实际意义 7 考点7：已知字母的值，求代数式的值 7 考点8：已知式子的值，求代数式的值 8 考点9：程序流程图与代数式求值 8 考点10：单项式的判断 9 考点11：单项式的系数、次数 9 考点12：写出满足某些特征的单项式 10 考点13：单项式规律题 10 考点14：多项式的判断 11 考点15：多项式的项、项数或次数 11 考点16：多项式系数、指数中字母求值 11 考点17：将多项式按某个字母升幂(降冪）排列 12 考点18：整式的判晰 12 中考真题 实战演练 12 难度分层 拔尖冲刺 13 基础夯实 13 培优拔高 15 知识点梳理01：代数式 代数式：代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式．例如：ax+2b，﹣13，2b3，a+2等．带有“＜（≤）”“＞（≥）”“＝”“≠”等符号的不是代数式． 注意：①不包括等于号（＝）、不等号（≠、≤、≥、＜、＞、≮、≯）、约等号≈． ②可以有绝对值．例如：|x|，|﹣2.25|等． 知识点梳理02：列代数式 （1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式． （2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换． 【规律方法】列代数式应该注意的四个问题 1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量． 2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写． 3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数． 4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式． 知识点梳理03：代数式求值 （1）代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值． （2）代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值． 题型简单总结以下三种： ①已知条件不化简，所给代数式化简； ②已知条件化简，所给代数式不化简； ③已知条件和所给代数式都要化简． 知识点梳理04：整式 （1）概念：单项式和多项式统称为整式． 他们都有次数，但是多项式没有系数，多项式的每一项是一个单项式，含有字母的项都有系数． （2）规律方法总结： ①对整式概念的认识，凡分母中含有字母的代数式都不属于整式，在整式范围内用“+”或“﹣”将单项式连起来的就是多项式，不含“+”或“﹣”的整式绝对不是多项式，而单项式注重一个“积”字． ②对于“数”或“形”的排列规律问题，用先从开始的几个简单特例入手，对比、分析其中保持不变的部分及发展变化的部分，以及变化的规律，尤其变化时与序数几的关系，归纳出一般性的结论． 知识点梳理05：单项式 （1）单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式． 用字母表示的数，同一个字母在不同的式子中可以有不同的含义，相同的字母在同一个式子中表示相同的含义． （2）单项式的系数、次数 单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数． 在判别单项式的系数时，要注意包括数字前面的符号，而形如a或﹣a这样的式子的系数是1或﹣1，不能误以为没有系数，一个单项式的次数是几，通常称这个单项式为几次单项式． 知识点梳理06：多项式 （1）几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数． （2）多项式的组成元素的单项式，即多项式的每一项都是一个单项式，单项式的个数就是多项式的项数，如果一个多项式含有a个单项式，次数是b，那么这个多项式就叫b次a项式． 考点1：用字母表示数 【典例精讲】（24-25七年级上·安徽芜湖·期中）已知，，，则四个数，，，中，最大的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25七年级上·重庆江津·期中）我国著名的数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔离分家万事非．”可见数形结合对于数学学习是多么重要，数学课上老师让同学们将数轴对折探究其中的数学问题． (1)如图①，勤学小组的同学将数轴对折，使表示的点与表示的点重合． ①对折后表示的点与表示________的点重合； ②对折后表示的点与表示________的点重合．（用含的代数式表示） (2)如图②，善思小组的同学将数轴对折，使表示的点与表示的点重合． ①对折后表示的点与表示________的点重合； ②对折后数轴上的点与点重合（点在点的左侧），且点与点之间的距离为，则点表示的数为________，点表示的数________． (3)如图③，智慧小组的同学将数轴对折，使表示的点与表示的点重合，经对折后数轴上的点与点重合（点在点的左侧），且点和点之间的距离为，则试求出点和点分别表示的数．（用含，的代数式表示） 考点2：列代数式 【典例精讲】（25-26七年级上·全国·课后作业）用代数式表示： (1)棱长为a的正方体的表面积． (2)位于江苏省常州市金坛区的华罗庚纪念馆目前累计接待中外参观者a万人，预计今后每年平均接待参观者b万人，c年后累计接待的总人数为多少万人？ (3)设某银行一年定期存款的利率是，存入a元钱，一年后得到的利息是多少元？本息和（存入的钱与利息的和）是多少元？ (4)甲、乙两地相距．李明原计划骑车从甲地到乙地，需用时；后因天气原因，改乘公交车前往，结果提前到达乙地．公交车的速度是多少？ 【变式训练】（25-26七年级上·全国·课后作业）我国古代数学著作《周髀算经》中提到，冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气中，在同一地点测量每个节气正午时同一根杆的日影长，发现每个节气与它后一个节气的日影长的差近似为定值．若这个定值为d尺（这里的尺是我国古代长度单位），立春当日的日影长为尺，求立夏当日日影长的近似值． 考点3：用代数式表示数、图形的规律 【典例精讲】（25-26七年级上·全国·课后作业）礼堂第1排有a个座位，后面每排都比前一排多1个座位． (1)第2排有多少个座位？第3排呢？用代数式表示第n排的座位数． (2)当时，计算第19排的座位数． 【变式训练】（2025·河南商丘·三模）中央电视台《为您服务》节目曾播放过骗子骗小学生钱的事件，骗子打着“开发智力的速算法”招牌对学生进行口算演示：               学生觉得这种计算方法真简单，比用计算器、还要算的快．这时骗子开始推销一种《速算法》的小册子，高喊：“要得发不离八，每本二十一块八．”小学生纷纷购买，其中一位小学生向他的邻居、七年级学生小刚宣传他得到的速算法，小刚告诉他这种方法只适合两个两位数乘法，并没有宣传的那么神通广大． (1)请你再举出两个类似上述运算式子的例子，并总结这些式子中左边两个两位数的特征．你知道小学生向小刚宣传他得到的速算法有怎样一种简便计算的规律？用自己的话叙述出来． (2)初中学习了“字母表示数”，你能用字母表示数的方法，写出宣传的这种速算法？ 考点4：代数式的概念 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·假期作业）下列式子中：①0；②；③；④；⑤；⑥；⑦．属于代数式的有（ ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【变式训练】（24-25七年级上·河北保定·期末）下列说法正确的是（    ） A．是代数式，3不是代数式 B．表示的积的代数式为 C．是三次三项式，常数项是3 D．两数的积的4倍表示为 考点5：代数式书写方法 【典例精讲】．（24-25七年级上·广东清远·期末）下列式子中，符合代数式书写的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25七年级上·广东湛江·期中）下列代数式中，书写规范的是（   ） A． B． C． D． 考点6：代数式表示的实际意义 【典例精讲】（24-25七年级上·广东湛江·期中）下列说法不正确的是（ ） A．多项式是四次三项式 B．单项式的系数是，次数是3 C．代数式表示的意义是a与b的差的平方 D．学校计划种植500棵树，已种植的棵树与未种植的棵树之间成反比例关系 【变式训练】（2024七年级上·浙江·专题练习）写出下列代数式表示的实际意义： (1)一个等边三角形的边长为a，一个正方形的边长为b，则表示 ___________； (2)若苹果每千克p元，橘子每千克q元，则代数式表示 ___________． 考点7：已知字母的值，求代数式的值 【典例精讲】（24-25七年级上·全国·课后作业）（1）当时，代数式 ； （2）当，时，代数式的值是 ； （3）当时，代数式的值是 ； （4）已知，，则代数式的值为 ． 【变式训练】（（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，y的绝对值等于2，且，求的值． 考点8：已知式子的值，求代数式的值 【典例精讲】（24-25七年级上·陕西咸阳·期末）已知当：时，代数式的值为7，则当时，代数式的值为 ． 【变式训练】（24-25七年级上·吉林长春·期末）定义：若，则称、是“海春轩数”．例如：，因此和是一组“海春轩数”． (1)与_______是一组“海春轩数”； (2)若、是一组“海春轩数”，求代数式的值． 考点9：程序流程图与代数式求值 【典例精讲】（2025·陕西西安·模拟预测）在如图所示的运算程序中，若开始输入的值为5，我们发现第一次输出的结果为8，第二次输出的结果为4，…，则第2025次输出的结果为 ． 【变式训练】（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，按照程序图计算，当输入正整数x时，输出的结果为215，则输入的x值可能是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 考点10：单项式的判断 【典例精讲】现有4种说法：①表示负数；②绝对值最小的有理数是0；③是5次单项式：④是多项式．其中正确的是（    ）. A．①③ B．②④ C．②③ D．①④ 【变式训练】（2023七年级上·全国·专题练习）下列式子：①；②；③；④；⑤0；⑥；⑦，多项式的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点11：单项式的系数、次数 【典例精讲】（24-25七年级上·全国·随堂练习）运算能力  已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，多项式是六次四项式，单项式的次数与这个多项式的次数相同，求的值． 【变式训练】（23-24七年级上·广东惠州·期中）已知是的系数，是多项式的次数，是单项式的系数，且、、分别是点、、在数轴上对应的数． (1)求、、的值，并在数轴上标出点、、． (2)若动点、分别从、同时出发沿数轴负方向运动，点的速度是每秒个单位长度，点的速度是每秒个单位长度，求运动几秒后，点可以追上点？ (3)在数轴上找一个点，使点到、、三点的距离之和等于，请直接写出所有点对应的数． 考点12：写出满足某些特征的单项式 【典例精讲】（24-25七年级上·广东广州·期末）请写出一个单项式，同时满足以下条件：①系数为负数、②只含有字母a，b、③次数为3次，则这个单项式为 ． 【变式训练】（2024七年级上·全国·专题练习）请你写出一个含有字母a，b的单项式，使它的系数为5，次数为3，这个单项式是 ． 考点13：单项式规律题 【典例精讲】（24-25七年级上·山西·期中）阅读与思考 下面是一位同学的趣味数学研究．请仔细阅读并完成相应的任务． 趣味数学研究如图，用一个表格中的表示的次数，表示的次数，例如：表格中的；． (1)若，，，…，都是系数为1的关于，的单项式． ①由表格可知，______；______． ②由①中的规律可知，的次数为______． (2)若图中的多项式★为，其中，，为3个不同的正整数，且多项式的值为70，则的最大值为______． 【变式训练】（24-25七年级上·全国·单元测试）观察下列关于的单项式：，，，， (1)直接写出第个单项式：___________； (2)第个单项式的系数和次数分别是多少？ (3)系数的绝对值为的单项式的次数是多少？ 考点14：多项式的判断 【典例精讲】（23-24七年级上·陕西汉中·期中）有以下代数式：，，，，，． (1)的系数是______，次数是______；的次数是______； (2)将上面的代数式分别填入所属的圈中． 【变式训练】（23-24七年级上·福建南平·期中）下列说法正确的是（    ） A．是单项式 B．的次数是2 C．是二次三项式 D．是单项式 考点15：多项式的项、项数或次数 【典例精讲】（24-25七年级上·甘肃张掖·阶段练习）若代数式关于，的五次三项式，则的值为 （    ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）已知多项式是关于x、y的五次四项式，单项式的次数是b，c是单项式的系数，d是最小的正整数． (1)______，_____，_____，______； (2)求的值． 考点16：多项式系数、指数中字母求值 【典例精讲】（20-21七年级上·福建泉州·期末）已知多项式（，为正整数且的指数不相同）是按的降幂排列的四次三项式，则的值为（   ） A． B．3或 C．或4 D．或4 【变式训练】（23-24七年级上·黑龙江绥化·期中）如果多项式是关于a的二次二项式， ． 考点17：将多项式按某个字母升幂(降冪）排列 【典例精讲】（24-25七年级上·全国·期末）已知多项式是六次四项式，单项式与该多项式的次数相同，求的值，并将多项式按x的降幂排列． 【变式训练】（24-25七年级上·福建泉州·期中）下列说法正确的是（   ） A．的系数是，次数是2 B．是六次单项式 C．的常数项是6 D．是按字母升幂排列 考点18：整式的判晰 【典例精讲】（23-24七年级上·湖南娄底·阶段练习）下列结论中正确的是（    ） A．单项式的系数是，次数是是 B．单项式的次数是，系数为 C．多项式是二次二项式 D．在中，整式有个 【变式训练】（24-25七年级上·河南商丘·期中）下列代数式中哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？分别将序号填入所属的括号中． ①7，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨． 单项式：（                                       ）； 多项式：（                                       ）； 整式：（                                         ）． 1．（2025·山东威海·中考真题）若，则 ． 2．（2025·江苏苏州·中考真题）若，则代数式的值为 ． 3．（2023·四川绵阳·中考真题）如下图，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成以下图形，第1幅图形中“●”的个数为，第2幅图形中“●”的个数为，第3幅图形中“●”的个数为，…，以此类推，那么的值为（ ）    A． B． C． D． 4．（2023·山西·中考真题）如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成．第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，…依此规律，第n个图案中有 个白色圆片（用含n的代数式表示）    5．（2022·湖北恩施·中考真题）观察下列一组数：2，，，…，它们按一定规律排列，第n个数记为，且满足．则 ， ． 基础夯实 1．（24-25七年级下·福建泉州·期末）用代数式表示“比a的2倍小3”，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25六年级下·山东泰安·期末）如图，关于变量x，y的程序计算，若开始输入的x值为2，则最后输出因变量y的值为 A．3 B．8 C．63 D．64 3．（24-25八年级下·海南省直辖县级单位·期末）若，则代数式的值是（   ） A． B．5 C．3 D． 4．（24-25七年级上·全国·课后作业）用代数式表示的与的平方的差（    ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·江苏苏州·开学考试）一个乒乓球拍85元，一个乒乓球元，一个乒乓球拍比一个乒乓球贵 元，一个乒乓球拍和一个乒乓球共 元． 6．（24-25七年级上·福建福州·期中）若互为相反数，互为倒数，则的值为 ． 7．（24-25七年级上·吉林·阶段练习）已知、互为相反数，、互为倒数，那么“”的值为 ． 8．（24-25七年级上·全国·课后作业）甲、乙两地相距100千米，一辆汽车的行驶速度为千米／时． (1)用代数式表示这辆汽车从甲地到乙地需行驶的时间； (2)若速度增加5千米／时，则从甲地到乙地需多长时间？速度增加后比原来可早到多长时间？ (3)若千米／时，分别计算上面各个代数式的值，并指明其意义． 9．（24-25七年级上·全国·课后作业）当，，时，求下列各代数式的值： (1)； (2)． 10．（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）如图，一个手工串珠作品由5颗红色珠子与5颗黑色珠子串成，红色珠子每颗a元，黑色珠子每颗b元，购买这些珠子共花费________元． （2）甲、乙两车间生产同一种化工产品，甲车间每天生产，乙车间每天生产．两车间各生产5天，一共生产________t化工产品． 观察你所列的代数式，再举出一个用它表示数量或数量关系的例子． 培优拔高 11．（24-25七年级上·安徽宿州·阶段练习）已知与互为相反数，与互为倒数，是数轴上到原点距离为2的数，是最小的正整数，则的值为（   ）． A． B．2 C． D．2或 12．（24-25七年级上·河北唐山·阶段练习）若，，且，则的值为（    ） A．1 B．5 C．1或5 D． 13．（24-25七年级上·山东聊城·期末）在如图所示的运算程序中，若第1次输入x的值为2，则第2024次输出的结果为（    ） A． B． C． D．1 14．（24-25七年级上·贵州黔东南·阶段练习）当时，代数式的值为2024，则当时，代数式的值为（   ） A．2022 B． C．2023 D． 15．（24-25六年级下·山东东营·期末）我国春秋时期的《大戴礼》，记载了世界上最早的“幻方”（如图），该“幻方”中，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．现有如图所示的“幻方”，则的值是 ． 16．（24-25七年级上·全国·课后作业）（1）周三下午，校图书馆内起初有位同学，后来又有一些同学前来阅读，第一批来了位同学，第二批来了位同学，则图书馆内共有 位同学． （2）图书馆内原有位同学，后来有些同学因上课要离开，第一批走了位同学，第二批又走了位同学，试用两种方式写出图书馆内还剩下 位同学． （3）在问题（1）中，由于 和 均表示同一个量，于是，我们可以得到等式 ；在问题（2）中，由于 和 均表示同一个量，于是，我们可以得到等式 ． 17．（24-25七年级上·四川成都·开学考试）（图形找规律）用棱长为2厘米的小正方体拼成长方体，按照这样的拼法，第n个长方体的表面积是( )平方厘米．（用含有字母的式子表示） 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.1 代数式 （知识梳理+18个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共61题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：代数式 2 知识点梳理02：列代数式 2 知识点梳理03：代数式求值 3 知识点梳理04：整式 3 知识点梳理05：单项式 3 知识点梳理06：多项式 4 优选题型 考点讲练 4 考点1：用字母表示数 4 考点2：列代数式 6 考点3：用代数式表示数、图形的规律 7 考点4：代数式的概念 9 考点5：代数式书写方法 10 考点6：代数式表示的实际意义 10 考点7：已知字母的值，求代数式的值 12 考点8：已知式子的值，求代数式的值 13 考点9：程序流程图与代数式求值 14 考点10：单项式的判断 16 考点11：单项式的系数、次数 16 考点12：写出满足某些特征的单项式 19 考点13：单项式规律题 19 考点14：多项式的判断 21 考点15：多项式的项、项数或次数 22 考点16：多项式系数、指数中字母求值 24 考点17：将多项式按某个字母升幂(降冪）排列 24 考点18：整式的判晰 25 中考真题 实战演练 26 难度分层 拔尖冲刺 29 基础夯实 29 培优拔高 33 知识点梳理01：代数式 代数式：代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式．例如：ax+2b，﹣13，2b3，a+2等．带有“＜（≤）”“＞（≥）”“＝”“≠”等符号的不是代数式． 注意：①不包括等于号（＝）、不等号（≠、≤、≥、＜、＞、≮、≯）、约等号≈． ②可以有绝对值．例如：|x|，|﹣2.25|等． 知识点梳理02：列代数式 （1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式． （2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换． 【规律方法】列代数式应该注意的四个问题 1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量． 2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写． 3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数． 4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式． 知识点梳理03：代数式求值 （1）代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值． （2）代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值． 题型简单总结以下三种： ①已知条件不化简，所给代数式化简； ②已知条件化简，所给代数式不化简； ③已知条件和所给代数式都要化简． 知识点梳理04：整式 （1）概念：单项式和多项式统称为整式． 他们都有次数，但是多项式没有系数，多项式的每一项是一个单项式，含有字母的项都有系数． （2）规律方法总结： ①对整式概念的认识，凡分母中含有字母的代数式都不属于整式，在整式范围内用“+”或“﹣”将单项式连起来的就是多项式，不含“+”或“﹣”的整式绝对不是多项式，而单项式注重一个“积”字． ②对于“数”或“形”的排列规律问题，用先从开始的几个简单特例入手，对比、分析其中保持不变的部分及发展变化的部分，以及变化的规律，尤其变化时与序数几的关系，归纳出一般性的结论． 知识点梳理05：单项式 （1）单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式． 用字母表示的数，同一个字母在不同的式子中可以有不同的含义，相同的字母在同一个式子中表示相同的含义． （2）单项式的系数、次数 单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数． 在判别单项式的系数时，要注意包括数字前面的符号，而形如a或﹣a这样的式子的系数是1或﹣1，不能误以为没有系数，一个单项式的次数是几，通常称这个单项式为几次单项式． 知识点梳理06：多项式 （1）几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数． （2）多项式的组成元素的单项式，即多项式的每一项都是一个单项式，单项式的个数就是多项式的项数，如果一个多项式含有a个单项式，次数是b，那么这个多项式就叫b次a项式． 考点1：用字母表示数 【典例精讲】（24-25七年级上·安徽芜湖·期中）已知，，，则四个数，，，中，最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】此题考查了有理数的大小比较，绝对值的意义，有理数的加法运算，根据已知可得，，，进而可知，，，，即可得出最大的数． 【规范解答】解：∵，，， ∴，， ∴，，， ∴最大的数是； 故选：D． 【变式训练】（24-25七年级上·重庆江津·期中）我国著名的数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔离分家万事非．”可见数形结合对于数学学习是多么重要，数学课上老师让同学们将数轴对折探究其中的数学问题． (1)如图①，勤学小组的同学将数轴对折，使表示的点与表示的点重合． ①对折后表示的点与表示________的点重合； ②对折后表示的点与表示________的点重合．（用含的代数式表示） (2)如图②，善思小组的同学将数轴对折，使表示的点与表示的点重合． ①对折后表示的点与表示________的点重合； ②对折后数轴上的点与点重合（点在点的左侧），且点与点之间的距离为，则点表示的数为________，点表示的数________． (3)如图③，智慧小组的同学将数轴对折，使表示的点与表示的点重合，经对折后数轴上的点与点重合（点在点的左侧），且点和点之间的距离为，则试求出点和点分别表示的数．（用含，的代数式表示） 【答案】(1)①；② (2)①；②， (3)点表示的数为，点表示的数为 【思路引导】本题考查了数轴、数轴上两点之间的距离、一元一次方程， （1）①先求出对折点所表示的数，再根据数轴的定义即可得； ②根据对折点，利用数轴的定义即可得； （2）①先求出对折点所表示的数，再根据数轴的定义建立方程，解方程即可得； ②根据对折点，利用数轴的定义即可求得两点表示的数； （3）利用表示出对折点，再根据点和点之间的距离为20，利用数轴的定义即可表示出，利用方程思想，熟练掌握数轴上两个的点的中点为两点表示的数相加除以2是解题的关键． 【规范解答】（1）解：由题意得对折点为， ①对折后与表示5的点重合的点表示的数为； ②对折后与表示的点重合的点表示的数位， 故答案为：①，②； （2）解：由题意得对折点为， ①对折后与表示9的点重合的点表示的数为； ②点与点之间的距离为12， 点与点到对折点的距离为， 点在点的左侧， 点表示的数为，点表示的数为， 故答案为：①；②；； （3）解：使表示的点与表示的点重合， 对折点为， 数轴上的点与点重合（点在点的左侧），且点和点之间的距离为20， 点与点到对折点的距离为， 点表示的数为，点表示的数为， 故答案为：；． 考点2：列代数式 【典例精讲】（25-26七年级上·全国·课后作业）用代数式表示： (1)棱长为a的正方体的表面积． (2)位于江苏省常州市金坛区的华罗庚纪念馆目前累计接待中外参观者a万人，预计今后每年平均接待参观者b万人，c年后累计接待的总人数为多少万人？ (3)设某银行一年定期存款的利率是，存入a元钱，一年后得到的利息是多少元？本息和（存入的钱与利息的和）是多少元？ (4)甲、乙两地相距．李明原计划骑车从甲地到乙地，需用时；后因天气原因，改乘公交车前往，结果提前到达乙地．公交车的速度是多少？ 【答案】(1)； (2)万人， (3)元，元； (4)． 【思路引导】此题考查了列代数式，正确理解题意是关键． （1）根据正方体的表面积公式解答即可； （2）目前累计接待中外参观者a万人，预计今后每年平均接待参观者b万人，据此即可得到c年后累计接待的总人数； （3）根据本金乘以利率求出利息，利用存入的钱与利息的和求出本息和； （4）根据路程除以时间即可得到公交车的速度． 【规范解答】（1）解：棱长为a的正方体的表面积； （2）根据题意可得，c年后累计接待的总人数为万人， （3）根据题意可得，一年后得到的利息是元，本息和（存入的钱与利息的和）是元； （4）由题意可得，公交车的速度是． 【变式训练】（25-26七年级上·全国·课后作业）我国古代数学著作《周髀算经》中提到，冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气中，在同一地点测量每个节气正午时同一根杆的日影长，发现每个节气与它后一个节气的日影长的差近似为定值．若这个定值为d尺（这里的尺是我国古代长度单位），立春当日的日影长为尺，求立夏当日日影长的近似值． 【答案】尺 【思路引导】本题考查了列代数式，正确理解题意是解题的关键．根据题中每个节气与它后一个节气的日影长的差近似为定值，计算立春到立夏的差值即可得解． 【规范解答】解：从立春到立夏要经过雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏这6个节气，且每个节气与它后一个节气的日影长的差为d尺，立春后其日影长减少了尺，立夏当日的日影长的近似值为尺． 考点3：用代数式表示数、图形的规律 【典例精讲】（25-26七年级上·全国·课后作业）礼堂第1排有a个座位，后面每排都比前一排多1个座位． (1)第2排有多少个座位？第3排呢？用代数式表示第n排的座位数． (2)当时，计算第19排的座位数． 【答案】(1)第二排有个座位，第三排有个座位，第n排有个座位； (2)38 【思路引导】本题主要考查了数字类的规律探索，代数式求值． （1）根据后面每排比前一排多1个座位可计算出第二排的座位数，进而求出第三排，第四排的座位数，再总结规律可得第n排座位数； （2）根据规律代入a、n的值求出第19排的座位数即可． 【规范解答】（1）解：∵礼堂第一排有a个座位，后面每排比前一排多1个座位， ∴第二排有个座位， ∴第三排有个座位， ∴第四排有个座位， ……， 以此类推可知，第n排有个座位； （2）解：当时，， ∴第19排的座位数为38个． 【变式训练】（2025·河南商丘·三模）中央电视台《为您服务》节目曾播放过骗子骗小学生钱的事件，骗子打着“开发智力的速算法”招牌对学生进行口算演示：               学生觉得这种计算方法真简单，比用计算器、还要算的快．这时骗子开始推销一种《速算法》的小册子，高喊：“要得发不离八，每本二十一块八．”小学生纷纷购买，其中一位小学生向他的邻居、七年级学生小刚宣传他得到的速算法，小刚告诉他这种方法只适合两个两位数乘法，并没有宣传的那么神通广大． (1)请你再举出两个类似上述运算式子的例子，并总结这些式子中左边两个两位数的特征．你知道小学生向小刚宣传他得到的速算法有怎样一种简便计算的规律？用自己的话叙述出来． (2)初中学习了“字母表示数”，你能用字母表示数的方法，写出宣传的这种速算法？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题主要考查了有理数的乘法，总结特殊两位数乘积的规律，列代数式，整式的乘法等内容，解题的关键是善于寻找规律并掌握整式的乘法法则． （1）根据给出的乘式，发现两因数的规律，并寻找两因数和乘积的关系即可； （2）列代数式，利用多项式乘多项式的运算法则进行整理即可． 【规范解答】（1）解：例子，； 特征：两个两位数的十位数字相同，个位数字之和为10； 规律：十位数字乘以比它大1的数作为积的前两位，两个个位数字相乘的积作为积的后两位． （2）解：设这两个两位数分别为和（为十位数字，），则． 证明如下： ． 考点4：代数式的概念 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·假期作业）下列式子中：①0；②；③；④；⑤；⑥；⑦．属于代数式的有（ ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】A 【思路引导】本题考查代数式的判断．代数式是由数、字母和运算符号（加、减、乘、除、乘方等）组成的式子，单独的数或字母也是代数式，据此求解即可． 【规范解答】解：由代数式的定义可得①②④⑤都是代数式，③⑥⑦不是代数式， 故选：A． 【变式训练】（24-25七年级上·河北保定·期末）下列说法正确的是（    ） A．是代数式，3不是代数式 B．表示的积的代数式为 C．是三次三项式，常数项是3 D．两数的积的4倍表示为 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了列代数式，代数式的定义，多项式的次数和项的定义，用基本运算符号（包括加、减、乘、除，乘方和开方）把数或表示数的字母连接起来的式子叫做代数式，单独的一个数或字母也称为代数式，据此可判断A；几个单项式的和的形式叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数，据此可判断C；字母和数字之间的乘号要省略，且数字要写在字母的前面，据此可判断B、D． 【规范解答】解：A、是代数式，3是代数式，原说法错误，不符合题意； B、表示的积的代数式为，原说法错误，不符合题意； C、是三次三项式，常数项是，原说法错误，不符合题意； D、两数的积的4倍表示为，原说法正确，符合题意； 故选：D． 考点5：代数式书写方法 【典例精讲】．（24-25七年级上·广东清远·期末）下列式子中，符合代数式书写的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了代数式，依次分析各个选项，选出符合代数式的书写格式的选项即可． 【规范解答】解：A. ，符合代数式的书写格式，即A项符合题意，     B. ，正确的格式为：，常数项不出现带分数，即B项不合题意，     C. ，书写代数式时，一般不出现除号，除号要变为分数线，正确写法为，因此选项C不符合题意；     D. ，正确的格式为：，乘号往往省略不写，故D选项不合题意， 故选：A． 【变式训练】（24-25七年级上·广东湛江·期中）下列代数式中，书写规范的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了代数式，依次分析各个选项，选出符合代数式的书写格式的选项即可，正确掌握代数式的书写格式是解题的关键． 【规范解答】解：A、，当代数式的系数是“1”或“”时，数字“1”往往省略不写，故选项不符合题意； B、，书写代数式时，一般不出现除号，出现除法转化为乘法，并且除号与负号不能相邻，故选项不符合题意； C、，正确的格式为，故选项不符合题意； D、，符合代数式的书写格式，故选项符合题意； 故选：D． 考点6：代数式表示的实际意义 【典例精讲】（24-25七年级上·广东湛江·期中）下列说法不正确的是（ ） A．多项式是四次三项式 B．单项式的系数是，次数是3 C．代数式表示的意义是a与b的差的平方 D．学校计划种植500棵树，已种植的棵树与未种植的棵树之间成反比例关系 【答案】D 【思路引导】本题考查了多项式、单项式、代数式、反比例的定义，熟练掌握多项式、单项式、代数式、反比例的定义是解题的关键． 根据同类项、单项式、多项式以及反比例的定义进行判断即可． 【规范解答】解：A．多项式是四次三项式，正确，故本选项不符合题意： B．单项式的系数是，次数是3 ，正确，故本选项不符合题意： C．代数式表示的意义是a与b的差的平方，正确，故本选项不符合题意： D．学校计划种植500棵树，已种植的棵树与未种植的棵树之间不成反比例关系，原说法错误，故本选项符合题意； 故选：D． 【变式训练】（2024七年级上·浙江·专题练习）写出下列代数式表示的实际意义： (1)一个等边三角形的边长为a，一个正方形的边长为b，则表示 ___________； (2)若苹果每千克p元，橘子每千克q元，则代数式表示 ___________． 【答案】(1)三角形和正方形周长的和 (2)用50元买苹果6千克和橘子4千克剩余的钱 【思路引导】此题主要考查了代数式的意义，解题的关键是正确理解文字语言中的关键词，从而明确其中的运算关系． （1）根据等边三角形的周长公式和正方形的周长公式即可得出答案； （2）苹果每千克p元，橘子每千克q元，根据苹果6千克，买橘子4千克，可得买苹果和橘子共花了元，由此可得实际意义． 【规范解答】（1）解：表示三角形和正方形周长的和； 故答案为：三角形和正方形周长的和． （2）解：表示用50元买苹果6千克和橘子4千克剩余的钱． 故答案为：用50元买苹果6千克和橘子4千克剩余的钱． 考点7：已知字母的值，求代数式的值 【典例精讲】（24-25七年级上·全国·课后作业）（1）当时，代数式 ； （2）当，时，代数式的值是 ； （3）当时，代数式的值是 ； （4）已知，，则代数式的值为 ． 【答案】 2 15 100 137 【思路引导】本题主要考查了代数式求值，熟练掌握运算法则和运算顺序是解答本题的关键． （1）直接将字母的值代入代数式，根据有理数运算法则计算即可． （2）直接将字母的值代入代数式，根据有理数运算法则计算即可． （3）直接将字母的值代入代数式，根据有理数运算法则计算即可． （4）直接将式子的值代入代数式，根据有理数运算法则计算即可． 【规范解答】解：（1）将代入代数式得 ， 故答案为：2； （2）将，代入代数式得 ， 故答案为：15； （3）将代入代数式得 ， 故答案为：100； （4）把，，代入代数式得 ， 故答案为：137； 【变式训练】（（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，y的绝对值等于2，且，求的值． 【答案】或． 【思路引导】本题考查有理数的混合运算，倒数的定义以及相反数的定义，根据a，b互为相反数，则，c，d互为倒数，则，代入，再由y的绝对值等于2，可得，分别代入计算即可．正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【规范解答】解：∵a，b互为相反数， ∴ 又∵c，d互为倒数， ∴， ∴， ∵y的绝对值等于2， ∴，， 当，时，则， 当，时，则， 综上所述：的值为或． 考点8：已知式子的值，求代数式的值 【典例精讲】（24-25七年级上·陕西咸阳·期末）已知当：时，代数式的值为7，则当时，代数式的值为 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了代数式求值问题，在解题时要根据题意找出数量关系是解题的关键． 本题需先把代入代数式得出的值来，再把和代入代数式，即可求出答案． 【规范解答】解：时，代数式， ∴； 当时，代数式 将代入上式得， ， 故答案为：． 【变式训练】（24-25七年级上·吉林长春·期末）定义：若，则称、是“海春轩数”．例如：，因此和是一组“海春轩数”． (1)与_______是一组“海春轩数”； (2)若、是一组“海春轩数”，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（）根据新定义解答即可； （）由新定义得，再代入化简即可； 本题考查了新定义运算，代数式求值，理解新定义运算是解题的关键． 【规范解答】（1）解：∵， ∴与是一组“海春轩数”， 故答案为：； （2）解：∵、是一组“海春轩数”， ∴， ∴． 考点9：程序流程图与代数式求值 【典例精讲】（2025·陕西西安·模拟预测）在如图所示的运算程序中，若开始输入的值为5，我们发现第一次输出的结果为8，第二次输出的结果为4，…，则第2025次输出的结果为 ． 【答案】2 【思路引导】本题考查程序问题，从程序中找到从第2次开始，每3次 1组，每组按照4，2,1的顺序循环的规律是解题的关键． 【规范解答】解：第1次， 第2次， 第3次， 第4次， 第5次， 第6次， 第7次． …… 从第2次开始，每3次 1组，每组按照4，2,1的顺序循环， ， ∴第2025次输出的结果为2， 故答案为：2． 【变式训练】（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，按照程序图计算，当输入正整数x时，输出的结果为215，则输入的x值可能是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【思路引导】本题考查代数值求值；熟练掌握整式的性质，分类讨论输出结果是解题的关键．用给定的计算程序，分一次运算、两次、三次运算得出相应的正整数x即可． 【规范解答】解：如果输入的数经过一次运算就能输出结果，则 解得， 如果输入的数字经过两次运算才能输出结果，则第1次计算后的结果是71， 于是， 解得， 如果输入的数字经过三次运算才能输出结果，则第2次计算后的结果是53，第1次计算后的结果是17， 于是， 解得， 如果输入的数字经过四次运算才能输出结果，则第1次计算后的结果是5， 于是， 解得， 如果输入的数字经过五次运算才能输出结果，则第1次计算后的结果是1， 此时不是正整数， 综上所述，输入的的值可能是7，23，71， 故选：B． 考点10：单项式的判断 【典例精讲】现有4种说法：①表示负数；②绝对值最小的有理数是0；③是5次单项式：④是多项式．其中正确的是（    ）. A．①③ B．②④ C．②③ D．①④ 【答案】B 【思路引导】根据负数、绝对值、单项式以及多项式的定义逐个判断即可. 【规范解答】解：①当时，表示正数，故①错误； ②绝对值最小的有理数是0，说法正确； ③是3次单项式，故③错误； ④是多项式，说法正确. 综上，正确的有②④. 故选B. 【考点剖析】本题主要考查了负数的定义、绝对值、单项式以及多项式的定义等知识点，理解相关定义成为解答本题的关键. 【变式训练】（2023七年级上·全国·专题练习）下列式子：①；②；③；④；⑤0；⑥；⑦，多项式的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【思路引导】多项式是几个单项式和的形式． 【规范解答】解：多项式有：、共2个 故选：B． 【考点剖析】本题考了多项式的概念，抓住多项式是几个单项式的和． 考点11：单项式的系数、次数 【典例精讲】（24-25七年级上·全国·随堂练习）运算能力  已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，多项式是六次四项式，单项式的次数与这个多项式的次数相同，求的值． 【答案】10 【思路引导】此题主要考查了相反数，倒数，多项式的项数与次数，单项式的系数与次数，以及有理数的混合运算，解题的关键是正确确定m和n的值． 利用单项式的次数、多项式次数和项数的确定方法可得m和n的值，然后再结合相反数和互为倒数的定义进行计算即可． 【规范解答】解：因为多项式是六次四项式， 所以， 所以． 因为单项式的次数与这个多项式的次数 相同，所以， 所以， 所以． 因为a，b互为相反数，c，d互为倒数， 所以， 所以． 【变式训练】（23-24七年级上·广东惠州·期中）已知是的系数，是多项式的次数，是单项式的系数，且、、分别是点、、在数轴上对应的数． (1)求、、的值，并在数轴上标出点、、． (2)若动点、分别从、同时出发沿数轴负方向运动，点的速度是每秒个单位长度，点的速度是每秒个单位长度，求运动几秒后，点可以追上点？ (3)在数轴上找一个点，使点到、、三点的距离之和等于，请直接写出所有点对应的数． 【答案】(1)，，，图见解析 (2)运动秒后，点可以追上点 (3)或 【思路引导】（1）根据单项式的系数、多项式的次数，得出、、的值，在数轴上标出点、、的位置即可； （2）根据，，动点、分别从、同时出发沿数轴负方向运动，点的速度是每秒个单位长度，点的速度是每秒个单位长度，结合“追及时间路程差速度差”计算求解即可； （3）根据题意分“当点在点、之间时”和“当点在点左边时”两种情况讨论．当点在点、之间时，得出，计算，求出点对应的数即可；当点在点左边时，计算出，，进一步计算，求出点对应的数即可． 【规范解答】（1）解：∵是的系数，是多项式的次数，是单项式的系数， ∴，，， 如图，在数轴上标出点、、， ； （2）解：∵，，动点、分别从、同时出发沿数轴负方向运动，点的速度是每秒个单位长度，点的速度是每秒个单位长度， ∴（秒）， ∴运动秒后，点可以追上点； （3）解：情况一：当点在点、之间时， 又∵，，， ∴， ∴， ∴点对应的数； 情况二：当点在点左边时， ∵，， ∴， ∴点对应的数． 综上所述，点对应的数为或． 【考点剖析】本题主要考查了数轴上的动点问题、单项式的系数和多项式的次数，根据题意分类讨论、数形结合是解题的关键． 考点12：写出满足某些特征的单项式 【典例精讲】（24-25七年级上·广东广州·期末）请写出一个单项式，同时满足以下条件：①系数为负数、②只含有字母a，b、③次数为3次，则这个单项式为 ． 【答案】答案不唯一 【思路引导】本题考查了单项式，熟知单项式的系数、次数的定义是解题的关键． 根据单项式的系数、次数的定义解答即可． 【规范解答】解：单项式可以是答案不唯一， 故答案为：答案不唯一 【变式训练】（2024七年级上·全国·专题练习）请你写出一个含有字母a，b的单项式，使它的系数为5，次数为3，这个单项式是 ． 【答案】(答案不唯一，也可以是) 【思路引导】本题考查的是单项式，熟知一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数是解答此题的关键． 根据单项式次数的定义解答即可． 【规范解答】解：一个只含有字母a、b的单项式，使它的系数为5、次数为3的单项式为：； 故答案为：(答案不唯一，也可以是)． 考点13：单项式规律题 【典例精讲】（24-25七年级上·山西·期中）阅读与思考 下面是一位同学的趣味数学研究．请仔细阅读并完成相应的任务． 趣味数学研究如图，用一个表格中的表示的次数，表示的次数，例如：表格中的；． (1)若，，，…，都是系数为1的关于，的单项式． ①由表格可知，______；______． ②由①中的规律可知，的次数为______． (2)若图中的多项式★为，其中，，为3个不同的正整数，且多项式的值为70，则的最大值为______． 【答案】(1)①；；② (2) 【思路引导】本题考查了数字类规律探索，代数式的值， （1）①根据规律，即可求解； ②根据规律可得，再求次数，即可求解． （2）再根据题意和★所处表格位置可得，由，，为个不同的正整数，可得的值，从而得出的值，然后代入中，即可得最大值． 【规范解答】（1）解：①由表格可知，；． 故答案为：；． ②由①中的规律可知，的次数为， 故答案为：． （2）解：根据题意和★所处表格位置，可得多项式★：中的， ∴将代入中，即为 ∵为其中，，为个不同的正整数， ∴求的最大值时，最小即可， ∴， 又∵多项式的值为，即， ∴， 解得：， ∴的最大值为， 故答案为：． 【变式训练】（24-25七年级上·全国·单元测试）观察下列关于的单项式：，，，， (1)直接写出第个单项式：___________； (2)第个单项式的系数和次数分别是多少？ (3)系数的绝对值为的单项式的次数是多少？ 【答案】(1) (2)系数是，次数是 (3) 【思路引导】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的单项式，探索出单项式的一般规律是解题的关键． （1）根据所给的式子，直接写出即可； （2）通过观察可得第个单项式为，当时，即可求解； （3）由题意可得，求出，再由（2）的规律求解即可． 【规范解答】（1）解：第5个单项式为， 故答案为：； （2）解：，，，， 第个单项式为， 第20个单项式为， 第20个单项式的系数是，次数是41； （3）解：系数的绝对值为2025， ∴ ， 次数为． 考点14：多项式的判断 【典例精讲】（23-24七年级上·陕西汉中·期中）有以下代数式：，，，，，． (1)的系数是______，次数是______；的次数是______； (2)将上面的代数式分别填入所属的圈中． 【答案】(1)，， (2)见详解 【思路引导】（1）单项式中数字因数叫单项式的系数，所有字母的指数和叫做单项式的次数；多项式中次数最高项的次数叫做多项式的次数；据此即可求解． （2）都是数字与字母的乘积的式子叫做单项式，单独的一个数字或字母也是单项式；几个单项式的和叫做多项式；据此即可求解． 本题考查了单项式的定义，单项式次数、系数的定义，多项式的定义，多项式的次数的定义，理解各个定义是解题的关键． 【规范解答】（1）解：的系数是，次数是；的次数是； 故答案：，，； （2）单项式：， ，， 多项式：，，． 【变式训练】（23-24七年级上·福建南平·期中）下列说法正确的是（    ） A．是单项式 B．的次数是2 C．是二次三项式 D．是单项式 【答案】C 【思路引导】本题考查了单项式、多项式的定义，熟练掌握其定义是解答本题的关键． 根据单项式、多项式的定义，分析每个选项，是分式，的次数是，是二次三项式，是多项式，由此选出正确答案． 【规范解答】解：由已知得： 选项是分式，不是单项式，此说法不正确，故不符合题意； 选项的次数是，此说法不正确，故不符合题意； 选项是二次三项式，此说法正确，故符合题意； 选项是多项式，此说法不正确，故不符合题意． 故选． 考点15：多项式的项、项数或次数 【典例精讲】（24-25七年级上·甘肃张掖·阶段练习）若代数式关于，的五次三项式，则的值为 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查多项式，解题的关键是掌握：多项式中每一个单项式称为该多项式的项（带符号），次数最高的项的次数即为该多项式的次数，多项式通常说成几次几项式．据此列式解答即可． 【规范解答】解：∵代数式关于，的五次三项式， ∴且， 解得：， ∴的值为． 故选：D． 【变式训练】（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）已知多项式是关于x、y的五次四项式，单项式的次数是b，c是单项式的系数，d是最小的正整数． (1)______，_____，_____，______； (2)求的值． 【答案】(1)，，， (2) 【思路引导】（1）由题意可得，，，，于是可得答案； （2）将、、、的值代入求值即可． 【规范解答】（1）解：多项式是关于x、y的五次四项式，单项式的次数是b，c是单项式的系数，d是最小的正整数， ，，，， ，，，， 故答案为：，，，； （2）解：，，，， ． 【考点剖析】本题主要考查了多项式的项、项数或次数，单项式的系数、次数，有理数的分类，代数式求值，含乘方的有理数混合运算等知识点，熟练掌握单项式及多项式的相关概念是解题的关键． 考点16：多项式系数、指数中字母求值 【典例精讲】（20-21七年级上·福建泉州·期末）已知多项式（，为正整数且的指数不相同）是按的降幂排列的四次三项式，则的值为（   ） A． B．3或 C．或4 D．或4 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了多项式的概念，几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数． 根据多项式及降幂排列的定义可得，，即可求解m，n的值，再分别代入计算可求解． 【规范解答】解：由题意得：，， 所以，或，， 当，时，； 当，时，． 故选：C． 【变式训练】（23-24七年级上·黑龙江绥化·期中）如果多项式是关于a的二次二项式， ． 【答案】4 【思路引导】此题主要考查了多项式，根据二次二项式可得，，再代入求值即可． 【规范解答】解：∵多项式是关于a的二次二项式， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：4． 考点17：将多项式按某个字母升幂(降冪）排列 【典例精讲】（24-25七年级上·全国·期末）已知多项式是六次四项式，单项式与该多项式的次数相同，求的值，并将多项式按x的降幂排列． 【答案】，． 【思路引导】本题主要考查了多项式的概念，单项式的概念，解一元一次方程等知识点， （1）根据题意得出，，求出m、n的值，进而代入代数式计算即可； （2）由（1）得出原多项式为：，再重新排列即可得到答案； 熟练掌握几个单项式的和（或者差），叫做多项式，多项式中的每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高项次数，就是这个多项式的次数是解此题的关键． 【规范解答】∵多项式是六次四项式， ∴，解得：， ∵单项式与该多项式的次数相同， ∴，解得：， 将，代入得， ∴， ∴这个多项式按按x的降幂排列为：． 【变式训练】（24-25七年级上·福建泉州·期中）下列说法正确的是（   ） A．的系数是，次数是2 B．是六次单项式 C．的常数项是6 D．是按字母升幂排列 【答案】A 【思路引导】本题考查了单项式和多项式的知识，熟练掌握单项式、多项式的相关概念是解题关键．由数和字母的积组成的代数式叫做单项式；单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数；单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．几个单项式的和，叫做多项式；多项式中的每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高项次数，就是这个多项式的次数；多项式中不含字母的项叫做常数项． 根据单项式和多项式的相关概念逐项分析判断即可． 【规范解答】解：A．的系数是，次数是2，该说法正确，符合题意； B．是四次单项式，原说法不正确，不符合题意； C．的常数项是，原说法不正确，不符合题意； D．是按字母降幂排列，原说法不正确，不符合题意． 故选：A． 考点18：整式的判晰 【典例精讲】（23-24七年级上·湖南娄底·阶段练习）下列结论中正确的是（    ） A．单项式的系数是，次数是是 B．单项式的次数是，系数为 C．多项式是二次二项式 D．在中，整式有个 【答案】D 【思路引导】此题考查了整式的有关概念，根据单项式和多项式有关概念即可求解，解题的关键是灵活掌握单项式的系数和次数的定义，单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数，多项式中次数最高项的次数是多项式的次数． 【规范解答】、单项式的系数是，次数是，此选项判断错误，不符合题意； 、单项式的次数是，系数为，此选项判断错误，不符合题意； 、多项式是三次二项式，此选项判断错误，不符合题意； 、在中，整式有共个，此选项判断正确，符合题意； 故选：． 【变式训练】（24-25七年级上·河南商丘·期中）下列代数式中哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？分别将序号填入所属的括号中． ①7，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨． 单项式：（                                       ）； 多项式：（                                       ）； 整式：（                                         ）． 【答案】①②⑦⑨；③④⑤⑧；①②③④⑤⑦⑧⑨ 【思路引导】本题考查了整式、单项式、多项式的识别，表示数字与字母乘积的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式；几个单项式的和叫做多项式．单项式与多项式统称整式，据此求解即可． 【规范解答】解：单项式：（①②⑦⑨）； 多项式：（③④⑤⑧）； 整式：（①②③④⑤⑦⑧⑨）． 故答案为：①②⑦⑨；③④⑤⑧；①②③④⑤⑦⑧⑨． 1．（2025·山东威海·中考真题）若，则 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了代数式求值，掌握整体的思想是解题的关键． 先将变形为，然后将变形为，再整体代入求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（2025·江苏苏州·中考真题）若，则代数式的值为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查代数式求值，根据，得到，整体代入法求出代数式的值即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴； 故答案为：． 3．（2023·四川绵阳·中考真题）如下图，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成以下图形，第1幅图形中“●”的个数为，第2幅图形中“●”的个数为，第3幅图形中“●”的个数为，…，以此类推，那么的值为（ ）    A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】首先根据图形中“●”的个数得出数字变化规律，进而求解即可． 【规范解答】解：， ， ， ， …， ； ∴ ， 故选∶C． 【考点剖析】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，找出规律是解题的关键． 4．（2023·山西·中考真题）如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成．第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，…依此规律，第n个图案中有 个白色圆片（用含n的代数式表示）    【答案】 【思路引导】由于第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，，可得第个图案中有白色圆片的总数为． 【规范解答】解：第1个图案中有4个白色圆片， 第2个图案中有6个白色圆片， 第3个图案中有8个白色圆片， 第4个图案中有10个白色圆片， ， ∴第个图案中有个白色圆片． 故答案为：． 【考点剖析】此题考查图形的变化规律，通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．解题关键是总结归纳出图形的变化规律． 5．（2022·湖北恩施·中考真题）观察下列一组数：2，，，…，它们按一定规律排列，第n个数记为，且满足．则 ， ． 【答案】 【思路引导】由题意推导可得an=，即可求解． 【规范解答】解：由题意可得：a1=2=，a2=，a3=， ∵， ∴2+=7， ∴a4=， ∵， ∴a5=， 同理可求a6=， ∴an=， ∴a2022=， 故答案为：，． 【考点剖析】本题考查了数字的变化类，找出数字的变化规律是解题的关键． 基础夯实 1．（24-25七年级下·福建泉州·期末）用代数式表示“比a的2倍小3”，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了列代数式，先用表示出a的2倍，再减去3即是答案． 【规范解答】解：比a的2倍小3表示为：， 故选：A． 2．（24-25六年级下·山东泰安·期末）如图，关于变量x，y的程序计算，若开始输入的x值为2，则最后输出因变量y的值为 A．3 B．8 C．63 D．64 【答案】C 【思路引导】本题考查按照程序流程图与代数式求值．根据程序流程图，按照要求，当开始输入的值为2时，代入，从而再输入，直到大于15可得答案． 【规范解答】解：由题意可得，当时，， 当时，， 当时，， 输出， 故选：C． 3．（24-25八年级下·海南省直辖县级单位·期末）若，则代数式的值是（   ） A． B．5 C．3 D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查代数式求值的知识，将代入代数式求解即可． 【规范解答】解：若， 则代数式， 故选：C． 4．（24-25七年级上·全国·课后作业）用代数式表示的与的平方的差（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】此题主要考查了列代数式，关键是正确理解文字语言中的关键词，正确地列出代数式． 根据题意，用含x，y的代数式表示出的与的平方的差即可； 【规范解答】解：的表示为，的平方表示为， ∴用代数式表示的与的平方的差为； 故选：B． 5．（25-26七年级上·江苏苏州·开学考试）一个乒乓球拍85元，一个乒乓球元，一个乒乓球拍比一个乒乓球贵 元，一个乒乓球拍和一个乒乓球共 元． 【答案】 / / 【思路引导】此题考查了列代数式，解题关键是根据已知条件，把未知的数用字母正确的表示出来，然后根据题意列式计算即可得解． 求一个乒乓球拍比一个乒乓球贵多少元，利用减法计算；求一个乒乓球拍和一个乒乓球一共多少元，利用加法计算． 【规范解答】解：一个乒乓球拍85元，一个乒乓球元，一个乒乓球拍比一个乒乓球贵元，一个乒乓球拍和一个乒乓球共元． 故答案为：①，②． 6．（24-25七年级上·福建福州·期中）若互为相反数，互为倒数，则的值为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查相反数、倒数的定义、代数式求值，先根据相反数和倒数定义得到，，再代值求解即可． 【规范解答】解：∵互为相反数，互为倒数， ∴，， ∴， 故答案为：． 7．（24-25七年级上·吉林·阶段练习）已知、互为相反数，、互为倒数，那么“”的值为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了代数式求值；正确理解相反数和倒数的意义是解题关键． 根据、互为相反数，、互为倒数，得出，进而代入数值进行计算即可求解． 【规范解答】解：∵、互为相反数，、互为倒数， ， ∴， 故答案为：． 8．（24-25七年级上·全国·课后作业）甲、乙两地相距100千米，一辆汽车的行驶速度为千米／时． (1)用代数式表示这辆汽车从甲地到乙地需行驶的时间； (2)若速度增加5千米／时，则从甲地到乙地需多长时间？速度增加后比原来可早到多长时间？ (3)若千米／时，分别计算上面各个代数式的值，并指明其意义． 【答案】(1) (2)从甲地到乙地需行驶时，速度增加后比原来可早到时 (3)若速度为50千米／时，从甲地到乙地需要2时；当速度增加5千米／时后，从甲地到乙地需时；速度增加后，比原来可早到时 【思路引导】此题考查列代数式，掌是握路程、速度、时间三者之间的关系是解决问题的关键． （1）利用路程除以速度求得时间即可； （2）利用路程速度时间求得速度变化前后所用时间，求得时间差即可； （3）把数值分别代入（1）（2）中的代数式求得答案即可． 【规范解答】（1）解：根据路程速度时间得： 时间路程速度 所以，这辆汽车从甲地到乙地需行驶时． （2）解：如果速度增加5千米／时，则现在速度为千米／时， 所以此时从甲地到乙地需行驶时，速度增加后比原来可早到时． （3）解：若千米／时，（时）， （时），（时）． 其意义分别是：若速度为50千米／时，从甲地到乙地需要2时；当速度增加5千米／时后，从甲地到乙地需时；速度增加后，比原来可早到时． 9．（24-25七年级上·全国·课后作业）当，，时，求下列各代数式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)25 (2)4 【思路引导】本题考查了求代数式的值，熟练掌握有理数的运算法则是解答本题的关键． （1）把所给字母代入代数式，然后按照有理数的运算顺序计算即可． （2）把所给字母代入代数式，然后按照有理数的运算顺序计算即可． 【规范解答】（1）解：当，，时， ． （2）解：当，，时， ． 10．（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）如图，一个手工串珠作品由5颗红色珠子与5颗黑色珠子串成，红色珠子每颗a元，黑色珠子每颗b元，购买这些珠子共花费________元． （2）甲、乙两车间生产同一种化工产品，甲车间每天生产，乙车间每天生产．两车间各生产5天，一共生产________t化工产品． 观察你所列的代数式，再举出一个用它表示数量或数量关系的例子． 【答案】（1）；（2）；举例见解析 【思路引导】本题考查了列代数式，正确理解题意是解题的关键．根据题意即可逐步列出相关代数式，根据代数式赋予实际情境举例即可． 【规范解答】解：（1）购买这些珠子共花费元； （2）两车间各生产5天，一共生产化工产品； 举例：甲、乙两车从A、B两地同时出发，相向而行，经过5小时相遇．如果甲车的速度为每小时a千米，乙车的速度为每小时b千米．则A、B两地的距离为千米． 培优拔高 11．（24-25七年级上·安徽宿州·阶段练习）已知与互为相反数，与互为倒数，是数轴上到原点距离为2的数，是最小的正整数，则的值为（   ）． A． B．2 C． D．2或 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了代数式求值，相反数、倒数的定义，有理数的分类，解题的关键是熟练掌握相关定义．根据相反数、倒数的定义，有理数的分类得出，，，，然后再代入求值即可． 【规范解答】解：根据题意可知：，，，， 当时，， 当时， 综上可得的值为或， 故选：D． 12．（24-25七年级上·河北唐山·阶段练习）若，，且，则的值为（    ） A．1 B．5 C．1或5 D． 【答案】D 【思路引导】此题考查了代数式求值，绝对值的性质和有理数乘法法则的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识．先运用绝对值的性质和有理数乘法法则确定a，b的值，再代入求解． 【规范解答】解：∵，， ∴，， ∵， ∴，或，， 当，时，； 当，时，， 故选：D． 13．（24-25七年级上·山东聊城·期末）在如图所示的运算程序中，若第1次输入x的值为2，则第2024次输出的结果为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【思路引导】本题考查程序图与代数式求值，数字规律，将的值代入按照指定的运算进行多次计算后，由每次运算的结果所呈现的规律：从第2次开始，结果按，，的顺序循环出现，再结合第2024次进行解答即可． 【规范解答】解：根据所提供运算程序可得， 第1次输入，则第1次输出的结果为， 第2次输入，则第2次输出的结果为， 第3次输入，则第3次输出的结果为， 第4次输入，则第4次输出的结果为， 第5次输入，则第5次输出的结果为， 第6次输入，则第6次输出的结果为， 第7次输入，则第7次输出的结果为， 第8次输入，则第8次输出的结果为， ， ∴从第2次开始，结果按，，的顺序循环出现， ， 第2024次输出的结果为． 故选：B． 14．（24-25七年级上·贵州黔东南·阶段练习）当时，代数式的值为2024，则当时，代数式的值为（   ） A．2022 B． C．2023 D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了代数式求值，熟练掌握整体代入的思想是解题的关键．本题可先将代入代数式求出的值，再将代入代数式，利用的值求出代数式的值． 【规范解答】解：当时，的值为， ， 当时，将其代入可得： 故选：D． 15．（24-25六年级下·山东东营·期末）我国春秋时期的《大戴礼》，记载了世界上最早的“幻方”（如图），该“幻方”中，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．现有如图所示的“幻方”，则的值是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了用字母表示数，有理数乘方，中间正方形的两个数分别为，，根据该“幻方”中，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，得出，，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】解：如图，中间正方形的两个数分别为，， ∵该“幻方”中，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等， ∴，，，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 16．（24-25七年级上·全国·课后作业）（1）周三下午，校图书馆内起初有位同学，后来又有一些同学前来阅读，第一批来了位同学，第二批来了位同学，则图书馆内共有 位同学． （2）图书馆内原有位同学，后来有些同学因上课要离开，第一批走了位同学，第二批又走了位同学，试用两种方式写出图书馆内还剩下 位同学． （3）在问题（1）中，由于 和 均表示同一个量，于是，我们可以得到等式 ；在问题（2）中，由于 和 均表示同一个量，于是，我们可以得到等式 ． 【答案】（1）或（）；（2）或（）；（3），，，，， 【思路引导】本题考查列代数式； （1）根据题意用两种方法列代数式即可； （2）根据题意用两种方法列代数式即可； （3）根据前面两种方法列代数式相等求解即可；． 【规范解答】解：（1）方法一：起初同学数量加上第一批数量再加上第二批数量为图书馆内学生数，则图书馆内共有位同学； 方法二：起初与后面两批次的和为图书馆内学生数，则图书馆内共有位同学； 故答案为：或（）； （2）方法一：起初同学数量减去第一批数量再减去第二批数量为图书馆内学生数，则图书馆内共有位同学； 方法二：起初减去后面两批次的和为图书馆内学生数，则图书馆内共有位同学； 故答案为：或（）； （3）在问题（1）中，由于和均表示同一个量，于是，我们可以得到等式； 在问题（2）中，由于和均表示同一个量，于是，我们可以得到等式． 故答案为：，，，，，． 17．（24-25七年级上·四川成都·开学考试）（图形找规律）用棱长为2厘米的小正方体拼成长方体，按照这样的拼法，第n个长方体的表面积是( )平方厘米．（用含有字母的式子表示） 【答案】 【思路引导】棱长为2厘米的正方体的一个面的面积是4平方厘米, 且相邻的2个正方体拼组在一起减少了2个小正方体的面： 第一个长方体的表面积是: 10个小正方形的面, 可以写成； 第二个长方体的表面积是: 14个小正方形的面, 可以写成； 第三个长方体的表面积是: 18个小正方形的面, 可以写成； … 则第n个长方体的表面积是: 个小正方形的面积．由此即可得解． 本题主要考查几何体的表面积，注意根据图形找出规律． 【规范解答】解：第 n 个长方体表面有个正方形面，每个正方形面积为． ∴第n个长方体的表面积为：． 故答案为： 18．（24-25七年级上·吉林·阶段练习）定义一种新运算“”：．如：． (1)_________； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了含乘方的有理数的混合运算、代数式求值，掌握新定义运算法则是解题关键． （1）根据规定的新运算法则直接计算即可； （2）先求出的值，再进一步计算即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：， 则， ∴． 19．（24-25七年级上·天津·期末）如图是某校田径运动场的平面图，最中间是长方形，长为a米，两端为两个半圆，半径为r米，每条跑道的宽为1米，共四个跑道．若每个跑道按内侧边线的总长度计算路程，请解答下列问题： (1)第2跑道的总长度为__________米．（用含a和r的字母表示，保留） (2)第3跑道的总长度为__________米．（用含a和r的字母表示，保留） (3)若，且要求第1跑道的总长度为400米．（以下问题结果精确到个位，取3） ①求r的值； ②操场中心（阴影部分）铺设草坪，跑道及两端的半圆铺设塑胶，若铺设草坪需要50元/平方米，铺设塑胶需要100元/平方米，则学校共需付多少铺设费用？ 【答案】(1) (2) (3)①；②学校共需付这两项铺设费用为964800元． 【思路引导】本题考查了列代数式，求代数式的值，掌握圆的周长与面积公式是解此题的关键． （1）利用长方形与圆的周长公式解答即可； （2）利用长方形与圆的周长公式解答即可； （3）①利用长方形与圆的面积公式列出方程解答即可；②先求出面积，再乘以单价即可得解． 【规范解答】（1）解：第2跑道的直道总长为米，弯道总长为米，跑道总长度为米； 故答案为：； （2）解：第3跑道的总长度为米； 故答案为：； （3）解：①由题意可得：， ∵， ∴； ②由题意可得： 铺设草坪费用为：（元）， 铺设塑胶费用为：（元）， ∴（元）， ∴学校共需付这两项铺设费用为964800元． 20．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）一个各数位数字均不为零的四位自然数，它的后两位数为，前两位数为，若为整数，则这个数为“仁智数”． 例如：，，，，是“仁智数”． (1)判断1254，1339是否是“仁智数”，如果是，请求出的值； (2)四位数是“仁智数”，它的千位数字为，百位数字为，记，．当，均是整数时，求出所有满足条件的； (3)若四位数、均为“仁智数”，且满足，则称为“仁智组合”，请问满足条件的“仁智组合”有_____个． 【答案】(1)1254不是“仁智数”， 1339是“仁智数”，且 (2)4545，1144，1199，1872 (3)1938 【思路引导】（1）根据新定义，仿照样例进行解答便可； （2）先由为整数得或9或16，进而得11，18，27，36，45，54，63，72，81，79，88，97．再由M是“仁智数”，得 为整数或为整数，进而分类求解即可； （3）先根据，得出，求出，或，或，，然后分三种情况求出所有P、Q的个数，得出答案即可． 【规范解答】（1）解：1254中， ∵，，， ∴1254不是“仁智数”． 1339中， ∵，，， ∴1339是“仁智数”，且． （2）解：∵， ，且a，b为整数， ∴． ∵为整数， ∴或7或14， ∴或9或16． ∴11，18，27，36，45，54，63，72，81，79，88，97． ∵M是“仁智数”， ∴为整数，设（k为整数），则， ∴， ∵为整数， ∴为整数或为整数． ①当为整数时， ∵11，18，27，36，45，54，63，72，81，79，88，97， ∴． ∵， ∴， ∴或， ∴或（舍去）， ∴． ②当为整数时， ∵根据题意 且k为整数， ∴， ∴或， ∴或， ∴或， ∴或， 又∵11，18，27，36，45，54，63，72，81，79，88，97， ∴或， ∴或或． ∴满足条件的M为4545，1144，1199，1872． （3）解：∵，， ∴， ∵四位数、均为“仁智数”， ∴，， ∵，为整数， ∴，2，3，4，5，6，7，8，9，，2，3，4，5，6，7，8，9， ∵， ∴， ∴，或，或，， 当，时， 符合条件的四位数P满足，即， ∵，， ∴，， ∴， ∵四位数P中每个数字都不为0， ∴此时满足条件的数P有个， 符合条件的四位数Q满足，即， ∵，， 又∵四位数Q中每个数字都不为0， ∴此时满足条件的数Q有个， ∴此时满足条件的“仁智组合”有个； 当，时， 符合条件的四位数P满足，即， ∵，， ∴，， ∴， ∴此时满足条件的数P有个， 符合条件的四位数Q满足，即， ∵，， ∴，， ∴， 又∵四位数Q中每个数字都不为0， ∴此时满足条件的数Q有个， ∴此时满足条件的“仁智组合”有个； 当，时， 符合条件的四位数P满足，即， ∵，， ∴，， ∴， ∴此时满足条件的数P有个， 符合条件的四位数Q满足，即， ∵，， ∴， ∵四位数Q中每个数字都不为0， ∴此时满足条件的数Q有个， ∴此时满足条件的“仁智组合”有个； ∴满足条件的“仁智组合”有个． 【考点剖析】此题为新定义题型，根据题干中所给的新定义及运算规则来完成相关计算．该类题型主要考查学生对新知识的接受和应用能力．善于把新知识转化为常规知识是解题的关键． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$