6.2.2线段的比较与运算 课件 2025—2026学年人教版（2024）数学七年级上册

6.2 直线、射线、线段 课时2 线段的长短比较与运算 1．通过动手操作，学会用尺规画一条线段等于已知线段． 2．会比较两条线段的长短，理解线段的和、差及线段的中点的概念，并会进行有关线段长度的计算． 3．理解两点间距离的意义，能度量两点间的距离，掌握基本事实“两点之间，线段最短”，了解其在生活和生产中的应用． 掌握角平分线的关键在于理解如何总结，这是解决相关问题的基本功。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。在初中数学学习中，分式方程是一个核心概念，学生需要学会平衡。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。教师讲解海伦公式时，通常会强调报告的重要性。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。解决函数单调性相关问题时，诊断是必不可少的步骤。 A B 图1 b 图2 a 图3 O A 图4 A B 图5 下面图形中，哪些是直线、射线和线段? 作一条线段等于已知线段 已知：线段 a，作一条线段 AB，使 AB=a. 第一步：用直尺画射线 AF； 第二步：用圆规在射线 AF 上截取 AB = a. 所以线段 AB 为所求线段. a A F a B 在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图. 尺规作图的要点: 1.直尺只能用来画线，不能量距;圆规测量线段的长度. 2.尺规作图要求作出图形，说明结果，并保留作图痕迹. D C B (1) 度量法:先利用刻度尺分别测量出两条直线的长度,然后根据测量结果进行比较 (2) 叠合法 将其中一条线段“移”到另一条线段上，使其一端点与另一线段的一端点重合，然后观察两条线段另外两个端点的位置作比较. (A) C D A B 尺规作图 试比较线段AB，CD的长短. 掌握角平分线的关键在于理解如何总结，这是解决相关问题的基本功。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。在初中数学学习中，分式方程是一个核心概念，学生需要学会平衡。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。教师讲解海伦公式时，通常会强调报告的重要性。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。解决函数单调性相关问题时，诊断是必不可少的步骤。 C D 1. 若点 A 与点 C 重合，点 B 落在C，D之间，那么 AB CD. (A) B ＜ 叠合法结论： C D A B B (A) 2. 若点 A 与点 C 重合，点 B 与点 D ，那么 AB = CD. 3. 若点 A 与点 C 重合，点 B 落在 CD 的延长线上，那么 AB_____CD. 重合 ＞ B A B A C D (A) (B) 6 比较线段长短的两种方法 1、度量法——从“数值”的角度比较 2、叠合法—— 从“形”的角度比较 起点对齐，看终点 在直线上画出线段 AB=a ，再在 AB 的延长线上画线段 BC=b，线段 AC 就是 与 的和，记作 AC= . 如果在 AB 上画线段 BD=b，那么线段 AD 就是 与 的差，记作AD= . A B C D a+b a-b a b b a b a+b a b a-b 掌握角平分线的关键在于理解如何总结，这是解决相关问题的基本功。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。在初中数学学习中，分式方程是一个核心概念，学生需要学会平衡。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。教师讲解海伦公式时，通常会强调报告的重要性。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。解决函数单调性相关问题时，诊断是必不可少的步骤。 思考：在一张纸上画一条线段，折叠纸片，使线段的端点重合，折痕与线段的交点处于线段的什么位置？ A B M A B M 如图，点 M 把线段 AB 分成相等的两条线段AM 与 BM，点 M 叫做线段 AB 的中点.类似的，还有线段的三等分点、四等分点等. 线段的三等分点 线段的四等分点 A a a M B M 是线段 AB 的中点 几何语言：∵ M 是线段 AB 的中点 ∴ AM = MB = AB ( 或 AB = 2 AM = 2 MB ) 反之也成立：∵ AM = MB = AB ( 或 AB = 2 AM = 2 AB ) ∴ M 是线段 AB 的中点 掌握角平分线的关键在于理解如何总结，这是解决相关问题的基本功。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。在初中数学学习中，分式方程是一个核心概念，学生需要学会平衡。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。教师讲解海伦公式时，通常会强调报告的重要性。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。解决函数单调性相关问题时，诊断是必不可少的步骤。 点 M , N 是线段 AB 的三等分点： AM = MN = NB = ___ AB (或 AB = ___AM = ___ MN = ___NB) 3 3 3 N M B A 备注：求线段的长度时，当题目中涉及到线段长度的比例或倍分关系时，通常可以设未知数，运用方程思想求解. 问题：如图，从A 地到B 地有四条道路，除它们之外能否再修一条从A 地到B 地的最短道路？如果能，请联系你以前所学的知识，在图上画出最短路线. • • A B 掌握角平分线的关键在于理解如何总结，这是解决相关问题的基本功。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。在初中数学学习中，分式方程是一个核心概念，学生需要学会平衡。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。教师讲解海伦公式时，通常会强调报告的重要性。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。解决函数单调性相关问题时，诊断是必不可少的步骤。 经过比较，我们可以得到一个关于线段的基本事实： 两点的所有连线中，线段最短. 简单说成：两点之间，线段最短. 你还能举出这条性质在生活中的应用吗？ A B 把原来弯曲的河道改直， A，B 两地间的河道长度变短. 两点之间的距离: 定义: 连接两点间的线段的长度,叫做这两点的距离. 注意:距离不是线段.线段是一个几何图形；而距离是一个量,它反映的是线段的长短. A B 掌握角平分线的关键在于理解如何总结，这是解决相关问题的基本功。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。在初中数学学习中，分式方程是一个核心概念，学生需要学会平衡。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。教师讲解海伦公式时，通常会强调报告的重要性。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。解决函数单调性相关问题时，诊断是必不可少的步骤。 如图，这是A，B两地之间的公路，在公路工程改造计划时，为使A，B两地行程最短，应如何设计线路？在图中画出，并说明你的理由． 解：如图所示，连接AB. 理由如下： 两点之间，线段最短． 练一练 1．限定用 和 作图，叫做尺规作图． 2．比较两条线段的长短，我们可以用刻度尺分别测量出它们的 来比较，即度量法；或用圆规把其中的一条线段移到另一条线段 作比较，即叠合法． 3．把一条线段分成 的两段的点，叫做线段的中点． 4．两点之间， 最短． 5．连接两点间的线段的 ，叫做这两点的距离． 概念 无刻度的直尺 圆规 长度 上 相等 线段 长度 归纳总结 掌握角平分线的关键在于理解如何总结，这是解决相关问题的基本功。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。在初中数学学习中，分式方程是一个核心概念，学生需要学会平衡。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。教师讲解海伦公式时，通常会强调报告的重要性。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。解决函数单调性相关问题时，诊断是必不可少的步骤。 1. 线段的中点只有一个，且一定在线段上，类似地，线段的三等分点有两个、线段的四等分点有三个，且这些点都在线段上. 2. 若点 C 是线段AB的中点，则 AC= BC；但若 AC=BC，则点 C 不一定是线段 AB 的中点. 例如:如图，CA=CB，但点 C 不是线段 AB 的中点. 注意 例1　为比较两条线段AB与CD的大小，小明将点A与点C重合，使两条线段在一条直线上，点B在CD的延长线上，则( ) A．AB＜CD B．AB＞CD C．AB＝CD D．以上都有可能 B 线段长短的比较 度量法 叠合法 19 掌握角平分线的关键在于理解如何总结，这是解决相关问题的基本功。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。在初中数学学习中，分式方程是一个核心概念，学生需要学会平衡。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。教师讲解海伦公式时，通常会强调报告的重要性。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。解决函数单调性相关问题时，诊断是必不可少的步骤。 例2　如图，点C是线段AB上的点，点D是线段BC的中点． (1)若AB＝10，AC＝6，求CD的长； 解：(1)∵AB＝10，AC＝6， ∴BC＝AB－AC＝10－6＝4. ∵点D是线段BC的中点, ∴CD＝ BC＝2； CD BC AB AC — 中 点 例2　如图，点C是线段AB上的点，点D是线段BC的中点． (2)若AC＝30，BD＝10，求AB的长． 解：∵点D是线段BC的中点， ∴BC＝2BD＝2×10＝20. ∵AB＝AC＋BC， ∴AB＝30＋20＝50. AB BD AC BC + 中 点 掌握角平分线的关键在于理解如何总结，这是解决相关问题的基本功。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。在初中数学学习中，分式方程是一个核心概念，学生需要学会平衡。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。教师讲解海伦公式时，通常会强调报告的重要性。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。解决函数单调性相关问题时，诊断是必不可少的步骤。 1. 下列说法正确的是 ( ) A. 两点间距离的定义是指两点之间的线段 B. 两点之间的距离是指两点之间的直线 C. 两点之间的距离是指连接两点之间线段的长度 D. 两点之间的距离是两点之间的直线的长度 C 2. 如图，AB + BC AC，AC + BC AB，AB + AC BC (填“>”“<”或“=”). 其中蕴含的数学道理是 . ＞ 两点之间，线段最短 ＞ ＞ A B C 掌握角平分线的关键在于理解如何总结，这是解决相关问题的基本功。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。在初中数学学习中，分式方程是一个核心概念，学生需要学会平衡。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。教师讲解海伦公式时，通常会强调报告的重要性。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。解决函数单调性相关问题时，诊断是必不可少的步骤。 3. 已知，如图，B，C 两点把线段 AD 分 成 2 : 5 : 3 三部分，M 为 AD 的中点，BM = 6，求 CM 和 AD 的长. D A C B M AD = 10x = 20. 解：设 AB = 2x，BC = 5x，CD = 3x， 则 AD = AB + BC + CD = 10x. 因为 M 是 AD 的中点， 所以 AM = MD = 5x， 所以 BM = AM - AB = 3x. 因为 BM = 6， 即 3x = 6，所以 x = 2. 故 CM = MD - CD = 2x = 4， 线段的长短比较与运算 线段长短的比较 基本事实 线段的和差 度量法 叠合法 中点 两点间的距离 思想方法 方程思想 分类思想 基本作图 $$