第十三章三角形 单元练习 2025-2026学年人教版八年级数学上册

第十三章 三角形 单元练习 一、单选题 1．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．如图，是的外角，平分，平分，且，相交于点．若，则等于（   ） A． B． C． D． 3．如图，中，，，，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是（   ） A．2.4 B．5 C．3 D．4 4．如图，D，E分别为，的中点，若的面积为24，则的面积为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 5．小明观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．安装空调时，一般会采用如图所示的方法固定，这样做的数学依据（   ） A．两点之间线段最短 B．三角形的稳定性 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 7．如图，已知，垂足为D．下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 8．如图，直线，，．若，则等于（   ） A． B． C． D． 9．如图，在中，是边上的中线， 是的边上的中线，若的面积是20，则的面积是（   ） A．10 B．6 C．5 D．4 10．如图，的边在直线上，与的平分线交于点D，的平分线交于点E．若，，，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．在中，，，则 ． 12．如图，分别是的高和角平分线，若，，则 ． 13．在中，，E是上的一点，且与相交于点F，．若的面积为1，则的面积为 ． 14．如图，为的中线，，，的周长为，则 的周长为 ． 15．如图，在中，，和的平分线交于点，得，和的平分线交于点，得，…，和的平分线交于点，得，和的平分线交于点，得，则的大小为 ． 三、解答题 16．如图，在三角形中，点是的中点，作于点于点． (1)三角形和三角形的面积有怎样的关系？为什么？ (2)和有怎样的位置和数量关系？为什么？ 17．已知：如图， (1)是边上的高，请用三角板画出； (2)试利用尺规作图，作出的角平分线，与相交于点F； (3)在（1）和（2）的条件下，与交于点若，，求的度数． 18．如图，在三角形中，，，将此三角形向右平移得到三角形，此时边与边相交于点，连接．    (1)若，试求和的度数． (2)若落在边的中点处，且，求四边形的面积． (3)已知点在三角形的内部，三角形平移到三角形的位置后，点的对应点为点，连接．若三角形的周长为，四边形的周长为．求的长度． 19．将一副三角板中的两块直角三角板如图1放置，、在同一直线上，，，，，． (1)若三角板如图1摆放时，则______°，______°，______°； (2)如图2所示，作和的角平分线交于点H，求的度数； (3)如图3所示，现固定，将绕点A以每秒的速度顺时针旋转，在与射线首次重合的过程中，当旋转______秒时线段与的一条边平行．（直接写出答案） 20．在中，，点在边上，将沿翻折得到，交直线于点． (1)如图1，当点在边上时， ①若，，，直接写出与的周长的和； ②若，试说明：； (2)如图2，若，将绕点逆时针旋转角度，记旋转中的为，在旋转过程中，直线分别与直线，直线相交于点，，是否存在这样的点，，使得?若存在，请求出的度数（用含的代数式表示）；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第十三章 三角形 单元练习2025-2026学年人教版八年级数学上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B A B C B C D C A 1．D 【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据三角形三边关系定理，任意两边之和大于第三边，对各选项逐一验证，判断是否满足条件． 【详解】解：A、，，， 最大边为，另两边之和为， ， ∴ 不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形； B、，，， 最大边为，另两边之和为， ， ∴ 三线段共线，无法构成三角形； C、，，， 最大边为，另两边之和为， ， 不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形； D、，，， 最大边为，另两边之和为， ，且，均成立， 满足三边关系，能组成三角形， 故选：D ． 2．B 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线的定义．根据角平分线的定义可得，再由三角形外角的性质，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵平分，平分， ∴． ∵是的外角，是的外角， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 3．A 【分析】本题主要考查了垂线段最短及三角形的面积公式，解题的关键是学会利用面积法求高．根据当时，的值最小，利用面积法求解即可． 【详解】解：，，，， 当时，的值最小， 此时：的面积， ， ． 故选：A． 4．B 【分析】本题考查的知识点是三角形中线的性质，解题关键是熟练掌握三角形中线平分三角形的面积．根据三角形中线平分三角形的面积即可得． 【详解】解： ，分别为，的中点， 即是的中线，是的中线， ， ． 故选：B 5．C 【分析】本题考查了平行线的性质以及三角形的外角性质，牢记三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 延长，交于点M，由，利用“两直线平行，同位角相等”，可求出的度数，再利用三角形的外角性质可求出的度数，即可解答． 【详解】解：延长，交于点M，如图 ∴， ∴， ∴． 故选C． 6．B 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性．根据三角形的稳定性解答即可． 【详解】解：根据题意得：这样做的数学依据是三角形的稳定性． 故选：B 7．C 【分析】本题考查了直角三角形的性质，主要利用了直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键． 根据直角三角形两锐角互余写出各角的关系，然后选择答案即可． 【详解】解：∵， ， ， ∴A、B、D选项结论不一定正确，C选项正确． 故选：C． 8．D 【分析】本题考查了直角三角形的性质、平行线的性质，解题的关键是利用平行线的同位角关系及三角形内角关系推导． 先利用直角三角形锐角之和为求得，再利用三角形外角的性质求得，最后再利用平行线的同位角相等即可求得的度数． 【详解】解：延长与直线相交于点F，如图． ∵， ∴， ∴， 因，则， ∴， 故选：D． 9．C 【分析】本题考查了三角形面积的求法，三角形中，连接一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形的中线，掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，是解答本题的关键． 根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，求出面积比，即可解答． 【详解】解：∵是边上的中线 ∴， ∵是中边上的中线， ∴， ∴ ∵， ∴， 故选：C． 10．A 【分析】本题考查了三角形的外角的性质，三角形内角和知识点，熟练运用三角形外角的性质是解题的关键；根据与的平分线交于点，的平分线交于点，设，，，可以得到，再结合，根据三角形内角和整理可以得到：． 【详解】解： 与的平分线交于点， ，， ∵的平分线交于点， ， 是的外角， ， ， 是的外角， ， ， ， ， 在中，， ， ， 故选：A． 11． 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，熟练掌握三角形的内角和为是解题的关键．根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：，， ． 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了三角形高线、角平分线，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． 根据高线的定义以及角平分线的定义分别得出，，进而得出的度数，进而得出答案． 【详解】解：∵是的高， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵是的角平分线 ∴， ∴． 故答案为：． 13． 【分析】本题考查三角形面积计算， 三角形中线的性质，解题关键是同高三角形面积比等于底的比，三角形中线分得的两个三角形面积相等． 根据高相等的三角形，面积比等于底的比得到，再根据三角形中线分得的三角形面积相等得到，，从而得到，两式相减，得到，由，、上的高相等，所以，从而即可求解． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∵D是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了三角形的中线，熟练掌握中线的定义是解题的关键；根据中线的定义得到，然后根据的周长可得，然后计算的周长即可． 【详解】解：∵为的中线， ∴， 又∵的周长为，， ∴， ∴的周长为， 故答案为：． 15． 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形外角的性质，图形类的规律探索，结合图形，灵活运用所学知识求解，是解题的关键． 根据角平分线的性质和三角形外角性质得出和的关系，进而求出与的关系，找出规律，得到与的关系即可求解． 【详解】平分，平分， ， 又， 由， 得 ， ， 同理可求，，， 以此类推，可得，， 当时，，又， ． 故答案为：． 16．(1)三角形和三角形的面积相等，见解析； (2)且，见解析． 【分析】本题考查了三角形中线性质，平行线的判定，三角形面积，掌握知识点的应用是解题的关键． （）过作，则，然后根据三角形中线性质即可求解； （）由，，则，然后通过等面积法即可求解． 【详解】（1）解：三角形和三角形的面积相等，理由如下： 如图，过作，则， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴三角形和三角形的面积相等； （2）解：且，理由如下： ∵，， ∴， 由（）得， ∴． 17．(1)图见解析 (2)图见解析 (3) 【分析】本题考查了三角形的高的画法、角平分线的尺规作图以及三角形内角和定理与外角性质的综合运用，解题的关键是熟练掌握基本作图方法，并能结合角度关系进行计算． （1）用三角板的直角边与重合，另一直角边过点C画垂线，垂足为D，即为所求高； （2）以A为圆心，适当长为半径画弧交于两点；分别以这两点为圆心，大于两点距离一半为半径画弧，两弧交于一点；过A与该交点画射线交于F，即为角平分线； （3）设角度未知数，利用三角形内角和定理求出；由角平分线定义得；结合高的性质知；根据外角性质求出． 【详解】（1）解：如图所示，为所画的高； （2）如上图，为所求作的角平分线； （3）设，则 根据题意，得 ，， ， 平分， ， 是边AB上的高， ， 18．(1)， (2)18 (3)5 【分析】本题考查了平移的性质、三角形内角和定理、三角形的面积公式等知识，熟练掌握平移的性质是解题的关键． （1）根据平移的性质和三角形内角和定理即可求出答案； （2）根据线段中点的定义和三角形面积公式即可求出答案； （3）根据平移的性质、三角形和四边形的周长即可求出答案． 【详解】（1）解：由平移的性质可知，，， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵点落在边的中点，且，， ∴，， ∴； （3）解：由平移可知，， ∵三角形周长为，四边形的周长为， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 19．(1)75；15；105 (2)； (3)或 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质： （1）利用平行线的性质结合三角形的内角和定理以及邻补角的性质，求解即可； （2）利用角平分线的定义结合三角形的内角和定理，可得结论； （3）分，两种情况画出对应的图形，利用平行线的性质求出的度数即可得到答案． 【详解】（1）解：如图， ∵，， ∴， ∴， ， ， 故答案为：75；15；105； （2）解：∵，，和的角平分线交于点H， ∴，， ∴； （3）解：设经过秒时线段与的一条边平行， ∴， 如图，当时， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图，当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，当旋转秒或秒时线段与的一条边平行． 故答案为：或． 20．(1)①12；②见解析 (2)或 【分析】本题考查了折叠的性质，旋转的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的性质，正确的识别图形、灵活运用所学知识是解题的关键． （1）①根据折叠的性质解答即可； ②由折叠的性质，得，．设，求出，，由可得结论； （2）分点在边上和点在边的延长线上两种情况，结合折叠的性质和三角形外角的性质可得结论． 【详解】（1）解：①由折叠得，， ∵，，， ∴与的周长和 ． ②由折叠的性质，得，． 设， ， ． ， ． ． ， ． ． （2）解：分两种情况讨论： （i）当点在边上时，如图1， ， ． 由折叠的性质，得， 由旋转的性质，得． ， ． 是的外角， ， ． ， ． （ii）当点在边的延长线上时，如图2， 同理，可求得， 综上所述，存在这样的点，，使得， 的度数为或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$