阶段训练 3.1　圆的对称性--3.3　圆周角 2025-2026学年 青岛版九年级数学上册

3.1　圆的对称性--3.3　圆周角 一、选择题(每小题4分,共32分) 1.(2023宜宾)如图,已知点A,B,C在☉O上,C为的中点.若∠BAC =35°,则∠AOB等于(A) A.140° B.120° C.110° D.70° 2.如图,AB为☉O直径,CD为☉O的弦,∠ACD=25°,则∠BAD的度数为(　C　) A.25° B.55° C.65° D.75° 3.(2023聊城期末)点P是☉O内一点,过点P的最长弦的长为10,最短弦的长为6,则OP的长为(D) A.8 B.2 C.5 D.4 4.如图,在扇形OAB中,∠AOB=110°,将扇形OAB沿过点B的直线折叠,点O恰好落在上的点D处,折痕交OA于点C,则的度数为(　B　) A.40° B.50° C.60° D.70° 5.如图,AB是☉O的直径,弦CD交AB于点P,AP=2,BP=6,∠APC=30°,则CD的长为(　C　) A. B.2 C.2 D.8 6.(2023吉林)如图,AB,AC是☉O的弦,OB,OC是☉O的半径,点P为OB上任意一点(点P不与点B重合),连接CP.若∠BAC=70°,则∠BPC的度数可能是(D) A.70° B.105° C.125° D.155° 7.如图,在5×5的正方形网格中,一条圆弧经过A,B,C三点,那么所对的圆心角的大小是(D) A.60° B.75° C.80° D.90° 8.(2022泸州)如图,AB是☉O的直径,OD垂直于弦AC于点D,DO的延长线交☉O于点E.若AC=4,DE=4,则BC的长是(　C　) A.1 B. C.2 D.4 二、填空题(每小题4分,共24分) 9.(2023临清月考)如图,☉O的半径长为5,弦AB=8,C为AB中点,则OC=　3　.  10.如图,AB是☉O的直径,C,D为半圆的三等分点,CE⊥AB于点E,则∠ACE的度数为　30°　.  11.(2022雅安)如图,∠DCE是☉O内接四边形ABCD的一个外角.若 ∠DCE=72°,则∠BOD的度数为　144°　.  12.如图,AC是☉O的弦,AC=5,点B是☉O上的一个动点,且∠ABC=45°.若点M,N分别是AC,BC的中点,则MN长度的最大值是　　.  13.如图,AB是半圆O的直径,点C,D在半圆上.若∠ADC=120°,则劣弧BC的度数为　60°　.  14.如图,某博览会上有一圆形展示区,在其圆形边缘的点P处安装了一台监视器,它的监控角度是55°,为了监控整个展区,最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器　4　台.  三、解答题(共44分) 15.(10分)(2023潍坊模拟)如图,已知圆O的弦AB与直径CD交于点E,且CD平分AB.如果DE=3EC,求弦AB所对的圆心角的度数. 解:如图,连接OB,OA. ∵DE=3EC, ∴OC+OE=3EC, 即OE+CE+OE=3CE, ∴OE=CE,∴OE=OC=OA. ∵CD为☉O的直径,E为AB中点, ∴CD⊥AB. 在Rt△OAE中,∵sin A==, ∴∠A=30°. ∵OA=OB,∴∠B=∠A=30°, ∴∠AOB=180°-∠A-∠B=120°, 即弦AB所对的圆心角的度数为120°. 16.(16分)如图,在△ABC中,AC=BC,D是AB上一点,☉O经过点A,C,D,交BC于点E,过点D作DF∥BC,交☉O于点F,连接EF,AF,CF.求证: (1)四边形DBCF是平行四边形; (2)AF=EF. 证明:(1)∵AC=BC,∴∠BAC=∠B. ∵DF∥BC, ∴∠ADF=∠B,∴∠BAC=∠ADF. ∵∠BAC=∠CFD,∴∠ADF=∠CFD, ∴BD∥CF. 又∵DF∥BC,∴四边形DBCF是平行四边形. (2)如图,连接AE. ∵∠ADF=∠B,∠ADF=∠AEF,∴∠AEF=∠B. ∵四边形AECF是☉O的内接四边形,∴∠ECF+∠EAF=180°. ∵BD∥CF,∴∠ECF+∠B=180°, ∴∠EAF=∠B, ∴∠AEF=∠EAF,∴AF=EF. 17.(18分)如图,点A在y轴正半轴上,点B是第一象限内的一点,以AB为直径的圆交x轴于D,C两点. (1)OA与OD满足什么条件时,AC=BC?写出满足的条件,并证明AC=BC. (2)在(1)的条件下,若OA=1,BD=3,求CD的长. 解:(1)当OA=OD时,AC=BC. 证明如下:连接AD(图略), ∵∠AOD=90°,∴△AOD是等腰直角三角形, ∴∠ODA=45°,∴∠ABC=∠ODA=45°. ∵AB是圆的直径,∴∠ACB=90°, ∴∠BAC=45°,∴∠BAC=∠ABC, ∴AC=BC. (2)∵AB是圆的直径,∴∠ADB=90°, ∴∠AOC=∠ADB=90°. ∵∠ACO=∠ABD,∴△AOC∽△ADB, ∴OC∶DB=OA∶AD. ∵AD=OA=,∴OC∶3=1∶, ∴OC=3,∴CD=OC-OD=3-1=2. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.1　圆的对称性--3.3　圆周角 一、选择题(每小题4分,共32分) 1.(2023宜宾)如图,已知点A,B,C在☉O上,C为的中点.若∠BAC =35°,则∠AOB等于( ) A.140° B.120° C.110° D.70° 2.如图,AB为☉O直径,CD为☉O的弦,∠ACD=25°,则∠BAD的度数为( ) A.25° B.55° C.65° D.75° 3.(2023聊城期末)点P是☉O内一点,过点P的最长弦的长为10,最短弦的长为6,则OP的长为( ) A.8 B.2 C.5 D.4 4.如图,在扇形OAB中,∠AOB=110°,将扇形OAB沿过点B的直线折叠,点O恰好落在上的点D处,折痕交OA于点C,则的度数为( ) A.40° B.50° C.60° D.70° 5.如图,AB是☉O的直径,弦CD交AB于点P,AP=2,BP=6,∠APC=30°,则CD的长为( ) A. B.2 C.2 D.8 6.(2023吉林)如图,AB,AC是☉O的弦,OB,OC是☉O的半径,点P为OB上任意一点(点P不与点B重合),连接CP.若∠BAC=70°,则∠BPC的度数可能是( ) A.70° B.105° C.125° D.155° 7.如图,在5×5的正方形网格中,一条圆弧经过A,B,C三点,那么所对的圆心角的大小是( ) A.60° B.75° C.80° D.90° 8.(2022泸州)如图,AB是☉O的直径,OD垂直于弦AC于点D,DO的延长线交☉O于点E.若AC=4,DE=4,则BC的长是( ) A.1 B. C.2 D.4 二、填空题(每小题4分,共24分) 9.(2023临清月考)如图,☉O的半径长为5,弦AB=8,C为AB中点,则OC= .  10.如图,AB是☉O的直径,C,D为半圆的三等分点,CE⊥AB于点E,则∠ACE的度数为 .  11.(2022雅安)如图,∠DCE是☉O内接四边形ABCD的一个外角.若 ∠DCE=72°,则∠BOD的度数为 .  12.如图,AC是☉O的弦,AC=5,点B是☉O上的一个动点,且∠ABC=45°.若点M,N分别是AC,BC的中点,则MN长度的最大值是 .  13.如图,AB是半圆O的直径,点C,D在半圆上.若∠ADC=120°,则劣弧BC的度数为 .  14.如图,某博览会上有一圆形展示区,在其圆形边缘的点P处安装了一台监视器,它的监控角度是55°,为了监控整个展区,最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器 台.  三、解答题(共44分) 15.(10分)(2023潍坊模拟)如图,已知圆O的弦AB与直径CD交于点E,且CD平分AB.如果DE=3EC,求弦AB所对的圆心角的度数. 16.(16分)如图,在△ABC中,AC=BC,D是AB上一点,☉O经过点A,C,D,交BC于点E,过点D作DF∥BC,交☉O于点F,连接EF,AF,CF.求证: (1)四边形DBCF是平行四边形; (2)AF=EF. 17.(18分)如图,点A在y轴正半轴上,点B是第一象限内的一点,以AB为直径的圆交x轴于D,C两点. (1)OA与OD满足什么条件时,AC=BC?写出满足的条件,并证明AC=BC. (2)在(1)的条件下,若OA=1,BD=3,求CD的长. 学科网（北京）股份有限公司 $$