期中评价卷 2025-2026学年 青岛版九年级数学上册

期中评价卷 一、选择题(每小题3分,共36分) 1.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=5,sin B=,则AC的长是(　B　) A.25 B.12 C.5 D.13 2.已知α为锐角,若sin(α-10°)=,则α等于(　D　) A.30° B.40° C.60° D.70° 3.在正方形网格中,小正方形的边长均为1,∠ABC如图放置,则 sin∠ABC的值为(　B　) A. B. C. D.1 4.(2022青州实验质检)如图,河坝横断面迎水坡AB的坡比为1∶,坝高BC为4 m,则AB的长度为(　B　) A.4 m B.8 m C.8 m D.16 m 5.(2024菏泽质检)如图,某大桥主塔的正面示意图是一个轴对称图形,小明测得桥面宽度AB=a m,∠OAB=70°,则点O到桥面的距离(单位:m)是(D) A.asin 70° B.acos 70° C.atan 70° D.atan 70° 6.已知实数a=tan 30°,b=sin 45°,c=cos 60°,则下列说法正确的是(A) A.b>a>c B.a>b>c C.b>c>a D.a>c>b 7.如图,△OAB∽△OCD,OA∶OC=3∶2,△OAB与△OCD的面积分别是S1与S2,周长分别是C1与C2,则下列式子正确的是(　A　) A.= B.= C.= D.= 8.(2023潍坊期末)我们可用“斜尺”测量管道的内径(如图),若玻璃管的内径DE正对“30”刻度线,已知AB长为5 mm,DE∥AB,则玻璃管内径DE为(B) A.2.5 mm B.3 mm C.3.5 mm D.4 mm 9.(2022广元)如图,在方格纸中,每个小正方形的边长都相等,A,B, C,D都在格点处,AB与CD相交于点P,则cos∠APC的值为(　B　) A. B. C.　 D. 10.(2022包头)如图,在由边长为1的小正方形组成的网格中,A,B,C, D四个点均在格点上,AC与BD相交于点E,连接AB,CD,则△ABE与 △CDE的周长比为(　D　) A.1∶4 B.4∶1 C.1∶2 D.2∶1 11.如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,BD是AC边上的高,cos C=,则△BCD与△ABD的面积比是(　B　) A.1∶3 B.2∶7 C.2∶9 D.2∶11 12.(2023嘉兴)如图,点P是△ABC的重心,点D是边AC的中点,PE∥AC交BC于点E,DF∥BC交EP于点F.若四边形CDFE的面积为6,则 △ABC的面积为(C) A.12 B.14 C.18 D.24 二、填空题(每小题3分,共15分) 13.(2022鞍山)如图,AB∥CD,AD,BC相交于点E,若AE∶DE=1∶2, AB=2.5,则CD的长为　5　.  14.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点D是AB的中点,ED⊥AB交AC于点E,若tan∠BEC=,则tan A=　　.  15.(2022锦州)如图,在正方形ABCD中,E为AD的中点,连接BE交AC于点F.若AB=6,则△AEF的面积为　3　.  16.(2023绥化)如图,在平面直角坐标系中,△ABC与△AB′C′的相似比为1∶2,点A是位似中心,若点A(2,0),点C(a,b),∠C=90°,则点C′的坐标为　(6-2a,-2b)　.(结果用含a,b的式子表示)  17.(2023黄冈)综合实践课上,航模小组用航拍无人机进行测高实践.如图,无人机从地面CD的中点A处竖直上升30 m到达B处,测得博雅楼顶部E的俯角为45°,尚美楼顶部F的俯角为30°,已知博雅楼高度CE为15 m,则尚美楼高度DF为　(30-5)　m.(结果保留根号)  三、解答题(共69分) 18.(10分)(1)计算:(3tan 30°+tan 45°)(2sin 60°-1). (2)已知α是锐角,且sin α=,求3cos2α+sin(α-15°)tan(α+15°)-cos(α-15°)的值. 解:(1)原式==(+1)(-1)=3-1=2. (2)∵sin α=且α是锐角,∴α=45°, ∴3cos2α+sin(α-15°)tan(α+15°)-cos(α-15°) =3cos245°+sin 30°tan 60°-cos 30° =3×+×-× =+- =. 19.(10分)如图,在△ABC中,BC=3,D为AC延长线上一点,AC=3CD, ∠CBD=∠A,过点D作DH∥AB,交BC的延长线于点H. (1)求证:△HCD∽△HDB. (2)求DH的长度. (1)证明:∵DH∥AB,∴∠A=∠HDC. ∵∠CBD=∠A,∴∠HDC=∠CBD. 又∵∠H=∠H,∴△HCD∽△HDB. (2)解:∵DH∥AB,∴=. ∵AC=3CD,∴=, ∴CH=1,∴BH=BC+CH=3+1=4. 由(1),知△HCD∽△HDB, ∴=,∴DH2=4×1=4, ∴DH=2(负值舍去). 故DH的长度为2. 20.(10分)如图,在平面直角坐标系中,△ABC三个顶点的坐标分别为A(-3,2),B(-1,3),C(-1,1),请按如下要求画图: (1)以坐标原点O为旋转中心,将△ABC顺时针旋转90°,得到△A1B1C1,请画出△A1B1C1; (2)以坐标原点O为位似中心,在x轴下方,画出△ABC的位似图形 △A2B2C2,使它与△ABC的相似比为2∶1,并直接写出此时点B2的坐标. 解:(1)如图,△A1B1C1即为所求. (2)如图,△A2B2C2即为所求,点B2的坐标为(2,-6). 21.(10分)如图,在△ABC中,BC=2,tan B=,点D是BC延长线上一点, tan∠ACD=. (1)求点A到BD的距离; (2)求sin A的值. 解:(1)如图,过点A作AE⊥BD于点E. 设AE=3x. ∵在Rt△ABE中,∠AEB=90°,tan B==, ∴BE=2AE=6x. ∵在Rt△ACE中,∠AEC=90°,tan∠ACE==, ∴CE=4x. ∵BC=BE-CE,∴2=6x-4x, ∴x=1,∴AE=3, 即点A到BD的距离为3. (2)如图,过点C作CF⊥AB于点F. 由(1),得BE=2AE=6,CE=4, ∴在Rt△ABE中,AB===3, 在Rt△ACE中,AC===5. ∵S△ABC=BC·AE=AB·CF, ∴×2×3=×3CF,∴CF=. ∵在Rt△ACF中,∠AFC=90°, ∴sin∠BAC===. 22.(14分)如图,在正方形ABCD中,CD=8,在BC边上取中点E,连接DE,过点E作EF⊥ED与AB交于点G,与DA的延长线交于点F. (1)求证:△BEG∽△CDE; (2)求△AFG的面积. (1)证明:在正方形ABCD中,∠B=∠C=90°, 又∵EF⊥ED, ∴∠BGE+∠BEG=90°,∠BEG+∠CED=90°, ∴∠BGE=∠CED, ∴△BEG∽△CDE. (2)解:在正方形ABCD中,CD=AB=BC=8, 又∵点E是BC的中点,∴BE=CE=4. ∵△BEG∽△CDE,∴=,∴=,∴BG=2,∴AG=6,S△BGE=×2×4=4. ∵FA∥BE,∴△BGE∽△AGF,∴===, ∴S△AFG=36. 23.(15分)(2023嘉兴)图①是某住宅单元楼的人脸识别系统(整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别),其示意图如图②,摄像头A的仰角、俯角均为15°,摄像头高度OA=160 cm,识别的最远水平距离OB=150 cm. ① ② ③ (1)身高208 cm的小杜,头部高度为26 cm,他站在离摄像头水平距离130 cm的点C处(如图②),请问小杜最少需要下蹲多少厘米才能被识别? (2)身高120 cm的小若,头部高度为15 cm,踮起脚尖可以增高3 cm,但仍无法被识别,社区及时将摄像头的仰角、俯角都调整为20°(如图③),此时小若能被识别吗?请说明理由. (参考数据:sin 15°≈0.26,cos 15°≈0.97,tan 15°≈0.27,sin 20°≈0.34,cos 20°≈0.94,tan 20°≈0.36) 解:(1)如图①,过点C作OB的垂线分别交AD,AE于点D,E,交水平线于点F. ∵在Rt△AEF中,tan∠EAF=, ① ∴EF=AF·tan 15°≈130×0.27=35.1(cm). ∵∠EAF=∠DAF,AF=AF,∠AFE=∠AFD=90°, ∴△AEF≌△ADF(ASA), ∴EF=DF≈35.1 cm,∴CD≈160+35.1=195.1(cm). ∵208-195.1=12.9(cm), ∴小杜最少需要下蹲12.9 cm才能被识别. (2)能.理由如下: 如图②,过点B作OB的垂线分别交AM,AN于点M,N,交水平线于点P. ∵在Rt△APM中,tan∠MAP=, ② ∴MP=AP·tan 20°≈150×0.36=54(cm). ∵∠MAP=∠NAP,AP=AP,∠APM=∠APN=90°, ∴△AMP≌△ANP(ASA),∴MP=PN≈54 cm, ∴BN≈160-54=106(cm). ∵小若踮起脚尖后头顶的高度为120+3=123(cm), ∴小若头顶超出点N的高度为123-106=17(cm),17 cm>15 cm, ∴小若踮起脚尖能被识别. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中评价卷 一、选择题(每小题3分,共36分) 1.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=5,sin B=,则AC的长是( ) A.25 B.12 C.5 D.13 2.已知α为锐角,若sin(α-10°)=,则α等于( ) A.30° B.40° C.60° D.70° 3.在正方形网格中,小正方形的边长均为1,∠ABC如图放置,则 sin∠ABC的值为( ) A. B. C. D.1 4.(2022青州实验质检)如图,河坝横断面迎水坡AB的坡比为1∶,坝高BC为4 m,则AB的长度为( ) A.4 m B.8 m C.8 m D.16 m 5.(2024菏泽质检)如图,某大桥主塔的正面示意图是一个轴对称图形,小明测得桥面宽度AB=a m,∠OAB=70°,则点O到桥面的距离(单位:m)是( ) A.asin 70° B.acos 70° C.atan 70° D.atan 70° 6.已知实数a=tan 30°,b=sin 45°,c=cos 60°,则下列说法正确的是( ) A.b>a>c B.a>b>c C.b>c>a D.a>c>b 7.如图,△OAB∽△OCD,OA∶OC=3∶2,△OAB与△OCD的面积分别是S1与S2,周长分别是C1与C2,则下列式子正确的是( ) A.= B.= C.= D.= 8.(2023潍坊期末)我们可用“斜尺”测量管道的内径(如图),若玻璃管的内径DE正对“30”刻度线,已知AB长为5 mm,DE∥AB,则玻璃管内径DE为( ) A.2.5 mm B.3 mm C.3.5 mm D.4 mm 9.(2022广元)如图,在方格纸中,每个小正方形的边长都相等,A,B, C,D都在格点处,AB与CD相交于点P,则cos∠APC的值为( ) A. B. C.　 D. 10.(2022包头)如图,在由边长为1的小正方形组成的网格中,A,B,C, D四个点均在格点上,AC与BD相交于点E,连接AB,CD,则△ABE与 △CDE的周长比为( ) A.1∶4 B.4∶1 C.1∶2 D.2∶1 11.如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,BD是AC边上的高,cos C=,则△BCD与△ABD的面积比是( ) A.1∶3 B.2∶7 C.2∶9 D.2∶11 12.(2023嘉兴)如图,点P是△ABC的重心,点D是边AC的中点,PE∥AC交BC于点E,DF∥BC交EP于点F.若四边形CDFE的面积为6,则 △ABC的面积为( ) A.12 B.14 C.18 D.24 二、填空题(每小题3分,共15分) 13.(2022鞍山)如图,AB∥CD,AD,BC相交于点E,若AE∶DE=1∶2, AB=2.5,则CD的长为 .  14.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点D是AB的中点,ED⊥AB交AC于点E,若tan∠BEC=,则tan A= .  15.(2022锦州)如图,在正方形ABCD中,E为AD的中点,连接BE交AC于点F.若AB=6,则△AEF的面积为 .  16.(2023绥化)如图,在平面直角坐标系中,△ABC与△AB′C′的相似比为1∶2,点A是位似中心,若点A(2,0),点C(a,b),∠C=90°,则点C′的坐标为 .(结果用含a,b的式子表示)  17.(2023黄冈)综合实践课上,航模小组用航拍无人机进行测高实践.如图,无人机从地面CD的中点A处竖直上升30 m到达B处,测得博雅楼顶部E的俯角为45°,尚美楼顶部F的俯角为30°,已知博雅楼高度CE为15 m,则尚美楼高度DF为 m.(结果保留根号)  三、解答题(共69分) 18.(10分)(1)计算:(3tan 30°+tan 45°)(2sin 60°-1). (2)已知α是锐角,且sin α=,求3cos2α+sin(α-15°)tan(α+15°)-cos(α-15°)的值. 19.(10分)如图,在△ABC中,BC=3,D为AC延长线上一点,AC=3CD, ∠CBD=∠A,过点D作DH∥AB,交BC的延长线于点H. (1)求证:△HCD∽△HDB. (2)求DH的长度. 20.(10分)如图,在平面直角坐标系中,△ABC三个顶点的坐标分别为A(-3,2),B(-1,3),C(-1,1),请按如下要求画图: (1)以坐标原点O为旋转中心,将△ABC顺时针旋转90°,得到△A1B1C1,请画出△A1B1C1; (2)以坐标原点O为位似中心,在x轴下方,画出△ABC的位似图形 △A2B2C2,使它与△ABC的相似比为2∶1,并直接写出此时点B2的坐标. 21.(10分)如图,在△ABC中,BC=2,tan B=,点D是BC延长线上一点, tan∠ACD=. (1)求点A到BD的距离; (2)求sin A的值. 22.(14分)如图,在正方形ABCD中,CD=8,在BC边上取中点E,连接DE,过点E作EF⊥ED与AB交于点G,与DA的延长线交于点F. (1)求证:△BEG∽△CDE; (2)求△AFG的面积. 23.(15分)(2023嘉兴)图①是某住宅单元楼的人脸识别系统(整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别),其示意图如图②,摄像头A的仰角、俯角均为15°,摄像头高度OA=160 cm,识别的最远水平距离OB=150 cm. ① ② ③ (1)身高208 cm的小杜,头部高度为26 cm,他站在离摄像头水平距离130 cm的点C处(如图②),请问小杜最少需要下蹲多少厘米才能被识别? (2)身高120 cm的小若,头部高度为15 cm,踮起脚尖可以增高3 cm,但仍无法被识别,社区及时将摄像头的仰角、俯角都调整为20°(如图③),此时小若能被识别吗?请说明理由. (参考数据:sin 15°≈0.26,cos 15°≈0.97,tan 15°≈0.27,sin 20°≈0.34,cos 20°≈0.94,tan 20°≈0.36) 学科网（北京）股份有限公司 $$