4.3 相似多边形 同步练习 2025-2026学年北师大版九年级数学上册

4.3 相似多边形 同步练习 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1.下列各组图形中，一定相似的是(    ) A. 两个平行四边形 B. 两个正方形 C. 两个矩形 D. 两个菱形 2.如图，有甲、乙、丙、丁四个矩形，其中相似的是(    ) A. 甲和乙 B. 乙和丙 C. 丙和丁 D. 甲和丁 3.下列结论不正确的是(    ) A. 矩形都相似 B. 正方形都相似 C. 等腰直角三角形都相似 D. 正八边形都相似 4.如图，平行于正多边形一边的直线，正多边形分割成两部分，则阴影部分多边形与原多边形相似的是(    ) A. B. C. D. 5.用一个倍放大镜照一个，下面说法中错误的是(    ) A. 放大后，各边长是原来的倍 B. 放大后，是原来的倍 C. 放大后，周长是原来的倍 D. 放大后，面积是原来的倍 6.如图，在锐角三角形、矩形、正六边形外加宽度一样的外框，外框边与原图形对应边平行，则外框与原图一定相似的是(    ) A. 正六边形 B. 矩形和正六边形 C. 三角形和矩形 D. 三角形和正六边形 7.在长，宽的矩形中，截去一个矩形后，使留下的矩形与原矩形相似，那么留下的矩形面积为． A. B. C. D. 8.如图，小康利用复印机将一张长为，宽为的矩形图片放大，其中放大后的长为，则放大后的矩形的宽为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9.甲图的比例尺为，乙图的比例尺为，那么甲图与乙图的相似比是          ． 10.下列各组的两个图形：两个等腰三角形；两个矩形；两个等边三角形；两个正方形；各有一个内角是的两个等腰三角形．其中一定相似的是          只填序号 11.四边形四边形，：：，若四边形的周长为，则四边形的周长为______． 12.用一根长为的铁丝，首尾相接围成一个正方形，要将它按如图的方式向外等距扩得到新的正方形，则这根新铁丝的长是______． 13.如图，四边形∽四边形，若，，，则 ______ 14.一块，一块长，宽的矩形黑板，镶在其外围的木质边框宽，边框的内外边缘所成的两个矩形___________填“是”或“不是”相似矩形。 15.如图，矩形矩形，它们的相似比是，已知，，的长为              ． 16.如图，正六边形与正六边形是关于原点的位似图形，相似比为，若点，则正六边形的周长为_________； 三、解答题：本题共6小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 现有大小相同的正方形纸片张，小亮用其中张拼成一个如图所示的长方形，小芳也想拼一个与它形状相同但比它大的长方形，则她至少要用几张正方形纸片不得把每个正方形纸片剪开？你知道她可能拼出什么样的图形吗？请你试着画一画． 18.本小题分 如图，已知，，，，，试判断四边形与四边形是否相似，并说明理由． 19.本小题分 如图，矩形∽矩形，它们的相似比是，已知，，求，的长． 20.本小题分 给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是给定矩形的“减半”矩形．如图，矩形是矩形的“减半”矩形． 请你解决下列问题： 当矩形的长和宽分别为，时，它是否存在“减半”矩形？请作出判断，并说明理由． 边长为的正方形存在“减半”正方形吗？如果存在，求出“减半”正方形的边长；如果不存在，请说明理由． 21.本小题分 方格图中的每个小方格都是边长为小正方形，我们把小正方形的顶点称为格点，格点连线为边的四边形称为“格点四边形”，图中的四边形就是一个格点四边形． 小彬在图的方格图中画了一个格点四边形借助方格图回答：四边形与四边形相似吗？若相似，直接写出四边形与四边形的相似比；若不相似说明理由； 请在图的方格图中画一个格点四边形，使它与四边形相似，但与四边形、四边形都不全等． 22.本小题分 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点叫做格点．的顶点都在格点上．按照要求完成下列画图只在此的网格中完成且所画各点都是格点，所画的点可以与已知点重合． 将绕点逆时针旋转，得到； 画出所有点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形； 画出一个与相似但不全等的三角形，且与有公共点画出一个三角形即可． 答案和解析 1.【答案】  【解析】本题考查的是相似图形的概念，掌握对应角相等，对应边的比相等的多边形，叫做相似多边形是解题的关键．根据相似图形的概念逐项进行判断即可． 【详解】解：、任意两个平行四边形对应边的比不一定相等，对应角也不一定相等，故不一定相似，此选项不符合题意； B、任意两个正方形的对应角相等，对应边的比也相等，故一定相似，故此选项符合题意； C、任意两个矩形对应角相等，但对应边的比不一定相等，故不一定相似，此选项不符合题意； D、任意两个菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，故不一定相似，此选项不符合题意； 故选：． 2.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查的是相似图形的有关知识． 分别求出矩形的邻边的比，再根据相似多边形的定义解答． 【解答】 解：甲：长和宽的比为：， 乙：长和宽的比为：：， 丙：长和宽的比为：：， 丁：长和宽的比为：， 则相似的是甲和乙． 3.【答案】  【解析】解：所有正八边形、正方形、等腰直角三角形都相似，但矩形不一定都相似． 故选：． 4.【答案】  【解析】【分析】 本题考查的是相似多边形的判定，解题的关键是理解对应角相等，对应边的比相等的多边形是相似多边形．根据相似多边形的判定判定定理判断即可． 【解答】 解：、阴影三角形与原三角形的对应角相等、对应边的比相等，符合相似多边形的定义，符合题意； B、阴影矩形与原矩形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意； C、阴影五边形与原五边形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意； D、阴影六边形与原六边形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意； 故选：． 5.【答案】  【解析】解：放大前后的三角形相似， 放大后三角形的内角度数不变，面积为原来的倍，周长和边长均为原来的倍． 故选：． 用倍的放大镜放大一个，得到一个与原三角形相似的三角形；根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比．可知：放大后三角形的面积是原来的倍，边长和周长是原来的倍，而内角的度数不会改变． 本题考查对相似三角形性质的理解． 相似三角形周长的比等于相似比； 相似三角形面积的比等于相似比的平方； 相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比． 6.【答案】  【解析】解：矩形不相似，因为其对应角的度数一定相同，但对应边的比值不一定相等，不符合相似的条件； 锐角三角形的原图与外框相似，因为其三个角均相等，三条边均对应成比例，符合相似的条件； 正六边形相似，因为它们的边长都对应成比例、对应角都相等，符合相似的条件． 故选：． 根据相似多边形的判定定理对各个选项进行分析，从而确定最后答案． 本题主要考查了相似图形的定义，边数相同、各角对应相等、各边对应成比例的两个多边形是相似多边形． 7.【答案】  【解析】解：设留下的矩形的宽为， 留下的矩形与矩形相似， ，解得， 留下的矩形的面积为： 故选：． 先设留下的矩形的宽为，再根据留下的矩形与矩形相似，列出方程即可求出留下的矩形的面积． 本题主要考查了相似多边形的性质，在解题时要能根据相似多边形的性质列出方程是本题的关键． 8.【答案】  【解析】解：设放大后矩形的宽为． 放大前后矩形相似， ， ． 故选：． 利用相似多边形的性质求解． 本题考查相似图形，解题的关键是掌握相似图形的性质，属于中考常考题型． 9.【答案】  【解析】本题考查了相似图形的性质，熟练掌握相似图形的相似比等于对应边的比是解题的关键．根据相似图形的性质，用两个图的比例尺相比即可求得相似比． 【详解】解：甲图与乙图的相似比． 故答案为：． 10.【答案】；  【解析】根据相似图形的定义，形状相同的图形是相似图形．具体的说就是对应的角相等，对应边的比相等，对每个命题进行判断． 【详解】两个等腰三角形的对应角不一定相等，故错误； 两个矩形对应角相等，但对应边的比不一定相等，故错误； 两个等边三角形一定相似； 两个正方形一定相似； 各有一个内角是的两个等腰三角形不一定相似，故错误， 故答案为． 11.【答案】  【解析】解：四边形四边形，：：， ：：， 四边形的周长为， 四边形的周长为， 故答案为：． 根据相似形周长的比等于相似比确定答案即可． 本题考查了相似图形的知识，解题的关键是了解相似形周长的比等于相似比，难度不大． 12.【答案】  【解析】解：原正方形的周长为， 原正方形的边长为， 将它按如图的方式向外等距扩， 新正方形的边长为， 则新正方形的周长为， 故答案为：． 根据题意得出原正方形的边长，再得出新正方形的边长． 本题主要考查列代数式，解题的关键是根据题意表示出新正方形的边长及代数式的书写规范． 13.【答案】  【解析】解：四边形∽四边形， ， ， 故答案为：． 根据相似多边形的性质求出，根据四边形内角和等于计算，得到答案． 本题考查的是相似多边形的性质、多边形内角和定理，掌握相似多边形的对应角相等是解题的关键． 14.【答案】不是．  【解析】【分析】 此题考查的是相似图形的判定，掌握相似图形的定义是解决此题的关键。。先求出大矩形的长和宽，再分别求出小矩形和大矩形的长之比和宽之比，根据相似图形的定义判断即可。 【解答】 解：， 大矩形的长为：， 宽为：， ， 两矩形不相似． 故答案为：不是． 15.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了相似多边形的性质，根据相似多边形的对应边成比例列出比例式，然后代入的值计算即可． 【解答】 解：矩形矩形，它们的相似比是：， ， ， ， 解得：． 故答案为． 16.【答案】  【解析】【分析】 连接，由题意易得，则有，，进而可得，，然后可求，最后问题可求解． 【详解】 解：连接，如图所示： 正六边形与正六边形是关于原点的位似图形，相似比为， ， 点， ， ， 六边形是正六边形， ，， ，， ， ， 正六边形的周长为； 故答案为． 【点睛】 本题主要考查正多边形的性质，熟练掌握正多边形的性质是解题的关键． 17.【答案】解：她至少要用张正方形纸片． 有两种可能的拼法，如图所示．   【解析】见答案 18.【答案】解：四边形与四边形相似． 理由：由已知条件知，，，，， 且，所以四边形与四边形相似．  【解析】见答案 19.【答案】解：矩形∽矩形，且相似比是， ． ，， ， ，．   【解析】见答案 20.【答案】解：存在，理由如下： 设“减半”矩形的长和宽分别为，， 则 解得或舍， 该“减半”矩形长和宽分别为与． 不存在，理由如下： 两个正方形是相似图形，当它们的周长比为时，面积比必定是， 正方形不存在“减半”正方形．   【解析】设“减半”矩形的长和宽分别为、，根据如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，可列出方程组求解． 正方形和其他的正方形是相似图形，周长比是：，面积比就应是：，所以不存在“减半”正方形． 本题考查一元二次方程的应用，以及相似图形及其相关概念． 21.【答案】解：相似； 根据题意，四边形中，，，，； 四边形中，，，，； ， 即， 四边形与四边形相似，相似比为：． 根据题意，设相似比为， 则四边形的各边为：，，，， 如图，四边形即为所求． ．   【解析】本题考查了相似四边形的性质，以及画相似图形，解题的关键是掌握相似四边形的对应边的比相等． 分别求出四边形各边的长度，求出对应边的相似比，即可得到答案； 先确定相似比，然后求出个对应边的长度，即可画出图形． 22.【答案】解：如图所示． 如图所示． 如图所示未全画出；画出一个三角形即可．   【解析】直接利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案； 直接利用平行四边形的判定方法得出符合题意的答案； 答案不唯一，把的各边扩大相同的倍数即可． 此题主要考查了作图相似变换，平行四边形的判定与性质，作图旋转变换，根据相似三角形的性质得出符合要求的三角形是解决问题的关键． 第6页，共15页 学科网（北京）股份有限公司 $$