18.6 相似三角形的性质 性质1 同步课件2024-2025学年北京版数学九年级上册

18.6相似三角形的性质 ——性质（1） 学习目标 1.明确相似三角形中对应线段与相似比的关系。 （重点） 2.能熟练运用相似三角形的性质解决实际问题。 （难点） 观察与思考 问题1：这两个三角形有什么关系？ 问题2 根据相似多边形的定义，你能说说什么叫相似三角形吗？ 对应角……？ 对应边……？ 相似三角形定义：我们把三角分别相等、三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形. 问题3 三角形全等的性质和判定方法有哪些？ 思考 全等是一种特殊的相似，那你猜想一下， 判定两个三角形相似需要几个条件？ 相似三角形 判定 角 边 复习导入 定义 性质 AA SAS SSS 三角形中，除了边与角，还有哪些重要的线段？ 高、角平分线、中线 这些几何量在相似三角形中有什么关系呢？ 情景引入 探究活动一：探究相似三角形对应高的比 新知探究 在生活中，我们经常利用相似的知识解决建筑类问题. 如图，小王一句图纸上的△ABC,以1:2的比例建造了模型房的房梁△A´B´C´,CD和C´D´分别是它们的立柱. 1.△ACD与△A´C´D´相似吗？为什么？ 如果相似，指出它们的相似比. 探究活动一：探究相似三角形对应高的比 新知探究 在生活中，我们经常利用相似的知识解决建筑类问题. 如图，小王一句图纸上的△ABC,以1:2的比例建造了模型房的房梁△A´B´C´,CD和C´D´分别是它们的立柱. 2.如果CD=1.5cm，那么模型房的房梁立柱C´D´有多高？ 探究活动一：探究相似三角形对应高的比 新知探究 已知△ABC∽△A´B´C´,△ABC与△A´B´C´的相似比为k,它们对应高的比是多少？ 证明你的结论. 相似三角形对应高的比等于相似比. 结论： H A B C H´ A´ B´ C´ ∵△ABC∽△A′B′C′ ∴∠B=∠B′ 又 ∵∠AHB=∠A′H′B′=90° ∴△AHB∽∠A′H′B′ 它们对应高的比是k 探究活动二：探究相似三角形对应角平分线的比 新知探究 已知△ABC∽△A´B´C´,△ABC与△A´B´C´的相似比为k,它们对应角平分线的比是多少？ 证明你的结论. 相似三角形对应角平分线的比等于相似比. 结论： E A B C E´ A´ B´ C´ ∵△ABC∽△A′B′C′ ∴△AEB∽∠A′E′B′ 它们对应角平分线的比是k ∴∠B=∠B′ ，∠BAC=∠B′A′C′ 又AE，A′E′分别为对应角∠BAC， ∠B′A′C′的角平分线， ∴∠BAE= ∠BAC, ∠B′A′E′= ∠B′A′C′ ∴∠BAE= ∠B′A′E′ 探究活动三：探究相似三角形对应中线的比 新知探究 已知△ABC∽△A´B´C´,△ABC与△A´B´C´的相似比为k,它们对应中线的比是多少？ 证明你的结论. 相似三角形对应中线的比等于相似比. 结论： F A B C F´ A´ B´ C´ ∵△ABC∽△A′B′C′ ∴∠B=∠B′ ∵F、F´分别是BC和B′C′的中点 ∴△AFB∽∠A′F′B′ 它们对应中线的比是k ∴BF= BC, B′F′= B′C′ 相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比. 几何语言: 新知探究 总结结论 相似三角形的性质定理： 已知△ABC∽△A´B´C´,它们的的相似比为k, AH、AE、AF分别为△ABC的高线、角平分线、中线； A´H´、A´E´、A´F´分别为△A´B´C´的高线、角平分线、中线； 已知两个相似三角形的相似比为1:4,则它们的对应高线之比为_____ 们的对应中线之比为____ 它们的对应角平分线之比为______ 简单应用 相似三角形的性质 角：对应角相等 如右图，△A B C ∽△A′B′C′ A B C B' A' C' 边：对应边成比例 相似比=对应边的比值= ∠A＝∠A' ∠B＝∠B' ∠C＝∠C' 由此得到： 相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比 归纳总结 例.（1）如图、电灯 P 在横杆 AB 的正上方，AB 在灯光下的影子为 CD，AB∥CD，AB = 2 m，CD = 4 m，点 P 到 CD 的距离是 3 m，则 P 到 AB 的距离是 m. P A D B C 2 4 1.5 （2）两个相似三角形的两条对应边的长分别是 6cm 和 8 cm，如果它们对应的两条角平分线的和为 42 cm，那么这两条角平分线的长分别是_________. 例：如图，一块铁皮呈锐角三角形，它的边长 BC = 80 cm，高 AD = 60 cm，要把该铁皮加工成矩形PSRQ零件，矩形的一边位于边 BC 上，另两个顶点分别在边 AB，AC 上. (1) AE 是 △APQ 的高吗？为什么？ (2) △APQ 与 △ABC 相似吗？为什么？ (3)如果矩形的两边PQ:PS= 2 : 1，求这个矩形的边长. （4）当PQ等于多少时，矩形PQRS面积最大，最大面积是多少？ S R Q P E D C B A 解：如图，矩形 PQRS 为加工后的零件，边 SR 在边 BC 上，顶点 P，Q 分别在边 AB，AC 上，△ABC 的高 AD 交 PQ 于点 E.设 PS = x cm，则 PQ 为 2x cm. ∵PQ∥BC,∴∠APQ =∠ABC,∠AQP =∠ACB, ∴△APQ ∽ △ABC. 解方程，得 x = 24，2x = 48. 答：这个矩形的零件的边长分别是 48 cm 和 24 cm. S R Q P E D C B A 等于相似比 课堂小结 性质定理1： $$