18.6 相似三角形的性质（2大题型提分练）数学北京版九年级上册

18.6相似三角形的性质 同步练习 题型一 相似三角形的性质 1．如果两个相似三角形的相似比是1：，那么这两个相似三角形的面积比是（　　） A．2：1 B．1： C．1：2 D．1：4 2．若△ABC∽△DEF，且S△ABC：S△DEF＝3：4，则△ABC与△DEF的周长比为（　　） A．3：4 B．4：3 C．：2 D．2： 3．已知△ABC∽△DEF，相似比为，若△ABC的周长为3，则△DEF的周长为（　　） A．1 B．3 C．9 D．27 4．如图，△ADE∽△ACB，且，若四边形BCED的面积是10，则△ADE的面积是 　 　． 5．△ABC的三边之比为3：4：6，△ABC∽△A′B′C′，若△A'B'C'中最长的边为14厘米，则最短的边长为 　 　厘米． 6．已知两个三角形相似，根据下列数据填表： 相似比 5 周长的比 面积的比 100 0.01 7．已知：如图，已知△ABC∽△DEF，求证：相似三角形面积的比等于相似比的平方． 题型二 相似三角形的判定与性质 8．如图，点F是平行四边形ABCD边CD上一点，直线BF交AD的延长线于点E，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 9．已知，在▱ABCD中，点M、N分别是AB、CD的中点，AN、CM交DB于P、Q两点，下列结论：①PD＝PQ＝QB； ②AP＝CQ；③CQ＝2MQ； ④SADPS▱ABCD．其中正确的结论的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 10．如图，E是矩形ABCD的边CD上的点，BE交AC于O，已知△COE与△BOC的面积分别为2和8，则四边形AOED的面积为（　　） A．16 B．32 C．38 D．40 11．如图，已知△ABC和△ADE有公共顶点A，且，BA＝BD，∠BAD＝70°，则∠ACE＝　 　度． 12．如图，在▱ABCD中，点E为AB的中点，点F为AD上一点，EF与AC相交于点H．若FH＝3，EH＝6，AH＝4，则CH的长为 　 　． 13．如图，在△ABC中，∠B＝∠AED，AB＝5，AD＝3，CE＝6， 求证：（1）△ADE∽△ACB；（2）求AE的长． 1．在5倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相此，三角形的周长（　　） A．没有发生变化 B．放大了5倍 C．放大了15倍 D．放大了25倍 2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8．E是AC边上一动点，过点E作EF∥AB交BC于点F，D为线段EF的中点，当BD平分∠ABC时，AE的长度是（　　） A． B． C． D． 3．如图，正方形OPQR内接于△ABC．已知△AOR、△BOP和△CRQ的面积分别是S1＝1，S2＝3和S3＝1，那么正方形OPQR的边长是（　　） A．1 B． C． D．2 4．如图，等边△ABC边长为4，点P，Q分别是AB，BC边上的动点，且AP＝BQ＝x，作平行四边形PQCR，则用含x的代数式表示平行四边形PQCR的面积为 　 　；当PC∥AR时，x＝　 　． 5．如图，△ABC中，AI、BI分别平分∠BAC、∠ABC．CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，交BI延长线于E，连接CI． （1）△ABC变化时，设∠BAC＝2α．若用α表示∠BIC和∠E； （2）若AB＝1，且△ABC与△ICE相似，求相应AC长． 6．如图，点E是矩形ABCD对角线AC上的点（不与A，C重合），连接BE，过点E作EF⊥BE交CD于点F．连接BF交AC于点G，BE＝AD． （1）试判断线段AC与BF的位置关系，并说明理由； （2）若AB＝8，BC＝6，求BF的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 18.6相似三角形的性质 同步练习 题型一 相似三角形的性质 1．如果两个相似三角形的相似比是1：，那么这两个相似三角形的面积比是（　　） A．2：1 B．1： C．1：2 D．1：4 【答案】C 【分析】直接根据似三角形的面积的比等于相似比的平方进行计算即可． 【详解】解：这两个相似三角形的面积比＝12：（）2＝1：2． 故选：C． 2．若△ABC∽△DEF，且S△ABC：S△DEF＝3：4，则△ABC与△DEF的周长比为（　　） A．3：4 B．4：3 C．：2 D．2： 【答案】C 【分析】由△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝3：4，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案． 【详解】解：∵△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝3：4， ∴△ABC与△DEF的相似比为：：2， ∴△ABC与△DEF的周长比为：：2． 故选：C． 3．已知△ABC∽△DEF，相似比为，若△ABC的周长为3，则△DEF的周长为（　　） A．1 B．3 C．9 D．27 【答案】C 【分析】根据相似三角形的性质得△ABC的周长：△DEF的周长＝1：3，然后把△ABC的周长＝3代入可计算出△DEF的周长． 【详解】解：∵△ABC与△DEF的相似比为1：3， ∴△ABC的周长：△DEF的周长＝1：3， ∴△DEF的周长＝3×3＝9． 故选：C． 4．如图，△ADE∽△ACB，且，若四边形BCED的面积是10，则△ADE的面积是 　8　． 【答案】见试题解答内容 【分析】直接利用相似三角形的性质得出，进而得出答案． 【详解】解：∵△ADE∽△ACB，且， ∴， ∵四边形BCED的面积是10， ∴， 解得：S△ADE＝8． 故答案为：8． 5．△ABC的三边之比为3：4：6，△ABC∽△A′B′C′，若△A'B'C'中最长的边为14厘米，则最短的边长为 　7　厘米． 【答案】7． 【分析】利用相似三角形的性质可得，△A′B′C′的三边之比为3：4：6，再根据最长的边为14厘米，即可求解． 【详解】解：∵△ABC∽△A′B′C′，△ABC的三边之比为3：4：6， ∴△A′B′C′的三边之比为3：4：6， △A′B′C′中最长的边为14厘米， 则最短的边长为14÷6×3＝7（厘米）， 故答案为：7． 6．已知两个三角形相似，根据下列数据填表： 相似比 5 周长的比 面积的比 100 0.01 【答案】，，，10，0.1； ，5，，10，，0.1； ，25，，． 【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方解答即可． 【详解】解：填表如下： 相似比 5 10 0.1 周长的比 5 10 0.1 面积的比 25 100 0.01 7．已知：如图，已知△ABC∽△DEF，求证：相似三角形面积的比等于相似比的平方． 【答案】见试题解答内容 【分析】直接利用相似三角形的判定与性质结合三角形面积求法得出答案． 【详解】解：如图，作AG⊥BC，DH⊥EF ∵△ABC∽△DEF， ∴∠B＝∠E，∠AGB＝∠DHE， ∴△ABG∽△DEH， 设△ABC和△DEF的相似比为k，则k， ∴k2， 所以相似三角形面积的比等于相似比的平方． 题型二 相似三角形的判定与性质 8．如图，点F是平行四边形ABCD边CD上一点，直线BF交AD的延长线于点E，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意知DF∥AB，BC∥DE，可知相应的线段比例关系即可求解． 【详解】解：根据题意知：DF∥AB，BC∥DE， ∴，，， ∴A，C，D中的结论正确，B中结论错误， 故选：B． 9．已知，在▱ABCD中，点M、N分别是AB、CD的中点，AN、CM交DB于P、Q两点，下列结论：①PD＝PQ＝QB； ②AP＝CQ；③CQ＝2MQ； ④SADPS▱ABCD．其中正确的结论的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】①由于四边形ABCD是▱，那么有AB∥CD，利用平行线分线段成比例定理的推论，可证△DPN∽△BPA，从而有DP：BP＝1：2（1），同理有BQ：DQ＝1：2（2），（1）、（2）联合可求DP＝PQ＝QB；②根据SAS易证△ADP≌△CBQ，从而有AP＝CQ；③由①中知△BQM∽△DQC，利用相似三角形的性质可求CG＝2MQ；④由①知P、Q是BD的三等分点，利用同底等高的三角形面积相等可知S△ADPS△ABD，而S△ABDS▱ABCD，易证S△ADPS▱ABCD． 【详解】解：①∵四边形ABCD是▱， ∴AB∥CD， ∴△DPN∽△BPA， ∴DN：AB＝DP：BP， 即DP：BP＝1：2（1）， 同理有BQ：DQ＝1：2（2）， （1）、（2）联合和得：DP＝PQ＝QB， 故①正确； ②在△ADP和△CBQ中， ∵AD＝BC，∠ADP＝∠CBQ，DP＝BQ， ∴△ADP≌△CBQ， ∴AP＝CQ， 故②正确； ③由①中知△BQM∽△DQC， ∴MQ：CQ＝1：2， 即CG＝2MQ， 故③正确； ④由①知P、Q是BD的三等分点， ∴S△ADPS△ABD， 又∵S△ABDS▱ABCD， ∴S△ADPS▱ABCD， 故④错误． 故选：B． 10．如图，E是矩形ABCD的边CD上的点，BE交AC于O，已知△COE与△BOC的面积分别为2和8，则四边形AOED的面积为（　　） A．16 B．32 C．38 D．40 【答案】C 【分析】由△COE与△BOC的面积分别为2和8，根据等高的两三角形的面积之比等于底之比，可以求出OE：OB＝1：4，由△COE∽△AOB就可以求出△AOB的面积就可以求出△ABC的面积，从而求出四边形AOED的面积． 【详解】解：设△COE与△BOC的OE和OB边上的高为h， ∴S△COEOE•h＝2，S△BOCOB•h＝8， ∴， ∴． ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD，AD＝CB，AB＝CD， ∴S△ABC＝S△ADC． ∵△COE∽△AOB， ∴， ∴，且S△COE＝2， ∴S△AOB＝32． ∴S△ABC＝32+8＝40， ∴S△ADC＝40， ∴S四边形AOED＝40﹣2＝38． 故选：C． 11．如图，已知△ABC和△ADE有公共顶点A，且，BA＝BD，∠BAD＝70°，则∠ACE＝　40　度． 【答案】40． 【分析】根据等腰三角形的性质求出∠ABD＝40°，根据“三边对应成比例的两个三角形相似”推△ABC∽△ADE，根据相似三角形的性质得出∠BAC＝∠DAE，进而推出∠BAD＝∠CAE，根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”推出△ABD∽△ACE，根据“相似三角形的对应角相等”即可得解． 【详解】解：∵BA＝BD，∠BAD＝70°， ∴∠BDA＝∠BAD＝70°， ∴∠ABD＝180°﹣70°﹣70°＝40°， ∵， ∴△ABC∽△ADE， ∴∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAD＝∠CAE， ∵， ∴， ∴△ABD∽△ACE， ∴∠ABD＝∠ACE＝40°， 故答案为：40． 12．如图，在▱ABCD中，点E为AB的中点，点F为AD上一点，EF与AC相交于点H．若FH＝3，EH＝6，AH＝4，则CH的长为 　20　． 【答案】20． 【分析】延长FE交CB的延长线于点G．证明△AFE≌△BGE（AAS），得出EF＝EG，求出EG＝9，根据平行线分线段成比例定理，得出，代入求出结果即可． 【详解】解：如图，延长FE交CB的延长线于点G． ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC． ∴∠EAF＝∠EBG，∠AFE＝∠G． ∵点E为边AB的中点， ∴AE＝BE． 在△AFE和△BGE中，， ∴△AFE≌△BGE（AAS）， ∴EF＝EG． ∵FH＝3，EH＝6， ∴EF＝EH+FH＝9． ∴EG＝9， ∴GH＝EG+EH＝9+6＝15． ∵AD∥BC， ∴，即， 解得CH＝20． 13．如图，在△ABC中，∠B＝∠AED，AB＝5，AD＝3，CE＝6， 求证：（1）△ADE∽△ACB；（2）求AE的长． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）利用“两角法”进行证明； （2）利用（1）中相似三角形的对应边成比例来求AE的长度． 【详解】（1）证明：∵∠B＝∠AED，∠A＝∠A， ∴△ADE∽△ACB； （2）解：由（1）知，△ADE∽△ACB，则，即． ∵AB＝5，AD＝3，CE＝6， ∴， ∴AE＝23． 1．在5倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相此，三角形的周长（　　） A．没有发生变化 B．放大了5倍 C．放大了15倍 D．放大了25倍 【答案】B 【分析】由5倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相似，相似比为5：1，根据相似三角形的性质，周长比等于相似比，即可得出结论． 【详解】解：∵在5倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相似，相似比为5：1， ∴根据相似三角形的性质，三角形的周长比等于相似比， ∴三角形的周长被放大了5倍． 故选：B． 2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8．E是AC边上一动点，过点E作EF∥AB交BC于点F，D为线段EF的中点，当BD平分∠ABC时，AE的长度是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据勾股定理求出AC，根据角平分线的定义、平行线的性质得到∠FBD＝∠BDF，可得FB＝FD，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可． 【详解】解：∵∠C＝90°，AB＝10，BC＝8． ∴AC6， ∵EF∥AB， ∴∠ABD＝∠BDF，又∠ABD＝∠FBD， ∴∠FBD＝∠BDF， ∴FB＝FD， ∴EF＝2FB， ∵EF∥AB， ∴△CEF∽△CAB， ∴， ∴， 解得，BF， ∴AE． 故选：B． 3．如图，正方形OPQR内接于△ABC．已知△AOR、△BOP和△CRQ的面积分别是S1＝1，S2＝3和S3＝1，那么正方形OPQR的边长是（　　） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【分析】设正方形OPQR的边长为x，利用三角形的面积公式用含x的代数式表示出△AOR、△ABC的高和BC的长，再利用相似三角形的性质得关于x的方程，求解即可． 【详解】解：设正方形OPQR的边长为x，则OR＝OP＝RQ＝PQ＝x． 由题意知：S△ABC＝S△AOR+S△BOP+S正方形OPQR+S△RQC ＝1+3+x2+1 ＝5+x2． ∵S△AOR•x•h△AOR＝1， ∴△AOR的高h△AOR． ∴△ABC的高h△ABCx． ∵S△BPOOP•BP＝3，S△RCQCQ•RQ＝1， ∴BP，CQ． ∴BCxx． ∵OR∥BC， ∴△AOR∽△ABC． ∴，即． 整理，得x2， ∴x4＝16． ∴x＝±2． ∵正方形的边长不能为负， ∴x＝2． 故选：D． 4．如图，等边△ABC边长为4，点P，Q分别是AB，BC边上的动点，且AP＝BQ＝x，作平行四边形PQCR，则用含x的代数式表示平行四边形PQCR的面积为 　　；当PC∥AR时，x＝　　． 【答案】（4﹣x）2；6﹣2． 【分析】过点P作PH⊥BC于点H，由AP＝BQ＝x，得PB＝QC＝4﹣x，利用含30度角的直角三角形得PH（4﹣x），进一步得到平行四边形PQCR的面积与x的关系式；当PC∥AR时，证△AOR∽△COP，利用相似三角形对应边成比例列出方程求解即可． 【详解】解：如图，过点P作PH⊥BC于点H， ∴∠PHB＝90°， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝60°，BC＝AB＝4， ∵AP＝BQ＝x， ∴PB＝QC＝4﹣x， 在Rt△BPH中，∵∠B＝60°， ∴PHPB（4﹣x）， ∴平行四边形PQCR的面积＝QC•PH（4﹣x）2； 当PC∥AR时，如图，连接PC，AR，AC、PR交于点O， ∴△AOR∽△COP， ∴， ∵PR∥BC， ∴△APO是等边三角形， ∴AO＝AP＝PO＝x， ∴OR＝PR﹣PO＝4﹣x﹣x＝4﹣2x，CO＝4﹣x， ∴， 解得x＝6﹣2， ∴当PC∥AR时，x＝6﹣2， 故答案为：（4﹣x）2；6﹣2． 5．如图，△ABC中，AI、BI分别平分∠BAC、∠ABC．CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，交BI延长线于E，连接CI． （1）△ABC变化时，设∠BAC＝2α．若用α表示∠BIC和∠E； （2）若AB＝1，且△ABC与△ICE相似，求相应AC长． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据三角形的外角等于不相邻的两个内角的和即可求解． （2）根据相似三角形对应边的比相等，即可求解． 【详解】解：（1）∠BIC＝90°+α，∠E＝α （2）解：∵CI是∠BCA的平分线，CE是∠ACB的外角平分线， ∴∠ICE＝∠ICA+∠ACE∠ACB∠ACD＝90°， 分情况讨论： ①当△ABC∽△ICE时，∠ABC＝∠ICE＝90°，∠ACB＝∠IEC＝α， 所以α＝30°，AC＝2 ②当△ACB∽△ICE时，∠ACB＝∠ICE＝90°，∠ABC＝∠IEC＝α， 所以α＝30°，AC． ③当△BAC∽△ICE时，∠BAC＝∠ICE＝90°，∠IEC∠BAC＝45°， 所以∠ABC＝∠ACB＝45°，AC＝AB＝1． 6．如图，点E是矩形ABCD对角线AC上的点（不与A，C重合），连接BE，过点E作EF⊥BE交CD于点F．连接BF交AC于点G，BE＝AD． （1）试判断线段AC与BF的位置关系，并说明理由； （2）若AB＝8，BC＝6，求BF的长． 【答案】（1）AC⊥BF，理由见解析； （2）． 【分析】（1）先证明△BEC是等腰三角形，再证明Rt△BEF≌Rt△BCF（HL），则∠EBG＝∠CBG，根据等腰三角形三线合一即可得到结论； （2）根据勾股定理求出AC，再用等积法求出BG，证明△BEG∽△BFE，则，代入已知线段长度即可得到答案． 【详解】解：（1）AC⊥BF，理由如下： ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC，∠BCF＝90°， ∵BE＝AD． ∴BE＝BC， ∴△BEC是等腰三角形， ∵EF⊥BE， ∴∠BEF＝90°， 在Rt△BEF和Rt△BCF中， BF＝BF，BE＝BC， ∴Rt△BEF≌Rt△BCF（HL）， ∴∠EBG＝∠CBG， ∴AC⊥BF； （2）∵AB＝8，BC＝6，∠ABC＝90°， ∴，BE＝BC＝6， ∵， ∴， ∵∠BEG+∠FEG＝∠BFE+∠FEG＝90°， ∴∠BEG＝∠BFE， ∵∠BGE＝∠BEF＝90°， ∴△BEG∽△BFE， ∴， 即， 解得． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$