第3章　对圆的进一步认识课件 2025-2026学年 青岛版九年级数学上册

3.7　正多边形与圆 栏目导航 知识梳理 考点梳理 知识梳理 1.正多边形的性质 (1)正多边形都是　　　　图形,一个正n边形有 　　条对称轴.  (2)正多边形的各条对称轴相交于一点,这点到正多边形的各个顶点的距离　　　　,到各边的距离　　　　.  (3)任何正多边形都有一个　 　　和一个　　 　,这两个圆是 　　　　,圆心是各　　　　的交点.  轴对称 n 相等 相等 外接圆 内切圆 同心圆 对称轴 知识梳理 2.正多边形的相关概念 (1)正多边形的　　　　圆和　　　　圆的公共圆心叫做正多边形的中心,　　　　圆的半径叫做正多边形的半径,　　　　圆的半径叫做正多边形的边心距.  外接 内切 外接 内切 外接圆 考点梳理 正多边形的性质及计算 B D [变式2](2023潍坊模拟)正五边形ABCDE和正三角形EFG按如图的位置摆放,其中点A,B,F在同一直线上,EG∥BF,则∠DEG的度数是　　　　. 144° [变式3](2023河北)将三个相同的六边形螺母并排摆放在桌面上,其俯视图如图①,正六边形边长为2且各有一个顶点在直线l上,两侧螺母不动,把中间螺母抽出并重新摆放后,其俯视图如图②,中间正六边形的一边与直线l平行,有两边分别经过两侧正六边形的一个顶点.则图②中: (1)∠α=　　　　度;  (2)中间正六边形的中心到直线l的距离为　　　　.(结果保留根号)  30 [变式4](2023牡丹质检)如图,正方形ABCD是半径为R的☉O的内接四边形,R=6.求正方形ABCD的边长和边心距. 正多边形与圆 (1)正多边形与圆的关系:把一个圆分成n(n是大于2的自然数)等份,依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形,这个圆叫做这个正多边形的外接圆. (2)正多边形的有关概念 ①中心:正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心.②正多边形的半径:外接圆的半径叫做正多边形的半径.③中心角:正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角.④边心距:中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距. 谢谢观赏！ 12 (2)正多边形每一边所对的　　　　的圆心角叫做正多边形的中心角,正n边形的每个中心角都等于.  [典例](2023潍坊期末)如图,正方形ABCD内接于☉O,点E为上一点,连接CE,BE,若∠CBE=15°,BE=5,则正方形ABCD的边长为(　　) A.7 B.5 C. D.2 [变式1](2022青岛)如图,正六边形ABCDEF内接于☉O,点M在上,则 ∠CME的度数为(　　) A.30° B.36° C.45° D.60° 2 解:如图,过点O作OE⊥BC,垂足为E. ∵四边形ABCD为☉O的内接正方形, ∴∠BOC==90°. ∵OB=OC,∴∠OBC=45°. ∵OE⊥BC,∴∠BOE=∠OBE=45°,∴BE=OE. ∵OB=6,∴OE=BE=3,∴BC=2BE=6. 故正方形ABCD的边长为6,边心距为3. $$3.4　直线与圆的位置关系 第1课时　直线与圆的位置关系 栏目导航 知识梳理 考点梳理 知识梳理 直线与圆的位置关系 位置关系 相交 相切 相离 图示 公共点的个数 　　  　　  　　  圆心到直线的距离d与半径r的关系 d　　　r  d　　　r  d　　　r  2 1 0 < = > 我们可以用直线与圆的公共点的个数来判定直线与圆的位置关系,也可以用圆心到直线的距离(通常用d表示)与圆的半径(r)的大小关系来判断直线与圆的位置关系. 公共点名称 交点 　　　  — 直线名称 割线 　　　  — 切点 切线 考点梳理 确定直线与圆的位置关系 [变式1](2023鄄城质检)已知同一平面内有☉O和点A与点B,如果☉O的半径为6 cm,线段OA=10 cm,线段OB=6 cm,那么直线AB与☉O的位置关系为(　　) A.相离 B.相交 C.相切 D.相交或相切 D A 直线与圆的位置关系 (1)依据公共点的个数判定 ①相离:一条直线和圆没有公共点. ②相切:一条直线和圆只有一个公共点,叫做这条直线和圆相切,这条直线叫做圆的切线,唯一的公共点叫做切点. ③相交:一条直线和圆有两个公共点,此时叫做这条直线和圆相交,这条直线叫做圆的割线. (2)依据☉O的半径r和圆心O到直线l的距离d判定 ①直线l和☉O相交⇔d<r; ②直线l和☉O相切⇔d=r; ③直线l和☉O相离⇔d>r. 根据位置关系确定半径或圆心到直线的距离 [典例2](2023郓城期末)☉O的半径为5,若直线l与该圆相交,则圆心O到直线l的距离可能是(　　) A.3 B.5 C.6 D.10 [变式3](2024曹县质检)如图,已知∠ACB=30°,CM=2,AM=5,以点M为圆心,r为半径作☉M,当☉M与线段AC有公共点时,r的取值范围是 　 　. 考虑问题不全导致漏解. A 1≤r≤5 [变式4](2023莘县质检)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,若以点C为圆心,r为半径的圆与边AB所在直线相离,则r的取值范围为 　　 ;若☉C与AB边只有一个公共点,则r的取值范围为 　　　　　　 　　. 谢谢观赏！ 13 [典例1]如图,在等边三角形ABC中,AB=6 cm,AD⊥BC于点D,判断以点D为圆心,下列长度的r为半径的☉D与AB的位置关系. (1)r=3 cm; (2)r=4.5 cm; (3)r=6 cm. 解:如图,过点D作DE⊥AB于点E. ∵等边三角形ABC的边长为6 cm,AD是高, ∴AD=ABsin 60°=9 cm,∠BAD=30°, ∴DE=4.5 cm. 故(1)r=3 cm时,☉D与AB相离; (2)r=4.5 cm时,☉D与AB相切; (3)r=6 cm时,☉D与AB相交. [变式2](2023青岛一模)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,sin B=,AC=5 cm,以点C为圆心,以2 cm的长为半径作圆,则☉C与AB的位置关系是(　　) A.相离 B.相交 C.相切 D.相切或相交 0<r< 6<r≤8或r= $$第3课时　弧的度数 栏目导航 知识梳理 考点梳理 知识梳理 圆心角与弧 (1)整个圆的　　　　叫做1°的弧.因此,1°的圆心角所对的弧是 　　　　的弧;反之,1°的弧所对的圆心角是　　　　的角.一般情况下,n°的圆心角所对的弧是　　　　的弧;反之,n°的弧所对的圆心角是　　　　的角.  (2)圆心角的度数与它所对弧的度数　　　　.  特别提醒:圆心角的度数与它所对弧的度数相等,不能说成圆心角与它所对的弧相等. 1° 1° n° n° 相等 考点梳理 求圆心角和弧的度数 C [变式1](2024高密模拟)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,以点B为圆心,BC长为半径的圆交AB于点D,交AC于点E,求弧DE的度数. 圆心角的度数与弧的度数之间的转化 (1)根据已知条件求出弧的度数,可得圆心角的度数; (2)根据已知条件求出圆心角的度数,可得弧的度数. 圆心角、弧度数关系的应用 [典例2](2023巨野模拟)圆的一条弦把圆分为度数比为1∶3的两条弧,则弦心距与弦长的比为(　　) A.1∶3 B.2∶3 C.1∶4 D.1∶2 D 51° [变式3](2023临清质检)已知☉O的直径是4,☉O上两点B,C分☉O所得的劣弧与优弧的度数之比为1∶3,则弦BC的长为　　　　.  解:(1)50° (2)若OB=3,OA=4,求BC的长. 谢谢观赏！ 10 [典例1](2023肥城模拟)如图,△ABC的两顶点A,B在☉O上,点C在☉O外,∠C=46°,边AC交☉O于点D,DE∥BC且DE经过圆心交☉O于点E,则的度数为(　　) A.44° B.80° C.88° D.92° 解:连接BE,如图. ∵AB=AC,∠A=40°, ∴∠ABC=∠C=(180°-∠A)=×(180°-40°)=70°. ∵BE=BC, ∴∠BEC=∠C=70°. ∵∠BEC=∠A+∠ABE, ∴∠ABE=70°-40°=30°, ∴弧DE的度数为30°. [变式2](2023寒亭期末)如图,AB是☉O的直径,==,∠COD =34°,则∠AEO的度数是　　　　.  [变式4](2022冠县质检)如图,在Rt△ABO中,∠O=90°,以点O为圆心,OB为半径的圆交AB于点C,交OA于点D. (1)若∠A=25°,则的度数为　　　　;  2 解:(2)如图,过点O作OH⊥BC于H. 在Rt△AOB中,∵∠AOB=90°,OA=4,OB=3, ∴AB===5. ∵S△AOB=OB·OA=AB·OH, ∴OH==, ∴BH===. ∵OH⊥BC,∴BH=CH, ∴BC=2BH=. $$3.2　确定圆的条件 栏目导航 知识梳理 考点梳理 知识梳理 1.确定圆的条件 (1)经过一点A可以作　　　　个圆;经过两点A,B可以作　　　　个 圆,这些圆的圆心在线段AB的　　　　 　　上.  (2)不在同一条直线上的三个点确定　　　　个圆.  2.三角形的外接圆 (1)经过三角形　　　　　　的圆叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心叫做三角形的　　　　　,这个三角形叫做这个圆的　　　 　　　.  (2)三角形的外心是三角形三条边的　　　　　 　的交点,它到三角形三个　　　　的距离相等.  无数 无数 垂直平分线 一 三个顶点 外心 内接三角形 垂直平分线 顶点 特别提醒:①三角形有且只有一个外接圆,而一个圆有无数个内接三 角形. ②锐角三角形的外心在三角形的内部; 直角三角形的外心是斜边的中点; 钝角三角形的外心在三角形的外部. 3.反证法 (1)定义:先提出与命题的结论　　　　的假设,推出矛盾,从而证明命题成立,这种证明的方法叫做反证法.  相反 (2)用反证法证明的步骤 ①否定结论——假设命题的　　　　不成立;  ②推出矛盾——从假设出发,根据已知条件,经过推理论证,得出一个与命题的　　　　　　或已知的　　　　　　、　　　　　　、 　　　　　　等相矛盾的结果;  ③肯定结论——由矛盾判定　　　　不正确,从而肯定命题的结论 正确.  结论　 条件 定义 基本事实 定理 假设 考点梳理 三角形的外接圆与外心 [典例1](2023永安月考)如图的网格由边长相同的小正方形组成,点A,B,C,D,E,F,G在小正方形的顶点上,则△ABC的外心是(　　) A.点D B.点E C.点F D.点G A [变式1](2023胶州期中)某公园的A,B,C处分别有海盗船、摩天轮、旋转木马三个娱乐项目,现要在公园内建一个售票中心,使三个娱乐项目所处位置到售票中心的距离相等,则售票中心应建立在(　　) A.△ABC三边高线的交点处 B.△ABC三条角平分线的交点处 C.△ABC三边中线的交点处 D.△ABC三边垂直平分线的交点处 D 不熟悉三角形外心是三边垂直平分线的交点导致出错. [变式2]如图,点O是△ABC的外心,连接OA,OB,若∠OBA=20°,则∠AOB的度数为　　　　　.  140° 反证法 [典例2](2023牡丹期中)用反证法证明“在△ABC中,若∠A>∠B>∠C,则∠A>60°”时,应先假设(　　) A.∠A=60° B.∠A<60° C.∠A≠60° D.∠A≤60° D [变式4]用反证法证明:两直线平行,同旁内角互补. 已知:如图,l1∥l2,l1,l2都被l3所截. 求证:∠1+∠2=180°. 证明:假设∠1+∠2　　　　180°.  ∵l1∥l2, ∴∠1　　　　∠3.  ∵∠1+∠2　　　　180°,  ∴∠3+∠2≠180°,这和　　　　　　　矛盾,  ∴假设∠1+∠2　　　　180°不成立,  即∠1+∠2=180°. ≠ = ≠ 平角为180° ≠ 用反证法证明的一般步骤 (1)假设命题的结论不成立; (2)从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾; (3)由矛盾判定假设不正确,从而肯定原命题的结论正确. 谢谢观赏！ 12 [变式3]用反证法证明命题“如果a>b,那么>”时,假设的内容是　 .  ≤ $$3.1　圆的对称性 第1课时　垂径定理 第3章　对圆的进一步认识 栏目导航 知识梳理 考点梳理 知识梳理 1.圆的对称性 圆是　　 　　图形,每一条　　　　所在的直线都是它的对称轴.  2.垂径定理 垂直于弦的直径　　　 　以及弦所对的　　 　　.  符号语言:如图, ∵AB为☉O的直径,AB⊥CD, 轴对称 直径 平分弦 两条弧 DE 特别提醒:若一条直线具有以下五条中的任意两条,则必然具备其余的三条. (1)经过圆心; (2)垂直于弦; (3)平分弦(被平分的弦不是直径); (4)平分弦所对的优弧; (5)平分弦所对的劣弧. 考点梳理 垂径定理 [典例1]如图,在直径为10 cm的☉O中,弦AB=6 cm,OC⊥AB于点C,则OC=(　　) A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.6 cm [变式1](2023临清质检)如图,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB,垂足为P.若CD=AP=8,则☉O的半径为(　　) B A.10 B.8 C.5 D.3 C [变式2](2023张家港月考)如图,☉O的弦AB=8 cm,DC=2 cm,直径CE⊥ AB于D,求半径OC的长. 垂径定理及其推论 (1)垂径定理:垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧. (2)垂径定理的推论 推论1:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. 推论2:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧. 推论3:平分弦所对一条弧的直径垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧. 垂径定理的应用 [典例2](2022青海)如图是一个隧道的横截面,它的形状是以点O为圆心的圆的一部分,如果C是☉O中弦AB的中点,CD经过圆心O交☉O于点D,并且AB=4 m,CD=6 m,那么☉O的半径为　　　　m.  [变式3]如图是由两个长方形组成的工件平面图(单位:mm),直线l是它的对称轴,能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是　　 　mm. 50 谢谢观赏！ 10 ∴CE=　　　　,=　　　　,=　　　　.  解:连接OA(图略),设半径为r. ∵CE⊥AB, ∴AD=BD=AB=4,∠ODA=90°. 在Rt△AOD中,∵OA=r,OD=r-2,AD=4, ∴42+(r-2)2=r2,解得r=5, 即半径OC的长为5. $$第2课时　弧、弦、圆心角之间的关系 栏目导航 知识梳理 考点梳理 知识梳理 1.圆的对称性 圆绕着它的圆心旋转180°,能与自身重合,所以圆是　　　　　　图形,　　　　是它的对称中心.  2.圆心角、弧、弦之间的关系 (1)圆心角:顶点在　　　　的角叫做圆心角.  (2)定理:在　　　　或　　　　中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别　　　　.  中心对称 圆心 圆心 同圆 等圆 相等 CD ∠COD CD ∠COD 考点梳理 弧、弦、圆心角之间的关系 [变式1](2023曹县质检)下列说法正确的是(　　) A.同弧或等弧所对的圆心角相等 B.所对圆心角相等的弧是等弧 C.弧长相等的弧一定是等弧 D.平分弦的直径必垂直于弦 A B 圆心角、弧、弦三者之间的关系 在同圆或等圆中,①圆心角相等,②所对的弧相等,③所对的弦相等.三项“知一推二”,一项相等,其余两项皆相等. 谢谢观赏！ 10 符号语言:如图, ①∵∠AOB=∠COD, ∴=　　　　,AB=　　　　;  ②∵=, ∴∠AOB=　　　　,AB=　　　　;  ③∵AB=CD, ∴=　　　　,∠AOB=　　　　.  [典例](2023潍坊期末)如图,在☉O中,点C是的中点,D,E分别是OA,OB上的点,且AD=BE,弦CM,CN分别过点D,E. (1)求证:CD=CE. 证明:(1)如图,连接OC. ∵=,∴∠COD=∠COE. ∵OA=OB,AD=BE,∴OD=OE. 又∵OC=OC,∴△COD≌△COE(SAS),∴CD=CE. (2)求证:=. 证明:(2)如图,连接OM,ON. ∵△COD≌△COE, ∴∠CDO=∠CEO,∠OCD=∠OCE. ∵OC=OM=ON, ∴∠OCM=∠OMC,∠OCN=∠ONC, ∴∠OMD=∠ONE. ∵∠ODC=∠DMO+∠MOD,∠CEO=∠CNO+∠EON, ∴∠MOD=∠NOE, ∴=. [变式2](2023东昌府质检)在☉O中,=2,则下列说法正确的是 (　　) A.CD>2AB B.CD<2AB C.CD=2AB D.无法确定 [变式3](2023临清期末)如图,已知C,D是以AB为直径的☉O上的两点,连接BC,OC,OD,若OD∥BC,求证:D为的中点. 证明:∵OB=OC,∴∠B=∠C. ∵OD∥BC,∴∠AOD=∠B,∠COD=∠C, ∴∠AOD=∠COD, ∴=,即D为的中点. $$第4课时　切线长定理 栏目导航 知识梳理 考点梳理 知识梳理 切线长 (1)定义:经过圆外一点可以画圆的　　条切线,这点与其中一个　 　. 的线段的长,叫做这点到圆的切线长.  (2)定理:过圆外一点所画的圆的两条切线长　　　　.  两 切点 相等 考点梳理 利用切线长定理求角 [典例1](2023临清质检)如图,PA,PB是☉O的切线,A,B为切点,∠OAB= 38°,则∠P=　　　　.  76° [变式1](2024潍坊模拟)如图,直线AB,BC,CD分别与☉O相切于点E,F, G,且AB∥CD,则∠BOC=　　　　度.  90 不能灵活运用切线长定理、等腰三角形的性质等知识求解而出错. [变式2](2023郓城质检)如图,PA,PB是☉O的切线,A,B为切点,AC是☉O的直径,∠BAC=20°,求∠P的度数. 解:根据切线的性质,得∠PAC=90°, ∴∠PAB=90°-∠BAC=90°-20°=70°. 根据切线长定理,得PA=PB, ∴∠PAB=∠PBA=70°, ∴∠P=180°-70°×2=40°. 利用切线长定理求线段长 [典例2](2023坊子质检)如图,AB,AC,BD是☉O的切线,切点分别为P,C, D,若AB=4,AC=3,则BD的长是(　　) A.2.5 B.2 C.1.5 D.1 D [变式3](2023莘县期末)如图,P为☉O外一点,PA,PB分别切☉O于点A, B,CD切☉O于点E,分别交PA,PB于点C,D,若PA=8,则△PCD的周长为(　) A.8 B.12 C.16 D.20 C [变式4](2024曹县质检)如图,AB为☉O的直径,点C在AB的延长线上, CD,ZCE分别与☉O相切于点D,E,若AD=2,∠DAC=∠DCA,则CE的长为　 . 2 [变式5](2024聊城质检)如图,以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O,过点C作直线切半圆于点F,交AD边于点E,若△CDE的周长为12,则直角梯形ABCE的周长为　　　　.  14 切线长定理的注意事项及隐含结论 (1)注意事项:切线和切线长是两个不同的概念,切线是直线,不能度量;切线长是线段的长,这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点,可以度量. (2)切线长定理包含两个结论:①线段相等(两条切线长相等);②角相等(圆外一点与圆心的连线平分过该点的两切线的夹角). 谢谢观赏！ 12 $$3.5　三角形的内切圆 栏目导航 知识梳理 考点梳理 知识梳理 1.三角形的内切圆 与三角形各边都　　　　的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的　　　　,这个三角形叫做圆的　　　　三角形.三角形的内心是三角形的三条　　 　　的交点,它到三角形各边的距离 　　　.任何一个三角形都有且只有　　个内心,三角形的内心在三角形的　　部.  相切 内心 外切 角平分线 相等 一 内 2.三角形内切圆的半径 (1)已知△ABC的三边为a,b,c,它的面积为S,则它的内切圆的半径r= 　　　　.  (2)已知Rt△ABC的直角边为a,b,斜边为c,则它的内切圆的半径r= 　　　　.  特别提醒:一个三角形有且只有一个内切圆,而一个圆有无数多个外切三角形. 考点梳理 利用三角形的内切圆求线段长 [典例1](2023东昌府质检)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=8,AC=6,则△ABC内切圆的半径为　　　　.  2 C [变式2](2023肥城一模)如图,△ABC的内切圆☉O与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F.已知△ABC的周长为36,AB=9,BC=14,则AF的长为(　　) A.4 B.5 C.9 D.13 A 三角形的内切圆与内心 (1)三角形的内切圆是与三角形各边都相切的圆.三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心,这个三角形叫做圆的外切三角形.三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点. (2)任何一个三角形有且仅有一个内切圆,而任一个圆都有无数个外切三角形. (3)三角形的内心到三角形三边的距离相等;三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角. 利用三角形的内切圆求角 [典例2](2023莱州一模)如图,点I是△ABC的内心,若∠I=116°,则∠A等于(　　) A.50° B.52° C.54° D.56° B [变式3](2023鄄城月考)如图,圆O是△ABC的内切圆,若∠ABC=60°, ∠ACB=50°,则∠BOC的度数为　　　　.  125° 不能灵活运用“三角形的内心是三角形三条角平分线的交点”这一知识而出错. [变式4]如图,点D是△ABC的内心,AD的延长线和△ABC的外接圆相交于点E,连接BE,CE,且∠BAC=50°. (1)∠BEC的度数为　　　　;  (2)∠BCE的度数为　　　　.  130° 25° 谢谢观赏！ 12 [变式1]如图,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,☉O为△ABC的内切圆,若OC=2,且△ABC的面积为24,则△ABC的周长为(　　) A.48 B.24 C.24 D.6 $$第2课时　切线的判定 栏目导航 知识梳理 考点梳理 知识梳理 切线的判定 (1)定义法:和圆有　　　　公共点的直线是圆的切线.  (2)圆心到直线的距离等于　　　　,这条直线是圆的切线.  (3)过　　　　的外端并且　　　 　半径的直线是圆的切线.  唯一 半径 半径 垂直于 考点梳理 切线的判定 [典例](2023巴中改编)如图,已知等腰三角形ABC,AB=AC,以AB为直径作☉O交BC于点D,过点D作DF⊥AC于点E,交BA的延长线于点F.求证:DF是☉O的切线. 证明:如图,连接OD. ∵AB=AC,∴∠B=∠C. ∵OB=OD,∴∠B=∠ODB, ∴∠ODB=∠C,∴AC∥OD. ∵DF⊥AC,∴OD⊥DF. ∵OD是☉O的半径, ∴DF是☉O的切线. [变式1](2023肥城期末)如图,在平面直角坐标系中,半径为2的圆P的圆心P的坐标为(-3,0),将圆P沿x轴的正方向平移,使得圆P与y轴相切,则平移的距离为(　　) A.1 B.3 C.5 D.1或5 D [变式2](2023临清一模)如图,已知∠AOB=30°,M为OB边上任意一点,以M为圆心,2 cm为半径作☉M,当OM=　　　　cm时,☉M与OA相切.  4 [变式3](2023荆州节选)如图,在菱形ABCD中,DH⊥AB于点H,以DH为直径的☉O分别交AD,BD于点E,F,连接EF. 求证:CD是☉O的切线. 证明:∵四边形ABCD是菱形, ∴AB∥CD. ∵DH⊥AB,∴∠CDH=∠DHA=90°, ∴CD⊥OD. ∵D为☉O的半径的外端点, ∴CD是☉O的切线. 应用切线判定定理时的两点注意 (1)切线必须满足两个条件 ①经过半径的外端; ②垂直于这条半径. (2)在判定一条直线为圆的切线时,有两种作辅助线的方法,分别为“无交点,作垂线段,证半径”,“有交点,作半径,证垂直”. 谢谢观赏！ 9 $$第3课时　圆内接四边形的性质 栏目导航 知识梳理 考点梳理 知识梳理 1.圆内接多边形 所有顶点都在　 　　　的多边形叫做圆内接多边形,这个圆叫做这个多边形的　　　　圆.  2.圆内接四边形的性质(圆周角定理的推论4) 圆内接四边形的对角　　　　.  外接 互补 同一个圆上 考点梳理 圆内接四边形的性质 (2)若☉O的半径为3,求BC的长. 解:(2)连接OB,OC(图略). ∵∠BDC=30°,∴∠BOC=60°. ∵OC=OB,∴△OBC是等边三角形, ∴BC=OB=3. [变式1](2022宜昌)如图,四边形ABCD内接于☉O,连接OB,OD,BD,若∠C=110°,则∠OBD的度数为(　　) A.15° B.20° C.25° D.30° B [变式2](2023曹县质检)如图,点A,B,C,D在☉O上,∠D=60°,AB=AC,则∠ABC等于(　　) A.15° B.30° C.45° D.60° B [变式3](2022锦州)如图,四边形ABCD内接于☉O,AB为☉O的直径, ∠ADC=130°,连接AC,则∠BAC的度数为　　　　.  40° [变式4](2023冠县月考)如图,圆内接四边形ABCD中两组对边的延长线分别相交于点E,F,且∠A=55°,∠E=30°,求∠F的度数. 解:∵∠A=55°,∠E=30°, ∴∠ABE=180°-∠A-∠E=95°. ∵四边形ABCD为圆内接四边形, ∴∠BCD=180°-∠A=125°, ∴∠BCF=180°-∠BCD=55°, ∴∠F=∠ABE-∠BCF=95°-55°=40°. 圆内接四边形的性质 (1)圆内接四边形的对角互补; (2)圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角. 谢谢观赏！ 11 [典例](2023潍坊期末)如图,四边形ABCD内接于☉O,连接BD,∠BAD= 105°,=. (1)求∠BDC的大小; 解:(1)∵四边形ABCD内接于☉O, ∴∠DCB+∠BAD=180°. ∵∠BAD=105°,∴∠DCB=180°-105°=75°. ∵=,∴∠DCB=∠DBC=75°, ∴∠BDC=180°-75°-75°=30°. $$null第3课时　切线的性质 栏目导航 知识梳理 考点梳理 知识梳理 切线的性质定理 (1)内容:圆的切线　　　　于经过切点的半径.  (2)符号语言: 如图,∵直线l是☉O的切线,A为切点, ∴OA⊥l. 特别提醒:(1)圆的切线和圆有且只有一个公共点; (2)圆心到切线的距离等于圆的半径. 垂直 考点梳理 切线的性质 [典例1](2023历下三模)如图,AB为☉O的直径,PQ切☉O于点E,AC⊥PQ于点C,交☉O于点D.求证:AE平分∠BAC. 证明:如图,连接OE. ∵OA=OE, ∴∠OEA=∠OAE. ∵PQ切☉O于点E, ∴OE⊥PQ. ∵AC⊥PQ,∴OE∥AC, ∴∠OEA=∠EAC, ∴∠OAE=∠EAC,∴AE平分∠BAC. [变式1]如图,AB是☉O的直径,点D在☉O上,过点D作☉O的切线DC交AB的延长线于点C.若BC=4,CD=8,则☉O的半径为(　　) A.5 B.6 C.8 D.9 B [变式2]如图,在平面直角坐标系中,☉M与x轴相切于点A,与y轴交于点B,C.若圆心M的坐标是(4,5),则弦BC的长度为(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 D 切线的性质 (1)圆的切线垂直于经过切点的半径; (2)经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点; (3)经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. 切线的判定与性质 [典例2](2023本溪)如图,AB是☉O的直径,点C,E在☉O上,∠CAB= 2∠EAB,点F在线段AB的延长线上,且∠AFE=∠ABC. (1)求证:EF与☉O相切; (1)证明:如图,连接OE. ∵OA=OE,∴∠OAE=∠OEA, ∴∠FOE=∠OAE+∠OEA=2∠OAE. ∵∠CAB=2∠EAB, ∴∠CAB=∠FOE. 又∵∠AFE=∠ABC, ∴∠CAB+∠ABC=∠FOE+∠OFE. ∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°, ∴∠CAB+∠ABC=90°=∠FOE+∠OFE, ∴∠OEF=90°,即OE⊥EF. 又∵OE是☉O的半径, ∴EF与☉O相切. 谢谢观赏！ 12 (2)若BF=1,sin∠AFE=,则BC的长为　　　　.  (2)解: $$第2课时　圆周角定理的推论2,3 栏目导航 知识梳理 考点梳理 知识梳理 1.推论2:同弧或等弧上的圆周角　　　　;在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧　　　　.  特别提醒:推论2中“相等的圆周角所对的弧相等”前提条件是“在同圆或等圆中”,缺少这个条件,结论不一定成立. 2.推论3:直径所对的圆周角是　　　　;90°的圆周角所对的弦是 　　　　.  相等 直角 直径 相等 考点梳理 圆周角定理的推论2 (2)四边形BCDE为菱形. [变式1]如图,CD⊥AB于点E,若∠B=60°,则∠A的度数为(　　) A.20° B.30° C.40° D.60° B 圆周角定理的推论3 [典例2](2023莘县质检)如图,已知☉O的直径BC为10,点A、点B、点C在☉O上,∠CAB的平分线交☉O于点D. (1)求∠CBD的度数; (2)若AB=6,求AC,BD,CD的长. [变式2]如图,A,D是☉O上的两个点,BC是直径,若∠D=40°,则∠OAC= 　 　度.  50 直径与圆周角关系的解题技巧 (1)见到直径想直角; (2)圆中直角对直径; (3)在解题中注意与勾股定理、锐角三角函数等知识的综合应用. 谢谢观赏！ 11 [典例1](临沂中考)如图,已知在☉O中,==,OC与AD相交于点E. 求证:(1)AD∥BC; 证明:(1)如图,连接BD. ∵=,∴∠ADB=∠CBD, ∴AD∥BC. 证明:(2)如图,连接CD,设BD与CE交于点F. ∵AD∥BC,∴∠EDF=∠CBF. ∵=,∴BC=CD,BF=DF. 又∠DFE=∠BFC, ∴△DEF≌△BCF(ASA),∴DE=BC, ∴四边形BCDE是平行四边形. 又BC=CD,∴平行四边形BCDE是菱形. 解:(1)∵BC为☉O的直径, ∴∠CAB=90°. 又AD平分∠CAB, ∴∠CAD=∠CAB=45°, ∴∠CBD=∠CAD=45°. 证明:(2)∵BC是☉O的直径, ∴∠CAB=∠BDC=90°. ∴AC===8. ∵AD平分∠CAB,∴∠CAD=∠BAD, ∴=,∴CD=BD. 在Rt△BDC中,BC=10,CD2+BD2=BC2, ∴BD=CD=5. $$3.6　弧长及扇形面积的计算 栏目导航 知识梳理 考点梳理 知识梳理 考点梳理 有关弧长的计算 150° [变式2](2023郴州)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=3 cm,∠B= 60°.将△ABC绕点A逆时针旋转,得到△AB′C′,若点B的对应点B′恰好落在线段BC上,则点C的运动路径长是　　　　cm.(结果用含π的式子表示)  (2)在弧长的计算公式中,n是表示1°的圆心角的倍数,n和180都不带单位; (3)在弧长的计算公式中,已知l,n,R中的任意两个,可求第三个. 有关扇形面积的计算 [典例2](2023新泰期中)如图,一个半径是2 cm的圆,在其中画一个圆心角为120°的扇形,这个扇形的面积为　　　　cm2.  [变式3](2023诸城一模)如图,圆心重合的两个圆的半径分别为4,2, ∠AOB=120°,则阴影部分的面积为(　　) C 不能将阴影部分灵活转化进行求解. [变式5]如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,点E是斜边AC上一点,以AE为直径的☉O经过点D,交AB于点F,连接DF. (1)求证:BC是☉O的切线; (1)证明:连接OD(图略). ∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA. ∵AD平分∠BAC,∴∠OAD=∠BAD, ∴∠ODA=∠BAD,∴OD∥AB, ∴∠ODC=∠B=90°,∴半径OD⊥BC, ∴BC是☉O的切线. 谢谢观赏！ 12 1.弧长公式 在半径为r的圆中,n°的圆心角所对弧的长度为l=. 2.扇形的面积公式 在半径为r的圆中,圆心角为n°的扇形的面积为S扇形=. 因为扇形的弧长为l=,所以扇形的面积还可以写成S扇形=　　　　.  特别提醒:根据扇形面积公式和弧长公式,已知S扇形,l,r,n四个量中的任意两个量都可以求出另外两个量. lr [典例1]已知一个扇形的弧长是,半径是3,则该扇形的圆心角的度数是　　　　.  [变式1](2023寒亭月考)如图,☉O的直径AB=4,弦CD垂直平分半径OB,则的长是　　　　.  π 弧长的有关计算 (1)弧长公式:l=(弧长为l,圆心角度数为n°,圆的半径为R); A.4π B. C.8π D.16π [变式4](2022西宁)如图,如果等边三角形ABC内接于☉O,BC=2,那么图中阴影部分的面积是　　　　.  (2)若BD=5,tan∠ADB=,则图中阴影部分的面积　 .(结果保留π) (2)解: $$3.3　圆周角 第1课时　圆周角定理及推论1 栏目导航 知识梳理 考点梳理 知识梳理 1.圆周角 顶点在　　　　,并且它的两边在圆内的部分是圆的两条　　　　,像这样的角叫做圆周角.  2.圆周角定理及推论1 (1)圆周角定理 圆周角等于它所对弧上的圆心角的　　　　.  (2)推论1 圆周角的度数等于它所对弧的度数的　　　　.  特别提醒:同一条弧所对的圆周角有无数个,同一条弧所对的圆心角只有一个. 圆上 弦 一半 一半 考点梳理 圆周角定理 [变式1](2022阜新)如图,A,B,C是☉O上的三点,若∠C=35°,则∠ABO的度数是(　　) A.35° B.55° C.60° D.70° B 圆周角及圆周角定理 (1)圆周角必须满足两个条件:①顶点在圆上;②角的两条边都与圆相交.二者缺一不可. (2)圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半. 圆周角定理的推论1 [典例2](2023聊城模拟)如图,☉O的弦AB,DC的延长线相交于点E, ∠AOD=150°,弧BC为70°.求∠ABD,∠AED的度数. 46° 谢谢观赏！ 10 [典例1]如图,△ABC的三个顶点都在☉O上,∠AOB=96°,∠CAB=60°,点D是的中点.求∠ABD的度数. 解:∵∠AOB=96°,∴∠ACB=48°. ∵∠CAB=60°,∴∠ABC=180°-∠ACB-∠CAB=72°,对应的度数为120°. 又∵点D是的中点,∴对应的度数为60°, ∴∠CBD=30°, ∴∠ABD=∠ABC+∠CBD=102°. 解:∵∠ABD=∠AOD,∠AOD=150°,∴∠ABD=75°. ∵弧BC的度数为70°, ∴∠BDC=×70°=35°. ∵∠ABD=∠BDC+∠AED, ∴∠AED=75°-35°=40°. [变式2](2023潍坊模拟)如图,在☉O中,弦AB,CD相交于点E,=2.若∠DEB=69°,则的度数为　　　　.  $$