第二十三章旋转单元练习2025-2026学年人教版九年级数学上册

第二十三章 旋转 单元练习 一、单选题 1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，且点恰好落在上．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．下列说法错误的是（　　） A．图形的平移后，每组对应点之间的距离相等 B．图形的旋转后，对应点到旋转中心的距离相等 C．两个图形关于某条直线对称，对应点一定在直线的两旁 D．两个图形如果关于一条直线成轴对称，那么由这两个图形所组成的图形是轴对称图形 4．如图，在中，，将绕点顺时针旋转90°后得到（点的对应点是点，点的对应点是点，连接，若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，将绕点C逆时针旋转得到连接，若点，B，A在同一条直线上，则的长为（　　） A． B． C． D．3 6．如图，在中，，边在x轴上，顶点B的坐标为，以为边向的外侧作正方形，将组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第98次旋转结束时，点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 7．如图是一个三叶吊扇的图片，吊扇正常工作（运转）时，其叶片的转动可以看成是一个旋转运动，当第一个叶片转动到第二个叶片的位置时，它转过了（　　）度 A．300 B．240 C．120 D．60 8．如图所示，在中，，将绕顶点逆时针旋转得到，点是的中点，点是的中点，连接．若，，则线段长度的最小值是（    ） A． B． C．2 D． 9．如图，把以点为中心逆时针旋转得到，点，的对应点分别为点D、E，且点D恰好落在边上，连结，则下列结论一定正确的是（　　） A． B． C． D． 10．如图，将绕点顺时针旋转一定角度后得到，此时点，点，点在一条直线上．若，则旋转角（　　） A． B． C． D． 二、填空题 11．是等边三角形，点O是其对称中心，且，将绕点O逆时针至少旋转 后能与自身重合． 12．如图，将绕点O按逆时针方向旋转至，使点B恰好落在边上，已知，则的长是 ． 13．如图，在中，，将绕顶点B顺时针旋转到，当首次经过顶点C时，旋转角 °． 14．如图，在边长为8的等边三角形中，M是高所在直线上的一个动点，连接，将线段绕点旋转得到，连接，则在点M的运动过程中，线段长度的最小值是 15．如图1，已知直线，垂足为点，现有一个直角三角形，其中，现将这个三角形按如图1方式放置，使点落在直线上．将绕点逆时针旋转一周，如图2所示．当旋转一定角度 时，会被直线或分成两个三角形，其中一个三角形有两个角相等． 三、解答题 16．如图，将矩形绕点A顺时针旋转，得到矩形，点F恰好落在的延长线上．    (1)证明：； (2)证明：的延长线经过点B． 17．如图所示，三个顶点坐标分别为、、请在所给的正方形网格中按要求画图和解答下列问题： (1)以点为旋转中心，将绕点顺时针旋转得，画出． (2)画出关于坐标原点成中心对称的． (3)若可看作是由旋转得来，则旋转中心坐标为________． (4)计算出的面积是________． 18．如图，在中，，，，将逆时针旋转一角度后与重合，且点D恰好是的中点． (1)旋转中心是点 ，的长为 ； (2)求的度数． 19．如图 ，点，且a、b满足． (1)如图1 ，求的面积 ； (2)如图2 ，点C在线段上（不与A、B重合）移动，，且， 猜想线段之间的数量关系并证明你的结论 ； (3)如图3 ，若P为x轴上异于原点O和点A的一个动点 ，连接，将线段绕点P顺时针旋转至，直线交y轴于点Q ，当P点在x轴正半轴上移动时 ，线段和线段中哪一条线段长为定值 ，并求出该定值． 20．如图1，在直线上摆放一副直角三角板，两三角板顶点重合于点O，，，将三角板绕点O以每秒的速度顺时针方向转动，设转动时间为t秒． (1)如图2，若平分，则t的最小值为 ；此时﹣ 度；（直接写答案） (2)当三角板转动如图3的位置，此时、同时在直线的右侧，猜想与有怎样的数量关系？并说明理由；（数量关系中不含t） (3)若当三角板开始转动的同时，另一个三角板也绕点O以每秒的速度顺时针转动，当旋转至射线上时，两三角板同时停止运动： ①当t为何值时，； ②在转动过程中，请写出与的数量关系，并说明理由．（数量关系中不含t） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第二十三章 旋转 单元练习2025-2026学年人教版九年级数学上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B C A D A C B C A 1．B 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不合题意； B、既是轴对称图形又是中心对称图形，故B选项符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故C选项不合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不合题意． 故选：B． 2．B 【分析】本题主要考查了旋转的性质、三角形内角和、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． 由旋转的性质得，，从而，然后由三角形内角和求出的度数即可． 【详解】解：由旋转的性质得，， ∴． ∵， ∴， ∴． 故选B． 3．C 【分析】本题考查平移、旋转及轴对称的性质，根据各选项的描述，结合图形变换的基本性质逐一判断即可． 【详解】解：A、平移后，图形上每对对应点移动的距离和方向均相同，故对应点间距相等，正确； B、旋转过程中，对应点到旋转中心的距离保持不变，正确； C、若两个图形关于某直线对称，可能存在对应点位于对称轴上（如对称点自身在轴上），此时对应点不在直线两旁，错误； D、两个图形关于直线对称，则组合图形沿该直线对折可重合，是轴对称图形，正确； 故选：C． 4．A 【分析】本题主要考查了旋转的性质（对应线段相等，对应角相等）、等腰直角三角形的判定与性质（等腰直角三角形两底角为）以及三角形外角性质（三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和），解题的关键在于利用旋转的性质和等腰直角三角形的特性，结合三角形外角性质，逐步推导出的度数．先根据旋转的性质得到相关线段和角的关系，再利用等腰直角三角形的性质求出，最后结合三角形外角性质求出． 【详解】解：根据旋转性质得到， 绕点A顺时针旋转后得到， ， 在中，， 是等腰直角三角形， ， ， ， 由旋转性质可知 ， ． 故选：A． 5．D 【分析】此题主要考查了旋转的性质，含角的直角三角形的性质，三角形外角的性质，等角对等边，判断出是解本题的关键．先根据含角的直角三角形的性质求出，再由旋转的性质得出，进而判断出，得出，求和即可得出答案． 【详解】解：在中，， ∴， 由旋转知，， ∵点，B，A在同一条直线上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 6．A 【分析】过点作轴于，过点作轴于点，根据四边形是正方形以及等腰直角三角形的性质可得，将组成的图形绕点顺时针旋转，每次旋转，每旋转8次回到最初位置，从而得到第98次旋转结束时，相当于将顺时针旋转了，作轴于，通过证明，即可得到答案． 【详解】解：如图，过点作轴于，过点作轴于点， ，在中，，边在x轴上，顶点B的坐标为 ， ∴， ， ， ， 四边形是正方形， ，， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， 将组成的图形绕点顺时针旋转，每次旋转， 每旋转次回到最初位置， ， 第98次旋转结束时，相当于将顺时针旋转了，如图所示， ， 则，， 作轴于，则， ，， ， ， ，， ， 第98次旋转结束时，点的坐标为， 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、坐标与旋转规律问题、三角形全等的判定与性质，熟练掌握正方形的性质、旋转的性质、三角形全等的判定与性质，是解题的关键． 7．C 【分析】本题主要考查旋转的性质，几何图形中的角度计算问题，关键是明确三叶吊扇的叶片把周角平均分成份． 根据三叶吊扇把周角三等分求解即可． 【详解】解：因为三叶吊扇的三个叶片把周角平均分成等份， 所以每一份的角度为， 即当第一个叶片转动到第二个叶片的位置时，转过了 ， 故选：C． 8．B 【分析】本题考查了旋转的性质，解题的关键是三角形三边关系的应用． 根据勾股定理求出，然后由三角形三边关系进行计算． 【详解】解：由，，， 得：， 旋转得到，是的中点，是的中点， 得：，， ∴． 故选：B ． 9．C 【分析】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质和三角形外角运用是解题的关键．根据旋转的性质即可解答． 【详解】解：根据题意，由旋转的性质， 可得，，， 无法证明，，故A、B选项不符合题意， 由旋转的性质得：，即：， ∴，故C选项不符合题意， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵，不一定等于， ∴，不一定等于，故选项D不符合题意， 故选：C． 10．A 【分析】本题考查了旋转的性质，平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质和旋转的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．由平行四边形的性质和旋转的性质得出，可得，从而得出，得出，再求得，再求解即可． 【详解】解：如图，设与相交于点， 将绕点顺时针旋转一定角度后得到， ， ， ， ， ， ， ， ， 即旋转的角度为， 故选：A． 11．/120度 【分析】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角． 等边三角形的外心到三个顶点的距离相等，相邻顶点与外心连线的夹角相等，计算旋转角即可． 【详解】解：依题意，等边三角形的外心到三个顶点的距离相等，相邻顶点与外心连线的夹角相等， ∴，即每次至少旋转． 故答案为：． 12．2.5 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据旋转，得到，进而得到，线段的和差关系求出的长即可． 【详解】解：∵将绕点O按逆时针方向旋转至， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：2.5 13．40 【分析】本题考查了平行四边形的性质、旋转的性质、等腰三角形的判定和性质以及三角形的内角和定理，解题的关键是证明三角形是等腰三角形．由旋转的性质可知，由等腰三角形的性质得出，根据旋转角相等可得． 【详解】解：∵绕顶点B顺时针旋转到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：40． 14． 【分析】取 的中点 ，连接，根据等边三角形的性质和旋转可以证明，可得，根据垂线段最短，当时，最短，即最短，由直角三角形的性质可求得线段长度的最小值． 【详解】解：如图，取 的中点 ，连接 ∵线段绕点逆时针旋转得到， ∴ ， 又∵是等边三角形， ∴，即， ∴， ∵是等边三角形的高， ∴ ， ∴， 又∵旋转到， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 根据垂线段最短，当时，最短，即最短， 此时 ， ∴， ∴ ， ∴． ∴线段长度的最小值是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，含30度角的直角三角形等，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点． 15． 【分析】画出图形发现，符合条件的旋转角度一共有8个，分别利用旋转的性质和三角形的内角和即可依次求出符合题意的相等的角和旋转角． 【详解】解：设旋转后的图形为， ①当时，如图1，由旋转得：， ∴， ∴， ∴； ②当时，如图2， 由题意可知：轴， ∴， ∴， ∵， ∴，    ③当时，如图3， 由旋转得：， ∴， ∵， ∴， ∴； ④当时，如图4， ∵， ∴， ∴， ∴；    ⑤当时，如图5， ∵， ∴， ∴， ∴；    ⑥当时，如图6， ∵， ∴， ∴， ∴；    ⑦当时，如图7， ∵， ∴， ∴；    ⑧当时，如图8， ∵， ∴， ∴．    综上所述，所有符合条件的旋转角度为． 故答案为：． 【点睛】本题是直角三角形的旋转变换问题，难度不大，但比较麻烦，容易丢解，要认真画图；明确对应线段的夹角就是旋转角，且旋转角都相等，本题主要考查了旋转的性质、直角三角形的性质和三角形的内角和定理等知识，要熟练掌握． 16．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）如图：连接，由旋转的性质可得，然后根据矩形的性质和等腰三角形即可证明结论； （2）如图：延长交于点，由旋转的性质可得、，矩形的性质可得、．再证可得，最后根据三角形的内角和定理和等量代换即可解答． 【详解】（1）解：如图：连接， 由旋转性质得， 又∵在矩形中，， ∴； （2）解：延长交于点，    由旋转性质得，，， 在矩形中，，， 由（1）得， ∴，． 又∵， ∴． ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴点与B重合． ∴的延长线经过点B． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、旋转的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线是解答本题的关键． 17．(1)见解析 (2)见解析 (3) (4) 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转和中心对称： （1）分别作出点B、C绕点A顺时针旋转得到的对应点，再与点A首尾顺次连接即可； （2）分别作出三个顶点关于原点的对称点，再首尾顺次连接即可； （3）作线段的垂直平分线，与线段垂直平分线的交点即为旋转中心，从而得出答案． （4）运用割补法进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图所示，、的线段垂直平分线交于， ∴旋转中心的坐标即为． （4）解：． 18．(1)A， (2) 【分析】本题考查了旋转的相关知识点． （1）由“顺时针旋转一定角度后与重合”可得旋转中心点，根据旋转的性质得出，，据此可求得； （2）根据旋转的性质得出． 【详解】（1）解：在中，，， ∴， 即， ∵顺时针旋转一定角度后与重合， ∴旋转中心为点A，旋转的度数为； ∴，， ∵点D恰好成为的中点， ∴， ∴； 故答案为：A，； （2）解：∵顺时针旋转一定角度后与重合， ∴旋转中心为点A，旋转的度数为； ∴， 故答案为：． 19．(1) (2)，证明见解析 (3)线段是定值，2 【分析】（1）根据非负数的性质得到，，得到，，可得到结果； （2）将绕点逆时针旋转得到，根据已知条件得到，由，，可得，求出，推出≌，根据全等三角形的性质得到； （3）作于，在上截取，由，得到，根据余角的性质得到，推出，根据全等三角形的性质得到，得到．即：，从而由等腰直角三角形的性质得到结论． 【详解】（1）解：（1）∵， ，， ，， 、， ，， 的面积； （2），证明如下： 如图2，将绕点逆时针旋转得到， ，， ，即，，共线， ，， ， ， 在与中， ， ∴≌， ， ， ； （3）解：作于，在上截取，如图，则：， ∵旋转， ∴且， ，， ∵在轴上移动， ∴随着点的移动而变化， ∴也随着点的移动而变化，不是定值， ， ， 在与中， ， ∴≌， ， ，即， ， ， ， ． 线段为定值2． 【点睛】本题考查了几何变换综合题，涉及非负性，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，坐标与图形的性质，三角形面积的计算等知识点，正确的作出辅助线是解题的关键． 20．(1)5； (2),理由见解析 (3)①或；②，理由见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差，一元一次方程的应用，数形结合是解题的关键． （1）的最小值即第一次平分时的值；求出的度数即可求出的值； （2）用含的代数式分别表示出和，然后相减即可； （3）①分在的左侧时和在的右侧时两种情况求解； ②由题意得，，，，从而，，进而可得； 【详解】（1）解：由题意可得：, ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5；； （2）解：∵，， ∴； （3）解：①如图4， ， 当在内部时， ∵，，， ∴， ∴， 如图5： ， 当在外部时， ∵，，， ∴， ∴， 综上所述：或； ②如图6： ， ∵，， ∴； 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$