2.4　解直角三角形 教案 2025-2026学年青岛版九年级数学上册

2.4　解直角三角形 课题 2.4　解直角三角形 课时 1课时 授课人 教学目标 1.掌握直角三角形中角与角(两锐角互余)、边与边(勾股定理)、角与边(锐角三角比)之间的关系. 2.已知直角三角形的两个元素(至少一个是边),会解直角三角形. 3.通过将非直角三角形问题转化为解直角三角形问题,感悟转化的数学思想. 教学 重难点 教学重点:已知直角三角形的两个元素(至少一个是边),会解直角三角形. 教学难点:锐角三角比在解直角三角形中的灵活运用. 教学活动 教学流程 师生活动 设计意图 课前小测 1.在Rt△ABC中,∠C=90°,若AB=5,AC=2.5,则∠A=　60°　,∠B=　30°　.  2.在Rt△ABC中,∠C=90°,若∠B=30°,AC=3,则AB=　6　,BC=　3　.  复习巩固之前所学,为新课内容做好铺垫. 情境导入 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c.共有六个元素,三条边和三个角.其中有一个角是直角,固定不变. 问题1：直角三角形的三边之间有什么关系? a2+b2=c2. 问题2：直角三角形的锐角之间有什么关系? ∠A+∠B=90°. 问题3：直角三角形的边和锐角之间有什么关系? sin A=,sin B=, cos A=,cos B=, tan A=,tan B=. 定义: 解直角三角形:由直角三角形中已知的元素求出未知元素的过程,叫做解直角三角形. 观察交流：观察上面问题的结论,在直角三角形中,除直角以外,至少知道几个元素就可以求出其他的未知元素? 1.归纳、梳理前面学过的勾股定理和锐角三角比. 2.直接给出解直角三角形的定义. 合作探究 探究一:已知直角三角形的两个锐角,能解直角三角形吗? 不能,由相似三角形的知识可知,两个锐角分别相等的三角形相似,这样大小不同的相似三角形能画出无数个,所以不能解直角三角形. 探究二:已知直角三角形的两边,能解直角三角形吗? 如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=,BC=,能求出其他未知的边和角吗? 解:在Rt△ABC中,∠C=90°,所以tan A==. 所以∠A=60°,所以∠B=90°-∠A=30°. AB==2. 1.分情况探究解直角三角形的必备条件. 续表 合作探究 典例分析: 【例1】 在Rt△ABC中,已知∠C=90°,a=17.5,c=62.5.解这个直角三角形. 解:∵a2+b2=c2, ∴b===60, 由sin A===0.28,得∠A≈16°15'37″. ∴∠B=90°-∠A≈90°-16°15'37″=73°44'23″. 如果已知直角三角形的两条直角边,如何解直角三角形呢?与同学交流. 直角边的比跟正切有关,所以“有斜用弦”“无斜用切”,同样可以求出角的度数. 归纳小结：在直角三角形中,已知两边,定能解直角三角形. (1)已知斜边c和直角边b,则 ①a=;②由sin B=,求∠B;③∠A=90°-∠B. (2)已知直角边a和b,则 ①c=;②由tan A=,求∠A;③∠B=90°-∠A. 探究三:已知直角三角形的一边和一角,能解直角三角形吗? 如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=65°,a=5,能求出其他未知的边和角吗? 解:在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=65°, ∴∠B=25°. ∵tan B=,∴b=a·tan B. ∵sin A=,∴c=. 当知道一边和一角时,可以解直角三角形. 如果三角比不是特殊值,那么可以用计算器求角. 典例分析: 【例2】 在Rt△ABC中,已知∠C=90°,c=128,∠B=52°.解这个直角三角形(边长精确到0.01). 解:在Rt△ABC中,由∠C=90°,∠B=52°,得 ∠A=90°-∠B=90°-52°=38°. 由sin B=,得b=c·sin B=128·sin 52°≈100.87; 由cos B=,得a=c·cos B=128·cos 52°≈78.80. 如果已知直角三角形的一条直角边和一个锐角,如何解直角三角形呢? 用“有斜用弦,无弦用切”的原则,同样可以解直角三角形. 2.在求解过程中尽量使用原数据来求解,以免增大误差. 续表 合作探究 归纳小结：在直角三角形中,除直角外,再知道一角一边就可以解直角三角形.选择关系式时,尽量应用原始数据,使计算更加精确. (1)已知斜边c和锐角A,则 ①∠B=90°-∠A;②a=c·sin A;③b=c·cos A. (2)已知锐角A和其对边a,则 ①∠B=90°-∠A;②b=;③c=. (3)已知锐角A及其邻边b,则 ①∠B=90°-∠A;②a=b·tan A;③c=. 探究四:如何求非直角三角形的边和角？ 【例3】如图,在△ABC中,已知∠A=60°,∠B=45°,AC=20,求AB的长. 交流：△ABC不是直角三角形,怎么办? 作AB边上的高,可把问题转化为解直角三角形的问题. 解:过点C作CD⊥AB,垂足为点D(如图). 在Rt△ACD中,AC=20,∠A=60°. 由sin A=, 得CD=AC·sin A=20·sin 60°=20×=10. 由cos A=,得 AD=AC·cos A=20·cos 60°=10. 在Rt△BCD中,由∠B=45°,CD=10,得 BD=CD=10. 所以AB=AD+DB=10+10. 归纳小结： 将非直角三角形转化为解直角三角形的问题,转化的手段是作辅助线,作辅助线的方法应让学生探索和交流.作出辅助线后,求AB的长转化为解两个直角三角形的问题. 拓展： 如图,∠B=45°,BC=2,试用含∠A的三角比的式子表示AB的长. 解:如图,过点C作CD⊥AB,垂足为D. ∵∠B=45°,BC=2, ∴CD=BD=BC·cos B=2×=. ∴AD==. ∴AB=+. 3.梳理不同的条件所用的解法,便于掌握. 4.例3是将非直角三角形转化为直角三角形的问题,是必考题,让学生掌握此题型的关键是学会作辅助线. 续表 随堂检测 1.在Rt△ABC中,已知∠C=90°,∠A=30°,a=5,解直角三角形. 解:∠B=90°-∠A=90°-30°=60°. ∵tan B=, ∴b=a·tan B=5·tan 60°=5. ∵sin A=,∴c====10. 2.在Rt△ABC中,已知∠C=90°,a=17,c=34.解这个直角三角形. 解:在Rt△ABC中,∠C=90°,a=17,c=34, ∴b===17, sin A===, ∴∠A=30°,∴∠B=90°-∠A=60°. 3.如图,在△ABC中,已知∠B=30°,∠C=105°,AB=12,求AC和BC的长. 解:过点C作CD⊥AB,垂足为D,如图, 在△ABC中,∠B=30°,∠ACB=105°,AB=12, ∴∠A=180°-∠B-∠ACB=45°.∴AD=CD. 设CD=x,∴AD=x,BD=12-x. 在Rt△BCD中,tan B=, 即=,解得x=6-6. ∴BC===12-12. 同理可得AC===6-6. 通过检测,了解学生对解直角三角形的掌握情况. 课堂小结 1.解直角三角形是怎样定义的? 2.解直角三角形有几种类型,分别是什么? 3.怎样解非直角三角形?通常是通过什么途径实现的? 便于学生对本节课的知识进行及时整理和归纳,有助于加深理解. 作业布置 请完成教材练习题P51T1-T2,P52T1-T2 板书设计 解直角三角形 1.解直角三角形的定义 2.解直角三角形的类型:(1)已知两边;(2)已知一锐角加一边. 3.求非直角三角形的边和角 教学反思 本节课的重点是如何解直角三角形,为了使学生熟练掌握方法,要让学生弄明白直角三角形三边之间的关系,两锐角之间的关系,边角之间的关系.如何正确选用关系式是正确迅速地解直角三角形的关键.解直角三角形的方法很多,灵活多样,本节的三道例题具有很好的示范作用,因此在出示例题时,要让学生独立思考,以此来培养学生分析问题、解决问题的能力,同时渗透数形结合的思想. 学科网（北京）股份有限公司 $$