2.1　锐角三角比 教案 2025-2026学年青岛版九年级数学上册

2.1　锐角三角比 课题 2.1　锐角三角比 课时 1课时 授课人 教学目标 1.让学生通过实验、观察、探究、交流活动,理解锐角三角比的意义; 2.了解直角三角形中锐角的正弦、余弦、正切的概念,记住锐角三角比符号sin,cos,tan ; 3.会求直角三角形中锐角的三角比. 教学 重难点 教学重点:探索锐角三角比的意义. 教学难点:熟练求直角三角形中指定锐角的三角比. 教学活动 教学流程 师生活动 设计意图 课前小测 1.直角三角形中两锐角的关系是什么? 两锐角互余. 2.直角三角形的三边关系是什么? 在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=16,BC=7,求AC. 解:在Rt△ABC中,AB2=BC2+AC2, ∴AC=3. 3.如图,在Rt△MNP中,∠N=90°,∠P的对边是　MN　,∠P的邻边是　PN　,∠M的对边是　PN　,∠M的邻边是　MN　.  通过找角、找边、计算等来回顾以前所学的直角三角形两锐角的关系、三边关系、勾股定理,为接下来的新课打好基础. 情境导入 当你走进学校,仰头望着操场旗杆上高高飘扬的五星红旗时,你是否想知道旗杆有多高?来到公园,你是否想知道公园里笔直的水杉有多高? 这就是我们本章探究的内容,通过本章的学习,你会明白其中的道理,并能够解决相关的问题. 大家先来看这个问题吧! 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,D,G为边AB上的两点,DE⊥AC,GH⊥AC,则,,的值相等吗?为什么? 在BC上取一点B',连接AB',分别交DE,GH于D',G',则,,的值如何呢?为什么? 比较与的大小关系,并思考它们的值与角的大小是否有关. 利用多媒体进行展示,让学生体验到它们的比值与角的大小之间存在一定关系的过程,激发学生的学习兴趣,为下面抽象锐角三角比打下扎实的基础,同时也为本节课的学习做好铺垫. 合作探究 探究:边与角的关系 问题1：如图,有一块长2.00 m的平滑木板AB,小亮将它的一端B架高1m,另一端A放在平地上,在木板上分别取点B1,B2,B3,B4,分别量得它们到A点的距离AB1,AB2,AB3,AB4,以及它们距地面的高度B1C1,B2C2,B3C3,B4C4,数据如表所示: 木板上 的点 到A点的 距离/m 距地面的 高度/m B1 1.50 0.75 B2 1.20 0.60 B3 1.00 0.50 B4 0.80 0.40 问题1,学生通过计算,直观地感觉到在直角三角形中锐角和它所对的边与斜边的比存在着一定的关系. 续表 合作探究 交流：利用上面数据,分别计算比值,,,,,你有什么发现? 问题2：如图,作一个锐角A,在∠A的一边上任意取两个点B,B',经过这两个点分别向∠A的另一边作垂线,垂足分别为C,C'. (1)比值与相等吗?为什么? (2)如果设=k,那么对于确定的锐角A来说,比值k的大小与点B'在AB边上的位置有关吗? (3)如图,以点A为端点,在锐角∠BAC的内部(或外部)作一条射线,在这条射线上取点B″,使AB″=AB',这样又得到了一个锐角∠CAB″.过B″作B″C″⊥AC,垂足为C″.与k的值相等吗?为什么?由此你得到怎样的结论? 试一试: 在Rt△ABC中,∠C=90°,把∠A的对边记作a,∠B的对边记作b,∠C的对边记作c,你能分别用a,b,c表示∠A的正弦、余弦和正切吗? sin A=,cos A=,tan A=. 仿照上面,你能分别用a,b,c表示∠B的正弦、余弦和正切吗? 典例分析: 【例】 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,a=2,b=4.求∠A的正弦、余弦、正切的值. 解:在Rt△ABC中,∠C=90°. ∵a=2,b=4, ∴c===2. ∴sin A===, cos A===, tan A===. 拓展： 在锐角三角比中,正弦、余弦的值能等于1吗?能大于1吗?正切呢? 完成问题2,学生能清楚地感受到角变,边的比值随之发生变化,角不变,边的比值不变. 让学生熟悉三角比公式,以便于计算、变形. 通过例题,巩固对锐角三角比的理解,落实教学目标中利用三角比进行简单的计算. 随堂检测 1.在Rt△ABC中,∠C=90°,各边都扩大为原来的2倍,则锐角A的正弦值(　C　 ) A.扩大为原来的2倍 B.缩小为原来的 C.不变 D.无法确定 2.在△ABC中,∠C=90°,AB=2,AC=1,则sin B的值是(　A　 ) A. B. C. D.2 续表 随堂检测 3.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=4,AC=3,CD⊥AB于D,设∠ACD=α,则cos α的值为(　A　 ) A. B. C. D. 4.如图,A,B,C是小正方形的顶点,且每个小正方形的边长为1,则tan∠BAC的值为　1　.  通过练习题,加深学生对概念的理解,随着问题的解决,更加深了学生对角度与比值的对应关系的关注,进一步渗透三角比的值与边的大小无关,只与角的大小有关.锐角一旦确定,三角比的值随之确定,从而进一步实现本课难点的突破. 课堂小结 1.一个锐角的三角比的值与什么有关? 2.锐角三角比是通过什么来定义的? 3.在直角三角形中,两个锐角的三角比分别是什么? 便于学生对本节课的知识进行及时整理和归纳. 作业布置 请完成教材习题P41T1-T5 板书设计 锐角三角比 在直角三角形中: 1.角之间关系:两锐角互余; 2.边之间关系:a2+b2=c2; 3.边、角之间关系: sin α=;cos α=;tan α=. 【例】 教学反思 由于本课时是锐角三角比概念形成的第一节课,主要教学目标是掌握锐角的正弦、余弦、正切的概念,因此锐角正弦、余弦、正切概念成为本节课的重点及难点.在问题解决过程中不断分析信息,做到适时点拨,引导学生自己从问题解决过程中提炼出超越问题情境的思想,并在前一章“图形的相似”所学知识的基础上寻找出新知识的生长点,即直角三角形一个锐角大小确定后,其直角边的比值也确定,从而建立起新的数学概念——三角比的概念,并让学生感知学习这两个概念的实际意义.这样既突出重点、难点,又符合学生的普遍接受能力.运用相似三角形性质,让学生领悟到:在直角三角形中,对于固定角,无论直角三角形大小怎样改变,都不影响边的比值. 学科网（北京）股份有限公司 $$