1.3　相似三角形的性质 教案 2025-2026学年 青岛版九年级数学上册

1.3　相似三角形的性质 课题 1.3　相似三角形的性质 课时 1课时 授课人 教学目标 1.了解相似三角形对应线段的比、面积的比与相似比的关系,能够通过推理证明两条性质; 2.会利用相似三角形的性质解决简单的问题. 教学重难点 教学重点:运用相似三角形的性质计算有关角、边、周长和面积问题. 教学难点:探索相似三角形性质的证明. 教学活动 教学流程 师生活动 设计意图 课前小测 1.全等三角形的判定方法有哪些?有哪些特征? 判定方法:ASA,SAS,AAS,SSS,HL(直角三角形). 特征:全等三角形的对应角相等、对应边相等.其他元素,如高、中线、角平分线、周长、面积也分别对应相等. 2.什么叫做相似三角形?判定方法有哪些? 定义:对应角相等、对应边成比例的两个三角形相似. 判定:(1)两角分别相等的两个三角形相似; (2)两边成比例,且夹角相等的两个三角形相似; (3)三边成比例的两个三角形相似. 3.相似三角形有哪些基本特征? 对应角相等,对应边成比例. 复习全等三角形和相似三角形的概念和判定方法,做好新旧知识之间的衔接. 情境导入 类比全等三角形,两个相似三角形,除了对应边成比例、对应角相等之外,我们还可以得到哪些结论?这就是我们本节课要探究的内容. 直接导入,把学生的思维迅速拉入新课之中. 合作探究 探究:相似三角形的性质 观察:如图,已知△ABC∽△A'B'C',相似比为k.AD与A'D'分别是对应边BC与B'C'上的高. 问题1：除△ABC∽△A'B'C'以外,图中还有几对相似三角形?为什么? 问题2：AD与A'D'的比与相似比k有什么关系?你能叙述你得到的结论吗? 相似三角形对应高的比等于相似比. 能去掉对应两个字吗? 问题3：△ABC与△A'B'C'的周长的比、面积的比与相似比k分别有怎样的关系? 归纳小结： 相似三角形的性质定理:相似三角形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方. 1.由相似三角形的性质得对应角相等,然后利用相似三角形的判定定理证出三角形相似,从而得到对应高的比等于相似比. 2.通过经历探究过程,加深学生对相似三角形的性质的理解和掌握. 续表 合作探究 典例分析: 【例1】 如图,在△ABC中,DE∥BC,AD∶DB=3∶1,△ABC的面积为48.求△ADE的面积. 解:在△ADE和△ABC中,∠A=∠A, 由DE∥BC,可知∠ADE=∠B, 根据判定定理1,△ADE∽△ABC. 于是=2. 由AD∶DB=3∶1,得AD=3DB, 从而AB=AD+DB=4DB, ∴==. ∵S△ABC=48,∴=2. 解得S△ADE=×48=27. 【例2】 如图,有一块锐角三角形余料ABC,它的边BC=12 cm,高AD=8 cm.现要用它裁出一个正方形工件,使正方形的一边在BC上,其余的两个顶点分别在AB,AC上,求裁出的正方形工件的边长. 解:在△ABC中,设裁出的正方形为PQMN, ∵PN∥BC,∴∠APN=∠B. ∵∠A=∠A,∴△APN∽△ABC, ∴=(相似三角形的性质定理). 设PN=x,则AE=8-x.∵BC=12,AD=8, ∴=,解得x=, ∴裁出的正方形工件的边长为cm. 拓展：类比相似三角形的性质,相似多边形的对应角相等,对应线段的比都等于相似比,周长的比等于相似比,面积的比等于相似比的平方. 3.通过例题的探究加深对相似三角形性质的理解和掌握,提高学生的应用意识,培养学生分析问题、解决问题的能力. 随堂检测 1.如果两个相似三角形的面积比为8,周长比为k,那么=　　.  2.连接三角形两边中点的线段把三角形截成的一个小三角形与原三角形的周长比等于　1∶2　,面积比等于　1∶4　.  3.如图,已知DE∥BC,S△ADE∶S梯形BDEC=1∶3,则AD∶AB=　1∶2　.  续表 随堂检测 4.如图,已知平行四边形ABCD中,AE∶EB=1∶2. (1)求AE∶DC的值. (2)如果S△AEF=6 cm2,求S△CDF和S△ACD. 解:(1)在平行四边形ABCD中,DC=AB, ∵AE∶BE=1∶2, ∴AE∶AB=1∶3, ∴AE∶DC=1∶3. (2)在平行四边形ABCD中,DC∥AB, ∴∠DCF=∠EAF,∠FDC=∠FEA, ∴△AEF∽△CDF, ∴相似比为=, ∴S△AEF∶S△CDF=1∶9. ∵S△AEF=6 cm2,∴S△CDF=54 cm2. ∵△AEF∽△CDF,∴EF∶DF=AE∶DC=1∶3. ∵△AEF中以EF为底的高与△ADF中以DF为底的高相同, ∴S△AEF∶S△ADF=1∶3. ∵S△AEF=6 cm2,∴S△ADF=18 cm2, ∴S△ACD=S△ADF+S△CDF=18+54=72(cm2). 等底(或等高)的三角形的面积之比等于高(或底)的比,要和相似三角形面积之比等于相似比的平方区别开. 课堂小结 相似三角形的性质有哪些? 作业布置 请完成教材习题P25T1-T3 板书设计 相似三角形的性质 性质:相似三角形对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线)的比等于相似比;周长的比等于相似比;面积的比等于相似比的平方. 教学反思 相似三角形的性质是在学习了多边形的性质和相似三角形的判定定理的基础上学习的,相对来讲难度不大.让学生学习对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比,周长之比等于相似比,面积的比等于相似比的平方,理解它们的推理过程.相似三角形的性质是求角的度数、线段长度的常用方法,让学生通过练习掌握方法. 学科网（北京）股份有限公司 $$