1.3 相似三角形的性质（分层作业）数学青岛版九年级上册

1.3 相似三角形的性质（第1课时） 题型一 相似三角形性质——对应线段 1．若两个相似三角形的对应中线之比为，则它们的对应高之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的对应边成比例，对应边包括角平分线、中线、高以及边长和周长等，据此作答即可． 【详解】解：依题意，因为两个相似三角形的对应中线之比为， 所以它们的对应高之比为， 故选：A． 2．两个相似三角形的对应角平分线的比为，则它们的周长比为（    ） A． B． C． D．以上答案都不对 【答案】A 【分析】两个相似三角形的对应边的比，对应角平分线的比，对应中线的比，对应高线的比，周长的比都等于相似比． 【详解】两个相似三角形的对应角平分线的比为， 两个相似三角形的相似比为， 周长的比为． 故选A． 【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是熟记相似三角形的性质并灵活运用． 3．如图，，则下列比例式正确的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线分线段成比例定理即可判断选项A和B，根据相似三角形的性质即可判断选项C和D． 【详解】A．∵， ∴， 故A符合题意； B．∵， ∴， 故B不符合题意； ∵， ∴. ， ∴， 故C不符合题意； D．∵， ∴， ∴， 故D不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质，熟练掌握平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质是解题的关键． 4．已知与相似且对应中线的比为，的周长为，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据对应中线的比是，可得这两个三角形的相似比是，由于相似三角形的周长比等于相似比，由此可求出结果． 【详解】解：∵与相似且对应中线的比为， ∴的周长为的周长， ∴的周长， ∴的周长， 故答案为：． 5．若，且，则与的周长之比为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据且，可得的周长与的周长的比为，求解即可． 【详解】解：∵且， ∴的周长与的周长的比为， 故答案为：． 6．两个相似多边形的相似比为，则它们的周长的比为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了相似多边形的性质，根据相似多边形周长之比等于相似比即可求解，掌握相似多边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵两个相似多边形的相似比为， ∴它们的周长的比为， 故答案为：． 7．如图，，，那么与的相似比为 ．    【答案】/ 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，证明，结合已知求出，即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴为相似比， ∵， ∴，即相似比为， 故答案为：． 8．如图，在中，若，，，则的长为 .    【答案】8 【分析】根据平行线证出三角形相似，得出对应边成比例，即可得出结果． 【详解】解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴ 即 ∴BC=8（cm） 故答案是：8 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质；根据平行线证出三角形相似是关键． 9．如图，在中，，，，．求的长．    【答案】． 【分析】利用相似三角形的性质和判定即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质和判定及其应用． 10．如图，在四边形中，，连接，且恰好平分，点E在边上，与交于点O． (1)求证：； (2)若，试判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了相似三角形判定与性质，判定两三角形相似是解题关键， （1）证出，结合对顶角相等即可证明结论； （2）根据相似三角形性质证出即可证出结论． 【详解】（1）证明：在四边形中，， ， 恰好平分， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： ，， ， ， ． 题型二 相似三角形性质——面积 11．若两个相似三角形的面积比是，则这两个三角形对应边上的高之比是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方、对应高（中线、角平分线）的比等于相似比是解题的关键．由相似三角形的面积比等于相似比的平方先求得相似比，再根据相似三角形对应高的比等于相似比即可得答案． 【详解】解：∵两个相似三角形的面积比是 ∴这两个相似三角形的相似比是 ∴这两个相似三角形对应边上的高之比是． 故选：D． 12．若，且面积之比为，则相似比为 ． 【答案】/ 【分析】考查相似三角形的性质，根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：，且面积之比为，则相似比为， 故答案为：． 13．如图，，和分别是和的高，若，，则与的面积的比为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形（多边形）的高的比等于相似比是解答此题的关键．根据相似三角形的性质可直接得出结论． 【详解】解：∵和分别是和的高，若， ∴其相似比为， ∴与的面积的比为． 故选：A． 14．如图所示，点，分别在的边，上，．若，四边形的面积为，试求的面积． 【答案】 【分析】平行线分线段成比例，相似三角形的面积比是相似比的平方，且四边形的面积为，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 设，则， ∴， ∴， ∴．即的面积为． 【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例，相似三角形的面积比等于相似比的平方，掌握相似图形对应边成比例，面积比等于相似比的平方是解题的关键． 15．若两个相似三角形的相似比是，则这两个相似三角形的面积比是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了相似三角形的性质，根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”解答即可． 【详解】解：两个相似三角形的相似比是，则这两个相似三角形的面积比是， 故选：D． 16．如果两个相似三角形的周长比为，那么这两个相似三角形的面积比为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的性质，关键是掌握相似三角形的性质：相似三角形面积的比等于相似比的平方，相似三角形周长的比等于相似比． 根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】解：两个相似三角形的周长比为， 两个相似三角形的相似比为， 这两个相似三角形的面积比为． 故选：． 17．如图，在中，D为边上一点，E为边上一点，且． (1)求证：； (2)求与四边形的面积比． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相关定理内容是解题关键． （1）根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”即可求证； （2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可得，据此即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴ （2）解：∵，， ∴ ∴ 18．如图，相交于点O，． (1)求证：； (2)已知，的面积为6，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质． （1）对顶角相等，结合，即可得出； （2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，求解即可． 掌握两组对应角相等的两个三角形相似，是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，又， ∴； （2）∵， ∴， ∴， 解得． 所以的面积为． 19．如图，已知，，，，．求，的长． 【答案】， 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，先求出，再根据相似三角形的对应边成比例得出答案． 【详解】解：∵，， ∴. ∵， ∴. ∵，，， ∴， 解得，． 20．如图，中，，是边上的高．    (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可； （2）利用相似三角形的性质证明，可得结论． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ． （2）解：， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查射影定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型． 题型三 相似三角形性质——动点 21．如图，在中，，，，是上一点，，点从出发沿方向，以的速度运动至点处，线段将分成两部分，可以使其中一部分与相似的点的个数为（    ） A．0个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定定理“有两个角分别相等的两个三角形相似”，按点P的运动轨迹，一次进行判断即可． 【详解】解：①当时，， ②当时，， ③当时，， ④当时，， 综上：一共有4个， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定定理，解题的关键是熟练掌握“有两个角分别相等的两个三角形相似”． 22．如图，在中，，，动点从点出发到点止，动点从点出发到点止，点的运动速度为，点的运动速度为．若，两点同时出发，则当以点，，为顶点的三角形与相似时，运动时间为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例．分两种情况：①与对应；②与对应．根据相似三角形的性质分别作答． 【详解】解：根据题意，点从点到点的时间为；点从点到点的时间为， 如果两点同时运动，设运动秒时，以点、、为顶点的三角形与相似， 则． ①当D与B对应时，有， ∴， ∴， ∴； ②当与对应时，有． ∴， ∴， ∴． 故当以点、、为顶点的三角形与相似时，运动的时间是或，符合题意， 故答案为：或． 23．如下图所示，在△ABC中，点D在线段AC上，且△ABC∽△ADB，则下列结论一定正确的是(  ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据相似三角形对应边成比例列式整理即可得解． 【详解】解：∵△ABC∽△ADB， ∴， ∴AB2=AC•AD． 故选：A． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握对应顶点的字母放在对应位置上并准确确定出对应边是解题的关键． 24．如图，在中，AC和BC上分别有一点E和点H，过点E和点H分别作BC和AC的平行线交于点D，DE交AB于点G，DH交AB于点F，则下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的性质，得出角相等，证明三角形相似即可求出对应线段比例相等. 【详解】解：A选项：， . ， . . A选项正确，不符合题意. B选项：， ， ，， 四边形为平行四边形. . . B选项正确，不符合题意. C选项：，， C选项不正确，符合题意. D选项：，， ，， ， ， . D选项正确，不符合题意. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键在于是否能熟练运用相似三角形的性质和判定. 25．如图，已知，在中，，，点P从A点出发，沿以的速度向点B运动；同时点Q从C点出发，沿以的速度向A点运动，设运动时间为x， (1)当时，x为何值？ (2)能否与相似，若能，求出的长，若不能，请说明理由． (3)当时，求．（直接写答案） 【答案】(1) (2)能，的长为或 (3) 【分析】本题考查了几何中的动点问题，涉及了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例等知识点，掌握相关结论即可． （1）根据平行线分线段成比例得即可求解； （2）根据，分类讨论，即可求解； （3）根据题意可得，，进而求得，；推出，据此即可求解． 【详解】（1）解：由题意得， ∵， ∴， （2）解：存在．理由如下： ， ， 时： ． 即： 解得：， ∴ 时： ， 即： 解得：（舍去） ， ∴的长为或 （3）解：∵， ，， ∴ ∴， ∴，， ∴ ∴ 26．在中，，分别为，上一点，，交于点．    (1)设的面积为，的面积为，且． ①如图①，连接．若，求证：； ②如图②，若，，求的值． (2)如图③，若，，，，直接写出的值． 【答案】(1)①见解析；② (2) 【分析】（1）①由可证，即可证，可进一步推出结论；②连接，作于点，作于点，过点作于点．可证，推出，设，则，则可分别求出，的长，即可求出结论； （2）过点作，且，连接，，构造平行四边形，证，推出，证明再证明为直角三角形，且可求出其三边的比，即可求出的值． 【详解】（1）解：①， ，． ， ，即． 又， ， ． 如图②，连接，作于点，作于点，过点作于点．    ， ， 又， ， ． 又， ， ， ， 设，则， ． （2） 如答图（2），过点作，且，连接，，    则四边形为平行四边形． ， ． ， ， ． 又， ， ，即． ， ． ， 设，， 则在中，． ， ， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是能够通过作出合适的辅助线构造相似三角形，并且能够灵活运用相似三角形的判定与性质． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！20 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.3 相似三角形的性质（第1课时） 题型一 相似三角形性质——对应线段 1．若两个相似三角形的对应中线之比为，则它们的对应高之比为（    ） A． B． C． D． 2．两个相似三角形的对应角平分线的比为，则它们的周长比为（    ） A． B． C． D．以上答案都不对 3．如图，，则下列比例式正确的是（　　）    A． B． C． D． 4．已知与相似且对应中线的比为，的周长为，则的周长为 ． 5．若，且，则与的周长之比为 ． 6．两个相似多边形的相似比为，则它们的周长的比为 ． 7．如图，，，那么与的相似比为 ．    8．如图，在中，若，，，则的长为 .    9．如图，在中，，，，．求的长．    10．如图，在四边形中，，连接，且恰好平分，点E在边上，与交于点O． (1)求证：； (2)若，试判断与之间的数量关系，并说明理由． 题型二 相似三角形性质——面积 11．若两个相似三角形的面积比是，则这两个三角形对应边上的高之比是（    ） A． B． C． D． 12．若，且面积之比为，则相似比为 ． 13．如图，，和分别是和的高，若，，则与的面积的比为（　　） A． B． C． D． 14．如图所示，点，分别在的边，上，．若，四边形的面积为，试求的面积． 15．若两个相似三角形的相似比是，则这两个相似三角形的面积比是（    ） A． B． C． D． 16．如果两个相似三角形的周长比为，那么这两个相似三角形的面积比为（　　） A． B． C． D． 17．如图，在中，D为边上一点，E为边上一点，且． (1)求证：； (2)求与四边形的面积比． 18．如图，相交于点O，． (1)求证：； (2)已知，的面积为6，求的面积． 19．如图，已知，，，，．求，的长． 20．如图，中，，是边上的高．    (1)求证：； (2)若，求的长． 题型三 相似三角形性质——动点 21．如图，在中，，，，是上一点，，点从出发沿方向，以的速度运动至点处，线段将分成两部分，可以使其中一部分与相似的点的个数为（    ） A．0个 B．2个 C．3个 D．4个 22．如图，在中，，，动点从点出发到点止，动点从点出发到点止，点的运动速度为，点的运动速度为．若，两点同时出发，则当以点，，为顶点的三角形与相似时，运动时间为 ． 23．如下图所示，在△ABC中，点D在线段AC上，且△ABC∽△ADB，则下列结论一定正确的是(  ) A． B． C． D． 24．如图，在中，AC和BC上分别有一点E和点H，过点E和点H分别作BC和AC的平行线交于点D，DE交AB于点G，DH交AB于点F，则下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D． 25．如图，已知，在中，，，点P从A点出发，沿以的速度向点B运动；同时点Q从C点出发，沿以的速度向A点运动，设运动时间为x， (1)当时，x为何值？ (2)能否与相似，若能，求出的长，若不能，请说明理由． (3)当时，求．（直接写答案） 26．在中，，分别为，上一点，，交于点．    (1)设的面积为，的面积为，且． ①如图①，连接．若，求证：； ②如图②，若，，求的值． (2)如图③，若，，，，直接写出的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$