精品解析：福建省宁德市寿宁县鳌阳中学2024-2025学年九年级下学期第一次月考数学试题

2024-2025学年度第二学期九年级第一次月考质量检测 数学试题 （考试时间120分钟，满分150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效． 3．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色签字笔描黑． 4．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 2的相反数是（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义，解答本题的关键是熟练掌握相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数．根据相反数的定义作答即可． 【详解】解：2的相反数是， 故选：B． 2. “二十四节气”是中华农耕文明的智慧结晶，如图四幅作品分别代表“立春”“惊蛰”“清明”“小满”，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形． 【详解】解：选项B、C、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形， 选项A能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形． 故选A． 3. 截至2025年3月12日，《哪吒2》的全球总票房突破149亿，超越《复仇者联盟3》，跻身全球影史票房榜的前6名．将14900000000用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】用移动小数点的方法确定a值，根据整数位数减一原则确定n值，最后写成的形式即可． 本题考查了科学记数法表示大数，熟练掌握把小数点点在左边第一个非零数字的后面确定a，运用整数位数减去1确定n值是解题的关键． 【详解】解：∵， 故选：D． 4. 如图所示的机器零件的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，理解视图的定义，掌握简单组合体三视图的画法和形状是正确解题的关键． 根据简单几何体三视图的画法，画出它的左视图即可得到答案． 【详解】解：这个几何体的左视图为： 故选：B ． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方、合并同类项，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．分别根据幂的乘方运算法则，合并同类项，同底数幂的乘除法法则逐一判断即可． 【详解】解：A、，故原计算错误，不符合题意； B、，故原计算错误，不符合题意； C、，故原计算错误，不符合题意； D、，故原计算正确，符合题意； 故选：D． 6. 如图，将四根长度相等的细木条首尾顺次相连，用钉子钉成四边形，若，则两点间的距离是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题重点考查等边三角形的判定与性质，正确地作出辅助线是解题的关键．由题意可知，连接，因为，所以是等边三角形，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接， 将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形，， ， ， 是等边三角形， ， ，两点间的距离为2． 故选：C． 7. 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过10的素数2，3，5，7中，随机选取两个不同的数，其和小于10的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】画树状图，共有12个等可能的结果，其中抽到的两个素数之和小于10的结果有8个，再由概率公式求解即可． 详解】解：画树状图如图： 共有12个等可能的结果，抽到的两个素数之和小于10的结果有8个，∴抽到的两个素数之和小于10的概率为． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了列表法与树状图法求概率以及概率公式，正确画出树状图得出所有的可能是解题关键． 8. 幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方-九宫格，把这9个数填入方格中，使每一横行，每一竖列以及两条斜对角线上的数之和都相等．如图是一个未完成的“幻方”，则其中的值是（ ） A. 8 B. 6 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，利用第2列及第3行上的3个数之和相等，可求出第3行第1个方格中的数，利用第1行及对角线上的3个数之和相等，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解： 由第二列和第三行数字之和相等可得：，解得， 由第一行列和斜对角线数字之和相等可得：，解得：． 故选：B． 9. 如图，是的直径，是上的点，，过点作的切线交的延长线于点，若，则的半径是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，切线的性质，直角三角形的性质和勾股定理，熟练掌握圆周角定理，切线性质定理是解题的关键．连接，根据圆周角定理得到，由切线的性质得到，根据直角三角形的性质求出，再利用勾股定理即可解答． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵过点C作的切线交的延长线于点E， ∴， ∵， ∴， ∴，即的半径是． 故选：B． 10. 若二次函数的图象，过不同的六点、、、、、，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，把A、B、C三点代入解析式，求出的关系即，然后求出抛物线的对称轴直线，将所求点通过对称转化到对称轴的一侧，然后利用二次函数的函数值随自变量的变化关系，比较大小即可． 【详解】解：根据题意，把点、、代入，则， 消去c，得，整理得 ∴抛物线的对称轴为直线， ∴关于对称轴的对称的点坐标为 ∵ ∴由函数的图象与性质可知，当时，y随着x的增大而减小 ∴ 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键在于求出函数的对称轴，利用抛物线的性质进行求解． 二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分．请将答案填入答题卡的相应位置） 11. 关于的不等式的解集是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式．根据一元一次不等式的解法解答． 【详解】解：移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 故答案为：． 12. 因式分解：_________． 【答案】 【解析】 【详解】根据分解因式提取公因式法，将方程a2+2a提取公因式为a（a+2）．故a2+2a=a（a+2）． 故答案是a（a+2）． 13. 如图，在中，点D，E分别是的中点，连接．若，则的长为______． 【答案】24 【解析】 【分析】本题主要考查三角形中位线定理，熟知三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半是解题的关键． 【详解】解：∵D，E分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：． 14. 某校评选先进班集体，从“学习”、“卫生”、“纪律”、“活动参与”四个方面综合考核打分，各项满分均为100，所占比例如下表： 项目 学习 卫生 纪律 活动参与 所占比例 某班这四项得分依次为83，82，73，80，则该班四项综合得分为______分． 【答案】80.4 【解析】 【分析】根据加权平均数的概念列式计算即可． 【详解】解：该班四项综合得分为（分）， 故答案为：80.4． 【点睛】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的概念． 15. 如图，在平面直角坐标系中，的直角边与反比例函数的图象交于点，若点为的中点，的面积为4，则的值是___________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了根据反比例函数k的几何意义求k值，三角形面积的计算，解题的关键是根据中线的性质求得的面积． 根据线段中点定义得，再由可得，根据反比例函数系数k的几何意义得，，以此即可求解． 【详解】解：由条件可知， ∴， ∴，即， ∵图象在第一象限， ∴． 故答案为：4． 16. 物理学告诉我们，当光从空气斜射入介质时会发生折射，其中入射角的正弦值和折射角的正弦值之比叫做这种介质的折射率．如图，入射光线在点处斜射入某一高度为，折射率为的长方体介质（其中为入射角，为折射角，过点且垂直于介质的上表面），若，则折射光线在该介质中传播的距离（即的长度）约是 __．（参考数据：，，． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用．过点作于点，由折射率的定义得，，进而求出，设，在中，根据勾股定理即可作答． 【详解】解：过点作于点， 由折射率的定义得， ， ， ， ， 设，则， ， 在中， 根据勾股定理，， 即， 解得， 故答案为：3.75． 三、解答题（本题有9小题，共86分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查实数的混合运算，原式分别计算算术平方根，化简绝对值以及计算负整数指数幂，最后再进行加减运算即可． 【详解】解： 18. 如图，已知，，，且点，、、在同一条直线上．求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】此题主要考查了平行线的性质以及全等三角形的判定与性质；首先利用平行线的性质，再证明，即可证明． 【详解】证明：， ， ， ， 即， 又， ， ． 19. 解分式方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，先将分式方程化为一元一次方程，再求解，最后检验即可． 【详解】解： ． 经检验：是方程的解， 故原方程的解为． 20. 为了解某校九年级男生在体能测试中引体向上的情况，随机抽查了部分男生引体向上的测试成绩，并绘制如下两幅不完整的统计图，请根据相关信息，解答下列问题： （1）本次接受调查的男生人数是___________，图①中的值是___________，并补全条形统计图； （2）本次调查获取的样本数据的平均数是___________，中位数是___________； （3）若规定引体向上6次及以上为该项目良好，根据样本数据，估计该校320名男生中该项目良好的人数． 【答案】（1）40，25；图形见解析； （2）5.8，6； （3）该校320名男生中该项目良好的人数大约为176人． 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图、条形统计图、平均数、中位数以及样本估计总体，掌握频率=频数÷总数以及平均数、中位数的计算方法是正确解答的关键． （1）从两个统计图可知，样本中，九年级男生在体能测试中引体向上的次数为7次有8人，占被调查人数的，由频率=频数÷总数即可求出被调查人数，即男生的人数；进而求出样本中，九年级男生在体能测试中引体向上的次数为6次的学生所占的百分比，即可确定m的值；求出样本中，九年级男生在体能测试中引体向上的次数为5次的学生人数即可补全条形统计图； （2）根据平均数、中位数的定义进行计算即可； （3）样本估计总体，求出样本中引体向上6次及以上学生人数所占的百分比，估计总体中引体向上6次及以上学生人数所占的百分比，由频率=频数÷总数进行计算即可． 【小问1详解】 解：（人），，即， 样本中九年级男生在体能测试中引体向上的次数为5次的学生人数为（人），补全条形统计图如下： 故答案为：40，25； 【小问2详解】 解：平均数为（次）， 将被调查的40名学生的引体向上的次数从小到大排列，处在第20、第21位的两个数的平均数为（次），即中位数是6次， 故答案为：5.8次，6次； 【小问3详解】 解：（人）， 答：该校320名男生中该项目良好的人数大约为176人． 21. 已知二次函数． （1）若该二次函数图象经过，求该二次函数的解析式和顶点坐标； （2）求证：不论取何值，该二次函数图象与轴总有两个公共点． 【答案】（1）抛物线为，顶点坐标； （2）见解析． 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，由二次函数的图象经过，则，从而抛物线为，进而计算可得顶点坐标； （2）依据题意，由，，，则，进而可以判断得解． 【小问1详解】 解：二次函数的图象经过， ， ， 抛物线为， ， 顶点坐标． 【小问2详解】 证明：， ， 不论取何值，二次函数图象与轴总有两个公共点． 22. 已知是任意实数． （1）求证：； （2）当满足时，求的最小值． 【答案】（1）见解析； （2）的最小值118． 【解析】 【分析】本题考查代数式求值，完全平方公式，解题的关键在于利用完全平方公式进行变形． （1）利用完全平方公式变形求解即可； （2）由（1）可得：，，，然后相加求解即可． 小问1详解】 证明：， ，当且仅当时取等号； 小问2详解】 解：由（1）可得：，，， ， ，当且仅当时取等号． 的最小值118． 23. 如图，在四边形中，． （1）尺规作图：过点作交于点，交延长线于点；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若，试判断线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析； （2），理由见解析． 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图、等腰三角形的判定以及全等三角形的判定与性质，掌握相关知识点的应用是解题的关键． （1）根据尺规作垂直的方法结合题意作图即可． （2）先证明，则，根据，得出，根据，得出，即可得，则，证出． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求． 【小问2详解】 解：，理由如下： ， ． ， ， ． ． 又， ． ， ， ． 24. 根据以下素材，完成三个任务： 以下所有拼接的图形都是拼成既没有缝隙也没有重叠的图形． 素材一 某综合实践小组准备了如图所示的三种卡片，其中型卡片是边长为的正方形，型卡片是长为宽为的长方形，且． 素材二 将1张型卡片沿对角线剪开，得到两张直角三角形卡片． 素材三 小组操作发现，将2张型卡片，3张型卡片（所拼成的长方形既没有缝隙也没有重叠）．得到了一个代数恒等式：． 【问题解决】 【任务1】用1张型和2张型卡片拼成一个长方形，用含的代数式表示这个长方形的周长； 【任务2】现共有10张型卡片，25张型卡片和18张型卡片，请你选取若干张卡片，将取出的这些卡片拼成一个正方形．请你列举两种拼正方形的方案（写出各种型号的卡片数量和相应的正方形的边长；其中一种方案正方形的边长要最大）； 【任务3】将2张型卡片剪成4张直角三角形卡片，再从型卡片中挑选若干张（长方形除外）．请画出示意图，并写出与该平行四边形的面积相关的代数恒等式．（用含的数学等式表示）要求：4张直角三角形卡片全部使用；型卡片至少选一种；拼出的平行四边形的面积最小才能得满分． 【答案】任务1：图见解析，周长为：；任务2：①，②，③，②，图案见解析；任务3：图见解析：． 【解析】 【分析】本题考查了图形与乘法公式的关系，数形结合是解题的关键． 任务1：根据矩形的周长公式求解； 任务2：根据完全平方公式求解； 任务3：根据平行四边形的性质求解．熟练掌握完全平方公式和因式分解是解题的关键． 【详解】解：任务1：如图所示： 周长：； 任务2：如图所示： ，现共有9张型卡片，24张型卡片和16张型卡片； 如图所示： ，现共有1张型卡片，2张型卡片和1张型卡片； 如图所示： ，现共有4张型卡片，4张型卡片和1张型卡片； 如图所示： ，现共有1张型卡片，4张型卡片和4张型卡片； 任务3：如图所示： ． 25. 已知四边形内接于圆是圆的两条切线，，三点共线． （1）求证：； （2）若，求证：； （3）在（2）的条件下，若，求的长． 【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）． 【解析】 【分析】本题考查圆的切线的性质，圆周角，相似三角形的判定与性质，含角的直角三角形，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． （1）连接，先证明，，再推导出，继而证明，根据，即可证明． （2）连接，先证明 ，，由得到，继而证明，则，推导出，有，再证明，即可解答． （3）过点作于点，有，求出， ，设，则，则 ．根据勾股定理得到，求解即可． 【小问1详解】 解： 连接，如图 ， ． 又是圆的切线， ． 又， ． ． 又， ． 【小问2详解】 连接，如图 由（1）同理可证：． ． 与所对的弧是， ． 是圆两条切线， ∵， ． ． ， ． 又， ． 是圆的直径． ； 【小问3详解】 过点作于点， ． ， ． ． 设，则． ． 在Rt中， ． 解得 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第二学期九年级第一次月考质量检测 数学试题 （考试时间120分钟，满分150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效． 3．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色签字笔描黑． 4．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 2相反数是（ ） A. B. C. 2 D. 2. “二十四节气”是中华农耕文明的智慧结晶，如图四幅作品分别代表“立春”“惊蛰”“清明”“小满”，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 截至2025年3月12日，《哪吒2》的全球总票房突破149亿，超越《复仇者联盟3》，跻身全球影史票房榜的前6名．将14900000000用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示机器零件的左视图为（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，将四根长度相等的细木条首尾顺次相连，用钉子钉成四边形，若，则两点间的距离是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 7. 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过10的素数2，3，5，7中，随机选取两个不同的数，其和小于10的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方-九宫格，把这9个数填入方格中，使每一横行，每一竖列以及两条斜对角线上的数之和都相等．如图是一个未完成的“幻方”，则其中的值是（ ） A. 8 B. 6 C. 3 D. 2 9. 如图，是的直径，是上的点，，过点作的切线交的延长线于点，若，则的半径是（ ） A. 1 B. C. D. 10. 若二次函数的图象，过不同的六点、、、、、，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分．请将答案填入答题卡的相应位置） 11. 关于不等式的解集是__________． 12. 因式分解：_________． 13. 如图，在中，点D，E分别是的中点，连接．若，则的长为______． 14. 某校评选先进班集体，从“学习”、“卫生”、“纪律”、“活动参与”四个方面综合考核打分，各项满分均为100，所占比例如下表： 项目 学习 卫生 纪律 活动参与 所占比例 某班这四项得分依次为83，82，73，80，则该班四项综合得分为______分． 15. 如图，在平面直角坐标系中，直角边与反比例函数的图象交于点，若点为的中点，的面积为4，则的值是___________． 16. 物理学告诉我们，当光从空气斜射入介质时会发生折射，其中入射角的正弦值和折射角的正弦值之比叫做这种介质的折射率．如图，入射光线在点处斜射入某一高度为，折射率为的长方体介质（其中为入射角，为折射角，过点且垂直于介质的上表面），若，则折射光线在该介质中传播的距离（即的长度）约是 __．（参考数据：，，． 三、解答题（本题有9小题，共86分） 17. 计算：． 18. 如图，已知，，，且点，、、在同一条直线上．求证：． 19. 解分式方程：． 20. 为了解某校九年级男生在体能测试中引体向上的情况，随机抽查了部分男生引体向上的测试成绩，并绘制如下两幅不完整的统计图，请根据相关信息，解答下列问题： （1）本次接受调查的男生人数是___________，图①中的值是___________，并补全条形统计图； （2）本次调查获取的样本数据的平均数是___________，中位数是___________； （3）若规定引体向上6次及以上为该项目良好，根据样本数据，估计该校320名男生中该项目良好的人数． 21. 已知二次函数． （1）若该二次函数图象经过，求该二次函数的解析式和顶点坐标； （2）求证：不论取何值，该二次函数图象与轴总有两个公共点． 22. 已知是任意实数． （1）求证：； （2）当满足时，求的最小值． 23. 如图，四边形中，． （1）尺规作图：过点作交于点，交延长线于点；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若，试判断线段与的数量关系，并说明理由． 24. 根据以下素材，完成三个任务： 以下所有拼接的图形都是拼成既没有缝隙也没有重叠的图形． 素材一 某综合实践小组准备了如图所示的三种卡片，其中型卡片是边长为的正方形，型卡片是长为宽为的长方形，且． 素材二 将1张型卡片沿对角线剪开，得到两张直角三角形卡片． 素材三 小组操作发现，将2张型卡片，3张型卡片（所拼成的长方形既没有缝隙也没有重叠）．得到了一个代数恒等式：． 【问题解决】 【任务1】用1张型和2张型卡片拼成一个长方形，用含的代数式表示这个长方形的周长； 【任务2】现共有10张型卡片，25张型卡片和18张型卡片，请你选取若干张卡片，将取出的这些卡片拼成一个正方形．请你列举两种拼正方形的方案（写出各种型号的卡片数量和相应的正方形的边长；其中一种方案正方形的边长要最大）； 【任务3】将2张型卡片剪成4张直角三角形卡片，再从型卡片中挑选若干张（长方形除外）．请画出示意图，并写出与该平行四边形的面积相关的代数恒等式．（用含的数学等式表示）要求：4张直角三角形卡片全部使用；型卡片至少选一种；拼出的平行四边形的面积最小才能得满分． 25. 已知四边形内接于圆是圆的两条切线，，三点共线． （1）求证：； （2）若，求证：； （3）在（2）的条件下，若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$