精品解析：山东省禹城市张庄镇中学2024-2025学年8年级下学期3月月考数学试题

2024－2025学年第二学期第一次月考 八年级数学试题 试题说明：本试题满分150分，时间120分钟 请同学们认真思考，仔细作答，书写工整，所有试题的答案都请填写在答案纸上，预祝同学们取得优异成绩． 一、选择题（共12小题，每小题4分，共48分） 1. 使有意义的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．直接利用二次根式的定义得出答案． 【详解】解∶二次根式有意义，故， 则x的取值范围是∶ 故选∶ D． 2. 若直角三角形的两边长分别为，，且满足，则该直角三角形的第三边长为（ ） A. 5 B. C. 5或 D. 5或4 【答案】C 【解析】 【分析】先利用非负数的性质求出、的值，再分情况讨论这两条边是直角边还是斜边，结合勾股定理计算第三边．本题主要考查了非负数的性质（平方数、绝对值的非负性）以及勾股定理，熟练掌握非负数性质确定、值，再分情况用勾股定理计算第三边是解题的关键． 【详解】解：， ，， 解得，， 当、为直角边时，第三边长为 当为斜边，为直角边时，第三边长为 ∴该直角三角形的第三边长为或， 故选：C． 3. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用算术平方根和立方根的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、，故此选项计算错误，不符合题意； B、，故此选项计算错误，不符合题意； C、，故此选项计算错误，不符合题意； D、，故此选项计算正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了算术平方根和立方根，解题的关键是掌握算术平方根和立方根的定义与性质． 4. 如图，在中，，．若点在边上移动，则的最小值是（ ） A. 3.6 B. 4 C. 4.5 D. 4.8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、垂线段最短、勾股定理以及三角形的面积，作于点D，如图，根据等腰三角形的性质和勾股定理可求出，根据垂线段最短可知：当时，最小，再利用三角形的面积求解即可． 【详解】解：作于点D，如图， ∵，， ∴， ∴， ∵当时，最小， ∴， ∴， 解得， 即的最小值是4.8． 故选：D． 5. 下列三个定理中，①有两个角相等的三角形是等腰三角形；②全等三角形的对应角相等；③同位角相等，两直线平行；存在逆定理的有（ ）个 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是命题与定理，把命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，判断正误，得出结论． 【详解】解：①有两个角相等的三角形是等腰三角形，逆命题是等腰三角形有两个角相等，逆命题正确，存在逆定理； ②全等三角形的对应角相等，逆命题是对应角相等的三角形全等，逆命题不正确，不存在逆定理； ③同位角相等，两直线平行，逆命题是两直线平行，同位角相等，逆命题正确，存在逆定理； 综上，存在逆定理的是①③，一共2个， 故选：C． 6. 已知，则的值为（） A. B. C. 2024 D. 2025 【答案】B 【解析】 【分析】先根据二次根式有意义的条件求出的值，再代入求出的值，最后计算．本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式中被开方数是非负数是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 解得； 解得． ． 把代入得 ， 解得． ∴． 故选：B． 7. 以直角三角形的三边为边向外作正方形，其中两个正方形的面积如图所示，则正方形的边长为（ ） A. 6 B. 36 C. 64 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，算术平方根的相关计算，掌握以上知识及计算是解题的关键． 根据题意，正方形A的面积与8的和等于14，可得A得面积，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，， ∴， ∴正方形的边长为， 故选：D ． 8. 如图，台风过后，某市体育中心附近一棵大树在高于地面处折断，大树顶部落在距离大树底部处的地面上．则这棵树折断之前的高度（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，画出图形，由勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】解：如图，由题意得：，，， 在直角三角形中，由勾股定理得： ， ∴， 即这棵树折断之前的高度为， 故选：B． 9. 实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简得（ ） A. B. C. b D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，化简绝对值和求一个数的算术平方根，先根据数轴得到，则，据此化简绝对值和计算算术平方根，再根据整式的加减计算法则求解即可． 【详解】解：由数轴可知， ∴， ∴ ， 故选：B． 10. 如图在▱ABCD中，已知AC=4cm，若△ACD的周长为13cm，则▱ABCD的周长为（　　） A. 26cm B. 24cm C. 20cm D. 18cm 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形周长的定义得到AD+DC=9cm．然后由平行四边形的对边相等的性质来求平行四边形的周长． 【详解】解：∵AC=4cm，若△ADC的周长为13cm， ∴AD+DC=13﹣4=9（cm）． 又∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AD=BC， ∴平行四边形的周长为2（AB+BC）=18cm． 故选D． 11. 我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为，，，则该三角形的面积为．现已知的三边长分别为，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的应用．根据题目中的面积公式可以求得的三边长分别为，，的面积，从而可以解答本题． 【详解】解：∵，且的三边长分别为，，， ，，， ∴的面积为： ， 故选：C． 12. 如图所示，有一块直角三角形纸片，，将斜边翻折，使点B落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理和折叠问题．熟练掌握折叠的性质，是解题的关键． 勾股定理求出的长，利用折叠得到，求出，设，则，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵， ， 根据翻折可得， ， 设，则． 根据勾股定理得，解得：． 故选：A． 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 13. 在直角坐标系中，点到原点的距离是_______． 【答案】 【解析】 【分析】在平面直角坐标系中找出P点，过P作PE垂直于x轴，连接OP，由P的坐标得出PE及OE的长，在直角三角形OPE中，由PE及OE的长，利用勾股定理求出OP的长，即为P到原点的距离． 【详解】解：过P作PE⊥x轴，连接OP， ∵， ∴PE=3，OE=2． 在中，根据勾股定理得：， ∴， 则点P在原点的距离为． 故答案为． 【点睛】本题考查了勾股定理，以及坐标与图形的性质，勾股定理为：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，灵活运用勾股定理是解本题的关键． 14. 已知最简二次根式与是同类二次根式，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了同类二次根式，根据同类二根式的定义得到，解方程组后，代入求值即可． 【详解】解∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴ 解得， ∴ 故答案为： 15. 如图，在中，点为边上一点，连结AE，DE，AE＝DE＝BE，∠CDE＝24°，则______度． 【答案】68 【解析】 【分析】设∠B＝∠ADC＝x，直接利用平行四边形的性质结合等腰三角形的性质得出∠EAD＝∠ADE＝x﹣24°，进而结合平行线的性质得出答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B＝∠ADC，AD∥BC， ∴∠B+∠BAD＝180° 设∠B＝∠ADC＝x， ∵∠CDE＝24°， ∴∠ADE＝x﹣24°， ∵AE＝DE， ∴∠EAD＝∠ADE＝x﹣24°， ∵AE＝BE， ∴∠B＝∠BAE＝x， ∴x+x﹣24°+x＝180°， 解得：x＝68°． 故答案为：68． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的性质，设∠B＝x，用未知数x表示∠DAE是解题的关键． 16. 如图，点为数轴的原点，点和分别对应的实数是和1．过点作，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，交数轴的正半轴于点，则点对应的实数是__． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理求出AD，再根据OE=AE-AO,即可求出点E对应的实数． 【详解】解：由题意可得：BD=OB=1 在中， ∴OE=AE-1= ∴点E对应的实数为 故答案为： 【点睛】本题考查了实数与数轴，以及勾股定理，解题的关键是根据题意表示出OE的长度． 17. 对于任意两个不相等的数a，b，定义一种运算※如下：，例如．那么____________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据新定义运算进行运算，即可求得． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了新定义运算，二次根式的性质，理解题意，正确进行运算是解决本题的关键． 18. 如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是 ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了最短路径问题，将圆柱侧面展开，作出点关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求出即可求解，利用轴对称找到蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是解题的关键． 【详解】解：将圆柱侧面展开，作出点关于的对称点，如图， ∵高为，底面周长为， 此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿与饭粒相对的点处， ∴，， 连接，则即为最短距离， ∵， ∴蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是， 故答案为：． 三、解答题（共78分） 19. 计算： （1）； （2）； 【答案】（1）9 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先把各个二次根式化为最简二次根式，然后进行合并，熟练掌握平方差公式和完全平方公式，是解题的关键． （1）先把二次根式化简为最简二次根式，计算零次幂和绝对值，然后合并即可； （2）先利用完全平方公式和平方差公式进行计算，然后合并即可． 【小问1详解】 【小问2详解】 20. 已知，，求下列各代数式的值． （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，完全平方公式，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）先求出，，然后通过，再代入求值即可； （）把，代入求值即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，， ∴ ； 【小问2详解】 解：∵，， ∴ ． 21. 已知：如图，在ABCD中，延长线AB至点E，延长CD至点F，使得BE=DF．连接EF，与对角线AC交于点O．求证：OE=OF． 【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AB∥DC， ∴∠F=∠E，∠DCA=∠CAB， ∵AB=CD，FD=BE， ∴CF=AE， 在△COF和△AOE中， ∵∠F=∠E，CF=AE，∠DCA=∠CAB， ∴△COF≌△AOE， ∴OE=OF． 【解析】 【分析】先由平行四边形的性质得出AB=CD，AB∥DC，再得出∠F=∠E，CF=AE，∠DCA=∠CAB，即可推出△COF≌△AOE，从而得到结论． 【详解】略 22. 消防车上的云梯示意图如图1所示，云梯最多只能伸长到25米，消防车高4米，如图2，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为15米． （1）求处与地面的距离． （2）完成处的救援后，消防员发现在处的上方4米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 【答案】（1）点处与地面的距离为米 （2）消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，正确确定每个线段的长度． （1）由题意可得，米，米，米，利用勾股定理求得，即可求解； （2）根据题意可得，，米，由勾股定理可得，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意可得，米，米，米， 由勾股定理可得，（米）， （米）， 则点处与地面的距离为米； 【小问2详解】 解：由题意可得，（米），米， 根据勾股定理可得，（米）， ∴（米）， 则消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米． 23. 如图，在中，，是对角线上的两点，于点，于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，垂直定义，全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由四边形时平行四边形，得，，所以，又，，则，然后通过“”即可求证； （）由全等三角形性质可得，然后通过线段和差即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴． 24. 嘉琪根据学习“数与式”的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是嘉琪的探究过程，请补充完整： （1）具体运算，发现规律： 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：______（填写一个符合上述运算特征的式子）． （2）观察、归纳，得出猜想： 如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：______． （3）证明你的猜想； （4）应用运算规律： ①化简：______； ②若（a，b均为正整数），则的值为______． 【答案】（1）；（答案不唯一） （2） （3）证明：， 等式左边等式右边； （4）①；②18 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据材料提示计算即可； （2）由材料提示，归纳总结即可； （3）运用二次根式的性质，二次根式的混合运算法则计算即可； （4）根据材料提示的方法代入运算即可． 【小问1详解】 解：根据材料提示可得，特例 4 为：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由上述计算可得，如果为正整数，上述的运算规律为：， 故答案为：； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 ①解： ． ②， ， ， ． 25. 【模型学习】如图①，在中，，，直线l经过点C，分别过点A、B作于点D，于点E．求证：． 【模型应用】如图②，在中，，，，，直线l经过点D（不与重合）．动点P从点D出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段向点B运动，同时动点Q从点C出发，以每秒4个单位的速度沿折线向点A运动，其中一个动点到达终点时，整个运动停止．当点P、Q不与点D重合时，分别过点P、Q作于点M，于点N．设运动时间为t秒． （1）求线段的长度； （2）线段的长度为 ；当点Q在线段上运动时，线段的长度为 ；（用含t的代数式表示） （3）当与全等时，求出t的值． 【答案】【模型学习】 ，， ， ， ， ， ， ， ； 【模型应用】（1）；（2），；（3）1或3 【解析】 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，利用分类思想讨论解决问题是解题的关键． 模型学习：由可证； 模型应用：（1）由勾股定理可求的长，即可求解； （2）由路程速度时间可求解； （3）分和两种情况讨论，由全等三角形的性质可求解． 【详解】模型学习 略 模型应用（1）， ， 在中，由勾股定理得：， ； （2）动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向点运动， ， 动点从点出发，以每秒个单位的速度沿折线向点运动， 当点在线段上运动时，线段的长度为， 故答案为：；； （3）当时，， ， 则， 解得； 当时，， ， 则， 解得， 综上所述：的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年第二学期第一次月考 八年级数学试题 试题说明：本试题满分150分，时间120分钟 请同学们认真思考，仔细作答，书写工整，所有试题的答案都请填写在答案纸上，预祝同学们取得优异成绩． 一、选择题（共12小题，每小题4分，共48分） 1. 使有意义的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 若直角三角形的两边长分别为，，且满足，则该直角三角形的第三边长为（ ） A. 5 B. C. 5或 D. 5或4 3. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，．若点在边上移动，则的最小值是（ ） A. 3.6 B. 4 C. 4.5 D. 4.8 5. 下列三个定理中，①有两个角相等的三角形是等腰三角形；②全等三角形的对应角相等；③同位角相等，两直线平行；存在逆定理的有（ ）个 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6. 已知，则的值为（） A. B. C. 2024 D. 2025 7. 以直角三角形的三边为边向外作正方形，其中两个正方形的面积如图所示，则正方形的边长为（ ） A. 6 B. 36 C. 64 D. 8. 如图，台风过后，某市体育中心附近一棵大树在高于地面处折断，大树顶部落在距离大树底部处的地面上．则这棵树折断之前的高度（ ） A. B. C. D. 9. 实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简得（ ） A. B. C. b D. 10. 如图在▱ABCD中，已知AC=4cm，若△ACD的周长为13cm，则▱ABCD的周长为（　　） A. 26cm B. 24cm C. 20cm D. 18cm 11. 我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为，，，则该三角形的面积为．现已知的三边长分别为，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 12. 如图所示，有一块直角三角形纸片，，将斜边翻折，使点B落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 13. 在直角坐标系中，点到原点的距离是_______． 14. 已知最简二次根式与是同类二次根式，则的值为________． 15. 如图，在中，点为边上一点，连结AE，DE，AE＝DE＝BE，∠CDE＝24°，则______度． 16. 如图，点为数轴的原点，点和分别对应的实数是和1．过点作，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，交数轴的正半轴于点，则点对应的实数是__． 17. 对于任意两个不相等的数a，b，定义一种运算※如下：，例如．那么____________． 18. 如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是 ______． 三、解答题（共78分） 19. 计算： （1）； （2）； 20. 已知，，求下列各代数式的值． （1）； （2）． 21. 已知：如图，在ABCD中，延长线AB至点E，延长CD至点F，使得BE=DF．连接EF，与对角线AC交于点O．求证：OE=OF． 22. 消防车上的云梯示意图如图1所示，云梯最多只能伸长到25米，消防车高4米，如图2，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为15米． （1）求处与地面的距离． （2）完成处的救援后，消防员发现在处的上方4米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 23. 如图，在中，，是对角线上的两点，于点，于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 24. 嘉琪根据学习“数与式”的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是嘉琪的探究过程，请补充完整： （1）具体运算，发现规律： 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：______（填写一个符合上述运算特征的式子）． （2）观察、归纳，得出猜想： 如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：______． （3）证明你的猜想； （4）应用运算规律： ①化简：______； ②若（a，b均为正整数），则的值为______． 25. 【模型学习】如图①，在中，，，直线l经过点C，分别过点A、B作于点D，于点E．求证：． 【模型应用】如图②，在中，，，，，直线l经过点D（不与重合）．动点P从点D出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段向点B运动，同时动点Q从点C出发，以每秒4个单位的速度沿折线向点A运动，其中一个动点到达终点时，整个运动停止．当点P、Q不与点D重合时，分别过点P、Q作于点M，于点N．设运动时间为t秒． （1）求线段的长度； （2）线段的长度为 ；当点Q在线段上运动时，线段的长度为 ；（用含t的代数式表示） （3）当与全等时，求出t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $