第1章 特殊的平行四边形 单元过关测试 2025-2026学年北师大版九年级数学上册

第1章 特殊的平行四边形（基础卷）单元过关测试 时间：100分钟 满分：100分 试卷得分： 一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质（　　） A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线平分一组对角 D．对角线互相垂直 2．下列说法正确的是（　　） A．菱形的四个内角都是直角 B．矩形的对角线互相垂直 C．正方形的每一条对角线平分一组对角 D．平行四边形是轴对称图形 3．如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，M为边AB的中点，若MO＝4cm，则菱形ABCD的周长为（　　） A．32cm B．24cm C．16cm D．8cm 4．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于H，则DH＝（　　） A． B． C．12 D．24 5．如图，E是正方形ABCD的边BC延长线上的一点，且CE＝CA，AE交CD于点F，则∠DAF的度数为（　　） A．45° B．30° C．20° D．22.5° 6．下列条件之一能使菱形ABCD是正方形的为（　　） ①AC⊥BD ②∠BAD＝90° ③AB＝BC ④AC＝BD． A．①③ B．②③ C．②④ D．①②③ 7．顺次连接矩形各边的中点所得的四边形是（　　） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．不能确定 8．如图，在△ABC中，点E，D，F分别在边AB，BC，CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四个判断中，不正确的是（　　） A．四边形AEDF是平行四边形 B．如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形 C．如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形 D．如果AD⊥BC且AB≠AC，那么四边形AEDF是菱形 9．如图，矩形ABCD和矩形BDEF，点A在EF边上，设矩形ABCD和矩形BDEF的面积分别为S1、S2，则S1与S2的大小关系为（　　） A．S1＝S2 B．S1＞S2 C．S1＜S2 D．3S1＝2S2 10．如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：①CE＝CF；②∠AEB＝75°③BE+DF＝EF；④CE，其中正确的结论的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 三、解答题：本题共6小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 11．工人师傅在做门窗或矩形零件时，不仅要测量两组对边的长度是否相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形．这依据的道理是 　 　 ． 12．如图，在正方形ABCD中，点P在AC上，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E，F，EF＝3，则DP的长为 　 　 ． 13．如图，已知矩形ABCD，AD＝24，CD＝16，点R、P分别是DC，BC上的点，点E、F分别是AP，RP的中点，当点P在BC上从B向C移动，而点R不动时，若CR＝9，线段EF的长是　 　 ． 14．如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（﹣2，0），点D在y轴上，则点D的坐标是 　 　 ． 15．如图，DE是△ABC的中位线，BE与CD交于点O，点F，G分别是OC，OB的中点，连接DG，EF，FG，要使得四边形DEFG为矩形，下列补充条件正确的有 　 　 （选填序号）． ①AB＝AC；②∠ACB＝90°；③BE＝CD；④∠EFG＝90°． 16．如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC、AD于点E、F，若BE＝3，AF＝5，则AB的长为 　 　 ． 17．已知：正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠DBC的平分线BF交CD于点E，交AC于点F，OF＝1，则AB＝　 　 ． 18．如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝6，BC＝2．运动过程中点D到点O的最大距离是 　 　 ． 三、解答题：本题共6小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19．本小题分如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，AC平分∠DAB； （1）求证：四边形ABCD为菱形； （2）若AB＝6，∠ADC＝120°，求平行四边形ABCD的面积． 20．本小题分已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的一条角平分线，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E．连接DE交AC于点F． （1）试判断四边形ADCE的形状，并说明理由； （2）试判断DF与AB的关系，并说明理由． 21．本小题分如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD的交点为O，且DB平分∠ADC，E为边BC的中点，连接OE，AE，AE与BD的交点为F． （1）求证：四边形ABCD是菱形． （2）若∠COE＝60°，求∠AFB的度数． 22．本小题分如图1，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，BE． （1）求证：BE＝DE； （2）如图2，过点E作EF⊥DE，交边BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．求证：矩形DEFG是正方形． 23．本小题分如图1，菱形ABCD对角线AC，BD交于点O，点E是AD的中点，连接OE并延长，过点A作AF∥OD，交OE的延长线于点F，连接FD． （1）判断四边形AODF的形状，并说明理由； （2）如图2，连接BE，若∠BAD＝120°，AB＝4，求BE的长． 24．本小题2分综合与实践 问题情境： 如图，四边形ABCD为正方形，点E为对角线AC上的一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交直线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． 猜想证明： （1）求证：四边形DEFG是正方形． 解决问题： （2）求∠DCG的度数． （3）已知BC＝4，CF＝2，请直接写出CG的长． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 答案与解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C B D C B D A B 一．选择题（共10小题） 1．平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质（　　） A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线平分一组对角 D．对角线互相垂直 【解答】解：根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的对角线相互平分的性质，可知选B． 故选：B． 2．下列说法正确的是（　　） A．菱形的四个内角都是直角 B．矩形的对角线互相垂直 C．正方形的每一条对角线平分一组对角 D．平行四边形是轴对称图形 【解答】解：A．菱形的四个内角不一定都是直角，故A选项不符合题意； B．矩形的对角线不一定互相垂直，故B选项不符合题意； C．正方形的每一条对角线平分一组对角，故C选项符合题意； D．平行四边形不一定是轴对称图形，故D选项不符合题意； 故选：C． 3．如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，M为边AB的中点，若MO＝4cm，则菱形ABCD的周长为（　　） A．32cm B．24cm C．16cm D．8cm 【解答】解：∵四边形ABCD为菱形， ∴BO＝DO，即O为BD的中点， 又∵M是AB的中点， ∴MO是△ABD的中位线， ∴AD＝2MO＝2×4＝8（cm）， ∴菱形ABCD的周长＝4AD＝4×8＝32（cm）， 故选：A． 4．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于H，则DH＝（　　） A． B． C．12 D．24 【解答】解：设AC与BD交于O， ∵四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6， ∴AC⊥BD，OAAC＝4，OBBD＝3， ∴AB5， ∵S菱形ABCDAC•BD＝24，DH⊥AB， ∴DH＝24÷DH． 故选：B． 5．如图，E是正方形ABCD的边BC延长线上的一点，且CE＝CA，AE交CD于点F，则∠DAF的度数为（　　） A．45° B．30° C．20° D．22.5° 【解答】解：∵CE＝AC， ∴∠E＝∠CAE， ∵AC是正方形ABCD的对角线， ∴∠ACB＝45°，∠DAC＝45°， ∴∠E+∠CAE＝45°， ∴∠E＝∠CAE45°＝22.5°， ∴∠DAF＝∠DAC﹣∠CAE＝45°﹣22.5°＝22.5°， 故选：D． 6．下列条件之一能使菱形ABCD是正方形的为（　　） ①AC⊥BD ②∠BAD＝90° ③AB＝BC ④AC＝BD． A．①③ B．②③ C．②④ D．①②③ 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴当∠BAD＝90°时，菱形ABCD是正方形，故②正确； ∵四边形ABCD是菱形， ∴当AC＝BD时，菱形ABCD是正方形，故④正确； 故选：C． 7．顺次连接矩形各边的中点所得的四边形是（　　） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．不能确定 【解答】解：如图：E，F，G，H为矩形的中点，则AH＝HD＝BF＝CF，AE＝BE＝CG＝DG， 在Rt△AEH与Rt△DGH中，AH＝HD，AE＝DG， ∴△AEH≌△DGH， ∴EH＝HG， 同理，△AEH≌△DGH≌△BEF≌△CGF≌△DGH ∴EH＝HE＝GF＝EF，∠EHG＝∠EFG， ∴四边形EFGH为菱形． 故选：B． 8．如图，在△ABC中，点E，D，F分别在边AB，BC，CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四个判断中，不正确的是（　　） A．四边形AEDF是平行四边形 B．如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形 C．如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形 D．如果AD⊥BC且AB≠AC，那么四边形AEDF是菱形 【解答】解：根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形AEDF是平行四边形，故不合题意； 根据有一角是直角的平行四边形是矩形，可得四边形AEDF是矩形，故不合题意； 如果AD平分∠BAC，那么∠EAD＝∠FAD，由DF∥BA，可得∠EAD＝∠ADF， ∴∠FAD＝∠ADF， ∴AF＝FD， 根据邻边相等的平行四边形是菱形，可得四边形AEDF是菱形，故不合题意； 如果AD⊥BC且AB≠AC，无法得到AD平分∠BAC，所以不能得到四边形AEDF是菱形，故符合题意． 故选：D． 9．如图，矩形ABCD和矩形BDEF，点A在EF边上，设矩形ABCD和矩形BDEF的面积分别为S1、S2，则S1与S2的大小关系为（　　） A．S1＝S2 B．S1＞S2 C．S1＜S2 D．3S1＝2S2 【解答】解：∵矩形ABCD的面积S1＝2S△ABD，S△ABDS矩形BDEF， ∴S1＝S2． 故选：A． 10．如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：①CE＝CF；②∠AEB＝75°③BE+DF＝EF；④CE，其中正确的结论的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠B＝∠D＝90°， ∵△AEF是等边三角形， ∴AE＝AF， 在Rt△ABE和Rt△ADF中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）， ∴BE＝DF， ∵BC＝DC， ∴BC﹣BE＝CD﹣DF， ∴CE＝CF，故①正确； ∵CE＝CF， ∴△ECF是等腰直角三角形， ∴∠CEF＝45°， ∵∠AEF＝60°， ∴∠AEB＝75°，故②正确； 如图，连接AC，交EF于G点， ∴AC⊥EF，且AC平分EF， ∵∠FAD≠∠CAF， ∴DF≠FG， ∴BE+DF≠EF，故③错误； ∵EF＝2， ∴CE＝CF，故④错误． ∴正确的有①②． 故选：B． 二．填空题（共8小题） 11．工人师傅在做门窗或矩形零件时，不仅要测量两组对边的长度是否相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形．这依据的道理是 　对角线相等的平行四边形是矩形　 ． 【解答】解：因为门窗所构成的形状是矩形， 所以根据矩形的判定（对角线相等的平行四边形为矩形）可得出． 故答案为：对角线相等的平行四边形是矩形． 12．如图，在正方形ABCD中，点P在AC上，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E，F，EF＝3，则DP的长为 　3　 ． 【解答】解：如图，连接PB， 在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAC＝∠DAC＝45°， ∵AP＝AP，AB＝AD，∠BAC＝∠DAC＝45°， 在△ABP和△ADP中， ， ∴△ABP≌△ADP（SAS）， ∴BP＝DP； ∵PE⊥AB，PF⊥BC，∠ABC＝90°， ∴四边形BFPE是矩形， ∴EF＝PB， ∴EF＝DP＝3， 故答案为：3． 13．如图，已知矩形ABCD，AD＝24，CD＝16，点R、P分别是DC，BC上的点，点E、F分别是AP，RP的中点，当点P在BC上从B向C移动，而点R不动时，若CR＝9，线段EF的长是　　 ． 【解答】解：连接AR， ∵四边形ABCD是矩形，AD＝24，CD＝16， ∴∠D＝90°， ∵点R是DC上的点，且CR＝9， ∴DR＝DC﹣CF＝16﹣9＝7， ∴AR25， ∵点E、F分别是AP，RP的中点， ∴EFAR， 故答案为：． 14．如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（﹣2，0），点D在y轴上，则点D的坐标是 　（0，4）　 ． 【解答】解：∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（﹣2，0），点D在y轴上， ∴AB＝AO+OB＝5， ∴AD＝AB＝5， ∴DO4， ∴点D（0，4）， 故答案为：（0，4）． 15．如图，DE是△ABC的中位线，BE与CD交于点O，点F，G分别是OC，OB的中点，连接DG，EF，FG，要使得四边形DEFG为矩形，下列补充条件正确的有 　①③④　 （选填序号）． ①AB＝AC； ②∠ACB＝90°； ③BE＝CD； ④∠EFG＝90°． 【解答】解：∵DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC，DEBC， ∵F，G分别是OC，OB的中点， ∴GF是△OBC的中位线， ∴GF∥BC，GFBC， ∴DE∥GF，DE＝GF， ∴四边形DEFG是平行四边形． ①∵DE分别是AB和AC的中点， ∴ADAB，AEAC， ∵AB＝AC， ∴AD＝AE， ∵∠A＝∠A，AB＝AC， ∴△ABE≌△ACD（SAS）， ∴BE＝CD， ∵O是△ABC的重心， ∴ODDC，OEBE， ∴OD＝OE， ∴OB＝OC， ∵GF分别是OB和OC的中点， ∴OGOB，OFOC， ∴OF＝OG， ∴OD+OF＝OE+OG， ∴DF＝EC， ∵四边形DEFG是平行四边形， ∴四边形DEFG是矩形， 故①符合题意； ②由∠ACB＝90°得不到四边形DEFG是矩形， 故②不符合题意； ③由①知：由BE＝CD能推出四边形DEFG是矩形， 故③符合题意； ④∵∠EFG＝90°，四边形DEFG是平行四边形， ∴四边形DEFG是矩形． ∴使得四边形DEFG为矩形，补充条件正确的有①③④． 故答案为：①③④． 16．如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC、AD于点E、F，若BE＝3，AF＝5，则AB的长为 　4　 ． 【解答】解：连接AE，如图： ∵EF是AC的垂直平分线， ∴OA＝OC，AE＝CE， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝90°，AD∥BC， ∴∠OAF＝∠OCE， 在△AOF和△COE中， ， ∴△AOF≌△COE（ASA）， ∴AF＝CE＝5， ∴AE＝CE＝5，BC＝BE+CE＝3+5＝8， 在Rt△ABE中，． 17．已知：正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠DBC的平分线BF交CD于点E，交AC于点F，OF＝1，则AB＝　2　 ． 【解答】解：如图作FH∥BC交BD于点H． ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠OBC＝∠OCB＝45°，OB＝OC，∠BOC＝90° ∵FH∥BC， ∴∠OHF＝∠OBC，∠OFH＝∠OCB， ∴∠OHF＝∠OFH， ∴OH＝OF＝1，FH， ∵BF平分∠OBC， ∴∠HBF＝∠FBC＝∠BFH， ∴BH＝FH， ∴OB＝OC＝1， ∴BCOB＝2． 故答案为2． 18．如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝6，BC＝2．运动过程中点D到点O的最大距离是 　3　 ． 【解答】解：如图：取线段AB的中点E，连接OE，DE，OD， ∵AB＝6，点E是AB的中点，∠AOB＝90°， ∴AE＝BE＝3＝OE， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC＝2，∠DAB＝90°， ∴DE， ∵OD≤OE+DE， ∴当点D，点E，点O共线时，OD的长度最大． ∴点D到点O的最大距离＝OE+DE＝3， 故答案为：3． 三．解答题（共6小题） 19．如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，AC平分∠DAB； （1）求证：四边形ABCD为菱形； （2）若AB＝6，∠ADC＝120°，求平行四边形ABCD的面积． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠BAC＝∠DCA， ∵AC平分∠DAB， ∴∠BAC＝∠DAC， ∴∠DCA＝∠DAC， ∴AD＝CD， ∴四边形ABCD为菱形． （2）解：∵四边形ABCD为菱形，对角线AC和BD相交于点O，AB＝6， ∴AB＝AD，AD⊥BD，OA＝OC，OB＝OD， ∴∠AOB＝90°， ∵∠ADC＝120°，AB∥CD， ∴∠BAD＝180°﹣∠ADC＝60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴BD＝AB＝6， ∴OBBD＝3， ∴OA3， ∴AC＝2OA＝6， ∴S▱ABCDAC•BD66＝18， ∴平行四边形ABCD的面积为18． 20．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的一条角平分线，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E．连接DE交AC于点F． （1）试判断四边形ADCE的形状，并说明理由； （2）试判断DF与AB的关系，并说明理由． 【解答】解：（1）四边形ADCE为矩形， 理由：∵AD平分∠BAC，AN平分∠CAM， ∴，， ∴， 在△ABC中， ∵AB＝AC，AD平分∠BAC， ∴AD⊥BC． ∴∠ADC＝90°， ∵CE⊥AN， ∴∠AEC＝90°． ∴∠DAE＝∠ADC＝∠AEC＝90°， ∴四边形ADCE为矩形； （2）DF∥AB，， 理由： ∵四边形ADCE是矩形， ∴AF＝CF， ∵AB＝AC，AD平分∠BAC， ∴BD＝CD， ∴DF是△ABC的中位线， 即DF∥AB，． 21．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD的交点为O，且DB平分∠ADC，E为边BC的中点，连接OE，AE，AE与BD的交点为F． （1）求证：四边形ABCD是菱形． （2）若∠COE＝60°，求∠AFB的度数． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD（两直线平行，内错角相等）． ∵DB平分∠ADC， ∴∠ADB＝∠BDC， ∴∠CBD＝∠BDC． ∴BC＝CD． ∴平行四边形ABCD是菱形． （2）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC，AC⊥BD，即∠BOC＝90°． ∵E为边BC的中点， ∴， ∴∠OCB＝∠COE＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AE⊥BC， ∴∠AEB＝90°． ∴∠OBC＝90°﹣60°＝30°， ∵∠AFB是△BEF的一个外角， ∴∠AFB＝∠AEB+∠OBC＝90°+30°＝120°． 22．如图1，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，BE． （1）求证：BE＝DE； （2）如图2，过点E作EF⊥DE，交边BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．求证：矩形DEFG是正方形． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BAE＝∠DAE＝45°，AB＝AD， ∵AE＝AE， ∴△ABE≌△ADE（SAS）， ∴BE＝DE； （2）过点E分别作EM⊥BC于点M，EN⊥CD于点N， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD＝90°，∠ECN＝∠ECM＝45°， ∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°， ∴NE＝NC， ∴四边形EMCN为正方形， ∴EM＝EN，∠MEN＝90°， ∵四边形DEFG是矩形， ∴∠DEF＝90°， ∴∠DEN+∠NEF＝∠FEM+∠NEF＝90°， ∴∠DEN＝∠FEM， 在△DEN和△FEM中， ， ∴△DEN≌△FEM（ASA）， ∴ED＝EF， ∴矩形DEFG为正方形． 23．如图1，菱形ABCD对角线AC，BD交于点O，点E是AD的中点，连接OE并延长，过点A作AF∥OD，交OE的延长线于点F，连接FD． （1）判断四边形AODF的形状，并说明理由； （2）如图2，连接BE，若∠BAD＝120°，AB＝4，求BE的长． 【解答】解：（1）四边形AODF是矩形， 理由：∵点E是AD的中点， ∴AE＝DE， ∵AF∥OD， ∴∠AFE＝∠DOE， 在△AEF和△DEO中， ， ∴△AEF≌△DEO（AAS）， ∴FE＝OE， ∴四边形AODF是平行四边形， ∵四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O， ∴AC⊥BD， ∴∠AOD＝90°， ∴四边形AODF是矩形． （2）如图2，作EH⊥BD于点H，则∠BHE＝90°， ∵AB＝AD＝4，∠BAD＝120°， ∴∠ABD＝∠ADB（180°﹣120°）＝30°， ∵∠AOB＝90°， ∴OAAB＝2， ∴OB2， ∵AE＝DE，BO＝DO， ∴EO∥AB，EOAB＝2， ∴∠EOH＝∠ABD＝30°， ∴EHEO＝1， ∴OH， ∴BH＝OB+OH＝23， ∴BE2， ∴BE的长是2． 24．综合与实践 问题情境： 如图，四边形ABCD为正方形，点E为对角线AC上的一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交直线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． 猜想证明： （1）求证：四边形DEFG是正方形． 解决问题： （2）求∠DCG的度数． （3）已知BC＝4，CF＝2，请直接写出CG的长． 【解答】（1）证明：过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点， ∵正方形ABCD， ∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°， ∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，且NE＝NC， ∴四边形EMCN为正方形， ∵四边形DEFG是矩形， ∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90° ∴∠DEN＝∠MEF， 又∠DNE＝∠FME＝90°， 在△DEN和△FEM中， ， ∴△DEN≌△FEM（ASA）， ∴ED＝EF， ∴矩形DEFG为正方形， （2）解：∵矩形DEFG为正方形， ∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90° ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°， ∴∠ADE＝∠CDG， ∴△ADE≌△CDG（SAS）， ∴∠DAE＝∠DCG＝45°， （3）解：①当F在BC上时， ∵正方形EMCN，正方形ABCD， ∴BC＝DC，MC＝NC， ∴BC﹣MC＝DC﹣NC，即：BM＝DN， ∵△DEN≌△FEM， ∴FM＝DN， ∴， ∴MC＝MF+FC＝1+2＝3， ∴，， ∵△ADE≌△CDG， ∴； ②当F在BC延长线上时，如图： 同理可得，△EFM≌△EDN，CM＝CN＝EM＝EN，AE＝CG， ∴BM＝FM（BC+CF）＝3， ∴CM＝1， ∴CE， ∴AE＝43， ∴CG＝3； 综上所述，AE或3． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/8/12 18:14:32；用户：殷伟榕；邮箱：13372093358；学号：49327560 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1页（共 6页） 第 1 章 特殊的平行四边形（基础卷）单元过关测试 时间：100 分钟 满分：100 分 试卷得分： 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 的。 1．平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质（ ） A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线平分一组对角 D．对角线互相垂直 2．下列说法正确的是（ ） A．菱形的四个内角都是直角 B．矩形的对角线互相垂直 C．正方形的每一条对角线平分一组对角 D．平行四边形是轴对称图形 3．如图，菱形 ABCD中，对角线 AC，BD相交于点 O，M为边 AB的中点，若 MO＝4cm，则菱形 ABCD 的周长为（ ） A．32cm B．24cm C．16cm D．8cm 4．如图，四边形 ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于 H，则 DH＝（ ） A． 12 5 B． 24 5 C．12 D．24 5．如图，E是正方形 ABCD的边 BC延长线上的一点，且 CE＝CA，AE交 CD于点 F，则∠DAF的度数 为（ ） 第 2页（共 6页） A．45° B．30° C．20° D．22.5° 6．下列条件之一能使菱形 ABCD是正方形的为（ ） ①AC⊥BD ②∠BAD＝90° ③AB＝BC ④AC＝BD． A．①③ B．②③ C．②④ D．①②③ 7．顺次连接矩形各边的中点所得的四边形是（ ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．不能确定 8．如图，在△ABC中，点 E，D，F分别在边 AB，BC，CA上，且 DE∥CA，DF∥BA．下列四个判断中， 不正确的是（ ） A．四边形 AEDF是平行四边形 B．如果∠BAC＝90°，那么四边形 AEDF是矩形 C．如果 AD平分∠BAC，那么四边形 AEDF是菱形 D．如果 AD⊥BC且 AB≠AC，那么四边形 AEDF是菱形 9．如图，矩形 ABCD和矩形 BDEF，点 A在 EF边上，设矩形 ABCD和矩形 BDEF的面积分别为 S1、S2， 则 S1与 S2的大小关系为（ ） A．S1＝S2 B．S1＞S2 C．S1＜S2 D．3S1＝2S2 10．如图，在正方形 ABCD中，边长为 2的等边三角形 AEF的顶点 E、F分别在 BC和 CD上，下列结论： ①CE＝CF；②∠AEB＝75°③BE+DF＝EF；④CE= 3，其中正确的结论的个数为（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第 3页（共 6页） 三、解答题：本题共 6 小题，共 56 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 11．工人师傅在做门窗或矩形零件时，不仅要测量两组对边的长度是否相等，常常还要测量它们的两条对 角线是否相等，以确保图形是矩形．这依据的道理是 ． 12．如图，在正方形 ABCD中，点 P在 AC上，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为 E，F，EF＝3，则 DP的 长为 ． 13．如图，已知矩形 ABCD，AD＝24，CD＝16，点 R、P分别是 DC，BC上的点，点 E、F分别是 AP， RP 的中点，当点 P 在 BC 上从 B 向 C 移动，而点 R 不动时，若 CR＝ 9，线段 EF 的长 是 ． 14．如图，若菱形 ABCD的顶点 A，B的坐标分别为（3，0），（﹣2，0），点 D在 y轴上，则点 D的坐标 是 ． 15．如图，DE是△ABC的中位线，BE与 CD交于点 O，点 F，G分别是 OC，OB的中点，连接 DG，EF， FG，要使得四边形 DEFG为矩形，下列补充条件正确的有 （选填序号）． 第 4页（共 6页） ①AB＝AC；②∠ACB＝90°；③BE＝CD；④∠EFG＝90°． 16．如图，在矩形 ABCD中，对角线 AC的垂直平分线 EF分别交 BC、AD于点 E、F，若 BE＝3，AF＝5， 则 AB的长为 ． 17．已知：正方形 ABCD中，对角线 AC、BD相交于点 O，∠DBC的平分线 BF交 CD于点 E，交 AC于 点 F，OF＝1，则 AB＝ ． 18．如图，∠MON＝90°，矩形 ABCD的顶点 A、B分别在边 OM、ON上，当 B在边 ON上运动时，A 随之在 OM上运动，矩形 ABCD的形状保持不变，其中 AB＝6，BC＝2．运动过程中点 D到点 O的最 大距离是 ． 三、解答题：本题共 6 小题，共 56 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 第 5页（共 6页） 19．(本小题 8分)如图所示，平行四边形 ABCD的对角线 AC和 BD相交于点 O，AC平分∠DAB； （1）求证：四边形 ABCD为菱形； （2）若 AB＝6，∠ADC＝120°，求平行四边形 ABCD的面积． 20．(本小题 8分)已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的一条角平分线，AN是△ABC外角 ∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为 E．连接 DE交 AC于点 F． （1）试判断四边形 ADCE的形状，并说明理由； （2）试判断 DF与 AB的关系，并说明理由． 21．(本小题 8分)如图，在▱ABCD中，对角线 AC，BD的交点为 O，且 DB平分∠ADC，E为边 BC的中 点，连接 OE，AE，AE与 BD的交点为 F． （1）求证：四边形 ABCD是菱形． （2）若∠COE＝60°，求∠AFB的度数． 22．(本小题 10分)如图 1，四边形 ABCD为正方形，E为对角线 AC上一点，连接 DE，BE． （1）求证：BE＝DE； （2）如图 2，过点 E作 EF⊥DE，交边 BC于点 F，以 DE，EF为邻边作矩形 DEFG，连接 CG．求证： 矩形 DEFG是正方形． 第 6页（共 6页） 23．(本小题 10分)如图 1，菱形 ABCD对角线 AC，BD交于点 O，点 E是 AD的中点，连接 OE并延长， 过点 A作 AF∥OD，交 OE的延长线于点 F，连接 FD． （1）判断四边形 AODF的形状，并说明理由； （2）如图 2，连接 BE，若∠BAD＝120°，AB＝4，求 BE的长． 24．(本小题 12 分)综合与实践 问题情境： 如图，四边形 ABCD为正方形，点 E为对角线 AC上的一动点，连接 DE，过点 E作 EF⊥DE，交直线 BC于点 F，以 DE，EF为邻边作矩形 DEFG，连接 CG． 猜想证明： （1）求证：四边形 DEFG是正方形． 解决问题： （2）求∠DCG的度数． （3）已知 BC＝4，CF＝2，请直接写出 CG的长．