专题2.3 二次根式（暑期预习衔接讲义）-2025-2026学年北师大版数学八年级上册

专题2.3 二次根式（暑期预习衔接讲义）-2025-2026学年北师大版数学八年级上册 知识点梳理 一、二次根式的概念与性质 1. 二次根式的定义 形如 双重非负性： 2. 二次根式的性质 积的算术平方根： 商的算术平方根： 二、最简二次根式与同类二次根式 1. 最简二次根式 条件： ① 被开方数不含分母； ② 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 示例： 2. 同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则称为同类二次根式。 合并法则：同类二次根式可合并，系数相加，被开方数不变。 例： 。 三、二次根式的运算 1. 乘除运算 乘法法则： 例： 除法法则： 例： 2. 加减运算 步骤： ① 将每个二次根式化为最简二次根式； ② 合并同类二次根式。 示例： 3. 混合运算 顺序：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减；有括号先算括号内。 乘法公式应用： 平方差公式： 完全平方公式： 例： 四、分母有理化 1. 定义：将分母中的根号化去的过程。 2. 方法： 分母为单项式：分子分母同乘分母的有理化因式。 例： 分母为多项式：利用平方差公式。 例： 五、几何应用与实际问题 1. 长度与距离计算 利用勾股定理结合二次根式求直角三角形边长。 例：直角三角形两直角边为 2. 图形面积与体积 涉及二次根式的几何图形面积计算，如正方形边长为 3. 实际场景应用 最短路径问题：在平面或立体图形中，通过展开图和二次根式运算求最短路径。 设计优化：如矩形对角线长度计算、材料最省方案设计等。 六、常见题型与解题技巧 1. 化简求值 已知 解： 2. 非负性应用 若 3. 规律探究 观察 七、易错点与注意事项 1. 被开方数的非负性： 2. 运算顺序错误：混合运算中未遵循“先乘除后加减”。 3. 化简不彻底：未将结果化为最简二次根式（如 ）。 4. 同类二次根式判断：未化简直接比较被开方数（如 ）。 培优练习 一、选择题 1．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 2．下列各式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 3．若化简 的结果为2x-5，则x的取值范围是(　　). A．x为任意实数 B．1≤x≤4 C．x≥1 D．x≤4 4．式子有意义，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5．若 ，则实数 在数轴上的对应点一定在（　　） A．原点左侧 B．原点右侧 C．原点或原点左侧 D．原点或原点右侧 6．已知实数，在数轴上的对应点如图，则化简得（　　） A． B． C． D． 7．陈老师在黑板上写了一个式子：，“□”中的运算符号没有给出，如果要求运算结果是有理数，那么“□”中的运算符号可能是（　　） A．+或× B．×或÷ C．+或- D．-或÷ 8．如图，正方体的棱长为6cm，A是正方体的一个顶点，B是侧面正方形对角线的交点，一只蚂蚁在正方体的表面上爬行，从点A爬到点B的最短路径长是（　　） A．12cm B．(+6)cm C．cm D．9cm 二、填空题 9．分母有理化： ＝　 　． 10．已知长方形的长和宽分别为 ， ，则它的周长=　 　. 11．若代数式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　。 12．如果最简二次根式与是同类二次根式，那么x的值为　 　. 13．用一组 a ， b 的值说明式 是错误的，这组值可以是a=　 　，b=　 　 14．在① ；② ；③ ；④ 中，最简二次根式有　 　个． 三、解答题 15． 计算： 16．已知． （1）求和的值； （2）求的值； （3）若的小数部分是，的整数部分是，求的值． 17．任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数，（其中m为满足不等式的最大整数，n为满足不等式的最小整数），则称无理数T的“麓外区间”为，如，所以的麓外区间为． （1）无理数的“麓外区间”是_____； （2）若，求的“麓外区间”． 18．某居民小区有块形状为矩形的绿地，长为米，宽为米，现在要矩形绿地中修建两个形状大小相同的长方形花坛（即图中阴影部分），每个长方形花坛的长为米，宽为米． （1）求矩形的周长．（结果化为最简二次根式） （2）除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/平方米的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？ 19．有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数m、n，使且，将变成，即变成，从而使得以化简． （1）例如，∵， ∴______，请完成填空． （2）仿照上面的例子，请化简； （3）利用上面的方法，设，，求A＋B的值． 20．在二次根式的计算中，经常会出现，这样的式子，其实可以将其进一步化简.例如：；。以上这种化简的步骤叫做分母有理化。 根据以上化简方法，解答下列问题： （1）化简：　 　； （2）请通过计算比较与的大小； （3）计算。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.3 二次根式（暑期预习衔接讲义）-2025-2026学年北师大版数学八年级上册 知识点梳理 一、二次根式的概念与性质 1. 二次根式的定义 形如 双重非负性： 2. 二次根式的性质 积的算术平方根： 商的算术平方根： 二、最简二次根式与同类二次根式 1. 最简二次根式 条件： ① 被开方数不含分母； ② 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 示例： 2. 同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则称为同类二次根式。 合并法则：同类二次根式可合并，系数相加，被开方数不变。 例： 。 三、二次根式的运算 1. 乘除运算 乘法法则： 例： 除法法则： 例： 2. 加减运算 步骤： ① 将每个二次根式化为最简二次根式； ② 合并同类二次根式。 示例： 3. 混合运算 顺序：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减；有括号先算括号内。 乘法公式应用： 平方差公式： 完全平方公式： 例： 四、分母有理化 1. 定义：将分母中的根号化去的过程。 2. 方法： 分母为单项式：分子分母同乘分母的有理化因式。 例： 分母为多项式：利用平方差公式。 例： 五、几何应用与实际问题 1. 长度与距离计算 利用勾股定理结合二次根式求直角三角形边长。 例：直角三角形两直角边为 2. 图形面积与体积 涉及二次根式的几何图形面积计算，如正方形边长为 3. 实际场景应用 最短路径问题：在平面或立体图形中，通过展开图和二次根式运算求最短路径。 设计优化：如矩形对角线长度计算、材料最省方案设计等。 六、常见题型与解题技巧 1. 化简求值 已知 解： 2. 非负性应用 若 3. 规律探究 观察 七、易错点与注意事项 1. 被开方数的非负性： 2. 运算顺序错误：混合运算中未遵循“先乘除后加减”。 3. 化简不彻底：未将结果化为最简二次根式（如 ）。 4. 同类二次根式判断：未化简直接比较被开方数（如 ）。 培优练习 一、选择题 1．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：A．和不是同类二次根式，不能合并， ∴此选项不符合题意， B．和不是同类二次根式，不能合并， ∴此选项不符合题意， C．， ∴此选项符合题意， D．≠， ∴此选项不符合题意． 故答案为：C． 【分析】根据二次根式的运算法则和同类二次根式的定义“几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式”依次进行判断即可求解． 2．下列各式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：A、被开方数是分数，不是最简二次根式，故选项A不符合题意； B、满足最简二次根式的定义，是最简二次根式，故此选项符合题意； C、可以化简，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； D、可以化简，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； 故答案为：B． 【分析】最简二次根式的条件：①被开方数不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数不含分母。根据最简二次根式的条件对每个选项逐一判断求解即可. 3．若化简 的结果为2x-5，则x的取值范围是(　　). A．x为任意实数 B．1≤x≤4 C．x≥1 D．x≤4 【答案】B 【解析】【解答】解：∵， ∴当时，， 当时，， 当时，， ∵化简 的结果为， ∴的取值范围是， 故答案为：B . 【分析】先利用完全平方公式、二次根式的性质将原式化为，然后由绝对值的意义进行分类讨论得到符合条件的的取值范围. 4．式子有意义，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：式子有意义， ， ． 故答案为：B． 【分析】根据二次根式有意义的条件"被开方数大于等于零"列关于x的不等式，解不等式即可求解． 5．若 ，则实数 在数轴上的对应点一定在（　　） A．原点左侧 B．原点右侧 C．原点或原点左侧 D．原点或原点右侧 【答案】C 【解析】【解答】∵ ∴m≤0， ∴m在原点或原点左侧． 故答案为：C． 【分析】根据二次根式的性质知，得出m≤0，即m在原点或原点左侧． 6．已知实数，在数轴上的对应点如图，则化简得（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【解答】解：根据图可得，b＜0，a＞0，|b|＞|a|， ∴原式=-（a+b）-（a-b）-a =-a-b-a+b-a =-3a； 故答案为：A. 【分析】根据数轴上两个实数的位置以及二次根式的性质，将式子化简求值即可。 7．陈老师在黑板上写了一个式子：，“□”中的运算符号没有给出，如果要求运算结果是有理数，那么“□”中的运算符号可能是（　　） A．+或× B．×或÷ C．+或- D．-或÷ 【答案】A 【解析】【解答】解：观察两个括号，可以发现：和相乘，能够利用平方差公式，结果是有理数，排除C和D，由于与互为相反数，相加，和为0，是有理数，排除B和D。 故答案为：A。 【分析】根据二次根式运算法则，结合平方差公式和相反数的性质求解。 8．如图，正方体的棱长为6cm，A是正方体的一个顶点，B是侧面正方形对角线的交点，一只蚂蚁在正方体的表面上爬行，从点A爬到点B的最短路径长是（　　） A．12cm B．(+6)cm C．cm D．9cm 【答案】C 【解析】【解答】解：将正方形的两个侧面展开，过点B作垂线交一边与点C，如下图； 根据两点之间线段最短，从点A爬到点B的路径最短时，AB在一条线上； 由题意可知，BC=3cm，AC=6+3=9cm， 根据勾股定理可知，AB==cm. 故答案为：C. 【分析】根据正方形的性质，可以得到AC和BC的长；根据两点之间，线段最短，可以得出当AB在一条直线时，从点A爬到点B的路径最短；根据勾股定理，可得AB的长. 二、填空题 9．分母有理化： ＝　 　． 【答案】 【解析】【解答】 ， 故答案为： ． 【分析】分子、分母同时乘以，再计算即可得到答案。 10．已知长方形的长和宽分别为 ， ，则它的周长=　 　. 【答案】 【解析】【解答】解：∵一个长方形的长和宽分别是 ， 周长为：2×（ ）=2×（2 + ）=2×3 =6 ， 故答案为：6 . 【分析】长方形的周长=（长+宽）×2，据此解答即可. 11．若代数式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　。 【答案】 【解析】【解答】解：∵ 在实数范围内有意义， ∴x-1≥0， 解得x≥1. 故答案为：x≥1. 【分析】根据二次根式的被开方数不能为负数，列出不等式，求解即可。 12．如果最简二次根式与是同类二次根式，那么x的值为　 　. 【答案】2 【解析】【解答】因为 与是同类二次根式 ，=，得出2x-1=3，x=2。 故答案为：2. 【分析】根据题意先将化简，然后因为根据题意得出2x-1=3，求出x即可得出答案。 13．用一组 a ， b 的值说明式 是错误的，这组值可以是a=　 　，b=　 　 【答案】1；-1 【解析】【解答】解：a＝1，b＝-1， 此时 故答案为：1，-1（答案不唯一）． 【分析】根据二次根式的性质即可求出答案． 14．在① ；② ；③ ；④ 中，最简二次根式有　 　个． 【答案】3个 【解析】【解答】解：最简二次根式有① ；② ；④ ，共3个， 故答案为：3． 【分析】 如果一个二次根式符合下列两个条件： 1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式。 根据最简二次根式的定义一一判断即可。 三、解答题 15． 计算： 【答案】解：⑴原式=-=-= ⑵原式=-+=-+= ⑶原式=-=-=12-2=10 ⑷原式=+-=+-=+ 【解析】【分析】⑴先化成最简二次根式再进行计算. ⑵先化成最简二次根式再进行计算. ⑶先按乘法分配律展开再化简计算. ⑷先化成最简二次根式再进行计算(注意：非同类二次根式不可合并). 16．已知． （1）求和的值； （2）求的值； （3）若的小数部分是，的整数部分是，求的值． 【答案】（1）解：， ，； （2）解：由（1）得：，， （3）解：， ，即， ， ， 的小数部分是， ， ，的整数部分是， ， ． 【解析】【分析】（1）代入，根据二次根式的加减法和乘法法则计算即可 ； （2）将原式变形为，代入数值，根据二次根式的混合运算法则进行计算即可； （3）先估算出，从而确定，，再代入进行计算即可． 17．任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数，（其中m为满足不等式的最大整数，n为满足不等式的最小整数），则称无理数T的“麓外区间”为，如，所以的麓外区间为． （1）无理数的“麓外区间”是_____； （2）若，求的“麓外区间”． 【答案】（1） （2）解：∵二次根式的根式里面的数字的非负性， ∴2-a≥0，解得a≤2；a-2≥0，解得a≥2； ∴a=2，∴和的值都为0， ∴b=0+0-=-， ∵2=＜＜3=， ∴-3＜-＜-2， ∴b的“麓外区间”是（-3，-2）. 【解析】【解答】解：（1）∵=4，=5，16＜19＜25， ∴， ∴4＜＜5， 即的“麓外区间”是(4，5)； 故填：（4，5）. 【分析】(1)根据无理数的估值，找到与无理数相近的最大整数和最小整数，即可确定该无理数的取值范围； (2)根据二次根式的非负性列不等式，即可求出a的值，进而可得b的值；最后根据无理数的估值即可求解. （1）∵， ∴， 即：无理数的“麓外区间”是； 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的“麓外区间”为． 18．某居民小区有块形状为矩形的绿地，长为米，宽为米，现在要矩形绿地中修建两个形状大小相同的长方形花坛（即图中阴影部分），每个长方形花坛的长为米，宽为米． （1）求矩形的周长．（结果化为最简二次根式） （2）除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/平方米的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？ 【答案】（1）解：∵矩形的长为米，宽为米，∴周长为（米）． 故矩形的周长为米． （2）由题意得：通道的面积为： （m2），∴购买地砖需要花费（元）． 答：购买地砖需要花费336元． 【解析】【分析】（1）根据长方形的周长列出算式，再化简并合并同类二次根式即可得到答案； （2）先用长方形ABCD的面积减去2个花坛的面积，求出通道的面积，再计算花费即可． （1）解：矩形的长为米，宽为米， ∴矩形的周长为（米）． 答：矩形的周长为米． （2）解：通道的面积为（平方米）， 则购买地砖需要花费（元）． 答：购买地砖需要花费336元． 19．有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数m、n，使且，将变成，即变成，从而使得以化简． （1）例如，∵， ∴______，请完成填空． （2）仿照上面的例子，请化简； （3）利用上面的方法，设，，求A＋B的值． 【答案】（1） （2）∵∴． （3）∵∴ ∵ ∴ ∴把A式和B式的值代入A＋B中，得： 【解析】【解答】（1）∵ ∴ 故答案为： 【分析】本题考查二次根式的化简求值问题，完全平方公式. （1）先进行变形可得：，利用完全平方公式进行变形可得：，再利用二次根式的性质：进行化简可求出答案． （2）先进行变形可得： ，利用完全平方公式进行变形可得：，再利用二次根式的性质：进行化简可求出答案． （3）先将A式和B式分别转化为完全平方公式的结构形式，再根据二次根式的性质，把A式和B式的结果分别算出，再将A式和B式再代入A＋B可得：，再进行合并同类项可求出A＋B的值． （1）∵ ∴ 故答案为： （2）∵ ∴． （3）∵ ∴ ∵ ∴ ∴把A式和B式的值代入A＋B中，得： 20．在二次根式的计算中，经常会出现，这样的式子，其实可以将其进一步化简.例如：；。以上这种化简的步骤叫做分母有理化。 根据以上化简方法，解答下列问题： （1）化简：　 　； （2）请通过计算比较与的大小； （3）计算。 【答案】（1）2 （2）解：因为，， 且， 所以， 所以； （3）解：原式 【解析】【解答】（1）解：. 故答案为：2. 【分析】（1）利用分母有理化，化简即可求解； （2）利用分母有理化，比较与的大小，即可求解； （3）利用分母有理化，化简即可求解． 学科网（北京）股份有限公司 $$