3.2 用频率估计概率 同步练习 2025-2026学年北师大版九年级数学上册

3.2 用频率估计概率 同步练习 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1.在课外实践活动中，甲、乙、丙、丁四个小组用投掷一元硬币的方法估算正面朝上的概率，其实验次数分别为次、次、次，次，其中实验相对科学的是(    ) A. 甲组 B. 乙组 C. 丙组 D. 丁组 2.下列说法错误的是(    ) A. 必然事件发生的概率为 B. 平均数和方差都不易受极端值的影响 C. 抽样调查抽取的样本是否具有代表性，直接关系对总体估计的准确程度 D. 可以通过大量重复试验，用一个随机事件发生的概率去估计它的概率 3.在综合实践活动中，小明、小亮、小颖、小静四位同学用投掷图钉的方法估计针尖朝上的概率，他们的实验次数分别为次、次、次、次．其中哪位同学的实验相对科学(    ) A. 小明 B. 小亮 C. 小颖 D. 小静 4.某班学习小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下的表格，则符合这一结果的实验最有可能的是(    ) 实验次数 频率 A. 一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 B. 从一个装有个白球和个红球的袋子中任取一球，取到红球 C. 抛一枚硬币，出现正面的概率 D. 抛一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是的倍数 5.在一个不透明的口袋里装着只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共只，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复以上步骤，下表为实验的一组统计数据： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 请估算口袋中白球的个数约为(    ) A. B. C. D. 6.一个不透明的袋子中装有个红球和若干个白球，这些球除了颜色外都相同，若小英每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回，经过多次重复试验，小英发现摸到红球的频率逐渐稳定于，则小英估计袋子中白球的个数约为(    ) A. B. C. D. 7.甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的实验中，统计某一结果出现的频率绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的实验可能是(    ) A. 抛一枚硬币，连续两次出现正面的概率 B. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” C. 任意写一个正整数，它能被整除的概率 D. 掷一枚正六面体的骰子，出现点的概率 8.如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果．下面有三个推断：某次实验投掷次数是，计算机记录“钉尖向上”的次数是，则该次试验“钉尖向上”的频率是；随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是；若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为时，“钉尖向上”的概率一定是其中合理的是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9.一个口袋中有红球、白球共个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了次球，发现有次摸到红球，则这个口袋中红球的个数约为______． 10.某瓷砖厂在相同条件下抽取部分瓷砖做耐磨试验，结果如下表所示： 抽取瓷砖数 合格品数 合格品频率 则这个厂生产的瓷砖是合格品的概率估计值是          精确到 11.在一个不透明的袋子中装有红球、黄球共个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次实验发现，摸出黄球的频率稳定在左右，则袋子中黄球的数量可能是          个． 12.在一个不透明的袋子中装有个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，每次从袋子中随即摸出一个球，记下颜色后放回袋中，通过多次重复试验发现摸出白球的频率稳定在附近，则袋子中的红球约有______个． 13.在做“抛掷一枚质地均匀的硬币”试验时，下列说法正确的是______． 不同次数的试验，正面向上的频率可能会不相同 当抛掷的次数很大时，正面向上的次数一定为 多次重复试验中，正面向上发生的频率会在某一个常数附近摆动，并趋于稳定 连续抛掷次硬币都是正面向上，第次抛掷出现正面向上的概率小于 14.如图，正方形二维码的边长为，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可估计黑色部分的面积约为          ． 15.在一个不透明的盒子中，装有若干张完全相同的卡片，从盒子中取出张卡片并做标记后放回盒中．现将卡片充分摇匀后，随机摸出一张卡片，记下该卡片是否有标记后再放回盒子中．不断重复这一过程，统计发现，摸到有标记卡片的频率稳定在附近，由此估计盒子中卡片的数量为______张． 16.小明在操场上做游戏，他在沙地上画了一个面积为的矩形，并在四个角画上面积不等的扇形，在不远处的固定位置向矩形内部投石子，记录如表石子不会落在矩形外和各区域边缘： 投石子的总次数 次 次 次 次 石子落在空白区域内的次数 次 次 次 次 石子落在空白区域内的频率 依此估计空白部分的面积可能是          ． 三、解答题：本题共6小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 一个不透明袋子中有个红球、个绿球和个白球，这些球除颜色外其余都相同．从袋中随机摸出一个球，记录其颜色，然后放回，大量重复该实验，发现摸到绿球的频率稳定于 填空：的值是______； 小童与小郑进行摸球游戏，一次性摸出个球．若有两个球颜色相同，则小童获胜，否则为小郑获胜，试通过计算说明这个游戏是否公平． 18.本小题分 某校研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网等四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查结果绘制成下面两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题： 在这次调查中，一共调查          名学生； 补全条形统计图； 若该校共有名学生，估计爱好运动的学生          人； 在全校同学中随机选取一名学生参加演讲比赛，用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生的概率是          ． 19.本小题分 在课堂上，老师将除颜色外都相同的个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让全班同学依次进行摸球试验，每次随机摸出一个球，记下颜色再放回搅匀，下表是试验得到的一组数据． 摸球的次数 摸到黑球的次数 摸到黑球的频率 表中的值等于______； 估算口袋中白球的个数； 用画树状图或列表的方法计算连续两名同学都摸出白球的概率． 20.本小题分 一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共个小颖做摸球试验，她将盒子里的球搅匀后从中随机摸出个记下颜色后放回盒子里不断重复上述过程，下表是试验中的一组统计数据． 摸球的次数 摸到白球的频数 摸到白球的频率   请估计：当很大时，摸到白球的频率将会接近          精确到 假如你摸一次，摸到白球的可能性为           试估计盒子里黑球、白球各有多少个． 21.本小题分 在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共只，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 请估计：当很大时，摸到白球的频率将会接近_____；精确到 试估算口袋中白种颜色的球有多少只 请画树状图或列表计算：从中先摸出一球，不放回，再摸出一球；这两只球颜色不  同的概率是多少？ 22.本小题分 某甜品店计划订购一种鲜奶，根据以往的销售经验，当天的需求量与当天的最高气温有关，现将去年六月份按天计算的有关情况统计如下： 最高气温与需求量统计表 最高气温单位： 需求量单位：杯 求去年六月份最高气温不低于的天数； 若以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率，求去年六月份这种鲜奶一天的需求量不超过杯的概率； 若今年六月份每天的进货量均为杯，每杯的进价为元，售价为元，未售出的这种鲜奶厂家以元的价格收回销毁，假设今年与去年的情况大致一样，若今年六月份某天的最高气温满足单位：，试估计这一天销售这种鲜奶所获得的利润为多少元？ 答案和解析 1.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了模拟实验，选择和抛硬币类似的条件的试验验证抛硬币实验的概率，是一种常用的模拟试验的方法． 大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计值． 【解答】 解：根据模拟实验的定义可知，实验相对科学的是次数最多的丁组． 故选：． 2.【答案】  【解析】解：、必然事件发生的概率为，正确，不符合题意； B、平均数和方差都受极端值的影响，故原命题错误，符合题意； C、抽样调查抽取的样本是否具有代表性，直接关系对总体估计的准确程度，正确，不符合题意； D、可以通过大量重复试验，用一个随机事件发生的概率去估计它的概率，正确，不符合题意， 故选：． 利用概率的意义、算术平均数及方差的知识分别判断后即可确定正确的选项． 考查了概率的意义、算术平均数及方差的知识，解题的关键是了解有关统计的知识，难度不大． 3.【答案】  【解析】分析 大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做该事件概率的估计值． 本题考查了利用频率估计概率，用频率估计概率得到的是近似值，随着实验次数的增多，频率越来越接近于概率． 详解 解：根据频率与概率的关系，试验次数越多，频率越接近于概率， 所以用投掷图钉的方法估计针尖朝上的概率的综合实践活动中实验次数越多越科学． 故小静同学的试验相对于其他三位同学更科学． 故选D． 4.【答案】  【解析】解：由表知，随着实验次数的逐渐增大，其频率逐渐稳定于，即此结果发生的概率约为，即， A.一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率为，不符合题意； B.从一个装有个白球和个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率为，不符合题意； C.抛一枚硬币，出现正面的概率为，不符合题意； D.抛一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是的倍数的概率为，此选项符合题意； 故选：． 先根据随着实验次数的逐渐增大，其频率逐渐稳定于，即此结果发生的概率约为，即，再利用概率公式求出各选项中时间发生的概率，从而得出答案． 本题主要考查利用频率估计概率及概率公式，大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 5.【答案】  【解析】分析 根据利用频率估计概率，由于摸到白球的频率稳定在左右，由此可估计摸到白球的概率为，进而可估计口袋中白球的个数． 本题考查了利用频率估计概率，用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确，求出摸到白球的概率是解题关键． 详解 解：根据摸到白球的频率稳定在左右， 所以摸一次，估计摸到白球的概率为，则可估计口袋中白球的个数约为个； 故选C． 6.【答案】  【解析】解：设袋中白球有个， 根据题意，得：， 解得：， 经检验：是分式方程的解， 所以小英估计袋子中白球的个数约为个， 故选：． 根据袋子中装有个红球和若干个白球，利用红球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等求出即可． 此题主要考查了利用频率估计随机事件的概率，根据已知得出小球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等是解决问题的关键． 7.【答案】  【解析】解：、掷一枚硬币，连续两次出现正面的概率为，故此选项不符合题意； B、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为，此选项符合题意； C、任意写出一个正整数，能被整除的概率为，故此选项不符合题意； D、掷一枚正六面体的骰子，出现点的概率为，故此选项不符合题意； 故选：． 根据统计图可知，试验结果在附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为者即为正确答案． 此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式． 8.【答案】  【解析】解：当投掷次数是时，计算机记录“钉尖向上”的次数是，所以此时“钉尖向上”的频率是：，故正确； 随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是故正确， 若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为时，“钉尖向上”的频率可能是，概率不一定是，故错误． 故选：． 根据图形及用频率估计概率对各个小题的说法可以判断是否正确，从而可以解答本题． 本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率，利用数形结合的思想解答． 9.【答案】  【解析】解：因为共摸了次球，发现有次摸到红球， 所以估计摸到红球的概率为， 所以估计这个口袋中红球的数量为个． 故答案为． 估计利用频率估计概率可估计摸到红球的概率为，然后根据概率公式计算这个口袋中红球的数量． 本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． 10.【答案】  【解析】略 11.【答案】  【解析】【分析】 袋子中装有红球、黄球共个，多次实验发现，摸出黄球的频率稳定在左右，据此用球的总个数乘以黄球的频率即概率，从而得出黄球个数的估计值． 本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【解答】 解：袋子中装有红球、黄球共个，多次实验发现，摸出黄球的频率稳定在左右， 袋子中黄球的数量可能是个， 故答案为：． 12.【答案】  【解析】解：设袋中红球有个， 根据题意，得：， 解得：， 经检验：是分式方程的解， 所以袋中红球有个， 故答案为：． 根据口袋中有个白球和若干个红球，利用白在总数中所占比例得出与实验比例应该相等求出即可． 此题主要考查了利用频率估计随机事件的概率，根据已知得出小球在总数中所占比例得出与试验比例应该相等是解决问题的关键． 13.【答案】  【解析】【分析】 本题考查的是模拟实验，熟知概率的定义是解答此题的关键．概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生，机会小也有可能发生． 【解答】 解：不同次数的试验，正面向上的频率可能会不相同，故本选项正确； 当抛掷的次数很大时，正面向上的次数更接近；故本选项错误； 多次重复试验中，正面向上发生的频率会在某一个常数附近摆动，并趋于稳定；故本选项正确； 连续抛掷次硬币都是正面向上，第次抛掷出现正面向上的概率是，故本选项错误． 故答案为． 14.【答案】  【解析】【分析】 本题考查的是利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．求出正方形二维码的面积，根据题意得到黑色部分的面积占正方形二维码面积的，计算即可． 【解答】 解：正方形二维码的边长为， 正方形二维码的面积为， 经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右， 黑色部分的面积占正方形二维码面积的， 黑色部分的面积约为：， 故答案为：． 15.【答案】  【解析】解：根据题意得：张， 答：估计盒子中卡片的数量为张， 故答案为：． 根据概率的求法，找准两点：全部情况的总数；符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率． 此题考查了利用概率的求法估计总体个数，利用如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率是解题关键． 16.【答案】  【解析】解：根据统计表，可得石子落在空白部分的概率为， 空白部分的面积， 故答案为：． 根据统计表，计算出石子落在空白部分的概率，即空白部分面积与总面积的比值，从而可计算出空白部分的面积． 本题考查的是利用频率计算概率在实际生活中的运用，需同学们细心解答．关键是得到阴影与矩形的比；用规则图形来估计不规则图形的比是常用的方法． 17.【答案】 共有种等可能的结果数：红、绿、白；红、绿、白；红、白、白；绿、白、白； 小童获胜的概率；小郑获胜， 因为， 所以这个游戏是公平  【解析】解：根据题意得， 解得． 故答案为； 见答案． 利用频率估计概率得到摸到绿球的概率为，则根据概率公式得到，然后解关于的方程即可； 利用完全列举法展示所有种等可能的结果数，再找出有两个球颜色相同的结果数，计算出小童获胜的概率，同时得到小郑获胜，然后比较两个概率的大小来判断这个游戏是否公平． 本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． 18.【答案】； 爱好上网的人数所占百分比为 爱好上网人数为：， 爱好阅读人数为：， 补全条形统计图，如图所示， ；    【解析】解：爱好运动的人数为，所占百分比为 共调查人数为：， 故答案为：； 见答案； 爱好运动的学生人数所占的百分比为， 估计爱好运用的学生人数为：， 故答案为：； 爱好阅读的学生人数所占的百分比， 用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生的概率为， 故答案为：． 根据爱好运动人数的百分比，以及运动人数即可求出共调查的人数； 根据两幅统计图即可求出阅读的人数以及上网的人数，从而可补全图形． 利用样本估计总体即可估计爱好运动的学生人数． 根据爱好阅读的学生人数所占的百分比即可估计选出的恰好是爱好阅读的学生的概率． 本题考查统计与概率，解题的关键是正确利用两幅统计图的信息，本题属于中等题型． 19.【答案】解：； 由表格中数据可得出，摸到黑球的频率稳定在， 个， 口袋中白球的个数为个； 画树状图得： 共有种等可能的结果，两次都摸到白球的有种情况， 连续两名同学都摸出白球的概率为．  【解析】解：由题意可得； 故答案为； 见答案 见答案． 本题考查用列举法求概率，以及利用频率估计概率． 20.【答案】解：； ； 由题意得：估计盒子里白球有个，黑球有个  【解析】本题考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率， 计算出其平均值即可； 概率接近于得到的频率； 白球个数球的总数得到的白球的概率，让球的总数减去白球的个数即为黑球的个数． 【解答】 解：摸到白球的频率为， 当很大时，摸到白球的频率将会接近， 故答案为； 因为摸到白球的频率为， 所以假如你摸一次，摸到白球的可能性为：， 故答案为； 见答案． 21.【答案】 解：； 由可知摸到白球的概率为， 所以可估算口袋中白种颜色的球的个数为：只； 画树状图为： 共有种等可能的结果数，其中两只球颜色不同占种， 两只球颜色不同的概率． 答：从中先摸出一球，不放回，再摸出一球，这两只球颜色不同的概率是．  【解析】【分析】 此题主要考查了大量反复试验下频率稳定值即概率以及树状图法与列表法求概率，解题的关键是根据题意列表或画树状图，注意列表法与树状图法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果，同时还需用到概率公式：概率所求情况数与总情况数之比． 看随着实验次数的增多，频率在那个值附近即可； 让球的总数乘以摸到白球的概率即为白球的个数； 画出树状图，求得所有等可能的结果和两只球颜色不同的结果，再根据概率公式求解即可． 【解答】 解：由图表可知，当，频率值稳定在左右， 由此，当很大时，摸到白球的频率将会接近． 故答案为； 见答案； 见答案． 22.【答案】解：由条形统计图知，去年六月份最高气温不低于的天数为天； 去年六月份这种鲜奶一天的需求量不超过杯的概率为； 元， 答：估计这一天销售这种鲜奶所获得的利润为元．  【解析】本题考查条形统计图和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题． 由条形图可得答案； 用的天数除以总天数即可得； 根据利润销售额成本计算可得． 第8页，共17页 学科网（北京）股份有限公司 $$