湖南省衡阳县第四中学2025-2026学年高三上学期开学摸底检测数学卷

衡阳县四中2025-2026学年高三上学期开学摸底检测

数学

分值：150 分     时间：120 分钟

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.在中，向量，，若为锐角，则实数x的取值范围为(   )

A.  B.

C.  D.

2.已知函数是定义在R上且周期为2的奇函数，则(   )

A. B.0 C.2 D.5

3.已知，，的一个极值点是，则(   )

A.在上单调递增 B.在上单调递减

C.在上单调递增 D.在上单调递减

4.古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱（如图），圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.相传这个图形表达了阿基米德最引以为荣的发现.设圆柱的体积与球的体积之比为m，圆柱的表面积与球的表面积之比为n，则的展开式中的常数项是(   )

A. B. C.15 D.20

5.已知F为抛物线的焦点，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点.若，

则线段AB的中点M到直线的距离为(   )

A.2 B.4 C.8 D.16

6.我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图如图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为(   )

A.120 B.26 C.340 D.420

7.在等差数列中，若，则下列说法错误的是(   )

A.  B.

C.的最大值为45  D.满足的n的最大值为19

8.已知函数，且不等式的解集为，，则的极大值为(   )

A.0 B.36 C.72 D.108

二、选择题：本题共3小题.每小题6分.共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知，且，是方程的两根，下列选项中正确的是(   )

A.  B.

C.  D.

10.已知圆C方程为，则下列结论正确的是(   )

A.的取值范围为

B.若已知在圆内，则

C.若，则直线与圆C相离

D.若，圆C关于直线对称的圆D方程为

11.某科技企业为了对一种新研制的专利产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：

单价x（元）	40	50	60	70	80	90
销量y（件）	50	44	43	m	35	28

由表中数据，求得经验回归方程为，则下列说法正确的是(   )

A.产品的销量与单价成负相关

B.

C.若单价为50元时，估计其销量为44件

D.为了获得最大的销售额（销售额单价销量，单价应定为70元或80元

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.假设某射手每次射击命中率相同，且每次射击之间相互没有影响.若在两次射击中至多命中一次的概率是，则该射手每次射击的命中率为_________.

13.在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为___________.

14.已知函数，，若直线是曲线与的公切线，则__________.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.

15.（13分）已知函数.

（1）若在处的切线斜率为，求a；

（2）若恒成立，求a的取值范围.

 

 

16.（15分）已知函数．

（1）求的最小正周期和单调递增区间；