3.1 用树状图或表格求概率 同步练习 2025-2026学年北师大版九年级数学上册

3.1 用树状图或表格求概率 同步练习 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1.某校九年级共有、、、四个班，现从这四个班中随机抽取两个班进行一场篮球比赛，则恰好抽到班和班的概率是(    ) A. B. C. D. 2.一个不透明的盒子中放入四张卡片，每张卡片上都写有一个数字，分别是，，，卡片除数字不同外其它均相同，从中随机抽取两张卡片，抽取的两张卡片上数字之积为负数的概率是(    ) A. B. C. D. 3.三张外观相同的卡片分别标有数字、、，从中随机一次抽出两张，这两张卡片上的数字恰好都小于的概率是(    ) A. B. C. D. 4.如图，两个转盘分别自由转动一次，当停止转动时，两个转盘的指针都指向的概率为(    ) A. B. C. D. 5.布袋中有红、黄、蓝三种颜色的球各一个，从中摸出一个球之后不放回布袋，再摸第二个球，这时得到的两个球的颜色中有“一红一黄”的概率是(    ) A. B. C. D. 6.将分别标有“孔”“孟”“之”“乡”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字组成“孔孟”的概率是(    ) A. B. C. D. 7.晋剧是我省国家级非物质文化遗产，因其雅俗共赏，深受大众喜爱，正面印有晋剧经典剧目版人物的三张卡片其中有名男性角色，名女性角色，它们除正面外完全相同把这三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面人物性别都为女性的概率为(    ) A. B. C. D. 8.小亮有两件上衣，分别为蓝色和白色，有两条裤子，分别为黑色和白色，他随机拿出一件上衣和一条裤子穿上，恰好是白色上衣和白色裤子的概率是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9.在两个暗盒中，各自装有编号为，，的三个球，球除编号外无其它区别，则在两个暗盒中各取一个球，两球上的编号的积为偶数的概率为______． 10.某校九班准备举行一次演讲比赛，甲、乙、丙三人通过抽签方式决定出场顺序，则出场顺序恰好是甲、乙、丙的概率是______． 11.一个不透明的袋中共有个小球，分别为个红球和个黄球，它们除颜色外完全相同．随机摸出两个小球，摸出两个颜色相同的小球的概率为______． 12.小明和小红玩抛硬币游戏，连续抛两次，小明说：“如果两次都是正面，那么你赢；如果两次是一正一反，则我嬴．”小红赢的概率是          ，据此判断该游戏          填“公平”或“不公平”． 13.在一个盒子中有张形状，大小相同质地均匀的卡片，上面分别标着，，，这四个数字，从盒子里随机抽出两张卡片，则所得卡片上的两数之积是的概率是______． 14.婷婷和她妈妈玩猜拳游戏，规定每人每次至少要出一个手指，两人出拳的手指数之和为偶数时婷婷获胜，那么，婷婷获胜的概率为______． 15.某市举办“体彩杯”中学生篮球赛，初中男子组有市直学校的、、三个队和县区学校的，，，，五个队，如果从，，，四个队与，，，四个队中个抽取一个队进行首场比赛，那么首场比赛出场的两个队都是县区学校队的概率是______． 16.某商场假日期间举行有奖促销活动，凡购买一定金额的商品可参与转盘抽奖．如图，转盘分为“”“”“”“”四个区域，自由转动转盘，若指针落在字母“”所在的区域内，则顾客中奖转到公共线位置时重新转动若某顾客转动一次转盘，则其中奖的概率为______． 三、解答题：本题共6小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 为践行青岛市中小学生“十个一”行动，某校举行文艺表演，小静和小丽想合唱一首歌．小静想唱红旗飘飘，而小丽想唱大海啊，故乡她们想通过做游戏的方式来决定合唱哪一首歌，于是一起设计了一个游戏：下面是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，同时转动两个转盘，若两个指针指向的数字之积小于，则合唱大海啊，故乡，否则合唱红旗飘飘；若指针刚好落在分割线上，则需要重新转动转盘，请用列表或画树状图的方法说明这个游戏是否公平． 18.本小题分 一个不透明的袋子中装有红、白两种颜色的小球，这些球除颜色外都相同，其中红球有个，若从中随机摸出一个球，这个球是白球的概率为． 求袋子中白球的个数；请通过列式或列方程解答 随机摸出一个球后，放回并搅匀，再随机摸出一个球，求两次都摸到相同颜色的小球的概率．请结合树状图或列表解答 19.本小题分 为庆祝建党周年，某校开展“唱爱国歌曲，扬红船精神”大合唱活动．规律是：将编号为，，的张卡片如图所示，卡片除编号和内容外，其他完全相同背面朝上洗匀后放在桌面上，参加活动的班级从中随机抽取张，按照卡片上的曲目演唱． 七年一班从张卡片中随机抽取张，抽到卡片的概率为______； 七年一班从张卡片中随机抽取张，记下曲目后放回洗匀，七年二班再从中随机抽取张，请用列表或画树状图的方法，求这两个班级恰好抽到同一首歌曲的概率． 20.本小题分 小明和小亮计划暑期结伴参加志愿者活动．小明想参加敬老服务活动，小亮想参加文明礼仪宣传活动．他们想通过做游戏来决定参加哪个活动，于是小明设计了一个游戏，游戏规则是：在三张完全相同的卡片上分别标记、、三个数字，一人先从三张卡片中随机抽出一张，记下数字后放回，另一人再从中随机抽出一张，记下数字，若抽出的两张卡片标记的数字之和为偶数，则按照小明的想法参加敬老服务活动，若抽出的两张卡片标记的数字之和为奇数，则按照小亮的想法参加文明礼仪宣传活动．你认为这个游戏公平吗？请说明理由． 21.本小题分 “中国结”是我国特有的手工编织工艺品，也是一种传统吉祥装饰物．如图，现有三张正面印有“中国结”图案的不透明卡片，，，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将三张卡片正面向下洗匀，小吉同学从中随机抽取一张卡片，记下图案后正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小吉同学抽出的两张卡片中含有卡片的概率． 22.本小题分 将正面分别写有数字，，的三张卡片卡片的形状、大小、质地、颜色等其他方面完全相同洗匀后，背面朝上放在桌面上甲从中随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为，然后放回洗匀，背面朝上放在桌面上；再由乙从中随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为，组成数对． 请写出数对所有可能出现的结果； 甲、乙两人玩游戏，规则如下：按上述要求，两人各抽取一次卡片，按照得到的数对计算的值，若的值为奇数则甲贏；的值为偶数则乙贏你认为这个游戏公平吗？请说明理由． 答案和解析 1.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，求出概率画树状图展示所有种等可能的结果数，再找出恰好抽到班和班的结果数，然后根据概率公式求解． 【解答】解：画树状图为： 共有种等可能的结果数， 其中恰好抽到班和班的结果数为， 所以恰好抽到班和班的概率． 故选B． 2.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了概率，属于基础题． 通过画树状图找出所有等可能的结果数，再找出抽取的两张卡片上数字之积为负数的结果数，然后根据概率公式求解即可． 【解答】解：画树状图如下： 由树状图可知共有种等可能结果，其中抽取的两张卡片上数字之积为负数的结果有种， 所以抽取的两张卡片上数字之积为负数的概率为， 故选：． 3.【答案】  【解析】【分析】 此题考查的是用列表法或树状图法求概率．解题的关键是要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两张卡片上的数字恰好都小于的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【解答】解：画树状图得： 共有种等可能的结果，而两张卡片上的数字恰好都小于有种情况， 两张卡片上的数字恰好都小于概率． 故选A． 4.【答案】  【解析】【分析】 首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与都指向的情况数，继而求得答案． 此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 【解答】 解：列表如下： 共有种等可能的结果，两个转盘的指针都指向的只有种结果， 两个转盘的指针都指向的概率为， 故选：． 5.【答案】  【解析】解：画树状图如下： 一共有种情况，“一红一黄”的情况有种， 一红一黄． 故选：． 依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率． 本题考查了画树状图与列表法求概率，树状图可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 6.【答案】  【解析】【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式求事件或的概率．画树状图展示所以种等可能的结果数，再找出两次摸出的球上的汉字组成“孔孟”的结果数，然后根据概率公式求解． 【解答】解：画树状图为： 共有种等可能的结果数，其中两次摸出的球上的汉字组成“孔孟”的结果数为， 所以两次摸出的球上的汉字组成“孔孟”的概率． 故选：． 7.【答案】  【解析】解：名男性角色记为，名女性角色分别记为、， 画树状图如下： 由图可知，共有种等可能的结果，其中、；、；、；、四种结果为女性， 两次抽取的卡片正面人物性别都为女性的概率为． 故选：． 根据题意，利用树状图法将所有结果都列举出来，然后根据概率公式计算解决即可． 本题考查了树状图法或列表法求概率，解题的关键是正确画出树状图得到所有的等可能的结果数． 8.【答案】  【解析】解：画树状图得： 共有种等可能的结果，恰好是白色上衣和白色裤子的有种情况， 恰好是白色上衣和白色裤子的概率是， 故选：． 首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好是白色上衣和白色裤子的情况，再利用概率公式即可求得答案． 本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率所求情况数与总情况数之比． 9.【答案】  【解析】解：画树状图为： 共有种等可能的结果数，其中两球上的编号的积为偶数的结果数为， 所以两球上的编号的积为偶数的概率． 故答案为． 画树状图展示所有种等可能的结果数，找出两球上的编号的积为偶数的结果数，然后根据概率公式求解． 本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率． 10.【答案】  【解析】解：画出树状图得： 共有种等可能的结果，其中出场顺序恰好是甲、乙、丙的只有种结果， 出场顺序恰好是甲、乙、丙的概率为， 故答案为：． 首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与出场顺序恰好是甲、乙、丙的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率所求情况数与总情况数之比． 11.【答案】  【解析】【分析】 此题考查了树状图法与列表法求概率．解题的关键是根据题意列表或画树状图，注意列表法与树状图法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 根据题意画出树状图，再根据树状图即可求得所有等可能的结果与两次取出的小球颜色相同的情况，然后根据概率公式求解． 【解答】 解：画树状图如下： 由树状图可知，共有种等可能结果，其中取出的小球颜色相同的有种结果， 两次取出的小球颜色相同的概率为， 故答案为． 12.【答案】 不公平   【解析】解：所有可能出现的结果如下表所示：         正          反      正  正，正  正，反      反 反，正  反，反 因为抛两枚硬币，所有机会均等的结果为：正正，正反，反正，反反， 所以出现两个正面的概率为，一正一反的概率为， 因为二者概率不等，所以游戏不公平． 故答案为：，不公平． 游戏是否公平，关键要看游戏双方获胜的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等． 本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 13.【答案】  【解析】解：画树状图如下： 由树状图知，共有种等可能结果，其中所得卡片上的两数之积是的有种结果， 所得卡片上的两数之积是的概率为， 故答案为：． 画树状图列出所有等可能结果，从中找到两数之积为的结果数，再利用概率公式计算可得． 本题考查了列表法和树状图法，利用列表法或树状图法展示某一随机事件中所有等可能出现的结果数，再找出其中某一事件所出现的可能数，然后根据概率的定义可计算出这个事件的概率． 14.【答案】  【解析】解：根据题意画图如下： 共有个等可能的结果，其中婷婷获胜的有个， 则婷婷获胜的概率为； 故答案为：． 画出树状图，共有个等可能的结果，两人出拳的手指数之和为偶数的结果有个，根据概率公式即可得出答案． 此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 15.【答案】  【解析】解：画树状图得： 共有种等可能的结果，首场比赛出场的两个队都是县区学校队的有种情况， 首场比赛出场的两个队都是县区学校队的概率是：． 故答案为：． 首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与首场比赛出场的两个队都是县区学校队的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率所求情况数与总情况数之比． 16.【答案】  【解析】解：由图可知，字母“”所在区域的圆心角度数为， 指针落在字母“”所在的区域内的概率为， 即中奖概率为． 故答案为：． 先根据四个区域的圆心角度数之和为求出字母“”所在区域的圆心角度数，再除以即可得出答案． 本题考查概率公式，注意：随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数． 17.【答案】解：根据题意画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中数字之积小于的有种结果， 合唱大海啊，故乡的概率是， 合唱红旗飘飘的概率是， ， 游戏不公平．  【解析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与数字之积小于的情况，再利用概率公式求出合唱大海啊，故乡和合唱红旗飘飘的概率，然后进行比较，即可得出答案． 本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． 18.【答案】解：设袋子中白球有个， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 答：袋子中白球有个． 画树状图得： 共有种等可能的结果，两次都摸到相同颜色的小球有种情况， 两次都摸到相同颜色的小球的概率为．  【解析】首先设袋子中白球有个，利用概率公式求即可得方程：，解此方程即可求得答案； 首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的情况与两次都摸到相同颜色的小球的情况，再利用概率公式即可求得答案． 此题考查了列表法或树状图法求概率．注意掌握方程思想的应用．注意概率所求情况数与总情况数之比． 19.【答案】解：七年一班随机抽取张卡片，抽到卡片编号为的概率为， 故答案为：； 画树状图如下： 共有种等可能的结果数，其中两个班级恰好选择一首歌曲的有种结果， 所以两个班级恰好抽到同一首歌曲的概率为．  【解析】直接利用概率公式求解即可； 根据题意先画树状图列出所有等可能结果数的，根据概率公式求解可得． 本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 20.【答案】解：不公平， 列表如下： 由表可知，共有种等可能结果，其中和为偶数的有种结果，和为奇数的有种结果， 所以按照小明的想法参加敬老服务活动的概率为，按照小亮的想法参加文明礼仪宣传活动的概率为， 由知这个游戏不公平；  【解析】首先根据题意列表，然后根据表求得所有等可能的结果与和为奇数、偶数的情况，再利用概率公式求解即可． 此题考查了列表法求概率．注意树状图与列表法可以不重不漏的表示出所有等可能的情况．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 21.【答案】解：根据题意列表如下： 共有种等可能的结果数，其中小吉同学抽出的两张卡片中含有卡片的有种情况， 小吉同学抽出的两张卡片中含有卡片的概率为．  【解析】根据题意列出图表得出所有等情况数和两张卡片中含有卡片的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验． 22.【答案】解：如图所示： 由树状图知，共有种等可能结果，其中的值为奇数的有、、、这种结果，的值为偶数的有、、、、这种结果， 所以甲赢的概率为，乙赢的概率为， ， 这个游戏不公平．  【解析】画树状图可得所有等可能的结果； 从树状图得出所有等可能结果，并从中找到的值为奇数和偶数的结果数，根据概率公式求出甲、乙获胜的概率，从而得出答案． 本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 第6页，共15页 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