第3讲三角形章节几何模型 暑假预习自学 2025—2026学年人教版数学八年级上册

暑假预习自学课新人教版2025-2026学年度第一学期八上数学 第3讲三角形章节几何模型 ·内容一 角的“8”字模型 ·内容二 角的燕尾模型 ·内容三 角的折叠模型 ·内容四 直角三角板模型 ·内容五 巩固练习 角的“8”字模型 角的“8”字模型 【条件】AD、BC 相交于点 O. 【结论】∠A+∠B=∠C+∠D.(上面两角之和等于下面两角之和) 【证明】在△ABO 中，由内角和定理：∠A+∠B+∠BOA=180°，在△CDO 中，∠C+∠D+∠COD=180°， ∴∠A+∠B+∠BOA=180°=∠C+∠D+∠COD，由对顶角相等：∠BOA=∠COD ∴∠A+∠B=∠C+∠D 例题1.如图，的度数是  (    ) A. B. C. D. 变式1.如图，已知，，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 例题2.如图，一副三角板有两个三角形，叠放在一起，则的度数是(    ) A. B. C. D. 变式2.如图为某品牌椅子的侧面图，若，与地面平行，，则的度数为  (    ) A. B. C. D. 例题3.如图所示，如果，则(    ) A. B. C. D. 变式3.如图，的度数(    ) A. B. C. D. 例题4.如图，已知，，则______． 变式4.如图所示是由线段，，，，组成的平面图形，，则的度数为          ． 例题5.如图，的度数是________． 变式5.如图，          ． 角的燕尾模型 角的燕尾模型 【条件】四边形 ABDC 如上左图所示. 【结论】∠D=∠A+∠B+∠C.(凹四边形凹外角等于三个内角和) 【证明】如上右图，连接 AD 并延长到 E，则： ∠BDC=∠BDE+∠CDE=(∠B+∠1)+(∠2+∠C)=∠B+∠BAC+∠C.本质为两个三角形外角和定理证明 例题1.一种零件的形状如图所示，按规定是直角，，，下面是质检员测得四个零件中的度数，其中可能合格的零件是(    ) A. B. C. D. 变式1.某零件的形状如图所示，按规定，，应分别等于，和时该零件才合格王师傅量得，关于结论Ⅰ、Ⅱ，下列判断正确的是(    ) 结论Ⅰ：该零件不合格； 结论Ⅱ：已知，当与的度数分别减少时，的度数会减少； A. 只有结论Ⅰ正确 B. 只有结论Ⅱ正确 C. 结论Ⅰ、Ⅱ都正确 D. 结论Ⅰ、Ⅱ都不正确 例题2.如图，，相交于点，若平分交于点，平分交于点，，，则的度数为          ． 变式2.如图，，，相交于点，和的平分线交于点，则的度数为          ． 例题3.如图，平分，，，，则          ． 变式3.如图，是内部一点，点，分别在，的延长线上，连接，，则的度数为          ． 例题4.如图，，，，则的度数为          ． 变式4.某加工零件标出部分数据如图，小明说，这四个数据中有一个标错了，请你完善以下修改方案：若、、所标数据正确，则图中所标数据应为________． 例题5.一个零件的形状如图所示，按规定，和分别是和的零件为合格零件，现质检工人量得，就断定这个零件不合格，请你运用三角形的有关知识说明这个零件不合格的理由． 变式5.某工厂要制作符合条件的模板，如图，要求，，，为了提高工作效率，检验人员通过测量的度数初步筛选出不合格的产品．若测得的度数为，则这块模板是否合格？请说明理由． 例题6.一个零件的形状如图所示，按规定应等于，，应分别和李叔叔量得，就断定这个零件不合格，你能说出其中的道理吗？ 变式6.如图，点，，，中的任意三点都不在一条直线上求证：． 角的折叠模型 角的折叠模型 如图，三角形纸片中，将纸片的角折叠，使点落在内，探究的数量关系。 解：延长，交于点，连接． ，， ， ， ， 例题1.如图，中，，将沿翻折后，点落在边上的点处．如果，那么的度数为  (    ) A. B. C. D. 变式1.如图，在中，，点在上，沿折叠，使点落在边上的点，若，则的度数为  (    ) A. B. C. D. 例题2.有一道题目：“如图，在中，，将沿折叠，使得点落在边上的点处．若，且中有两个内角相等，求的度数．”嘉嘉的答案是淇淇说：“嘉嘉考虑得不全面，还应该有另外一个值．”下列判断正确的是(    ) A. 淇淇说得不对，就是 B. 淇淇说得对，且的另一个值是 C. 淇淇说得对，且的另一个值是 D. 两人都不对，应有三个不同的值 变式2.如图，点、分别在的边、上，把沿折叠后，落在内部点处，连接和，恰好和分别平分和，若，则的度数是(    ) A. B. C. D. 例题3.如图所示，在三角形纸片中，，，将纸片的一角折叠，使点的对应点落在内．若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 变式3.如图，三角形纸片中，，，将纸片的角折叠，使点落在内，若，则的度数是(    ) A. B. C. D. 例题4.如图，在中，点，分别在边，上，将沿折叠至的位置，点的对应点为若，，则的度数为  (    ) A. B. C. D. 变式4.如图，在中，，，将点与点分别沿和折叠，使点，与点重合，则的度数为(    ) A. B. C. D. 例题5.如图，在中，点是边上的一点，，，将沿折叠得到，与交于点． 填空：______度； 求的度数。 变式5.已知是一个三角形的纸片，点，分别在边，上，将沿折叠，点落在点的位置． 如图，当点落在边上时，若，______； 如图，当点落在内部时，且，，求的度数； 如图，当点落在外部时，猜想、和的数量关系，并说明理由． 直角三角板模型 直角三角板模型 如图，△ABC和△DEF是一副三角板，则隐藏的条件是： ①∠ACB=∠DFE=90°；②∠D=∠E=45°，③∠A=30°，∠B=60° 例题1.如图，将直尺与含角的三角尺摆放在一起，若，则的度数是(    ) A. B. C. D. 变式1.将一副三角尺如图所示叠放在一起，使直角顶点重合，若两直角重叠形成的角为，则图中的度数为(    ) A. B. C. D. 例题2.如图，某同学在课桌上无意中将一块三角板叠放在直尺上，则(    ) A. B. C. D. 变式2.如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点在上，其中，，，，，则的度数是(    ) A. B. C. D. 例题3.如图，把一副含角和角的直角三角板拼在一起，延长，交于点，则的度数是(    ) A. B. C. D. 变式3.将一副三角板按照如图方式摆放，则的度数为(    ) A. B. C. D. 例题4.如图，一副三角板、，其中，，，小明将点与点重合，且使平分，则的大小为(    ) A. B. C. D. 变式4.如图，小桐把一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，其中，，，，则(    ) A. B. C. D. 【探究1】如图，中，有一块直角三角板放置在上点在内，使三角板的两条直角边，恰好分别经过点和点． 试问与是否存在某种确定的数量关系？ 【特殊探究】若，则          ，          ，          ； 【类比探索】请探究与的关系； 【类比延伸】如图，改变直角三角板的位置，使点在外，三角板的两条直角边，仍然分别经过点和点，中的结论是否仍然成立？若不成立，请直接写出你的结论． 【探究2】 阅读下列材料，并完成相应的任务． “箭头图”的性质和应用 如图，我们把四边形称为“箭头图”图案，该图案有这样一个性质：下面是该性质的证明过程； 证明：如图，连接并延长到点是的外角，根据是的外角，，，． 任务： 填空：材料中的根据是指______． 你还能想出其他解法吗？请写出解答过程． 一个零件的形状如图所示，按规定应等于才合格，经检验，，，那么这个零件______填“合格”或“不合格” （全卷共17题，共计120分） 1、 选择题：本题共5小题，每小题5分，共25分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图，已知，，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 2.如图，，，，的度数是(    ) A. B. C. D. 3.如图，将直角三角形纸片的直角沿折叠，点落在纸片内部的点处如果，则的度数是(    ) A. B. C. D. 4.如果将副三角板按如图方式叠放；那么等于(    ) A. B. C. D. 5.如图，在中，，，点、在边、上，沿向内折叠得到，则图中等于(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 6.如图，，，则          ，          ． 7.如图，求______． 8.一个零件的形状如图所示，按规定应等于，与的度数分别是和，牛叔叔量得，请你帮助牛叔叔判断该零件______填“合格”或“不合格” 9.如图，将一副三角板的两个直角重合，使点在上，点在上，已知，，，则           10.如图，在中，是边上的高，是上一点，连接，将沿折叠，使点落在边上的点处．若，，则的度数为          ． 三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 11.本小题分如图，，，求和的度数．  12.本小题分如图，在直线，之间放一个含角的直角三角板，使顶点落在直线上，直角顶点落在直线上，若，求证：． 13.本小题分如图，，，，求的度数．  14.本小题分一块含有角的直角三角板和直尺如图放置，若，求的度数． 15.本小题分生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获，下面两幅图都是由同一副三角板拼凑得到的： 请你计算出图中的的度数． 图中已知，求的度数 16.本小题分小明把一副含 的直角三角板如图摆放，其中 ， ， ，求的度数． 17.本小题分如图，在中，点是边上的一点，，，将沿折叠得到，与交于点． 求的度数； 求的度数． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 暑假预习自学课新人教版2025-2026学年度第一学期八上数学 第3讲三角形章节几何模型 ·内容一 角的“8”字模型 ·内容二 角的燕尾模型 ·内容三 角的折叠模型 ·内容四 直角三角板模型 ·内容五 巩固练习 角的“8”字模型 角的“8”字模型 【条件】AD、BC 相交于点 O. 【结论】∠A+∠B=∠C+∠D.(上面两角之和等于下面两角之和) 【证明】在△ABO 中，由内角和定理：∠A+∠B+∠BOA=180°，在△CDO 中，∠C+∠D+∠COD=180°， ∴∠A+∠B+∠BOA=180°=∠C+∠D+∠COD，由对顶角相等：∠BOA=∠COD ∴∠A+∠B=∠C+∠D 例题1.如图，的度数是  (    ) A. B. C. D. 【答案】A  变式1.如图，已知，，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  例题2.如图，一副三角板有两个三角形，叠放在一起，则的度数是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】略 变式2.如图为某品牌椅子的侧面图，若，与地面平行，，则的度数为  (    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角熟练掌握相关性质是解题的关键． 根据平行得到，再利用外角的性质和对顶角相等，进行求解即可． 【解答】 解：由题意，得：， ， ． 例题3.如图所示，如果，则(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：如图，连接， ，， ， ， ． ． ， ； 故选：． 连接，由三角形内角和外角的关系可知，由四边形内角和是，即可求，从而可得答案． 本题考查三角形的外角的性质、多边形内角与外角，三角形内角和定理，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，属于基础题． 变式3.如图，的度数(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是搞清三角形外角和内角的关系，由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得，，进而利用三角形的内角和定理求解． 【解答】 解：如图可知： 是三角形的外角， ， 同理也是三角形的外角， ， 在中， ， ． 故选A． 例题4.如图，已知，，则______． 【答案】  【解析】解：连接，设与交于点，如图所示． 在四边形中，，，， ． 又，，， ． 故答案为：． 连接，设与交于点，利用四边形内角和为，可求出，再结合三角形内角和定理及对顶角相等，即可求出的值． 本题考查了三角形内角和定理、对顶角以及多边形的内角，牢记“三角形内角和是”及“四边形内角和是”是解题的关键． 变式4.如图所示是由线段，，，，组成的平面图形，，则的度数为          ． 【答案】  例题5.如图，的度数是________． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查的是三角形内角和定理及三角形外角性质，掌握三角形外角性质是解答此题的关键． 先由三角形外角性质得出，，再由三角形内角和定理即可得出结论． 【解答】 解：如图， ，， ， 故答案为． 变式5.如图，          ． 【答案】  【解析】如图，是的外角，是的外角，，，． 角的燕尾模型 角的燕尾模型 【条件】四边形 ABDC 如上左图所示. 【结论】∠D=∠A+∠B+∠C.(凹四边形凹外角等于三个内角和) 【证明】如上右图，连接 AD 并延长到 E，则： ∠BDC=∠BDE+∠CDE=(∠B+∠1)+(∠2+∠C)=∠B+∠BAC+∠C.本质为两个三角形外角和定理证明 例题1.一种零件的形状如图所示，按规定是直角，，，下面是质检员测得四个零件中的度数，其中可能合格的零件是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：如图，延长， 是的外角，是的外角， ，， ． 故选：． 三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和．根据三角形外角的性质求出的度数，与测量所得的度数对比即可得出结论． 本题考查了三角形的外角性质，正确运用是解题关键． 变式1.某零件的形状如图所示，按规定，，应分别等于，和时该零件才合格王师傅量得，关于结论Ⅰ、Ⅱ，下列判断正确的是(    ) 结论Ⅰ：该零件不合格； 结论Ⅱ：已知，当与的度数分别减少时，的度数会减少； A. 只有结论Ⅰ正确 B. 只有结论Ⅱ正确 C. 结论Ⅰ、Ⅱ都正确 D. 结论Ⅰ、Ⅱ都不正确 【答案】A  【解析】解：延长交于点， ，， ， ， 该零件不合格，结论Ⅰ正确； ， 当与的度数分别减少时， ， 即的度数会减少，结论Ⅱ不正确； 故选：． 延长交于点，根据三角形的外角性质求出，得出该零件不合格；根据三角形的外角性质求出，判断结论Ⅱ． 本题考查了三角形的外角性质，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 例题2.如图，，相交于点，若平分交于点，平分交于点，，，则的度数为          ． 【答案】  【解析】如图，平分交于点，平分交于点，，，，即由，得，，． 变式2.如图，，，相交于点，和的平分线交于点，则的度数为          ． 【答案】  例题3.如图，平分，，，，则          ． 【答案】  【解析】如图，过点作易证，，，，，． 变式3.如图，是内部一点，点，分别在，的延长线上，连接，，则的度数为          ． 【答案】  例题4.如图，，，，则的度数为          ． 【答案】  【解析】略 变式4.某加工零件标出部分数据如图，小明说，这四个数据中有一个标错了，请你完善以下修改方案：若、、所标数据正确，则图中所标数据应为________． 【答案】  【解析】解：延长交于点，如图： ， 则， 在直角三角形中，， 则 根据领补角得出的度数，根据三角形的外角性质可得出的度数，再根据三角形的内角和定理可得出结果． 本题考查三角形的外角性质和三角形的内角和定理．熟练掌握三角形的外角性质和三角形的内角和定理是解题的关键． 例题5.一个零件的形状如图所示，按规定，和分别是和的零件为合格零件，现质检工人量得，就断定这个零件不合格，请你运用三角形的有关知识说明这个零件不合格的理由． 【答案】解：如图，延长交于点． 若零件为合格零件，则，，， ． ． 现质检工人量得， 这个零件不合格．   变式5.某工厂要制作符合条件的模板，如图，要求，，，为了提高工作效率，检验人员通过测量的度数初步筛选出不合格的产品．若测得的度数为，则这块模板是否合格？请说明理由． 【答案】这块模板不合格    理由：如图，延长交于点由三角形外角的性质，得，，． 这块模板不合格． 例题6.一个零件的形状如图所示，按规定应等于，，应分别和李叔叔量得，就断定这个零件不合格，你能说出其中的道理吗？ 【答案】解：如图，延长与相交于点， 是的外角，，， ， 同理，， 李师傅量得，不是， 这个零件不合格．  【解析】本题考查的是三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．延长与相交于点，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出即可判断． 变式6.如图，点，，，中的任意三点都不在一条直线上求证：． 【答案】证明见解析．  【解析】证明：延长交于点，如图所示： 是的外角， 根据三角形外角性质，， 是的外角， ． 即． 延长交于点，如图所示，由是的外角，是的外角，结合三角形外角性质即可得证． 本题考查三角形内角和定理，三角形外角性质，熟记三角形外角性质是解决问题的关键． 角的折叠模型 角的折叠模型 如图，三角形纸片中，将纸片的角折叠，使点落在内，探究的数量关系。 解：延长，交于点，连接． ，， ， ， ， 例题1.如图，中，，将沿翻折后，点落在边上的点处．如果，那么的度数为  (    ) A. B. C. D. 【答案】B  变式1.如图，在中，，点在上，沿折叠，使点落在边上的点，若，则的度数为  (    ) A. B. C. D. 【答案】B  例题2.有一道题目：“如图，在中，，将沿折叠，使得点落在边上的点处．若，且中有两个内角相等，求的度数．”嘉嘉的答案是淇淇说：“嘉嘉考虑得不全面，还应该有另外一个值．”下列判断正确的是(    ) A. 淇淇说得不对，就是 B. 淇淇说得对，且的另一个值是 C. 淇淇说得对，且的另一个值是 D. 两人都不对，应有三个不同的值 【答案】B  变式2.如图，点、分别在的边、上，把沿折叠后，落在内部点处，连接和，恰好和分别平分和，若，则的度数是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：如图，连接， ，， 由折叠知：，， ，， ， ， ， ， ， 和分别平分和， ，， ， ， 故选：． 连接，根据三角形的外角性质、折叠的性质和等腰三角形的性质求出，再根据角平分线的定义和三角形内角和定理求解即可． 本题考查了折叠的性质、三角形的内角和定理、角平分线的定义、等腰三角形的性质，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识． 例题3.如图所示，在三角形纸片中，，，将纸片的一角折叠，使点的对应点落在内．若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  变式3.如图，三角形纸片中，，，将纸片的角折叠，使点落在内，若，则的度数是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查三角形的内角和定理，折叠的性质，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．延长，交于点，连接根据角度之间的关系得到即可进一步求出的度数． 【解答】 解：延长，交于点，连接． ，， ， ， ， ， ， 故选：． 例题4.如图，在中，点，分别在边，上，将沿折叠至的位置，点的对应点为若，，则的度数为  (    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】，，由折叠的性质可得 ，，，故选C． 变式4.如图，在中，，，将点与点分别沿和折叠，使点，与点重合，则的度数为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】略 例题5.如图，在中，点是边上的一点，，，将沿折叠得到，与交于点． 填空：______度； 求的度数。 【答案】解：； 沿折叠得到， ，， ， 在中，， 的外角， ， ．  【解析】此题考查了三角形的内角和定理、三角形的外角的性质、翻折变换等问题，解答的关键是沟通外角和内角的关系． 根据折叠的特点得出，再根据三角形一个外角等于它不相邻两个内角之和，即可得出答案； 根据沿折叠得到，得出，，再根据，即可得出结果． 【解答】 解：沿折叠得到， ， ，， ； 故答案为． 见答案． 变式5.已知是一个三角形的纸片，点，分别在边，上，将沿折叠，点落在点的位置． 如图，当点落在边上时，若，______； 如图，当点落在内部时，且，，求的度数； 如图，当点落在外部时，猜想、和的数量关系，并说明理由． 【答案】；   的度数是；   ，理由见解答．  【解析】如图，将沿折叠，点的对应点落在边上， ， ， ， ， ， 故答案为：． 如图，将沿折叠，点的对应点落在内部， ，， ，， ，， ，， ，， ， 的度数是． ， 理由：如图，将沿折叠，点的对应点落在外部， ，， ，， ，， ， ． 由折叠得，由，求得，于是得到问题的答案； 由折叠得，，则，，由，，求得，，则； 由折叠得，，则，，推导出，，则，所以． 此题重点考查翻折变换的性质、三角角内角和定理等知识，推导出，是解题的关键． 直角三角板模型 直角三角板模型 如图，△ABC和△DEF是一副三角板，则隐藏的条件是： ①∠ACB=∠DFE=90°；②∠D=∠E=45°，③∠A=30°，∠B=60° 例题1.如图，将直尺与含角的三角尺摆放在一起，若，则的度数是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】略 变式1.将一副三角尺如图所示叠放在一起，使直角顶点重合，若两直角重叠形成的角为，则图中的度数为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  例题2.如图，某同学在课桌上无意中将一块三角板叠放在直尺上，则(    ) A. B. C. D. 【答案】C  变式2.如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点在上，其中，，，，，则的度数是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题主要考查了三角形的内角和定理，平行线的性质定理和外角的性质，求出，的度数是解本题的关键．利用三角形的内角和定理可得，，由平行线的性质定理可得，利用三角形外角的性质可得结果． 【解答】 解：如图， ，， ， ，， ， ， ， ， 故选A． 例题3.如图，把一副含角和角的直角三角板拼在一起，延长，交于点，则的度数是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：，， ． 故选：． 由三角形的内角和是，即可计算． 本题考查三角形内角和定理，关键是掌握三角形的内角和是． 变式3.将一副三角板按照如图方式摆放，则的度数为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：， ， 故选：． 由题意，所以根据三角形外角性质得． 本题考查三角形的外角性质，关键是三角形外角性质的熟练掌握． 例题4.如图，一副三角板、，其中，，，小明将点与点重合，且使平分，则的大小为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：平分， ， ，， ， ． 故选：． 由角平分线定义得到，由直角三角形的性质求出，即可得到的度数． 本题考查直角三角形的性质，角平分线定义，关键是由直角三角形的性质求出的度数． 变式4.如图，小桐把一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，其中，，，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【探究1】如图，中，有一块直角三角板放置在上点在内，使三角板的两条直角边，恰好分别经过点和点． 试问与是否存在某种确定的数量关系？ 【特殊探究】若，则          ，          ，          ； 【类比探索】请探究与的关系； 【类比延伸】如图，改变直角三角板的位置，使点在外，三角板的两条直角边，仍然分别经过点和点，中的结论是否仍然成立？若不成立，请直接写出你的结论． 【答案】(1)130° ;90° ;40°  (2)结论：∠ABP+∠ACP=90°-∠A．证明：∵90°+（∠ABP+∠ACP）+∠A=180°，∴∠ABP+∠ACP+∠A=90°．∴∠ABP+∠ACP=90°-∠A．  (3)不成立；存在∠ACP-∠ABP=90°-∠A．理由：△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A，∵∠MPN=90°，∴∠PBC+∠PCB=90°．∴（∠ABC+∠ACB）-（∠PBC+∠PCB）=180°-∠A-90°．即∠ABC+∠ACP+∠PCB-∠ABP-∠ABC-∠PCB=90°-∠A，∴∠ACP-∠ABP=90°-∠A．  【探究2】 阅读下列材料，并完成相应的任务． “箭头图”的性质和应用 如图，我们把四边形称为“箭头图”图案，该图案有这样一个性质：下面是该性质的证明过程； 证明：如图，连接并延长到点是的外角，根据是的外角，，，． 任务： 填空：材料中的根据是指______． 你还能想出其他解法吗？请写出解答过程． 一个零件的形状如图所示，按规定应等于才合格，经检验，，，那么这个零件______填“合格”或“不合格” 【答案】三角形外角的性质；   见证明；   不合格．  【解析】材料中的根据是指三角形外角的性质； 故答案为：三角形外角的性质； 能想出其他解法； 延长交于，如图， ，， ； 证明：，，， ， ， ． 这个零件不合格． 故答案为：不合格． 根据三角形外角的性质得出； 延长延长交于，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式即可； 求出的值与比较，即可判断． 本题考查的是三角形外角的性质，根据题意作出辅助线，构造出三角形，利用三角形外角的性质求解是解答此题的关键． （全卷共17题，共计120分） 1、 选择题：本题共5小题，每小题5分，共25分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图，已知，，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  2.如图，，，，的度数是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 延长交于，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出，再利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解． 本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键． 【解答】 解：如图，延长交于， ，， ， ， ． 故选：． 3.如图，将直角三角形纸片的直角沿折叠，点落在纸片内部的点处如果，则的度数是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：由折叠的性质，可知：，． 在中，，， ， ． 又， ． 故选：． 由折叠的性质，可得出，，在中，利用三角形内角和定理，可求出的度数，进而可得出的度数，再结合，即可求出的度数． 本题考查了三角形内角和定理、邻补角以及翻折变化折叠问题，牢记“三角形内角和是”是解题的关键． 4.如果将副三角板按如图方式叠放；那么等于(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：，， ， ， ， ． 故选：． 根据三角形内角和定理求解即可． 此题考查了三角形内角和定理，关键是三角形内角和定理的熟练掌握． 5.如图，在中，，，点、在边、上，沿向内折叠得到，则图中等于(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】本题考查了三角形内角和定理，折叠的性质，由三角形内角和定理计算得出，由折叠的性质可得，，从而得出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：在中，，， ， ， 沿向内折叠得到， ，， ， ，， ， ， 故选：． 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 6.如图，，，则          ，          ． 【答案】，,   7.如图，求______． 【答案】  【解析】解：如图：连接，，交于一点，   在，中，， ， ， 在四边形中， ， 故答案为：． 连接，则，求的度数就是求四边形的内角和，结合四边形内角和定理，即可求出结论． 本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，多边形内角和外角，牢记“三角形内角和是”及“四边形内角和是”是解题的关键． 8.一个零件的形状如图所示，按规定应等于，与的度数分别是和，牛叔叔量得，请你帮助牛叔叔判断该零件______填“合格”或“不合格” 【答案】合格  【解析】解：延长交于点，如图， 是的外角，，， ， 是的外角，， ， 该零件合格． 故答案为：合格． 延长交于点，由三角形的外角性质可得，再次利用三角形的外角性质求得，则与规定的度数一致，即可判断． 本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是熟记三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和． 9.如图，将一副三角板的两个直角重合，使点在上，点在上，已知，，，则           【答案】15 10.如图，在中，是边上的高，是上一点，连接，将沿折叠，使点落在边上的点处．若，，则的度数为          ． 【答案】  三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 11.本小题分如图，，，求和的度数． 【答案】解：，， ． ， ．   12.本小题分如图，在直线，之间放一个含角的直角三角板，使顶点落在直线上，直角顶点落在直线上，若，求证：． 【答案】证明：， ， ．  13.本小题分如图，，，，求的度数． 【答案】解：如图，延长，交于点． ，，是的外角，，，即．   14.本小题分一块含有角的直角三角板和直尺如图放置，若，求的度数． 【答案】解：延长交于点．   ， ． ， ． ．  【解析】略 15.本小题分生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获，下面两幅图都是由同一副三角板拼凑得到的： 请你计算出图中的的度数． 图中已知，求的度数 【答案】解：，， ， ， ； ，， ， ， ， ．  【解析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，三角形的内角和定理，解题关键是熟练掌握有关性质定理． 由，，利用三角形的外角性质可求出的度数，又由，易得的度数； 首先根据三角形内角和为，求得的度数，又由，即可求得的度数，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得的度数． 16.本小题分小明把一副含 的直角三角板如图摆放，其中 ， ， ，求的度数． 【答案】解：如图： ，，， ，， ， ．  【解析】本题考查的是三角形的外角的性质、三角形内角和定理，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．根据三角形内角和定理得到，，根据三角形的外角性质与对顶角相等的性质计算即可． 17.本小题分如图，在中，点是边上的一点，，，将沿折叠得到，与交于点． 求的度数； 求的度数． 【答案】解：沿折叠得到， ， ，， ；          ，， ， ， 沿折叠得到， ， ．  【解析】根据折叠求出，根据三角形外角性质求出即可； 根据三角形内角和定理求出，求出，根据三角形外角性质求出，即可求出答案． 本题考查了三角形内角和定理，三角形外角性质和折叠的性质等知识点，能根据定理求出各个角的度数是解此题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$