第21章 一元二次方程 单元测试 2025～2026学年人教版九年级数学上册

2025~2026学年 九年级数学 第一学期 第21章 单元测试卷 人教版（2024） 考试范围：第21章 一元二次方程 （考试时间：90分钟 总分：100分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A．=0 B． x2−3x=(x−2)(x+1) C．x2−2y−1=0 D．x2=1 2．一元二次方程3x2−2x−1=0的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A．3，−2，−1 B．3，2，−1 C．3，−2，1 D．3，2，1 3．方程x2−4=0的解是（ ） A．x=2 B．x=−2 C．x1=2，x2=−2 D．x=4 4．用配方法解方程x2+6x+1=0，配方后正确的是（ ） A．(x+3)2=8 B．(x+3)2=10 C．(x−3)2=8 D．(x−3)2=10 5．已知关于x的一元二次方程x2−2x+m=0有两个相等的实数根，则m的值是（ ） A．1 B．−1 C．2 D．−2 6．一元二次方程x2−3x−4=0的两根分别为x1和x2，则x1+x2的值为（ ） A．3 B．−3 C．4 D．−4 7．某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元，则平均每次降价的百分率为（ ） A．20% B．25% C．30% D．40% 8．若关于x的一元二次方程(a−1)x2+x+a2−1=0的一个根是0，则a的值为（ ） A．1 B．−1 C．1或−1 D． 9．已知x2−5x+1=0，则x2+的值为（ ） A．23 B．24 C．25 D．27 10．三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2−6x+8=0的一个根，则这个三角形的周长是（ ） A．11 B．13 C．11或13 D．12 二、填空题（每题3分，共18分） 11．把方程(x+1)(x−2)=4化为一元二次方程的一般形式是 ． 12．方程x2−3x=0的根是 ． 13．若关于x的一元二次方程x2+bx+5=0的一个根是x=1，则b的值为 ． 14．已知x1，x2是方程2x2−3x−1=0的两个根，则的值为 ． 15．某工厂今年一月份的产值是50万元，三月份的产值达到了72万元，设平均每月增长率为x，则可列方程为 ． 16．对于两个实数a、b，定义运算为“*”：a*b=例如4*2，因为4>2，所以计算4*2=42−4×2=8．若x1，x2是一元二次方程x2−5x+6=0的两个根，则x1*x2= ． 三、解答题（本大题共6小题，共52分） 17．（8分）解方程： （1）x2−4x−5=0； （2）2x2−3x−1=0（用配方法）． 18．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2−4=0． （1）若此方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； （2）若此方程的两个实数根分别为x1，x2，且满足(x1−x2)2=20，求m的值． 19．（8分）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．如果商场通过销售这批衬衫每天要盈利1200元，那么衬衫的单价应降多少元？ 20．（8分）如图，在一块长为32米，宽为20米的矩形空地上，修建三条同样宽的道路（两条纵向，一条横向，横向与纵向垂直），把矩形空地分成大小一样的6块建成花园．若要使花园的面积为570平方米，求道路的宽． 21．（10分）已知关于x的一元二次方程x2−(k+2)x+2k=0． （1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根； （2）若等腰三角形ABC的一边长a=3，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长． 22．（10分）某书店准备购进一批新书，已知购进A种图书每本的成本比B种图书多5元，用1000元购进A种图书的数量与用750元购进B种图书的数量相同。 （1）求A、B两种图书每本的成本分别是多少元？ （2）若书店计划购进这两种图书共100本，且投入的总成本不超过1600元，求最多能购进A种图书多少本？若A种图书每本售价25元，B种图书每本售价18元，在（2）的条件下，售完这批图书最多能获得多少利润？ 参考答案 一、选择题 1．D 2．A 3．C 4．A 5．A 6．A 7．A 8．B 9．A 10．B 二、填空题 11．x2−x−6=0 12．x1=0，x2=3 13．−6 14． 15．50(1+x) 2=72 16．±3 三、解答题 17．（1）x1=5，x2=−1；（2）x1=，x2=． 18．解：（1）方程有两个不相等的实数根，则判别式Δ=(2m+1)2−4(m2−4)>0， 即4m+1+16>0，解得m>． （2）由韦达定理得x1+x2=−(2m+1)，x1x2​=m2−4， (x1−x2)2 =(x1+x2)2−4x1x2 =(2m+1)2−4(m2−4) =4m+17=20 解得：m=（符合m>） 19．解：设单价降x元，每天盈利(40−x)(20+2x)=1200， 整理得x2−30x+200=0，解得x1=10，x2=20， 答：单价应降10元或20元． 20．解：设道路宽x米，花园面积为(32−2x)(20−x)=570， 整理得2x2−72x+70=0，即x2−36x+35=0， 解得x1=1，x2=35（舍去）， 答：道路宽1米． 21．解：（1）判别式Δ=(k+2)2−8k=(k−2)2≥0，故无论k取何值，方程总有实数根； （2）方程因式分解为(x−2)(x−k)=0，根为x1=2，x2=k． 若a=3为腰，则k=3，三边长为3，3，2，周长为8； 若a=3为底，则b=c=2，三边长为2，2，3，周长为7． 综上，周长为7或8． 22．解：（1）设B种图书成本x元，则A种为(x+5)元， 由，解得x=15，故A种20元，B种15元． 答：（1）A种20元，B种15元． （2）购进A种m本，则B种(100−m)本，20m+15(100−m)≤1600， 解得m≤20，最多购进20本， 利润为(25−20)m+(18−15)(100−m)=2m+300， 当m=20时，利润最大为340元． 答：最多购进A种20本，最大利润340元． 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$