第25讲 正弦定理、余弦定理讲义-2026届高三数学一轮复习

第25讲　正弦定理、余弦定理

【知识梳理】　

1.正弦定理和余弦定理

2.在△ABC中,已知a,b和A时,解的情况如下:

3.三角形面积公式

(1)S=ah(h表示边a上的高);

(2)S=bcsin A=acsin B=absin C;

(3)S=r(a+b+c)(r为三角形的内切圆半径).

常用结论

1.三角形的内角和定理:在△ABC中,A+B+C=π;   变形:=-.

2.三角形中的三角函数关系:在△ABC中,

(1)sin(A+B)=sin C;(2)cos(A+B)=-cos C;   (3)sin =cos ;(4)cos =sin .

3.角平分线定理:如图,在△ABC中,∠BAC的平分线交BC于点D,则=.

4.三角形中的射影定理:

在△ABC中,a=bcos C+ccos B;b=acos C+ccos A;c=bcos A+acos B.

5.在圆所有的内接三角形中,正三角形的面积最大.

6.a>b⇔A>B⇔sin A>sin B,cos A<cos B.

7. 三角形中的面积S=.

考点01　利用余弦、正弦定理解三角形

例1 (1)已知△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且(a+b)sin A+bsin B=csin C,则角C等于 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　

A.     B.    C.  D.

(2)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若2b=a+c,cos B=,且△ABC的面积为6,则b= (　 )

A.4    B.2    C.6     D.6或

(3)由下列条件解△ABC,其中有两解的是 (　 )

A.b=20,A=45°,C=80°        B.a=30,c=28,B=60°

C.a=11,b=6,A=45°          D.a=9,c=10,A=30°

考点02　利用余弦、正弦定理判断三角形的形状

例2 (1)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若+=,则△ABC为 (　 )

A.锐角三角形 B.直角三角形

C.钝角三角形 D.等边三角形

(2)(多选题)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则下列说法中正确的是 (　 )

A.若A>B,则sin A>sin B                 B.若=,则△ABC为等腰直角三角形

C.A=,a=,b=4,则此三角形只有一个解 D.若tan A+tan B+tan C<0,则△ABC为钝角三角形

考点03　利用余弦、正弦定理解决平面几何问题

例3 (1)在锐角三角形ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,S为△ABC的面积,a=2,且2S=a2-(b-c)2,则△ABC的周长的取值范围是              (　 )

A.(4,6]   B.(4,2+2]

C.(6,2+2]  D.(4,+2]

(2)在△ABC中,∠ABC的平分线BD交AC于点D,若BD=2,∠ABC=,则△ABC的面积的最小值为(　 )

A. B.2 C. D.

例4 (1)(多选题)在△ABC中,AB=2,AC=3,∠BAC=60°,则 (　 )

A.△ABC的周长是5+            B.BC边上的中线长为

C.∠BAC的角平分线长为         D.BC边上的高为

(2)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且sin C+cos C=.

①求角B;

②若a+c=2,b=,∠ABC的平分线交AC于点D,求BD.

 

 

 

例5 (1)已知四边形ABCD的顶点都在半径为2的圆O上,且AD经过圆O的圆心,BC=2,CD<AB,四边形ABCD的面积为3+,则AB=              (　 )

A.2       B.3     C.2    D.2

(2)如图所示,在△ABC中,AB=5,AC=7,∠ABC=60°.

①求BC的长;

②已知点D在平面ABC内,且∠ADB=∠ACB,求四边形ABDC的周长的最大值.

 

 

 

 

限时训练 (时间:45分钟)

　　　　　　 　　　　　　　　　　

1.在△ABC中,已知AC=1,BC=,B=30°,则A= (　 )

A.60°   B.120°

C.60°或120°  D.30°或90°

2.在△ABC中,若sin A∶sin B∶sin C=3∶4∶6,则△ABC的形状是 (　 )