18 第四章 第4节 万有引力与宇宙航行-【名师导航】2026年高考物理一轮总复习教师用书（通用版）

第4节　万有引力与宇宙航行 一、开普勒行星运动定律 1．开普勒第一定律(轨道定律) 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。 2．开普勒第二定律(面积定律) 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等。 3．开普勒第三定律(周期定律) 所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，表达式：＝k。 二、万有引力定律 1．内容 (1)自然界中任何两个物体都相互吸引。 (2)引力的方向在它们的连线上。 (3)引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比。 2．表达式 F＝G。 其中G为引力常量，G＝6.67×10-11 N·m2/kg2，由卡文迪什扭秤实验测定。 3．适用条件 (1)两个质点之间的相互作用。当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时物体可视为质点。 (2)对质量分布均匀的球体，r为两球心间的距离。 (3)一个质量分布均匀的球体和球外一个质点间的万有引力的计算，r为质点到球心间的距离。 三、宇宙速度 1．环绕速度 (1)第一宇宙速度又叫环绕速度，其数值为 7.9 km/s。 (2)第一宇宙速度是人造地球卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度。 (3)第一宇宙速度是人造地球卫星最小的发射速度，也是人造地球卫星的最大环绕速度。 2．第二宇宙速度(脱离速度) 使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度，其数值为11.2 km/s。 3．第三宇宙速度(逃逸速度) 使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度，其数值为16.7 km/s。 易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)只有天体之间才存在万有引力。 (　×　) (2)行星在椭圆轨道上运行速率是变化的，离太阳越远，运行速率越大。 (　×　) (3)只要知道两个物体的质量和两个物体之间的距离，就可以由F＝G计算物体间的万有引力。 (　×　) (4)地面上的物体所受地球的引力方向一定指向地心。 (　√　) (5)两物体间的距离趋近于0时，万有引力趋近于无穷大。 (　×　) (6)第一宇宙速度与地球的质量有关。 (　√　) (7)地球同步卫星的运行速度大于第一宇宙速度。 (　×　) 　开普勒行星运动定律　 1．行星绕太阳运动的轨道通常按圆轨道处理。 2．由开普勒第二定律可知Sa＝Sb(如图所示)，即 ＝v1·Δt·r1＝v2·Δt·r2，解得 ＝，即行星在两个位置的速度之比与到太阳的距离成反比，近日点速度最大，远日点速度最小。 3．开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同，且该定律只能用在同一中心天体的两星体之间。 [典例1]　如图所示，是某火星探测器简化飞行路线图，其地火转移轨道是椭圆轨道。假设探测器在近日点P点进入地火转移轨道，在远日点Q，被火星俘获。已知火星的轨道半径是地球轨道半径的1.5倍，则(　　) A．地球公转的周期大于火星公转的周期 B．探测器进入地火转移轨道后，速度逐渐增大 C．探测器在地火转移轨道上的周期大于火星公转的周期 D．探测器从发射到被火星俘获，经历的时间约255天 D　[根据开普勒第三定律有＝，因为r地<r火，可知地球公转的周期小于火星公转的周期，故A错误；探测器进入地火转移轨道后，万有引力做负功，速度逐渐减小，故B错误；根据开普勒第三定律有＝，因为<r火，可知探测器在地火转移轨道上的周期小于火星公转的周期，故C错误；根据开普勒第三定律有＝，整理得，探测器在地火转移轨道上的周期T探＝T地，探测器从发射到被火星俘获，经历的时间t＝，其中T地＝365天，联立上述各式，代入数据得t≈255天，故D正确。] [跟进训练] 1．(多选)如图所示，某行星绕太阳运动的轨道为一椭圆，ac和bd分别为椭圆的长轴和短轴。若行星运动周期为T，行星经过ab段、bc段、cd段和da段所用时间分别为tab、tbc、tcd和tda，则(　　) A．tab>tbc 　 B．tbc>tda C．tbc＝T 　 D．tab＋tbc＝T BD　[根据开普勒第二定律知，太阳和行星的连线在相同的时间内扫过相等的面积，故近日点速度最大，远日点速度最小。题图中a点为近日点，速度最大，c点为远日点，速度最小，故有tab<tbc，tbc>tda，故A错误，B正确；从上面的分析可知，b到c的时间tbc>，故C错误；由题图根据对称性，从a经b到c的时间等于从c经d到a的时间，而从a经b、c、d再回到a的时间为一个周期T，所以有tab＋tbc＝T，故D正确。] 2．(2024·安徽卷)2024年3月20日，我国探月工程四期鹊桥二号中继星成功发射升空。当抵达距离月球表面某高度时，鹊桥二号开始进行近月制动，并顺利进入捕获轨道运行，如图所示，轨道的半长轴约为51 900 km。后经多次轨道调整，进入冻结轨道运行，轨道的半长轴约为9 900 km，周期约为24 h。则鹊桥二号在捕获轨道运行时(　　) A．周期约为144 h B．近月点的速度大于远月点的速度 C．近月点的速度小于在冻结轨道运行时近月点的速度 D．近月点的加速度大于在冻结轨道运行时近月点的加速度 B　[冻结轨道和捕获轨道的中心天体是月球，根据开普勒第三定律得＝，整理得T2＝T1≈288 h，A错误；根据开普勒第二定律得，近月点的速度大于远月点的速度，B正确；近月点从捕获轨道到冻结轨道，鹊桥二号进行近月制动，捕获轨道近月点的速度大于在冻结轨道运行时近月点的速度，C错误；两轨道的近月点所受的万有引力相同，根据牛顿第二定律可知，近月点的加速度等于在冻结轨道运行时近月点的加速度，D错误。] 　万有引力定律的理解及应用　 1．万有引力与重力的关系 地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示。 (1)在赤道上：G＝m2g1＋m2ω2R。 (2)在两极上：G＝m2g2。 2．星体表面上的重力加速度 (1)在地球表面附近的重力加速度为g(不考虑地球自转)，m2g＝G，得g＝。 (2)在地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度为g′，m2g′＝，得g′＝。 3．万有引力的两个推论 (1)推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的各部分万有引力的合力为0，即＝0。 (2)推论2：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m质)受到的万有引力等于球体(m同)内半径为r的同心球体(m同)对它的万有引力，即F＝G。 　万有引力与重力 [典例2]　用弹簧秤称量一个相对地球静止的小物体受到的重力，随称量位置的变化可能会有不同的结果。已知地球质量为M，自转周期为T，引力常量为G。将地球视为半径为R，质量均匀分布的球体，不考虑空气的影响。设在地球北极地面称量时，弹簧秤的读数是F0。 (1)若在北极上空高出地面h处称量，弹簧秤读数为F1，求比值的表达式，并就h＝1.0%R的情形算出具体数值。(计算结果保留2位有效数字) (2)若在赤道地面称量，弹簧秤读数为F2，求比值的表达式。 解析：(1)在北极，物体受到的重力等于地球的引力，则G＝F0 在北极上空高出地面h处测量，有 G＝F1 则＝ 当h＝1.0%R时，＝＝≈0.98。 (2)在赤道，考虑地球的自转，地球的引力提供重力(大小等于弹簧秤示数)与物体随地球自转需要的向心力；在赤道上小物体随地球自转做匀速圆周运动，受到万有引力和弹簧秤的作用力，有 G－F2＝mR 得＝1－＝1－。 答案：(1)　0.98　(2)1－ 　天体质量和密度的估算 [典例3]　(2024·山东卷)“鹊桥二号”中继星环绕月球运行，其24小时椭圆轨道的半长轴为a。已知地球同步卫星的轨道半径为r，则月球与地球质量之比可表示为(　　) A． 　 B． C． 　 D． D　[“鹊桥二号”中继星在24小时椭圆轨道运行时，根据开普勒第三定律有＝k，同理，对地球的同步卫星根据开普勒第三定律有＝k′，又开普勒常量与中心天体的质量成正比，所以 ＝，联立可得＝，故选D。] 　估算天体质量和密度的两种方法 (1)“g、R”法(“自力更生”法)：已知天体表面的重力加速度g和天体半径R。 ①由G＝mg，得天体质量M＝。 ②天体密度ρ＝＝＝。 (2)“T、r”法(“引入外援”法)：测出卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。 ①由G＝mr，得M＝。 ②若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝＝＝。 [跟进训练] 1．(2024·海南卷)嫦娥六号进入环月圆轨道，周期为T，轨道高度与月球半径之比为k，引力常量为G，则月球的平均密度为(　　) A． 　 B． C． 　 D．(1＋k)3 D　[设月球半径为R，质量为m1，对嫦娥六号，根据万有引力提供向心力有 G＝m2·(k＋1)R，月球的体积V＝πR3，月球的平均密度ρ＝，联立可得ρ＝(1＋k)3，故选D。] 2．中国科学院沈阳自动化研究所主持研制的“海斗一号”在无缆自主模式下刷新了中国下潜深度纪录，最大下潜深度超过了10 000 m，首次实现了无缆无人潜水器万米坐底并连续拍摄高清视频影像。若把地球看成质量分布均匀的球体，且球壳对球内任一质点的万有引力为0，忽略地球的自转，则下列关于“海斗一号”下潜所在处的重力加速度大小g和下潜深度h的关系图像可能正确的是(　　) A　　　　　　　　　　B C　　　　　　　　　　D D　[设地球的质量为M，地球的半径为R，“海斗一号”下潜h深度后，以地心为球心、以R－h为半径的球体的质量为M′，则根据密度相等有＝，由于球壳对球内任一质点的万有引力为零，根据万有引力定律有G＝mg，联立以上两式并整理可得g＝(R－h)，由该表达式可知D正确，A、B、C错误。] 3．将一质量为m的物体分别放在地球的南、北两极点时，该物体的重力均为mg0；将该物体放在地球赤道上时，该物体的重力为mg。假设地球可视为质量均匀分布的球体，半径为R，已知引力常量为G，则由以上信息可得出(　　) A．g0小于g B．地球的质量为 C．地球自转的角速度为ω＝ D．地球的平均密度为 C　[设地球的质量为M，物体在赤道处随地球自转做圆周运动的角速度等于地球自转的角速度，轨道半径等于地球半径，物体在赤道上受到的重力和物体随地球自转所需的向心力是万有引力的分力，有G－mg＝mω2R，物体在两极受到的重力等于万有引力，即G＝mg0，所以g0＞g，故A错误；在两极有mg0＝G，解得M＝，故B错误；由－mg＝mω2R，mg0＝解得ω＝，故C正确；地球的平均密度ρ＝＝＝，故D错误。] 　宇宙速度及卫星运行参数的分析与计算　 1．第一宇宙速度的理解 (1)推导 方法一：由G＝m2，得v1＝ 方法二：由mg＝m，得v1＝ (2)理解：第一宇宙速度是发射人造地球卫星的最小速度，也是人造地球卫星的最大环绕速度，此时它的运行周期最短，Tmin＝2π≈85 min。 2．物理量随轨道半径变化的规律 规律 3．地球静止轨道卫星的6个“一定” 轨道面一定 轨道平面与赤道平面共面 周期一定 与地球自转周期相同，即T＝24 h 角速度一定 与地球自转的角速度相同 高度一定 由G＝m2(R＋h)得地球静止轨道卫星离地面的高度h＝－R≈6R(恒量) 速率一定 运行速率v＝ 绕行方向一定 与地球自转的方向一致 [典例4]　(2024·湖南卷)(多选)2024年5月3日，“嫦娥六号”探测器顺利进入地月转移轨道，正式开启月球之旅。相较于“嫦娥四号”和“嫦娥五号”，本次的主要任务是登陆月球背面进行月壤采集并通过上升器将月壤转移至绕月运行的返回舱，返回舱再通过返回轨道返回地球。设返回舱绕月运行的轨道为圆轨道，半径近似为月球半径。已知月球表面重力加速度约为地球表面的，月球半径约为地球半径的。关于返回舱在该绕月轨道上的运动，下列说法正确的是(　　) A．其相对于月球的速度大于地球第一宇宙速度 B．其相对于月球的速度小于地球第一宇宙速度 C．其绕月飞行周期约为地球上近地圆轨道卫星周期的 D．其绕月飞行周期约为地球上近地圆轨道卫星周期的倍 BD　[返回舱在该绕月轨道上运动时万有引力提供向心力，且返回舱绕月运行的轨道为圆轨道，半径近似为月球半径，则有G＝m，其中在月球表面万有引力和重力的关系为G＝mg月，联立解得v月＝；由于第一宇宙速度为近地卫星的环绕速度，同理可得v地＝，代入题中数据可得v月＝v地，故A错误、B正确；根据线速度和周期的关系有T＝·r，根据以上分析可得T月＝T地，故C错误，D正确。] [跟进训练] 1．(2024·福建卷)(多选)据报道，我国计划发射的“巡天号”望远镜将运行在离地面约400 km的轨道上，其视场比“哈勃”望远镜的更大。已知“哈勃”运行在离地面约550 km的轨道上，若两望远镜绕地球近似做匀速圆周运动，则“巡天号”(　　) A．角速度大小比“哈勃”的小 B．线速度大小比“哈勃”的小 C．运行周期比“哈勃”的小 D．向心加速度大小比“哈勃”的大 CD　[根据万有引力提供向心力可得＝m2ω2r＝m2＝m2r＝m2a，可得ω＝，a＝，由于“巡天号”的轨道半径小于“哈勃”的轨道半径，则有ω巡>ω哈，v巡>v哈，T巡<T哈，a巡>a哈，故选C、D。] 2．(2025·哈尔滨模拟)如图所示，三颗赤道上空的通信卫星可实现环赤道全球通信，已知三颗卫星的离地高度均为h，地球的半径为R，地球同步卫星的离地高度为6R，地球表面重力加速度为g，引力常量为G，下列说法正确的是(　　) A．三颗通信卫星受到地球的万有引力大小相等 B．三颗通信卫星的线速度大小为 C．通信卫星和地球自转周期之比为 D．能实现全球通信时，卫星离地面高度至少2R B　[通信卫星受到地球的万有引力大小为F＝，因三颗通信卫星的质量未知，故三颗通信卫星受到地球的万有引力大小不一定相等，故A错误；对通信卫星，由万有引力提供向心力，有，在地球表面有＝m2g，联立解得三颗通信卫星的线速度大小为v＝，故B正确；由于通信卫星是地球的同步卫星，所以通信卫星的公转周期等于地球的自转周期，比值是1∶1，故C错误；如图所示 三颗通信卫星若要全面覆盖，由几何关系有sin 30°＝，解得h＝R，所以通信卫星离地高度至少为R，故D错误。] 3．(2023·海南卷)(多选)如图所示，1、2轨道分别是“天宫二号”飞船在变轨前后的轨道，下列说法正确的是(　　) A．飞船从1轨道变到2轨道要点火加速 B．飞船在1轨道周期大于2轨道周期 C．飞船在1轨道速度大于2轨道 D．飞船在1轨道加速度大于2轨道 ACD　[飞船从较低的轨道1进入较高的轨道2要进行加速做离心运动才能完成，选项A正确；根据＝m＝mr＝ma，可得a＝，v＝，T＝，可知飞船在轨道1的周期小于在轨道2的周期，在轨道1的速度大于在轨道2的速度，在轨道1的加速度大于在轨道2的加速度，故选项B错误，C、D正确。] 4．如图所示，a是在赤道平面上相对地球静止的物体，随地球一起做匀速圆周运动，b是在地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星，轨道半径约等于地球半径，c是地球同步卫星，已知地球表面两极处的重力加速度为g，下列关于a、b、c的说法正确的是(　　) A．b做匀速圆周运动的加速度等于g B．a、b、c做匀速圆周运动的向心加速度最大的是c C．a、b、c做匀速圆周运动的速率最大的是a D．a、b、c做匀速圆周运动的周期最小的是a A　[对b根据G＝mg＝ma，可知b做匀速圆周运动的加速度等于g，选项A正确；根据G＝ma，卫星c的轨道半径比b大，则做匀速圆周运动的向心加速度小于b，对a、c因角速度相等，根据a＝ω2r可知，c的向心加速度大于a，则a、b、c做匀速圆周运动的向心加速度最大的是b，选项B错误；对a、c因角速度相等，根据v＝ωr可知，c的速率大于a的速率，根据v＝，可知b的速率大于c的速率，可知a、b、c做匀速圆周运动的速率最大的是b，选项C错误；对a、c因角速度相等，周期相等，对b、c根据T＝2π，可知c的周期大于b，可知a、b、c做匀速圆周运动的周期最小的是b，选项D错误。] 课时分层作业(十一) 1．火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知(　　) A．太阳位于木星运行轨道的中心 B．火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等 C．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方 D．相等时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积 C　[由开普勒第一定律(轨道定律)可知，太阳位于木星运行椭圆轨道的一个焦点上，故A错误；火星和木星绕太阳运行的轨道不同，运行速度的大小不可能始终相等，故B错误；根据开普勒第三定律(周期定律)知，太阳系中所有行星轨道的半长轴的三次方与它的公转周期的平方的比值是同一个常数，故C正确；对于太阳系某一个行星来说，其与太阳连线在相等的时间内扫过的面积相等，不同行星在相等时间内扫过的面积不相等，故D错误。] 2．(2024·全国甲卷)2024年5月，嫦娥六号探测器发射成功，开启了人类首次从月球背面采样返回之旅。将采得的样品带回地球，飞行器需经过月面起飞、环月飞行、月地转移等过程。月球表面自由落体加速度约为地球表面自由落体加速度的。下列说法正确的是(　　) A．在环月飞行时，样品所受合力为0 B．若将样品放置在月球正面，它对月球表面压力等于0 C．样品在不同过程中受到的引力不同，所以质量也不同 D．样品放置在月球背面时对月球的压力比放置在地球表面时对地球的压力小 D　[在环月飞行时，样品所受合力提供所需的向心力，不为0，故A错误；若将样品放置在月球正面，它对月球表面压力大小等于它在月球表面的重力大小；由于月球表面自由落体加速度约为地球表面自由落体加速度的，则样品在地球表面的重力大于在月球表面的重力，所以样品放置在月球背面时对月球的压力，比放置在地球表面时对地球的压力小，故B错误，D正确；样品在不同过程中受到的引力不同，但样品的质量相同，故C错误。] 3．(2024·新课标卷)天文学家发现，在太阳系外的一颗红矮星有两颗行星绕其运行，其中行星GJ1002c的轨道近似为圆，轨道半径约为日地距离的0.07倍，周期约为0.06年，则这颗红矮星的质量约为太阳质量的(　　) A． 　 B． C．10倍 　 D．1 000倍 B　[设红矮星质量为M1，行星质量为m1、半径为r1、周期为T1；太阳的质量为M2，地球质量为m2、到太阳距离为r2、周期为T2；根据万有引力定律有G＝m1r1，G＝m2r2，联立可得＝2，由于轨道半径约为日地距离的0.07倍，周期约为0.06年，可得≈0.1，故选B。] 4．(2023·山东卷)牛顿认为物体落地是由于地球对物体的吸引，这种吸引力可能与天体间(如地球与月球)的引力具有相同的性质，且都满足 F∝。已知地月之间的距离r大约是地球半径的60倍，地球表面的重力加速度为g，根据牛顿的猜想，月球绕地球公转的周期为(　　) A．30π 　 B．30π C．120π 　 D．120π C　[设比例系数为k，根据牛顿的猜想，地球表面物体的重力可表示为mg＝k，地球对月球的吸引力可表示为F月＝月球绕地球做匀速圆周运动，地球对月球的吸引力提供向心力，有F月＝又r＝60R，联立解得T＝C正确。] 5．中国科学院紫金山天文台近地天体望远镜发现了一颗近地小行星，这颗近地小行星直径约为 43 m。已知地球半径约为6 400 km，若该小行星第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度之比约为，则该行星和地球质量之比的数量级为(　　) A．10-15 　 B．10-16 C．10-17 　 D．10-18 C　[根据万有引力提供向心力有＝解得第一宇宙速度v＝，所以M＝，行星与地球的半径之比为＝≈，它们的第一宇宙速度之比为＝，代入数据计算可得行星和地球的质量之比约为＝2.1×10-17，故选C。] 6．天宫空间站运行过程中因稀薄气体阻力的影响，每经过一段时间要进行轨道修正，使其回到原轨道。修正前、后天宫空间站的运动均可视为匀速圆周运动，则与修正前相比，修正后天宫空间站运行的(　　) A．轨道半径减小 　 B．速率减小 C．向心加速度增大 　 D．周期减小 B　[天宫空间站运行过程中因稀薄气体阻力的影响，天宫空间站的机械能减小，天宫空间站轨道高度降低，则与修正前相比，修正后天宫空间站运行的轨道半径增大，故A错误；根据万有引力提供向心力G＝可得v＝，修正后天宫空间站运行的轨道半径增大，则速率减小，故B正确；根据牛顿第二定律G＝ma，可得a＝，修正后天宫空间站运行的轨道半径增大，则向心加速度减小，故C错误；根据万有引力提供向心力G＝mr，可得T＝2π，修正后天宫空间站运行的轨道半径增大，则周期增大，故D错误。故选B。] 7．海卫一是海王星的一颗卫星，它是太阳系中目前所发现的唯一具有逆行轨道的大卫星，其运行方向与海王星的自转方向相反。已知海王星极地表面的重力加速度为g0，海王星的半径为R，自转角速度为ω，海卫一的轨道半径为r，则在海卫一连续两次经过海王星赤道正上空的时间间隔内，海王星自转转过的角度为(　　) A．　　　　 B． C． 　 D． D　[设海卫一做圆周运动的周期为T，则＝，GM＝g0R2，联立解得 T＝，海卫一连续两次经过赤道正上空的时间间隔t＝，则在海卫一连续两次经过海王星赤道正上空的时间间隔内，海王星自转转过的角度 θ＝ωt＝，故选C。] 8．(2023·湖南卷)根据宇宙大爆炸理论，密度较大区域的物质在万有引力作用下，不断聚集可能形成恒星。恒星最终的归宿与其质量有关，如果质量为太阳质量的1～8倍将坍缩成白矮星，质量为太阳质量的10～20倍将坍缩成中子星，质量更大的恒星将坍缩成黑洞。设恒星坍缩前后可看成质量均匀分布的球体，质量不变，体积缩小，自转变快。不考虑恒星与其他物体的相互作用。已知逃逸速度为第一宇宙速度的倍，中子星密度大于白矮星。根据万有引力理论，下列说法正确的是(　　) A．同一恒星表面任意位置的重力加速度相同 B．恒星坍缩后表面两极处的重力加速度比坍缩前的大 C．恒星坍缩前后的第一宇宙速度不变 D．中子星的逃逸速度小于白矮星的逃逸速度 B　[由于恒星自转，不同纬度处重力加速度不同，A错误；根据两极处万有引力等于重力，即mg＝得g＝，已知恒星坍缩后质量不变、体积减小，则R减小，g变大，B正确；根据G＝，得第一宇宙速度v1＝，恒星坍缩后R变小，第一宇宙速度v1变大，C错误；由题意得逃逸速度v2＝，ρ∝，ρM2∝，代入v2得，v2∝，则中子星逃逸速度大于白矮星的逃逸速度，D错误。] 9．(2024·天津卷)(多选)卫星未发射时静置在赤道上随地球转动，地球半径为R。卫星发射后在地球同步轨道上做匀速圆周运动，轨道半径为r。则卫星未发射时和在轨道上运行时(　　) A．角速度之比为1∶1 B．线速度之比为∶ C．向心加速度之比为R∶r D．受到地球的万有引力之比为R2∶r2 AC　[卫星未发射时静置在赤道上随地球转动，角速度与地球自转角速度相等，卫星发射后在地球同步轨道上做匀速圆周运动，角速度与地球自转角速度相等，则卫星未发射时和在轨道上运行时角速度之比为1∶1，故A正确；根据题意，由公式v＝ωr可知，卫星未发射时和在轨道上运行时，由于角速度相等，则线速度之比为轨道半径之比R∶r，故B错误；根据题意，由公式an＝ω2r可知，卫星未发射时和在轨道上运行时，由于角速度相等，则向心加速度之比为轨道半径之比R∶r，故C正确；根据题意，由公式F＝可知，卫星未发射时和在轨道上运行时，受到地球的万有引力之比与轨道半径的平方成反比，即r2∶R2，故D错误。] 10．若地球半径为R，把地球看作质量分布均匀的球体。“蛟龙号”下潜深度为d，“天宫一号”轨道距离地面高度为h，“蛟龙”号所在处与“天宫一号”所在处的重力加速度大小之比为(质量分布均匀的球壳对内部物体的万有引力为零)(　　) A． 　 B． C． 　 D． C　[设地球的密度为ρ，则在地球表面，物体受到的重力和地球的万有引力大小似近相等，有g＝。由于地球的质量为M＝ρ·πR3，所以重力加速度的表达式可写成g＝＝＝πGρR。质量分布均匀的球壳对内部物体的万有引力为零，故在深度为d的地球内部，受到地球的万有引力即为半径等于(R－d)的球体在其表面产生的万有引力，故“蛟龙号”的重力加速度g′＝πGρ(R－d)，所以有＝；根据万有引力提供向心力有G＝ma，“天宫一号”所在处的重力加速度为a＝，所以＝，＝，故C正确，A、B、D错误。] 11．(多选)A、B两颗卫星在同一平面内沿同一方向绕地球做匀速圆周运动，它们之间的距离Δr随时间变化的关系如图所示。已知地球的半径为0.8r，引力常量为G，卫星A的线速度大于卫星B的线速度，不考虑A、B之间的万有引力，则下列说法正确的是(　　) A．卫星A的加速度大于卫星B的加速度 B．卫星A的发射速度可能大于第二宇宙速度 C．地球的质量为 D．地球的第一宇宙速度为 ACD　[卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，设轨道半径为r，则有＝，解得v＝，故半径越小，线速度越大，因为卫星A的线速度大于卫星B的线速度，故rA<rB，由＝ma，解得a＝G，因为rA<rB，所以aA>aB，A正确；第二宇宙速度是卫星摆脱地球引力束缚所必须具有的速度，故卫星发射速度大于第二宇宙速度时，卫星不能绕地球做匀速圆周运动，B错误；由题图可知rA＋rB＝5r，rB－rA＝3r，联立可得rA＝r，rB＝4r，由题图可知每隔时间T两卫星距离最近，设A、B的周期分别为TA、TB，则有T＝2π，由开普勒第三定律有＝，联立可得TA＝T，TB＝7T，由G＝mBrB，故地球质量为M＝，C正确；第一宇宙速度是近地轨道卫星最大的运行速度，由G＝，可得v＝＝，D正确。] 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$