16 第四章 第2节 抛体运动-【名师导航】2026年高考物理一轮总复习教师用书（通用版）

第2节　抛体运动 一、平抛运动 1．定义 将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，物体只在重力作用下所做的运动。 2．性质 加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线。 3．条件：v0≠0，沿水平方向；只受重力作用。 4．研究方法 平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。 5．基本规律 如图所示，以抛出点O为坐标原点，以初速度v0的方向(水平方向)为x轴正方向，竖直向下的方向为y轴正方向，建立平面直角坐标系xOy。 (1)位移关系 (2)速度关系 二、斜抛运动 1．定义：将物体以初速度v0斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动。 2．性质：斜抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线。 3．研究方法：运动的合成与分解 (1)水平方向：匀速直线运动； (2)竖直方向：匀变速直线运动。 易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)以一定的初速度水平抛出的物体的运动是平抛运动。 (　×　) (2)平抛运动的轨迹是抛物线，速度方向时刻变化，加速度方向也可能时刻变化。 (　×　) (3)做平抛运动的物体在任意相等的时间内速度的变化量是相同的。 (　√　) (4)平抛运动中速度和加速度方向之间的夹角一直减小。 (　√　) (5)两个做平抛运动的物体，初速度大的落地时速度大。 (　×　) (6)做平抛运动的物体初速度越大，在空中运动的时间越短。 (　×　) (7)无论初速度是斜向上方还是斜向下方的斜抛运动都是匀变速曲线运动。 (　√　) 　平抛运动的规律及应用　 1．平抛运动的时间和水平射程 (1)运动时间：由t＝知，时间取决于下落高度h，与初速度v0无关。 (2)水平射程：x＝v0t＝v0，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定。 2．速度和位移的变化规律 (1)速度的变化规律 ①任一时刻的速度水平分量均等于初速度v0。 ②任一相等时间间隔Δt内的速度变化量方向竖直向下，大小Δv＝Δvy＝gΔt(如图所示)。 (2)位移变化规律 ①任一相等时间间隔内，水平位移相同，即 Δx＝v0Δt。 ②连续相等的时间间隔Δt内，竖直方向上的位移差不变，即Δy＝g(Δt)2。 3．平抛运动的两个重要推论 (1)做平抛(或类平抛)运动的物体任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图中A点和B点所示，即xB＝。 (2)做平抛(或类平抛)运动的物体在任意时刻任意位置处，设其末速度方向与水平方向的夹角为α，位移与水平方向的夹角为θ，则 tan α＝2tan θ。 [典例1]　(2024·北京卷)如图所示，水平放置的排水管满口排水，管口的横截面积为S，管口离水池水面的高度为h，水在水池中的落点与管口的水平距离为d。假定水在空中做平抛运动，已知重力加速度为g，h远大于管口内径。求： (1)水从管口到水面的运动时间t； (2)水从管口排出时的速度大小v0； (3)管口单位时间内流出水的体积Q。 解析：(1)水在空中做平抛运动，由平抛运动规律得，竖直方向 h＝gt2 解得水从管口到水面的运动时间 t＝。 (2)由平抛运动规律得，水平方向 d＝v0t 解得水从管口排出时的速度大小 v0＝d。 (3)管口单位时间内流出水的体积 Q＝Sv0＝Sd。 答案：(1)　(2)d　(3)Sd [跟进训练] 1．(2024·湖北卷)如图所示，有五片荷叶伸出荷塘水面，一只青蛙要从高处荷叶跳到低处荷叶上。设低处荷叶a、b、c、d和青蛙在同一竖直平面内，a、b高度相同，c、d高度相同，a、b分别在c、d正上方。将青蛙的跳跃视为平抛运动，若以最小的初速度完成跳跃，则它应跳到(　　) A． 荷叶a 　 B． 荷叶b C． 荷叶c 　 D． 荷叶d C　[青蛙做平抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向自由落体，则有 x＝vt，h＝gt2，可得v＝，因此水平位移越小，竖直高度越大，初速度越小，因此跳到荷叶c上面，故选C。] 2．(多选)有一圆柱形枯井，过其中心轴OA的剖面图如图所示，竖直井壁MN、PQ间距为l。从离井底高度一定的O点垂直井壁以初速度v0水平抛出一个小球，小球与井壁上B点、C点各发生一次弹性碰撞后恰好落在井底的A点。设小球从B点到C点的时间为t1，C点到A点的时间为t2，所有摩擦和阻力均不计，碰撞时间不计。下列说法正确的是(　　) A．t1∶t2＝2∶1 B．小球在BC段受到的重力平均功率比CA段大 C．仅将竖直井壁的间距增大为原来的3倍，仍在O点将小球以速度v0水平抛出，则小球与井壁碰撞3次后落在A点 D．仅将初速度增大为原来的3倍，仍在O点将小球水平抛出，则小球与井壁碰撞6次后落在A点 AD　[小球在运动过程中，水平方向上做匀速直线运动，BC、CA的水平位移之比为 2∶1, t1∶t2＝2∶1，故A正确；由初速度为0的匀变速直线运动规律可令hOB＝h，hBC＝3h＋5h＝8h，hCA＝7h，由平均功率的定义可得PBC＝＝4，PCA＝＝7，则PBC<PCA，故B错误；由于OA间高度不变，小球落到井底时间不变，仅将间距增大为原来的3倍而仍在O点以速度v0水平抛出小球，小球水平路程仍为2l，不会落在A点，故C错误；仅将初速度增大为3v0，小球从抛出到落到井底，在水平方向通过的路程为6l，根据对称性，小球与井壁碰撞6次后落在A点，故D正确。] 　有约束条件的平抛运动　 　斜面约束的平抛运动 运动情境 物理量分析 vy＝gt，tan θ＝＝→t＝ x＝v0t，y＝gt2→tan θ＝→t＝ tan θ＝＝→t＝ 落到斜面上时合速度与水平方向的夹角为φ，tan φ＝＝＝＝2tan θ，α＝φ－θ [典例2]　(多选)如图所示，固定斜面PO、QO与水平面MN的夹角均为45°，现由PO斜面上的A点分别以v1、v2先后沿水平方向抛出两个小球(可视为质点)，不计空气阻力，其中以v1抛出的小球恰能垂直于QO落于C点，飞行时间为t，以v2抛出的小球落在PO斜面上的B点，且B、C在同一水平面上，则(　　) A．落于B点的小球飞行时间为t B．v2＝gt C．落于C点的小球的水平位移为gt2 D．A点距水平面MN的高度为gt2 思路点拨：解此题要把握以下关键信息 (1)小球恰能垂直于QO落于C点，则此时小球两分速度大小相等。 (2)两小球的落点B、C在同一水平面上，飞行时间相等。 (3)两小球的水平分位移的差值与B、C两点的距离相等。 ACD　[ 落于C点的小球速度垂直于QO，则两分速度大小相等，即v1＝gt，得出水平位移为x1＝v1t＝gt2，故选项C正确；落于B点的小球分解位移如图所示，其中B、C在同一水平面，故飞行时间都为t，由图可得tan 45°＝＝，所以v2＝，故选项A正确，B错误；设C点距水平面MN的高度为h，由几何关系知x1＝2h＋v2t，联立以上几式可得h＝，故A距水平面MN的高度为H＝h＋＝，故选项D正确。] 　曲面约束的平抛运动 运动情境 物理量分析 从圆心处抛出落到半径为R的圆弧上，即位移大小等于半径R x＝v0t，y＝ gt2 x2＋y2＝R2 从半径为R的圆弧上与圆心等高处某点抛出落到圆弧上，水平方向：R±＝v0t；竖直方向：h＝gt2 tan θ＝＝→t＝ [典例3]　如图所示，AB是半圆弧的一条水平直径，O是圆弧的圆心，C是圆弧上一点，∠OAC＝30°，在A、O两点分别以一定的初速度v1、v2水平抛出两个小球，结果都落在C点，则两个球抛出的初速度v1、v2的大小之比为(　　) A．v1∶v2＝2∶1 　 B．v1∶v2＝3∶1 C．v1∶v2＝3∶2 　 D．v1∶v2＝4∶1 B　[两球下落的高度相同，根据t＝知，下落的时间相同，设圆弧的半径为R，根据几何关系可得∠COB＝60°，则A点抛出的球平抛运动的水平位移x1＝R＋R cos 60°＝1.5R，从O点抛出的球做平抛运动的水平位移为x2＝x1－R＝0.5R，根据v＝知v1∶v2＝3∶1，故选项B正确。] [跟进训练] 1．如图所示，1、2两个小球以相同的速度v0水平抛出。球1从左侧斜面抛出，经过时间t1落回斜面上，球2从某处抛出，经过时间t2恰能垂直撞在右侧的斜面上。已知左、右两侧斜面的倾角分别为α＝30°、β＝60°，则(　　) A．t1∶t2＝1∶2 　 B．t1∶t2＝1∶3 C．t1∶t2＝2∶1 　 D．t1∶t2＝3∶1 C　[由题意可得，对球1，有tan α＝＝，对球2，有tan β＝，又tan α·tan β＝1，联立解得t1∶t2＝2∶1，A、B、D错误，C正确。] 2．如图所示，P是水平面上的圆弧凹槽，从高台边B点以某速度v0水平飞出的小球，恰能从固定在某位置的凹槽的圆弧轨迹的左端A点沿圆弧切线方向进入轨道，O是圆弧的圆心，θ1是OA与竖直方向的夹角，θ2是BA与竖直方向的夹角，则(　　) A．＝2 　 B．＝2 C．tan θ1tan θ2＝2 　 D．＝2 C　[由题图知，速度方向与水平方向的夹角为θ1，则tan θ1＝＝，位移方向与竖直方向的夹角为θ2，则tan θ2＝＝＝，所以tan θ1tan θ2＝2，故选C。] 　平抛中的临界、极值问题　 1．临界点的确定 (1)若题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在着临界点。 (2)若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在着“起止点”，而这些“起止点”往往就是临界点。 (3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值点，这些极值点也往往是临界点。 2．求解平抛运动临界问题的一般思路 (1)找出临界状态对应的临界条件。 (2)分解速度或位移。 (3)若有必要，画出临界轨迹。 [典例4]　如图所示，排球场总长为18 m，设球网高度为2 m，运动员站在离网3 m的线上，竖直向上跳起正对球网将球水平击出。(不计空气阻力，g取10 m/s2) (1)设击球点在3 m线正上方高度为2.5 m处，试问击球的速度在什么范围内才能使球既不触网也不越界？ (2)若击球点在3 m线正上方的高度小于某个值，那么无论击球的速度多大，球不是触网就是越界，试求这个高度。 解析：(1)如图甲所示，设球刚好擦网而过，则击球点到擦网点的水平位移x1＝3 m 竖直位移y1＝h2－h1＝(2.5－2) m＝0.5 m 根据位移关系x＝vt，y＝gt2 可得v＝x 代入数据可得v1＝3 m/s，即所求击球速度的下限 设球刚好打在边界线上，则击球点到落地点的水平位移x2＝12 m 竖直位移y2＝h2＝2.5 m 代入速度公式v＝x 可求得v2＝12 m/s，即所求击球速度的上限 欲使球既不触网也不越界，则击球速度v应满足 m/s<v≤12 m/s。 (2)设击球点高度为h3时，球恰好既触网又压线，如图乙所示 设此时球的初速度为v3，击球点到触网点的水平位移x3＝3 m 竖直位移y3＝h3－h1＝h3－2 m 代入速度公式v＝x 可得v3＝3 同理对压线点有x4＝12 m，y4＝h3 代入速度公式v＝x 可得v3＝12 联立解得h3＝ m，即当击球高度小于 m时，无论球被水平击出的速度多大，球不是触网就是越界。 答案：(1)3 m/s<v≤12 m/s　(2) m [跟进训练] 1．(2024·海南卷)在跨越河流表演中，一人骑车以25 m/s的速度水平冲出平台，恰好跨越长x＝25 m的河流落在河对岸平台上，已知河流宽度25 m，不计空气阻力，取g＝10 m/s2，则两平台的高度差h为(　　) A．0.5 m 　 B．5 m C．10 m 　 D．20 m B　[车做平抛运动，设运动时间为t，竖直方向h＝gt2，水平方向d＝v0t，其中d＝25 m、v0＝25 m/s，解得h＝5 m，故选B。] 2．将扁平的石子向水面快速抛出，石子可能会在水面上一跳一跳地飞向远方，俗称“打水漂”。要使石子从水面跳起产生“水漂”效果，石子接触水面时的速度方向与水面的夹角不能大于θ。为了观察到“水漂”，一同学将一石子从距水面高度为h处水平抛出，抛出速度的最小值为多少？(不计石子在空中飞行时的空气阻力，重力加速度大小为g) 解析：设石子抛出时的水平速度为v0，接触水面时竖直方向的速度为vy 不计空气阻力，石子做平抛运动 竖直方向有＝2gh 恰好可以观察到“水漂”时，有tan θ＝ 联立解得v0＝。 答案： 　类平抛运动及斜抛运动　 　类平抛运动 1．受力特点 物体所受合力为恒力，且与初速度的方向垂直。 2．运动特点 在初速度v0方向做匀速直线运动，在合力方向做初速度为0的匀加速直线运动，加速度 a＝。 3．求解方法 (1)常规分解法：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合力方向)的匀加速直线运动，两分运动彼此独立，互不影响，且与合运动具有等时性。 (2)特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度分解为ax、ay，初速度v0分解为vx、vy，然后分别在x、y方向列方程求解。 [典例5]　如图所示，有一倾角为30°足够宽的光滑斜面，斜面长l为10 m，一小球从斜面顶端以10 m/s的速度沿水平方向抛出(g取10 m/s2)，求： (1)小球沿斜面滑到底端的时间t和沿v0方向水平位移x的大小； (2)小球到达斜面底端时的速度v的大小。 解析：(1)在斜面上小球沿v0方向做匀速直线运动，在沿斜面向下方向做初速度为零、加速度为a的匀加速运动，由牛顿第二定律得ma＝mg sin 30°，小球的加速度a＝g sin 30°，沿v0方向水平位移x＝v0t，沿斜面向下方向有l＝at2，解得运动时间 t＝ s＝2 s，所以沿v0方向水平位移x＝v0t＝20 m。 (2)小球到达斜面底端时，速度v＝ m/s＝ m/s。 答案：(1)2 s　20 m　(2)10 m/s 　斜抛运动 1．斜抛运动的射高和射程 以斜抛运动的抛出点为坐标原点O，水平向右为x轴的正方向，竖直向上为y轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系xOy。 (1)斜抛运动的飞行时间：t＝＝。 (2)射高：h＝＝。 (3)射程：s＝v0cosθ·t＝，对于给定的v0，当θ＝45°时，射程达到最大值，smax＝。 2．解题技巧 (1)斜上抛运动从抛出点到最高点的运动，可逆过程分析为平抛运动。 (2)分析完整的斜上抛运动，可根据对称性求解。 [典例6]　(2024·山东卷)(多选)如图所示，工程队向峡谷对岸平台抛射重物，初速度v0大小为20 m/s，与水平方向的夹角为30°，抛出点P和落点Q的连线与水平方向夹角为30°，重力加速度大小取10 m/s2，忽略空气阻力。重物在此运动过程中，下列说法正确的是(　　) A．运动时间为2s B．落地速度与水平方向夹角为60° C．重物离PQ连线的最远距离为10 m D．轨迹最高点与落点的高度差为45 m BD　[将初速度分解为沿PQ方向分速度v1和垂直PQ方向分速度v2，则有v1＝v0cos 60°＝10 m/s，v2＝v0sin 60°＝ m/s，将重力加速度分解为沿PQ方向分加速度a1和垂直PQ方向分加速度a2，则有a1＝g sin 30°＝5 m/s2，a2＝g cos 30°＝ m/s2，垂直PQ方向根据对称性可得重物运动时间为t＝2＝4 s，重物离PQ连线的最远距离为dmax＝＝10 m，故A、C错误；重物落地时竖直分速度大小为vy＝－v0sin 30°＋gt＝30 m/s，则落地速度与水平方向夹角正切值为tan θ＝＝＝，可得θ＝60°，故B正确；从抛出到最高点所用时间为t1＝＝1 s，则从最高点到落地所用时间为t2＝t－t1＝3 s，轨迹最高点与落点的高度差为h＝＝45 m，故D正确。] [跟进训练] 1．(2024·江苏卷)喷泉a、b出射点高度相同，形成如图所示的形状，不计空气阻力，则喷泉a、b的(　　) A．加速度相同 B．初速度相同 C．最高点的速度相同 D．在空中的时间相同 A　[不计空气阻力，喷泉喷出的水在空中只受重力，加速度均为重力加速度，故A正确；设喷泉喷出的水竖直方向的分速度为vy，水平方向速度为vx，竖直方向，根据对称性可知在空中运动的时间t＝，可知tb>ta，D错误；最高点的速度等于水平方向的分速度vx＝，由于水平方向的位移大小关系未知，无法判断最高点的速度大小关系，根据速度的合成可知无法判断初速度的大小，B、C错误。] 2．2023年9月29日，在杭州亚运会田径项目女子铅球决赛中，中国选手夺得金牌，获得亚运会三连冠。如图所示是铅球的运动简化模型：铅球抛出时离地的高度h＝1.928 m，铅球落地点到抛出点的水平距离x＝20 m，铅球抛出时的速度v0与水平方向的夹角θ＝37°，已知铅球的质量为m＝4 kg，不计空气阻力，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g＝10 m/s2，＝1.62，＝1.84，则(　　) A．铅球运动到最高点时速度为0 B．铅球在空中运动的时间为1.62 s C．从抛出到落地过程中铅球速度的变化量是18.4 m/s D．铅球落地前任意相等时间内速度的变化量不相等 C　[铅球做斜上抛运动，运动到最高点时竖直方向速度为0，水平方向还有速度，A错误；从抛出点到落地点，水平方向x＝v0·cos 37°·t，竖直方向：h＝－v0sin 37°·t＋gt2，解得t＝1.84 s，B错误；加速度为重力加速度g，整个过程小球速度的变化量Δv＝gt＝18.4 m/s，C正确；加速度恒定，小球落地前任意相等时间内速度的变化量相等，大小为gΔt，方向竖直向下，D错误。] 课时分层作业(九) 1．如图所示，刚性圆柱形容器，上端开口，容器内侧高h＝5 m，内径D＝1.6 m, 现有一刚性小球(视为质点)从容器上端内边缘沿直径方向以v0的初速度水平抛出，小球恰好可以击中容器底部中心位置。已知重力加速度g＝10 m/s2, 忽略空气阻力，小球与容器内壁碰撞视为弹性碰撞(碰撞时间不计)，则小球的初速度v0可能是(　　) A．2 m/s 　 B．4 m/s C．6 m/s 　 D．8 m/s B　[根据平抛运动的规律可知，竖直方向有h＝gt2，解得t＝＝1 s，而根据题意，水平方向有D＝v0t(n＝0、1、2、…)，解得v0＝，因此v0的可能值为0.8 m/s、2.4 m/s、4.0 m/s、5.6 m/s、7.2 m/s、8.8 m/s等，故选B。] 2．(2024·浙江卷1月选考)如图所示，小明取山泉水时发现水平细水管到水平地面的距离为水桶高的两倍，在地面上平移水桶，水恰好从桶口中心无阻挡地落到桶底边沿A。已知桶高为h，直径为D，则水离开出水口的速度大小为(　　) A． 　 B． C． 　 D．D C　[设出水孔到水桶中心距离为x，则x＝；落到桶底A点时x＋＝，解得v0＝，故选C。] 3．如图所示，在斜面顶端a处以速度va水平抛出一小球，经过时间ta恰好落在斜面底端c处。今在c点正上方与a等高的b处以速度vb水平抛出另一小球，经过时间tb恰好落在斜面的三等分点d处。若不计空气阻力，下列关系式正确的是(　　) A．ta＝tb 　 B．ta＝3tb C．va＝vb 　 D．va＝vb C　[a、b两球下降的高度之比为3∶1，根据h＝ 可知，t＝，则a、b两球运动的时间关系为ta＝tb，故A、B错误；因为a、b两球水平位移之比为3∶2，由 v0＝得va＝vb，故C正确，D错误。] 4．(2025·汕头模拟)如图所示，在竖直平面中，有一根水平放置的，长度为L的不可伸长的轻绳，绳的一端固定在O点，另一端连有质量为m的小球。现从A点静止释放小球，当小球运动到O点正下方B点时，绳子突然断裂。B点位于斜面顶端，斜面足够长，倾角为θ，则下面的说法正确的是(　　) A．小球落至斜面所需的时间为2 B．小球落至斜面所需的时间为tan θ C．小球落至斜面C点与B点的距离为4L tan θ D．小球落至斜面C点与B点的距离为4L D　[小球在AB过程中，由动能定理得mgL＝，解得vB＝，小球BC过程做平抛运动，有tan θ＝＝＝，解得t＝＝＝，所以从A点静止释放小球，小球落至斜面所需的时间大于t，故A，B错误；小球BC过程做平抛运动，有y＝gt2＝＝4Ltan 2θ，小球落至斜面C点与B点的距离为s＝＝＝，故C错误，D正确。] 5．(2025·重庆模拟)如图所示，网球比赛中，运动员甲某次在B点直线救球倒地后，运动员乙将球从距水平地面上D点高度为h的A点水平击出，落点为C。乙击球瞬间，甲同时起身沿直线BC奔跑，恰好在球落地时赶到C点。已知BC⊥BD，BD＝d，BC＝l，网球和运动员甲均可视为质点，忽略空气阻力，则甲此次奔跑的平均加速度大小与当地重力加速度大小之比为(　　) A． 　 B． C． 　 D． A　[设甲此次奔跑的平均加速度大小为a，当地重力加速度大小为g，对甲有at2＝l，对网球有gt2＝h，联立可得＝，故选A。] 6．(2023·湖南卷)如图(a)所示，我国某些农村地区人们用手抛撒谷粒进行水稻播种。某次抛出的谷粒中有两颗的运动轨迹如图(b)所示，其轨迹在同一竖直平面内，抛出点均为O，且轨迹交于P点，抛出时谷粒1和谷粒2的初速度分别为v1和v2，其中v1方向水平，v2方向斜向上。忽略空气阻力，关于两谷粒在空中的运动，下列说法正确的是(　　) A．谷粒1的加速度小于谷粒2的加速度 B．谷粒2在最高点的速度小于v1 C．两谷粒从O到P的运动时间相等 D．两谷粒从O到P的平均速度相等 B　[忽略空气阻力，抛出后的谷粒1和谷粒2都只受重力作用，所以两谷粒的加速度相同，都是重力加速度g，A错误；从O到P的过程中，两谷粒水平位移相同，根据竖直方向的分运动可知，谷粒2从O到P的运动时间长，故t1<t2，C错误；从O到P的过程中，两谷粒水平位移x＝v1t1＝v2xt2，因为t1<t2，所以v1>v2x，故谷粒2在最高点的速度(水平分速度v2x)小于v1，B正确；两谷粒从O到P位移相同，时间不同，平均速度不同，D错误。] 7．如图所示，一小球从一半圆轨道左端A点正上方某处开始做平抛运动(小球可视为质点)，飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B点，O为半圆轨道圆心，半圆轨道半径为R，OB与水平方向的夹角为60°，重力加速度为g，不计空气阻力，则小球抛出时的初速度为(　　) A． 　 B． C． 　 D． A　[小球飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B点，可知小球运动到B点时速度方向与水平方向的夹角为30°，设位移方向与水平方向的夹角为θ，则tan θ＝＝，由tan θ＝＝，可得竖直方向的位移y＝R，而＝2gy，tan 30°＝，联立解得v0＝，选项A正确。] 8．(2025·晋中模拟)如图甲为某学校举行定点投篮比赛的场景，某同学正在进行定点投篮，投出的篮球在空中划出一道漂亮的弧线，穿网而过。如图乙为篮球在空中的运动轨迹，在篮球运动所在的竖直平面内建立直角坐标系xOy，篮球从A点投出，A、B、C、D是篮球运动轨迹上的4个点，C点为篮球运动的最高点，D点是篮筐位置，A、B、D点的坐标分别为(－2L，－3L)、(－L，0)、(L，0)。篮球质量为m，重力加速度大小为g，空气阻力忽略不计。求： (1)C点的纵坐标yC； (2)该同学将篮球投出时，篮球的速度v。 解析：(1)篮球做斜抛运动，由图乙可知从A到B、B到C、C到D的水平距离相等，水平方向分运动为匀速直线运动，可知，相邻位置的运动时间相等，设为t，利用逆向思维则有 yC＝gt2，3L＋yC＝g(2t)2 解得yC＝L。 (2)设该同学在A点将篮球抛出的水平分速度和竖直分速度分别为vx，和vy，则有 L＝＝2g·(3L＋yC)， 篮球的速度v＝ 结合上述解得v＝ 设将篮球投出时，篮球的速度与水平方向夹角为α，则有tan α＝ 解得tan α＝4。 答案：(1)L　(2)，速度与水平方向夹角的正切值为4 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$