2.6 应用一元二次方程 同步练习 2025-2026学年北师大版九年级数学上册

2.6 应用一元二次方程 同步练习 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1.中国古代数学家杨辉的田亩比类乘除捷法有这么一道题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”意思是：一块矩形田地的面积为平方步，只知道它的长与宽共步，问它的长比宽多多少步？经过计算，你的结论是：长比宽多(    ) A. 步 B. 步 C. 步 D. 步 2.受新冠肺炎疫情影响，某企业生产总值从月份的万元，连续两个月降至万元，设平均降低率为，则可列方程为(    ) A. B. C. D. 3.某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了条航线，则这个航空公司共有飞机场(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 4.某机械厂七月份生产零件万个，第三季度生产零件万个，如果每月的增长率相同，则(    ) A. B. C. D. 5.新年来临之际，某班全体同学互赠新年贺卡，共赠贺卡张，设全班共有名学生，那么根据题意可列方程(    ) A. B. C. D. 6.如图，在长为米、宽为米的矩形草地上修同样宽的路，余下部分种植草坪．要使草坪的面积为平方米，设道路的宽为米，则可列方程为(    ) A. B. C. D. 7.小强为活动小组购买统一服装，经理给予如下优惠：如果一次性购买不超过件，单价为元，如果一次性购买超过件，那么每多买一件，购买的所有服装的单价降低元，但单价最终不低于元．小强一次性购买这种服装花费元，则他购买了这种服装的件数是(    ) A. 件 B. 件 C. 件或件 D. 件 8.如图，在一张长宽分别为和的长方形纸板上剪去四个边长为的小正方形，并用它做成一个无盖的小长方体盒子，若要使长方体盒子的底面积为，求的值．根据题意，可列得的方程为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9.某蛋糕公司决定下调盒装蛋糕的价格，经过两次降价，每盒由元调至元，若平均每次降价的百分率为，由题意可列方程______． 10.某校去年对实验器材的投资为万元，预计今明两年的投资总额为万元，若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是，则根据题意可列方程为______． 11.如图，某小区要在长为，宽为的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，则小路宽为______ 12.某产品每件的生产成本为元，销售价元，经市场预测，接下来的第一个月销售价格将下降，第二个月又将回升若要使两个月以后每件的销售利润不变，设每个月平均降低成本的百分率为，根据题意可列方程______． 13.在--次商品交易会上，参加交易会的每两家公司之间都要签订一份合同，会议结束后统计共签订了份合同，有______家公司出席了这次交易会？ 14.在中，，厘米，厘米，点从点开始沿边向点以厘米秒的速度移动，点从点开始沿边向点以厘米秒的速度移动，如果点，分别从，两点同时出发，则经过______秒钟后，，两点间距离为厘米． 15.如图，在矩形中，，，点从点沿边向点以的速度移动；同时，点从点沿边向点以的速度移动，设运动的时间为秒，有一点到终点运动即停止，当______时，． 16.如图，某景区准备在一块边长为米的大正方形花园中间修建一个正方形的休闲场所如图所示，要求修建四条等宽的矩形小道连接两个正方形的四边若小道的长是宽的倍，且花草种植区域阴影部分的面积为平方米设小道宽度为米，根据题意，列出关于的一元二次方程是          ． 三、解答题：本题共6小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感． 每轮传染中平均一个人传染了几个人 如果按照这样的速度传染，那么经过三轮后会有多少人患流感 18.本小题分 大名童装平均每天可售出件，每件盈利元．因新冠肺炎影响，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存．经市场调查发现：如果每件童装每降价元，那么平均每天就可多售出件．如果要盈利元，那每件降价多少元？ 19.本小题分 某一皮衣专卖店销售某款皮衣，其进价为每件元，经市场调查发现，按每件元出售，平均每天可售出件，每件降价元，平均每天的销售量可增加件，皮衣专卖店若想要平均每天获利元，则每件皮衣定价为多少元？ 以下是小明和小红的两种不同设法，请帮忙填完整： 小明：设每件皮衣降价元，由题意，可列方程：______． 小红：设每件皮衣定价为元，由题意，可列方程：______． 请写出一种完整的解答过程． 20.本小题分 如图，某校要在长为，宽为的长方形操场上修筑宽度相同的道路图中阴影部分，在余下的空白部分种上草坪，要使草坪的面积为，求道路的宽． 21.本小题分 如图，某工程队在一块工地一边靠墙处，用米的铁栅栏围成两个长方形的花园，两个长方形的总面积为平方米；已知这堵墙长米，那么图中花园的边与的长度分别为多少米？ 22.本小题分 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售件，每件盈利元，为了扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件衬衫每降价元，商场平均每天可多售出件． 若每件衬衫降价元，则该商场每天可盈利多少元？ 若商场平均每天要盈利元，且让顾客尽可能多得实惠，则每件衬衫应降价多少元？ 商场平均每天可能盈利元吗？请说明理由． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：设矩形田地的长为步，则宽为步， 根据题意得：， 整理得：， 解得：或舍去， ． 故选A． 设矩形田地的长为步，则宽为步，由矩形的面积长宽，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，将其代入中，即可求出结论． 本题考查了一元二次方程的应用以及矩形的面积，根据矩形的面积公式，列出关于的一元二次方程是解题的关键． 2.【答案】  【解析】略 3.【答案】  【解析】解：设这个航空公司共有飞机场个， 依题意，得：， 解得：，不合题意，舍去． 故选：． 设这个航空公司共有飞机场个，根据“每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了条航线”，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 4.【答案】  【解析】【分析】 本题考查一元二次方程的应用．由七月份生产零件万个，每月的增长率相同，则八月生产的零件数为万个，九月生产的零件数为万个，然后根据第三季度共生产零件七月生产的零件数八月生产的零件数九月生产的零件数为等量关系列出方程即可得． 【解答】 解：由题意八月生产的零件数为万个，九月生产的零件数为万个， 根据题意得． 故选C． 5.【答案】  【解析】【分析】 本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，利用“全体同学互赠新年贺卡，共赠贺卡张”列出方程即可． 【解答】 解：全班共有名学生，向班上其他同学互赠新年贺卡， 每人赠送出张贺卡， 共赠贺卡张， ． 6.【答案】  【解析】解：设道路的宽为米，根据题意得． 故选：． 设道路的宽为米，利用“道路的面积”作为相等关系可列方程． 本题考查的是根据实际问题列一元二次方程．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键． 7.【答案】  【解析】设小强购买了这种服装件， 由题意得： ，  解之，得，， ， ， ， 故选：． 设小强购买了件这种服装，则每件的价格为元，根据总价单价数量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 8.【答案】  【解析】【分析】 本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程根据题意可知裁剪后的底面的长为，宽为，从而可以列出相应的方程，本题得以解决． 【解答】 解：由题意可得，． 故选B． 9.【答案】  【解析】解：依题意得， 故答案为：． 利用经过两次降价后的价格原价平均每次降价的百分率，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 10.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是，根据预计今明两年的投资总额为万元，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【解答】 解：设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是， 依题意，得：． 故答案为：． 11.【答案】  【解析】解：设小路宽为， 根据题意得：， 解得或舍去， 小路宽为； 故答案为：． 设小路宽为，根据花坛所占面积为空地面积的一半得：，即可解得答案． 本题考查医院二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程解决问题． 12.【答案】  【解析】解：设每个月平均降低成本的百分率为， 依题意，得：， 整理得． 故答案为：． 设每个月平均降低成本的百分率为，根据利润售价成本价结合半年以后的销售利润为元，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 13.【答案】  【解析】解：设有家公司出席了这次交易会，依题意，得 整理得： 解得：，舍去 答：共有家公司参加商品交易会． 故答案为：． 每家公司都与其他公司鉴定了一份合同，设有家公司参加，则每个公司要签份合同，签订合同共有份，由此列出方程解答即可． 考查了一元二次方程的应用，甲乙之间互签合同，只能算一份，本题属于不重复记数问题，类似于若干个人，每两个人之间都握手，握手总次数；或者平面内，个点没有三点共线之间连线，所有线段的条数．解答中注意舍去不符合题意的解． 14.【答案】  【解析】解：设秒后， 则，， ， ， ， 解得或舍弃． 答：秒后间的距离为， 故答案为：． 设秒后，则，，在直角中，根据勾股定理可求的值． 本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 15.【答案】或  【解析】解：当运动时间为秒时，则，，，， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． 故答案为：或． 当运动时间为秒时，则，，，，根据，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 16.【答案】  【解析】解：由题意得：， 即， 故答案为：． 一个阴影矩形的长为米，根据花草种植区域阴影部分的面积为平方米，列出一元二次方程即可． 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 17.【答案】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人， 根据题意，得， 解得，不符合题意，舍去． 答：每轮传染中平均一个人传染了个人． 根据题意，得人． 答：经过三轮后会有人患流感．   【解析】【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，能够正确表示每轮感染中，有多少台电脑被感染是解决此题的关键． 设平均一人传染了人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感，列方程求解． 根据中所求数据，进而表示出经过三轮传染后患上流感的人数． 18.【答案】解：设每件降价元，则平均每天可售出件， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：，． 又要尽量减少库存， ． 答：每件降价元．  【解析】设每件降价元，则平均每天可售出件，根据总利润每件童装获得的利润销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论． 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 19.【答案】    【解析】解：小明：设每件皮衣降价元，则平均每天的销售量为件， 依题意，得：； 小红：设每件皮衣定价为元，则平均每天的销售量为件， 依题意，得：． 故答案为：；． 选择小明的的设法，则， 整理，得：， 解得：，， 或． 答：每件皮衣定价为元或元． 选择小红的设法，则， 整理，得：， 解得：，． 答：每件皮衣定价为元或元． 根据总利润每件皮衣的利润销售数量，即可得出关于的一元二次方程； 选择小明小红的设法，解方程即可求出结论． 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 20.【答案】解法一：原图经过平移转化为图． 设道路宽为米， 根据题意，得． 整理得． 解得不合题意，舍去，． 答：道路宽为米． 解法二：原图经过平移转化为图． 设道路宽为米， 根据题意， 整理得． 解得不合题意，舍去，． 答：道路宽为米．  【解析】可以根据矩形的性质，先将道路进行平移，然后根据矩形的面积公式列方程求解． 此题考查了一元二次方程的应用，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式．本题中按原图进行计算比较复杂时，可根据图形的性质适当的进行转换化简，然后根据题意列出方程求解． 21.【答案】解：设米，则米． 由题意，得：， 整理，得：， 解得：或， 当时，符合题意． 不符合题意． 答：的长度为米，的长为米．  【解析】设米，则米，然后根据长方形的面积公式列出方程求解即可． 本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是用表示的长，然后根据长方形的面积公式列出方程． 22.【答案】解：元． 答：商场每件降价元，商场每天可盈利元； 设每件衬衫应降价元， 根据题意，得， 整理，得， 解得，， “扩大销售量，减少库存”， 应舍去， ． 答：每件衬衫应降价元． 不可能．理由如下： ， 整理，得， ， 所列方程无实数解， 答：商场平均每天不可能盈利元．  【解析】根据题意得到每天的销售量，然后由销售量每件盈利进行解答． 利用衬衣平均每天售出的件数每件盈利每天销售这种衬衣利润列出方程解答即可． 同样列出方程，若方程有实数根则可以，否则不可以． 此题主要考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数每件盈利每天销售的利润是解题的关键． 第6页，共13页 学科网（北京）股份有限公司 $$