2.4 用因式分解法求解一元二次方程 同步练习 2025-2026学年北师大版九年级数学上册

2.4 用因式分解法求解一元二次方程 同步练习 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1.方程的根是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 2.关于的方程的一个解是，则值为(    ) A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 3.方程的解是(    ) A. B. C. 或 D. 或 4.若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为(    ) A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 5.方程的两个根分别是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为(    ) A. B. C. 或 D. 不能确定 6.小明设计了一个魔术盒，当任意实数对进入其中时，会得到一个新的实数，，例如把放入其中，就会得到现将实数对放入其中，得到实数，则的值为(    ) A. B. C. 或 D. 或 7.解下面方程：，，，较适当的方法分别为(    ) A. 直接开平方法因式分解法配方法 B. 因式分解法公式法直接开平方法 C. 公式法直接开平方法因式分解法 D. 直接开平方法公式法因式分解法 8.如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴正半轴上，顶点在轴正半轴上，，的长分别是一元二次方程的两个根，在直线上取点，使为等腰三角形，则点的坐标为(    ) A. B. C. D. 或 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9.一元二次方程的根是          ． 10.若关于的一元二次方程的常数项为，则的值为______． 11.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，若此方程的两根均为正整数，则正整数的值为______． 12.对于实数、，定义新运算“”：，如若，则实数的值是______． 13.利用因式分解法可以将一元二次方程转化为两个一元一次方程求解，这两个一元一次方程分别为______． 14.若实数，满足，则的值是          ． 15.一个三角形的两边长分别为和，第三边长是方程的根，则该三角形的周长为______． 16.一元二次方程有一个根为，二次项系数为，且一次项系数和常数项都是非的有理数，这个方程可以是______． 三、计算题：本大题共2小题，共12分。 17.解方程 直接开平方法 配方法 分解因式法 运用适当的方法 18.解下列方程 ； ． 四、解答题：本题共5小题，共40分。 19.本小题分 解方程： 直接开平方法； 配方法； 因式分解法； 公式法． 20.本小题分 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，那么称这样的方程为“邻根方程”例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”． 通过计算，判断方程是否是“邻根方程”； 已知关于的方程是常数是“邻根方程”，求的值． 21.本小题分 阅读例题，解答问题： 例：解方程， 解：原方程化为． 令， 解得：， 当，； 当时不合题意，舍去 原方程的解是，， 仿照上例解方程． 22.本小题分 【阅读材料】解方程时，我们发现：先将看作一个整体，然后设，那么原方程可化为，解得，当时，，则；当时，，则，故原方程的解为，． 上述解题过程，在由原方程得到方程的过程中，运用了“换元法”达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想． 【解决问题】 请利用以上知识解方程：； 在中，，两条直角边的长分别为，，斜边的长为，且，求斜边的长． 23.本小题分 先阅读以下材料，再解答问题： 在学习了一元二次方程的解法后，利用课后托管时间，数学兴趣小组的同学对一元四次方程的解法进行了如下探究：根据该方程的特点，可以把视为一个整体，然后设，则，原方程可化为，解得，． 当时，，； 当时，，． 原方程的解为，，，． 请解答问题： 填空：在由原方程得到方程的过程中，主要利用______法达到了降次的目的，体现了______的数学思想； 仿照以上方法解方程：． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：， ， 因式分解得， 或， 解得，． 故选C． 利用因式分解法求解即可． 本题主要考查解一元二次方程因式分解法． 2.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了一元二次方程的解，直接把代入方程得，然后解关于的一元二次方程即可． 【解答】 解：把代入方程得， 整理得，解得，， 即的值为或． 故选B 3.【答案】  【解析】【分析】 本题考查解一元二次方程因式分解法，属于基础题． 根据一元二次方程的解法因式分解法即可求出答案． 【解答】 解：， ， ， 或， 故选：． 4.【答案】  【解析】解：根据题意，将代入方程，得： ，即， 左边因式分解得：， ，或， 解得：或， 故选：． 把代入已知方程，列出关于的新方程，通过解新方程可以求得的值． 本题考查了一元二次方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 5.【答案】  【解析】解：， ， 则或， 解得或， 当等腰三角形的腰长为，底边长为，此时，不能构成三角形，舍去； 当等腰三角形的腰长为，底边长为，此时周长为， 故选：． 先利用因式分解法解方程求出的值，再分情况讨论求解可得． 本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 6.【答案】  【解析】解：将实数对放入其中，得到实数， ， ， 解得：或， 故选：． 根据放入实数对得到列式计算即可． 本题考查了一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 7.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，解一元二次方程的方法有直接开平方法，配方法，公式法和分解因式法等，根据方程的特点逐一分析即可． 【解答】 解：根据所给方程的系数特点，应用直接开平方法；应用公式法；应用因式分解法． 故选D． 8.【答案】  【解析】解：， 解得，， ， ，， ， 过点作轴于点，如图： ， 四边形是正方形， ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ，， ， ， 当点与点重合时，为等腰三角形，， 当点与点关于点对称时，为等腰三角形， 点是的中点，设， ，， ，， 则． 综上，点的坐标为或． 故选：． 根据正方形的性质，点与点重合时，为等腰三角形；点为点关于点的对称点时，为等腰三角形，然后求解即可． 此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，解本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 9.【答案】，  【解析】解：由题意可得或， 解得，． 故答案为，． 利用因式分解法的原理把方程化为或，然后解两个一次方程即可． 本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 10.【答案】  【解析】解：根据题意得：，即， 解得：或， 当时，，不符合题意． 则的值为． 故答案是：． 令常数项为求出的值，注意：二次项系数不等于零． 考查了一元二次方程的一般形式：是常数且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 11.【答案】  【解析】解：，即， ，． 方程的两个实数根都是正整数， 为正整数， 又为正整数， 或． ， ， 综上所述，正整数的值为． 故答案为：． 利用因式分解法解方程可得出、，由方程的两个实数根都是正整数即可得出为正整数，结合为正整数即可求出值，最后根据根的判别式判断是否符合题意． 本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟记因式分解法解一元二次方程的方法及步骤是解题的关键． 12.【答案】或  【解析】解：由题意可知：，变形为： 即， 或， 故答案为：或 根据新定义运算以及一元二次方程的解法即可求出答案． 本题考查新定义和一元二次方程的解法，解题的关键是正确运用新定义． 13.【答案】，  【解析】解：， ， ， ，． 故答案为：，． 方程左边提公因式将方程化为，即可求解． 此题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 14.【答案】  【解析】解：设， 原方程化为：， 或， 解得，， ， ． 故答案为：． 设，方程变形后用求根公式求解，再根据，确定最后结果． 本题考查了换元法解一元二次方程，掌握如何换元是解题关键． 15.【答案】  【解析】解：， 即， 即或， 所以，， 而， 所以三角形第三边长为， 此时三角形的周长为． 故答案为． 先利用因式分解法解方程得到，，再根据三角形三边的关系得到三角形第三边长为，然后计算三角形的周长． 本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了三角形三边的关系． 16.【答案】  【解析】【分析】 此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确利用因式分解法解方程的方法分析是解题关键． 直接利用一元二次方程的根以及一次项系数和常数项都是非的有理数，结合已知得出符合题意的方程． 【解答】 解：这个一元二次方程的二次项系数是， 设一元二次方程为：， 整理为：． 17.【答案】解：， ， ，． ， ， ， ， ，． ， ， 或， ，    ， ， ， 或 或．  【解析】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是熟练掌握配方法、直接开方法、公式法、因式分解法等知识，属于中考常考题型． 根据直接开方法的步骤即可解决问题； 根据配方法的步骤即可解决问题； 移项后，提取公因式即可解决问题； 化为一般式，再利用因式分解法解方程即可； 18.【答案】解：， ， ，， ，； 移项得：， ， 或， ，．  【解析】先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； 移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 本题考查了一元二次方程的解法，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程． 19.【答案】解：， ， ，； ， ， ， ， ，； ， ， 或， ，； ， ， ，，， ， ， ，．  【解析】根据直接开平方法解一元二次方程即可； 根据配方法解一元二次方程即可； 根据因式分解法解一元二次方程即可； 根据公式法解一元二次方程即可． 本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 20.【答案】解：解方程得，， 比大， 方程是“邻根方程”； ， ， 或， ，， 方程是常数是“邻根方程”， 或， 或．  【解析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，属于新定义型题目，读懂新定义的规则是关键． 先利用因式分解法解一元二次方程，然后根据“邻根方程”的定义进行判断； 先利用因式分解法解一元二次方程得到，，再根据“邻根方程”的定义得到或，然后解关于的方程即可． 21.【答案】解：原方程化为， 令， ， 解得，， 当，，或， 当时不合题意，舍去， 原方程的解是，．  【解析】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法． 原方程化为，令，得，再利用因式分解法求解即可． 22.【答案】解：设，则原方程变形为： ， 解得：，． 当时， ， ； 当时， ， ， ，； 设，则化为：，即， 解得，不合题意，舍去， 的值为． ， ． ． ． 答：斜边的长为．  【解析】先设，原方程可以变为：，再解一道关于的方程求出的值，再分别代入就可以求出的值； 先设，则可化为，求出的解，得出的值为，根据，得出，即可求出斜边的长． 此题主要考查了勾股定理，一元二次方程的解法．换元法解一元二次方程，关键是把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换，再进行求解． 23.【答案】解：换元，整体； 设，原方程化为， ， ，， 或， 方程无解， 方程可化为， 解得，， 原方程的解为：，．  【解析】解：由阅读材料可知解题过程中使用的换元法，体现了数学中的整体思想， 故答案为：换元，整体； 设，原方程化为， ， ，， 或， 方程无解， 方程可化为， 解得，， 原方程的解为：，． 由阅读材料可知解题过程中使用的换元法，体现了数学中的整体思想； 设，原方程可化为关于的一元二次方程，从而可以求出，然后再代回便可求出． 本题考查了高次方程的解法，关键是将看成整体，将方程转化为一元二次方程． 第6页，共15页 学科网（北京）股份有限公司 $$