2.3 用公式法求解一元二次方程 同步练习 2025-2026学年北师大版九年级数学上册

2.3 用公式法求解一元二次方程 同步练习 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1.方程的根是(    ) A. ， B. ， C. ， D. 以上都不对 2.解方程时，最适当的方法是  (    ) A. 直接开平方法 B. 配方法 C. 公式法 D. 因式分解法 3.用公式法求一元二次方程的根时，首先要确定，，的值对于方程，下列叙述正确的是(    ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 4.用公式法解时，先化成一般式求出系数、、的值，则系数、、依次为(    ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 5.已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为(    ) A. B. 或 C. D. 6.用求根公式法解方程的解是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 7.方程的一个根是(    ) A. B. C. D. 8.用公式法解方程，下列代入公式正确的是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9.方程的负数根为          ． 10.一元二次方程的解是______． 11.如果一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的值可以为______写出一个值即可 12.关于的方程的根的判别式          ，若方程有两个不相等的实数根，则          若方程有两个相等的实数根，则          若方程没有实数根，则          ． 13.用公式法解方程，其中          ． 14.把方程变形为的形式，其中，为常数，则______． 15.用公式法解方程，其中          ，方程的根          ，          ． 16.若一元二次方程的根为，则该一元二次方程可以为          ． 三、计算题：本大题共2小题，共12分。 17.用公式法解方程： ； ． 18.解下列方程： ；用配方法 用公式法 四、解答题：本题共5小题，共40分。 19.本小题分 解方程： ； ； ； ． 20.本小题分 已知关于的方程． 若该方程的一个根为，求的值； 若的值为时，请解这个方程． 21.本小题分 已知关于的一元二次方程，其中，、、分别是的三边长． 如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由． 如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 22.本小题分 矩形纸片的长和宽分别为、，在纸片的四个角都剪去一个边长为的正方形． 请画出图形，并用含有，，的代数式表示纸片剩余部分的面积； 当，剩余部分的面积恰好等于剪去面积的倍时，求纸片的长与宽． 23.本小题分 利用我们学过的完全平方公式与不等式知识能解决方程或代数式的一些问题，阅读下列两则材料： 材料一：已知，求、的值． 解：， ， ， ， ， ． 材料二：探索代数式与是否存在最大值或最小值？ ，，． 代数式有最小值； ，，． 代数式有最大值． 学习方法并完成下列问题： 代数式的最小值为______； 如图，在紧靠围墙的空地上，利用围墙及一段长为米的木栅栏围成一个长方形花圃，为了设计一个尽可能大的花圃，设长方形垂直于围墙的一边长度为米，则花圃的最大面积是多少？ 已知的三条边的长度分别为，，，且，且为正整数，求周长的最小值． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：方程整理得：， 这里，，， ， ， 则，． 故选：． 方程整理为一般形式，找出，，的值，计算出根的判别式的值大于，代入求根公式即可求出解． 此题考查了解一元二次方程公式法，利用此方法解方程时，首先将方程整理为一般形式，找出，及的值，确定出根的判别式的值，当根的判别式的值大于等于时，代入求根公式即可求出解． 2.【答案】  【解析】【思路分析】因为原方程含根式，且二次项系数为分数，所以用“直接开平方法”“配方法”“因式分解法”都不太适合，故选项C符合题意． 3.【答案】  【解析】略 4.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了解一元二次方程公式法，先把方程化为一元二次方程的一般形式，即可确定、、． 【解答】 解：， ， ，，． 故选D． 5.【答案】  【解析】【分析】 本题考查一元二次方程根的判别式，关键是先根据一元二次方程根的判别式的意义，由方程有两个相等的实数根，则有得到关于的方程，解方程即可解答． 【解答】 解：一元二次方程有两个相等的实数根， ，即， 整理，得， 解得， 故选：． 6.【答案】  【解析】解：， ， 所以，． 故选：． 先计算判别式的值，然后利用求根公式法解方程． 本题考查了解一元二次方程公式法：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． 7.【答案】  【解析】【分析】 此题考查了一元二次方程的根，可用公式法解决，先求出判别式，再求解两根． 【解答】 解：  ， ， ，只是其中的一个根． 故选D． 8.【答案】  【解析】略 9.【答案】  【解析】【分析】先计算判别式的值，再利用求根公式法解方程，然后找出负数根即可． 【详解】， ， 所以，． 即方程的负数根为． 故答案为． 10.【答案】无实数解  【解析】解：， 原方程没有实数根． 故答案为：无实数解． 先计算，得到，根据的意义得到原方程没有实数根． 本题考查了一元二次方程为常数的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． 11.【答案】答案不唯一  【解析】解：根据题意得， 解得， 所以可取． 故答案为答案不唯一． 先利用判别式的意义得到，再解不等式得到的范围，然后在此范围内取一个值即可． 本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 12.【答案】   【解析】略 13.【答案】  【解析】略 14.【答案】  【解析】解；移项，得， 配方，得， ． ，． 故答案为：． 先把常数项移到等号另一侧，方程的两边都加上一次项系数一半的平方，整理后得结论． 本题考查了一元二次方程的配方法，掌握配方法解一元二次方程的一般步骤是解决本题的关键． 15.【答案】；  ；    【解析】【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，主要考查学生的计算能力先移项，根据，，代入求出即可，最后代入公式求出即可． 【解答】解：将化为一般形式，得， 所以，，， 所以， 所以，所以，． 故答案为；  ；  ． 16.【答案】  【解析】本题主要考查了公式法解一元二次方程，对于一元二次方程，若其有实数根，那么其实数根为，据此结合题意得到，，，即可得到答案． 【详解】解：设关于的一元二次方程为， 一元二次方程的根为， ，，， 该一元二次方程可以为， 故答案为：． 17.【答案】解：，，， ， ， 解得，； 方程整理得， 则，，， ， ， 解得，．   【解析】本题主要考查公式法解一元二次方程． 先确定系数，然后判断，利用求根公式计算可得方程的解； 先整理为一元二次方程的一般形式，然后确定系数，判断，利用求根公式计算可得方程的解． 18.【答案】解：方程整理得． 配方，得，即． 开方，得， 解得，． 方程整理得． ， ， ，．   【解析】此题考查了配方法的应用，掌握配方法的步骤：把常数项移到等号的右边；把二次项的系数化为；等式两边同时加上一次项系数一半的平方是本题的关键．根据配方法的步骤先把方程整理，再利用完全平方公式变形，开方即可求出解． 此题考查了解一元二次方程公式法，熟练掌握一元二次方程的公式是解本题的关键．方程利用公式法求出解即可． 19.【答案】解：， ， ， ，； ， ， ，即， ， ，； ， ， ， 或， ，； ， ， 或， ，．  【解析】先移项，再两边开平方即可得出答案； 先配方，再开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； 先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于的一元一次方程，再进一步求解即可； 利用因式分解法求解即可． 本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法． 20.【答案】解：将代入原方程，得 ， 解得：； 把代入原方程，得 ， ， ， ，．  【解析】将代入原方程可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值； 把代入原方程得到，再利用公式法求解即可． 本题考查了一元二次方程的解以及利用公式法解一元二次方程，都是基础知识，需熟练掌握． 21.【答案】解：是等腰三角形； 理由如下： 把代入方程得：， 即， ， 为等腰三角形； 为等边三角形， ， 方程可化为， 解得，．  【解析】把代入方程得，整理得，从而可判断三角形的形状； 利用等边三角形的性质得，方程化为，然后利用因式分解法解方程． 本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，等腰三角形、等边三角形，解题的关键是掌握一元二次方程的解是能使式子成立的未知数的值． 22.【答案】解：剩余部分的面积； 由题意得，， ， ， ， ， ， 将代入得，， 舍去或， ． 纸片的长与宽分别为：，．  【解析】用长方形的面积减去四个小正方形的面积即可； 剩余部分的面积恰好等于剪去面积的倍和列出方程即可． 本题考查了列代数式，仔细观察图形，理解各部分的表示，找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．本题的数量关系是：剩余部分的面积长方形的面积个小正方形的面积；剩余部分的面积剪去的个小正方形的面积． 23.【答案】； 设花圃的面积为平方米，根据题意， 得 ， ， ， 当时，， 花圃的最大面积为平方米； ， ， ， ，， ， 为正整数， 最小为， 周长的最小值为．  【解析】解：， ， ， 故答案为：． 设花圃的面积为平方米，根据题意， 得 ， ， ， 当时，， 花圃的最大面积为平方米； ， ， ， ，， ， 为正整数， 最小为， 周长的最小值为． 将代数式配方即可； 设花圃的面积为平方米，根据题意得配方成，即可求出最大面积； 根据配方法可得和的值，再根据三角形的三边关系即可求出的最小值，进一步求周长最小值即可． 本题考查了配方法的应用，熟练掌握配方法是解题的关键． 第6页，共13页 学科网（北京）股份有限公司 $$